i j k

Transcripción

1 Ejemplos de oblems p evo I I. Descpcó del Movmeto de U tícul, Coodeds de u ptícul ví co el tempo de cuedo co ls fomuls: t s t, t cos t, t.) Demuéstese ue l tecto de ptícul es espl ubcd sobe supefce de u coo (). Hállese p t ( seg ) b) los vectoes de l velocdd l celecó de l ptícul (); c) el águlo ete los vectoes de l velocdd l celecó (4); d) los compoetes de celecó, oml tgecl (4); e) el do de cuvtu de l tecto (); f) tes vectoes utos de sstem de coodeds tul, elcodos co l tecto,, b (6) 4 (.4, 9.86; 97.) )Es fácl de vefc ue 0. Esto es ecucó de u coo. b) V j k t cos t s t t s t cos t j k; V j k; V.44 j k ts t cos t t cos t s t j; j; 4 c) cos V V ; V ; cos 4 V V j k j 0.9 k ; j k ; d) 4 j k.7.40 j 0.6 k ; e) V.5; R 5.6; f) j 0. k; b j. k j k , sstem de coodeds de cldo pbólco, está elcods co coodeds ctess tvés de elcoes ; ;. ) Descíbse líes de coodeds (). ) Hállese: ) fómuls p los coefcetes de Lme (4); b)vectoes utos de bse, (demuéstese ue so otogoles) (4); c)compoetes del vecto de velocdd (): Solucó ) L pme cuv, 0, 0, 0, 0 j, 0, 0 k, 0, 0 tee fom: ,, ;,, ;. Como 0, 0 so fjos: ( / ) / ; l cuv es u pábol e el plo = 0 Smlmete se obtee l ecucó mplíct p segud líe de coodeds: 0,, 0 0 ; 0,, 0 0 / ; 0 E l fom eplíct de l segud líe de coodeds es u pábol: / 0 0 / ; 0 Tece líe de coodeds es u ect vetcl ;, 0; 0; 0, ; ) ;, 0; ) Ecotemos coefcetes de Lme: H ; H ; H b) Los vectoes utos de l bse lo lgo de los tes ejes de coodeds cldo elíptco so gules: e j k j ; e k H H H

2 e j k j ; H H Es fácl de vefc de ue los vectoes e, e e so otogoles es dec sus poductos escles ete s so gules ceo s msmo so gules uo c) Aho utldo ls epesoes ecotdos p los coefcetes métcos se puede obtee fáclmete fomuls p ls poeccoes del vecto de velocdd sobe los ejes de ls coodeds cuvlíes e e e V H ; V H ; V H. Coodeds de u ptícul ví co el tempo de cuedo co ls fomuls:, t, t, t. Hállese p t ( seg) ) los vectoes de l velocdd l celecó de l ptícul (); b) el águlo ete los vectoes de l velocdd l celecó ();c) los compoetes de celecó, oml tgecl (); d) el do de cuvtu de l tecto ();f) tes vectoes utos de sstem de coodeds tul, elcodos co l tecto, b(4),.4 sstem de coodeds esfécs: ) Descíbse líes de coodeds () ) Hállese ) fómuls p los coefcetes de Lme (); b)vectoes utos de bse, (demuéstese ue so otogoles) () c)compoetes del vecto de velocdd (; c)compoetes del vecto de celecó ():.5 Coodeds ctess de u ptícul ví co el tempo de cuedo co ls fomuls: t s t, t cos t, t.) Demuéstese ue l tecto de ptícul es espl ubcd sobe supefce de u pbolode (ptos). t (seg ) hállese: b) los vectoes de l velocdd l celecó de l ptícul (ptos); c) el águlo ete los vectoes de l velocdd l celecó ; d) los compoetes de celecó, oml tgecl ; e) el do de cuvtu de l tecto (ptos); f) tes vectoes utos de sstem de coodeds tul, 4 elcodos co l tecto,, b (ptos) (.4, 9.86; 97.) ) ( ) (ptos) b) ( t s t, t cos t,t ); V (s t t cos t,cos t t s t,4t) ( ;, 4 ) cos t t st, st t cos t, 4 ( ;, 4) (ptos) V 7 ; ; V ; c) cos cos, V V V 5.8 / ; ccos d) V V ( /; /, 4 /) ; / /6 / 7 / 4.; t, 0., 4 (,.4, 0) e).4.6; R V / /.6 48 (ptos) ( /; /, 4 /) ( 0.4; 0.077,0.96); f) (ptos) / ( 0.8,0.95, 0); b,6. A lo lgo de u tubo ue est otádose lededo de u etemo se mueve hc t t (Fg.). E el poceso de otcó del tubo sus águlos pol muthl ví co el b u ptícul de tl me ue l dstc desde este etemo cece como tempo como: t t t ; t t. t hállese e coodeds esfécs: )el vecto velocdd (ptos) ; b)el vlo de l velocdd (ptos); c)el vecto de celecó (5ptos); d)el águlo ete los vectoes de velocdd celecó (ptos) Fg. t t ; t t t ; t t ) V e e s e 4t e 6t e t ( t)st e 4e 6e 6st e 4e 6e 0.85e (ptos) b) V (ptos) c) ; / e e e T V / s / ; d T T s 4 t 9 t s t ( t) 4 8 8s 4.6 d T T d d 4 4 s cos t 4t s t cos t t 48 6s cos 5 d T T d d s t 4t s t t 4 4t 0t s t t t 6s t cos t (5ptos)

3 d) ; cos V / V /( ) (ptos) 5 / ; ccos ,7 Cómo se defe coodeds cuvlíes? (ptos) Cómo se defe líes de coodeds? (ptos) Cómo se defe vectoes de bse coefcetes métcos p coodeds cuvlíes? (ptos). Cómo se clcul los compoetes del vecto velocdd e coodeds cuvlíes? Demuéstese l fomul coespodete (ptos). Deduc l fómul p clcul l eegí cétc de u ptícul e coodeds cuvlíes e témos de los coefcetes métcos (ptos) plíuelos p coodeds clídcs (ptos) esfécos (ptos).8 Coodeds de u ptícul ví co el tempo de cuedo co ls fomuls: 4 t, t, t. Hállese p t ( seg) : ) Vectoes de l velocdd l celecó de l ptícul (); b) el águlo ete los vectoes de l velocdd l celecó (); c) los compoetes de celecó, oml tgecl (); d) el do de cuvtu de l tecto (); f) tes vectoes utos de sstem de coodeds tul, elcodos co l tecto,, b (4) ) V (4,, 4 t) (ptos) b) ; 0, 0, 4) V 4 4t 5 6t ; ; cos V V 6t 4 5 6t 4t 5 6t ; cos 0.85 (ptos) c) V V (4,, 4 t) 5 6 t (4 9.4, 9.4,8 9.4) (0.4, 0., 0.85) ; ;.4 (0.4, 0., 0.85), 46,, 09,.89 0,0, 4, 46,,09,.89, 46,,09,. d) ; ; (ptos) R V ;, 46, 09..6; R ; (ptos) f) (0.4, 0., 0.85);, 46,, 09,..6 0, 68, 0, 50, 0.5 ; j k b , j 0.0k 0.6, 0.8, 0.0 0, 68 0, U b AB sujet e el puto A ued lededo del eje Z de tl me ue el águlo ví co el tempo t como t t. Smultáemete, l b se cl hc plo XY cemetdo el águlo ete ell el eje Z segú l fomul t t. L ms m coectd co el puto A, tvés de u esote oscl l sepcó ete ms puto A ví como t s 4t. Utldo (OBLIGATORIAMENTE!!!) ecuétese e el mometo t ( seg) ; ) velocdd totl (6ptos); b) celecó totl (5ptos) ) (6ptos) V H t 4 cos 4t 4; V H t t t s 4t ; V H t s t s 4t s t 0; V b) T V H H H s d T T d s s 6s 4 s 4 s t t t 9; H d T T d s cos s cos H s 4t 0 8cos 4t s 4t s t cos t 4 d T T d s s s cos 0 0 H s (5ptos).0. sstem de coodeds pbólcs,, está elcods co coodeds ctess tvés de elcoes cos ; s ; : ) Demuéstese ue ls líes de coodeds so ls pábols sofócles ccufeecs plels l plo XOY. ) Hállese: ) fómuls p los coefcetes métcos (ptos); b) vectoes utos de bse, (demuéstese ue so otogoles) ; c) compoetes del vecto de velocdd :,,,, j,, k,, tee fom: Solucó ) L líe de coodeds, ,, cos ;,, s ;,,. Como 0, 0 so fjos

