EL TEOREMA EGREGIUM. Introducción

Transcripción

1 CARLOS S CHIEA EL TEOREMA EGREGIUM DE GAUSS Itoduccó Joha Ca Fedch Gauss (30 de ab de de febeo de 855) e sus Dsqustoes eeaes cca supefces cuvas de 88 expoe e teoea coocdo coo eeo Eeu que ha tedo otabes cosecuecas e e desaoo de a posteo eoetía dfeeca E teoea e esue vee a poba que s dos supefces so supepobes a ua sobe a ota (soétcas) tee a sa cuvatua tota e dos putos coespodetes Esto es que s a puto P de ua de as supefces e coespode e puto P de a ota etoces a cuvatua aussaa (tota) e P es a sa que e P Dcho de oto odo e teoea vee a dca que e as fexoes de ua supefce que o supoa datacó cotaccó o asadua se cosevaá a cuvatua tota poducto de as cuvatuas pcpaes e e puto de efeeca Puesto que e estas fexoes se coseva as dstacas se cosevaá tabé os coefcetes de a pea foa fudaeta (teso étco) po o que se cosevaá tabé cuaque ete que depeda de eos S oaos poba que a cuvatua tota K depede excusvaete de os coefcetes dcados y de sus devadas quedaá pues pobado que dcha cuvatua se atee vaate e as fexoes La foa e a que expoeos aquí e teoea cosste speete e poba que a cuvatua tota de Gauss depede soaete de os coefcetes de a pea foa fudaeta de a teoía de supefces y de sus devadas esto es de teso étco y de sus devadas Paa eo obtedeos a ecuacoes de Codazz-Maad y Gauss Codazz coo paso pevo

2 CARLOS S CHIEA La cuvatua tota o de Gauss Paa ua supefce cuaquea dfeecabe ( x( u u ) y( u u ) z( u u )) du du du du esto es: 3 S : R R expesada po se tee que d S aaos a vecto utao oa a os vectoes taetes y se defe etoces as dos foas fudaetaes de suete odo: ª foa fudaeta: I ds d d du du du du aado se tee: ª foa fudaeta: I du du du du II d d du du du du aado se tee: II du du du du La cuvatua tota o de Gauss e e puto P vee dada po K dode so y as cuvatuas pcpaes de a supefce e dcho puto P (paa a deostacó ve e atícuo sobe a Idcatz de Dup e )

3 CARLOS S CHIEA E tedo e cada puto de a supefce: E cada puto de a supefce podeos cosdea e tedo foado po os vectoes eaete depedetes { } cupe que: e dode obvaete se 0 ( e eea) 0 Puesto que e tedo costtuye ua base de espaco tdesoa todo vecto v puede expesase coo cobacó ea de eos: v α α 3 α e patcua as devadas pacaes de os sos vectoes de a base: 3 3 α α α β β β A aaza as popedades de os coefcetes de estas útas expesoes se obtee de foa atua as aadas Ecuacoes de Gauss paa a expesó de as y Ecuacoes de Weate paa a expesó de Las ecuacoes de Gauss paa as devadas pacaes de os vectoes báscos taetes: Sabeos po defcó de síboos de Chstoffe de ª espece (ve Cácuo dfeeca absouto e espacos eucdaos paas 8 y 9 e esta sa web) que as devadas pacaes de os vectoes de ua base { } puede expesase e fucó de estos sos vectoes edate os síboos de Chstoffe: 3 Γ y coo sabeos que e dcha base es 0 y tabé ( : coefcetes de a ª foa fudaeta) se tee e deftva: Γ (Ecuacoes de Gauss) 3

4 CARLOS S CHIEA 4 De foa desaoada: Γ Γ Γ Γ (Ecuacoes de Gauss) Las ecuacoes de Wate paa as devadas pacaes de vecto utao oa: Puesto que es utao (óduo costate e ua a a udad) se tee: aes pepedcu u u 0 0 ) ( / R copaao co E deftva se tee que Podeos obtee a expesó de as coodeadas e fucó de os coefcetes ps de abas foas fudaetaes edate e suete Teoea: Se vefca as expesoes (Ecuacoes de Weate) Deostacó: Basta utpca a eacó po po y : Resovedo edate a Rea de Cae:

5 CARLOS S CHIEA (*) Po tato se vefca a ecuacoes Las ecuacoes de Weate po tato os da as devadas pacaes de vecto oa e cada puto coo cobacó ea de os vectoes taetes co as coodeadas e fucó de os coefcetes de as dos foas fudaetaes La uadad de as devadas seudas de os vectoes taetes Heos vsto e os dos apatados ateoes que as Ecuacoes de Gauss os da as devadas pacaes de os vectoes taetes coo cobacó ea de os vectoes de a base de espaco tdesoa costtuda po tedo óv { } y as Ecuacoes de Weate os da as devadas pacaes de vecto oa tabé coo cobacó ea de dchos vectoes Los coefcetes e e pe caso queda expesados e fucó de os síboos de Chstoffe de ª espece y coefcetes de a seuda foa fudaeta y e e caso de as ecuacoes de Weate e fucó de os coefcetes de abas foas fudaetaes S cosdeaos a uadad de as devadas seudas y podeos obtee a detfca coefcetes dos coutos de ecuacoes que aaeos Ecuacoes de Gauss-Codazz y Ecuacoes de Codazz-Maad que os petá ya evdeca a afacó de Teoea Eeo 5

6 CARLOS S CHIEA Patos de a expesó Γ Así devado a expesó de co especto a u se tee: Γ ( Γ ) ( ) ( Γ ) ( ) Γ Y obteeos e deftva paa a expesó de v : v Γ Γ Po aaoía a expesó de v seá: Iuaado abas expesoes: Γ Γ Γ Γ Γ 0 (**) Las Ecuacoes de Codazz-Maad Se obtee de uaa a ceo e coefcete de vecto oa e (**): Γ Γ 0 Estas ecuacoes so détcaete uas s 6

7 CARLOS S CHIEA Po ota pate esuta a sa ecuacó s que s Esto quee dec que soaete hay dos ecuacoes: Γ Γ Paa : Γ Γ 0 Paa : Γ Γ 0 (Ecuacoes de Codazz-Maad) 0 Las ecuacoes de Gauss-Codazz Se obtee a uaa a ceo os coefcetes de os vectoes báscos e (**): Así e coefcete de vecto : Γ o be: Y e coefcete de vecto : Γ O be: Γ Γ Γ 0 Γ Γ 0 Γ Γ Γ Γ Γ 0 Γ Γ Γ Se tee e deftva as ecuacoes de Gauss-Codazz: Γ Γ Γ Γ Γ Γ 7

8 CARLOS S CHIEA E Teoea eeu La cuvatua tota K depede excusvaete de os coefcetes de a pea foa fudaeta y de sus devadas Deostacó: S haceos e as ecuacoes de Gauss-Codazz se tee: Γ Γ Γ Γ Γ Γ Susttuyedo os coefcetes e a pea y e a seuda po as expesoes que fua e as ecuacoes de Weate (*) se tee que Γ Γ Γ Γ Γ Γ Es dec se cupe que Γ Γ Γ Γ Γ Γ y puesto que a cuvatua tota es as dos ecuacoes: K podeos expesa desde cuaquea de K K Γ Γ Γ Γ Γ Γ 8

9 CARLOS S CHIEA Esto os dce que a cuvatua tota depede de a étca (coefcetes de a pea foa fudaeta) y de os síboos de Chstoffe de ª espece os cuaes depede tabé de a étca y de sus devadas 9