4 t ; pbolodes sofócles 0 0 etoces l líe de coodeds es u teseccó del co el foco ubcdo e el oge de coodeds del plo t0. Smlmete, l líe de coodeds,,,,, j,, k,, tee fom: ,, cos ;,, s ;,,. Como 0, 0 so fjos t 0; pbolodes sofócles 0 Etoces l líe de coodeds es u teseccó del 0 co el foco ubcdo e el oge de coodeds del plo t0. L líe de coodeds,,,,, j,, k,, tee fom: ,, cos ;,, s ;,,. Como 0, 0 so fjos 0 0 etoces l líe de coodeds es u teseccó del cldo co el plo,, plelo XY es u ccufeec b) Ecotemos coefcetes métcos: (ptos) ; ; H H H b) Los vectoes utos de l bse lo lgo de los tes ejes de coodeds cldo elíptco so gules: cos s e j k j k ; H H cos s e j k j k ; H H e s j cos H Es fácl de vefc de ue los vectoes e, e e so otoomles es dec sus poductos escles ete s so gules ceo s msmo so gules uo c) Aho utldo ls epesoes ecotdos p los coefcetes métcos se puede obtee fáclmete fomuls p ls poeccoes del vecto de velocdd sobe los ejes de ls coodeds cuvlíes e, e e V H ; V H ; V H ; V V V V. l del movmeto de u ptícul M e el cmpo eléctco poducdo po dos cgs C C sepds po l dstc R (ve Fg.) se utl coodeds elíptcs, / R; / R. defds como Demuéstese ue: ) ; (pto); b) L elcó ete coodeds ctess elíptcs se d como: c; c. Ecuétese: c)los coefcetes métcos (Lme) H, H (ptos) d)vectoes de bse segúese ue coodeds elíptcs so otogoles (ptos), e)compoetes de ls velocddes V, V (ptos): f)l eegí cétc (ptos) Fg.. U ptícul de ms m se despl lo lgo de u tubo de logtud L 4m(ve Fg.) de tl me ue l dstc desde el etemo del tubo ví co el tempo segú l fomul s t 0.5t (tempo está ddo e segudos dstcs e metos). El tubo está gdo lededo de su ceto de tl me ue los águlos mutl pol ví co el t t t ; t t t. Ecuétese los tempo de cuedo co ls fomuls: compoetes del vecto de velocdd l eegí cétc de l ptícul p el tevlo del tempo t seg, utldo ) Coodeds esfécs (7ptos); b) Coodeds ctess (ptos) Fg.

5 I. Coodeds de u ptícul ví co el tempo de cuedo co ls fomuls: 5 0 t; 0t 5 t ; 8t, dode el tempo está ddo e segudos dstcs e metos. el mometo del tempo t seg ecuétese e ls coodeds ctess: )El vecto de velocdd (ptos); b) El vecto (ptos); c) El vecto de l celecó de l ptícul (pto); c) el águlo ete los vectoes de l velocdd l celecó (ptos); d) los compoetes de celecó, oml tgecl (ptos); e) el do de cuvtu de l tecto (ptos); f) los vectoes de bse utos de sstem de coodeds tul co l tecto,, b (ptos) Coodeds cuvlíes: (,, ); H ; e ;,,; H d dv d T T v v e ; v H ; e ; ; H v T II Descpcó del Movmeto de U Sstem de tículs. E u pédulo mtemátco de logtud L ue oscl e el plo XOY lo lgo de l cued se despl u escbjo. El pédulo est coectdo co u ms coectd co dos esotes puede movese lo lgo de eje X. )Escíbse ecucoes de lgdus(); b) Cutos gdos de lbetd tee el sstem? () c) Ls lgdus so holóoms poue? (); d)escíbse ls elcoes ete coodeds ctess geelds.() e) Epese los compoetes de ls velocddes ctess e témos de ls coodeds geelds () ) Z Z Z 0; Y ; X X Y Y L ; X X / X X Y Y / Y Y 0 b) = *-6=; c) Lgdus so holóoms ue clue solo coodeds; S ; S ; ; X S ; Y 0; X S S s ; Y S cos ; X S Ls ; Y L cos d) e) X S; Y 0; X S S s S cos ; Y S cos S s ; X S L cos ; Y L s. el sstem pesetd e l Fg.: )escíbse ecucoes de lgdus();b) ecuétese el úmeo de gdos de lbetd (); c)eplíuese poue ls lgdus so holóoms (); c)escíbse ls elcoes ete coodeds ctess geelds.(); d) ecuétese los compoetes de ls velocddes ctess e témos de ls coodeds geelds () Fg. ;,. el sstem pesetd e l Fg.: )escíbse ecucoes de lgdus (ptos); b)ecuétese el úmeo de gdos de lbetd (pto); c)eplíuese poue ls lgdus so holóoms (pto); d)defíse coodeds geelds (ptos); e)escíbse ls elcoes ete coodeds ctess geelds(ptos); f) ecuétese los compoetes de ls velocddes ctess e témos de ls coodeds geelds (ptos) Fg..4. E el sstem pesetdo e Fg. u pédulo mtemátco de ms m de logtud L ue oscl e el plo XOY est coectdo co l ms m ue oscl lo lgo de l b vetcl bjo de ccó de u esote co el coefcete de elstcdd k logtud de eulbo L )Escíbse ecucoes de lgdus(ptos); b) Cutos gdos de lbetd tee el sstem? (pto) c) Ls lgdus so holóoms?, poue? (pto); d)escíbse ls elcoes ete coodeds ctess geelds.(ptos), e) Epese los compoetes de ls velocddes ctess e témos de ls coodeds geelds (ptos), f)epese l s eegís cétc potecl e témos de coodeds geelds (ptos).5. U sstem de 4 ptículs,, 4 puede movese solo e el plo XOY. Ls ptículs está coplds tvés de dos bs ls cules e su tuo so uds e el ceto co u pvote. ) Escíbse ecucoes de lgdus ; b) lgdus so holóoms poue? (ptos), c) cutos gdos de lbetd tee el sstem (ptos) Solucó ) Ecucoes de lgdus: 0,,,,4 (ls ptículs está e el plo XOY), Fg.

6 l ; 4 4 l / ; / / (l logtud de ls bs es u costte) / 4 4 (ls poscoes de los cetos de ls bs cocde). b) lgdus so holóoms ue o clue velocddes (ptos) c) N = 4 h S = 8 lgdus El úmeo de los gdos de lbetd es gul: s (ptos).6. U pédulo mtemátco de ms m de logtud L ue oscl e el plo XOY está copldo co u bloue M ue despl e l deccó vetcl lo lgo de u b est coectdo co el techo tvés de u esote. )Escíbse ecucoes de lgdus(ptos); b) Cutos gdos de lbetd tee el sstem? (ptos) c) Ls lgdus so holóoms poue? (pto); d)escíbse ls elcoes ete coodeds ctess geelds.(ptos) e) Epese los compoetes de ls velocddes ctess e témos de ls coodeds geelds (ptos) ) 0; 0; Z Z X X X Y Y L ; (ptos) b) = *-4=; (ptos) c) Lgdus so holóoms ue clue solo coodeds; X Ls Ls ; Y S L cos L cos d) ; S ; (ptos) X 0; Y S e) X L cos ; Y L s X 0; Y III (ptos) Velocdd celecó e mcos de efeec o ecles. Escíbse ls fómuls ue descbe p u movmeto e el plo XOY ls elcoes ete coodeds (, ), velocddes (V,V V, V ) celecoes (, ) e coodeds XOY X O Y s el sstem X O Y est otádose lededo de eje OZ co l velocdd gul (0)... tedo desde l fomul V V () demuéstese ue: O ) E el culue mometo del tempo ls poeccoes de ls velocddes de dos putos de u cuepo ígdo sobe l ect ue ue estos dos putos so gules ) Ls velocddes de los culesue tes putos ue o está ubcdos sobe u ect defe ufomemete ls velocddes de todos los putos de u cuepo ígdo. ) S ls velocddes de lguos tes putos de u cuepo ígdo ue o está ubcdos sobe u ect e lgú stte del tempo so gules etoces el cuepo e este mometo del tempo ptcp e u movmeto tslcol. 4) S e lgú mometo del tempo ls velocddes de uos dos putos del cuepo ígdo so gules ceo etoces el cuepo o está e u eposo sttáeo o ptcp e este mometo e u movmeto ottoo lededo de l ect ue ue estos dos putos. 5) S l velocdd de u puto de u cuepo ígdo e lgú mometo del tempo es gul ceo etoces el cuepo o está e u eposo sttáeo o e este mometo ptcp e u movmeto ottoo lededo de u eje ue tves este puto (0) Solucó. )Utldo l guldd () dos veces p los putos estdo teemos: V V V V 0 V V Ultm guldd sgfc ue ls poeccoes de ls velocddes de dos putos de u cuepo ígdo sobe l ect ue ue estos dos putos so gules ) Cosdeemos tes putos,,. Co culue cuto puto 4 estos tes putos fom tes ejes o otogoles X, X, X (ve Fgu). S se cooce velocddes V, V, V de los putos,, etoces se cooce sus poeccoes sobe tes ejes o otogoles X, X, X cules segú l popedd teo cocde co ls tes poeccoes de velocdd V 4 del puto 4 sobe estos tes ejes. Ests tes poeccoes defe ufomemete l velocdd V 4. ) E l demostcó teo h ue tee e cuet ue cudo los tes vectoes V, V, V cocde estos fom tes poeccoes del msmo vecto po eso l ecupe de ests tes poeccoes el vecto V 4 se obtee gul estos tes. 4) Como ls velocddes V 0 V 0 desde guldd (ve el puto ) teemos ue el vectoes V V 0 so plelos, es dec. culue tece puto de cuepo ígdo V V V S el tece puto est ubcdo sobe l msm ect etoces vectoes so plelos l velocdd del tece puto es gul ceo po eso todos los putos ubcdos sobe est ect est e eposo. Esto es posble solo cudo cuepo está e eposo o e movmeto ottoo lededo de est ect 5) Se V 0 l velocdd V de culue oto puto es gul

7 V V V Est guldd coespode otcó de cuepo ígdo lededo del puto V. Mcos de Refeec e Movmetos Tslcol Rotcol ) Escíbse ls fómuls ue descbe ls elcoes ete coodeds ( ), velocddes (V V ) celecoes ( ) e coodeds XOY X O Y s el oge de sstem X O Y se despl lo lgo de eje OX l dstc ete O O cece como OO' 5t 8t (5) ) ) Escíbse ls fómuls ue descbe p u movmeto e el plo XOY ls elcoes ete coodeds (, ), velocddes (V,V V, V ) celecoes (, ) e coodeds XOY X O Y s el sstem X O Y est otádose lededo de eje OZ co l velocdd gul (5). Solucó. ) ' 5t 8t ; V V' 5 6t; ' 6. ) El águlo de otcó t, po eso ' cos t ' s t; ' s t ' cos t; () Devdo ests epesoes especto el tempo se obtee elcoes ete ls velocddes V V V V ~ ' cos t V' s t ' s t ' cos t ' ; V ' s t V ' cos t ' cos t ' s t V ~ ' ; E fom vectol ests dos gulddes so V ~ V ' Devdo () especto t teemos: ~ ' cos t ' s t V' s t V' cos t ' cos t ' s t ' V ; ' s t ' cos t V ' cos t V ' s t ' s t ' cos t ~ ' V ; E fom vectol est fómul coespode l teoem de Cools: ~ ' V. U b de logtud L se desl sobe l ped vetcl el pso hootl (Fg.). S e lgú mometo se cooce el águlo l velocdd V del etemo A de l b, cómo so ls velocddes )V b del etemo B (5); b) V c del ceto de l ms C de l b (5)? Fg. ().4 Demuéstese ue p u movmeto ccul co u velocdd costte se cumple l sguete elcó ete los vectoes de velocdd celecó: V (ptos). ) Cuátos lgdus cutos gdos de lbetd tee u molécul lel de 4 átomos e el espco? b) Demuéstelo cosdedo ls elces de l molécul como ígds (ptos).c) Cómo se puede vefc utldo los vectoes de bse de sstem de coodeds tul s u tecto e el espco es pl (ptos). d) Deduc ls fómuls de elcó ete los vectoes de bse e, e, e de coodeds clídcs vectoes de bse ctess, j, k (ptos) (,, ); H ; e ;,, ; H d dv d T T v dv ddd H H H d d d ; v v e ; v H ; e ; ; T H ; ; ; cos ; s; ; H ; H ; H ; ; ; s cos ; s s ; cos ; H ; H ; H s d (,, ); H ; e ;v v e ;v ; H H dv d T T v e ; ; T H Coodeds clídcs: ; ; ; cos ; s ; ; H ; H ; H Coodeds esfécs: ; ; ; s cos ; s s ; cos ; H ; H ; H s