PROBLEMAS DE GEOMETRÍA
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- Natalia Poblete Maldonado
- hace 5 años
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Transcripción
1 PROLEM DE GEOMETRÍ Volmen oodend iénti Ged Romo Gido
2 Toomte ool leión Lo domento de Toomte ool leión on eoilione de mteile mtemátio, edtdo, odendo itemtido o Ged Romo, on el ojetio de e edn e útile lie etdinte de mtemáti. l Unde onttion Deido lo miioo del oeto, eto domento e n mlindo, oigiendo omletndo ontínmente lo lgo de lo ño. e gdeeá lie oeión, omentio, etifiión o oloión toomte@gmil.om Ete domento e omte jo n lieni etie ommon e emite lie o, eodión ediión de todo eto mteile ieme e e in ánimo de lo e ite oedeni. Todo lo domento e ofeen en do eione En fomto df n ómod let en el fomto do de MWod emiti filit ediión. tlmente Toomte ool leión ont de lo igiente domento Geometí iomáti Geometí iomáti Teoí df do otd Polem de Geometí Vol. df do Polem de Geometí Vol. df do Polem de Geometí Vol. df do Polem de Geometí Vol. 4 df do Mtemáti el hilleto en tlán Àlge Linel tillet df do Geometi Linel tillet df do àll Infiniteiml tillet df do Pogmió Linel tillet df do Polemio Polem de Mtemáti Vol. df do ng Integl en tlán df do Veión de ete domento //8.toomte.net
3 Índie. Ete olmen etá dedido íntegmente ti l oodend iénti liión en l eolión de olem de geometí. Eto oneto e intoden e deolln en el ítlo del lio de teoí.. The Ote Veten Point.. Pnto imedino.. Pnto de Ngel iento & Inento. 4. inento, lt, nto medio, nto imétio. 5. Peendilidd on inento iento. 6. olinelidd de nto imétio eeto del iento. 7. oodend del iento de n tiánglo. 8. El Pnto de hiffle. 9. Eento. El nto de Ngel.. El nto de en.. El nto de Gegonne.. El nto de Longhm.. Eión de l infeeni init. 4. L infeeni de lo nee nto. 5. Do ejeiio de deteminión de ánglo. 6. imedin medinte do et lel. 7. onjgdo iogonl medinte eendile. 8. L et de imon. 9. diláteo ílio on et tngente l inílo.. diláteo ílio on l ietie de n tiánglo.. Peendilidd en diláteo on ieti.. Pnto en inílo on lel e inento.. Pnto imétio on lo edle del inento. 4. Pnto oílio on medin meditie. 5. to ejeiio de tiánglo eetio. 6. Medin eendile. 7. Te egmento igle on n tiánglo eiláteo.
4 . The Ote Veten Point. e el ento del ddo inito en n tiánglo gdo on do étie del ddo en el ldo. í e, no de lo oto do étie del ddo etá en el ldo el oto en. Lo nto e definen de fom imil lo ddo inito on do étie en lo ldo, eetimente. Demot e l et, on onente. Not El nto de oneni e llm en inglé "the Ote Veten Point". IL /G Fente enti oodinte in Olmid Geomet M hindle, En hen, Jl,
5 . Pnto imedino. en D, E, F lo nto medio de lo ldo,, del tiánglo, X, Y, Z lo nto medio de l lt dede,,, eetimente. Hll l eione de l et DX, EY FZ, demot e on onente. ále on l oodend del nto de inteeión? Fente oodend iénti de Fnio J. Gí itán ágin Not El ejeiio #5 de ete olmen e n mliión de ete ejeiio.
6 . Pnto de Ngel iento & Inento. Demot e el nto de Ngel N etá en l et e ne el iento el inento diide IG en l ón I N N G Fente oodend iénti de Fnio J. Gí itán ágin
7 4. inento, lt, nto medio, nto imétio. e n tiánglo. e D el ie de l lt o. e l l et e o lo nto medio de. e E el nto imétio de D eeto de l. Demot e el inento del tiánglo o l et E. entomein 7 Fente "Note on enti Homogeneo oodinte" Wong Yn Loi, Págin 4
8 5. Peendilidd on inento iento. en O el inento G el iento de n tiánglo eendil OG i ólo i.. Demet e G e Fente "Note on enti Homogeneo oodinte" Wong Yn Loi, Págin 4
9 6. olinelidd de nto imétio eeto del iento. Ddo n tiánglo, en ', ' ' lo ie de l eendile td o el iento G en lo ldo, eetimente. en '', '' '' lo nto imétio eetimente de ', ' ' eeto de G. Demet e l et '', '' '' on onente. Dono Mthemtil Olmid Fente "Note on enti Homogeneo oodinte" Wong Yn Loi, Págin 5
10 7. oodend del iento de n tiánglo. Demot el iento O de n tiánglo R,, e O P Q R PQR, on P,,, Q,,
11 8. El Pnto de hiffle. Demot, medinte notión de on, e el iento, el inento el otoento de n tiánglo etán linedo, en l llmd "Ret de Ele" del tiánglo. Detemin l eión de l et de Ele nto imoio lifido omo X en ET. Demet e l et de Ele de I, I I on onente. nto de ote e denomin "Pnto de hiffle" lifido omo X en ET. d Demet e el Pnto de hiffle tmién etenee l et de Ele del tiánglo. Fente "Geometí méti oeti en el lno on oodend iénti. lgno tóio". ngel Montedeo. ágin
12 9. Eento. El nto de Ngel. Demet e l oodend ienti de l infeeni einit del tiánglo on I,, I Demet e lo nto de tngeni de l infeeni einit on d no de lo ldo del tiánglo on ', ', ' Donde / e el emieímeto del tiánglo de efeeni. I Demet e l et ', ' ' on l t de n nto e e denomin Pnto de Ngel N del tiánglo, oodend iénti on N
13 . El nto de en. Demot e en todo tiánglo, l eendile d ldo o lo eetio ento de l te infeeni einit on onente. l nto de ote e le denomin "Pnto de en" lifido omo X 4 en ET. Fente "Geometí méti oeti en el lno on oodend iénti. lgno tóio". ngel Montedeo. ágin 47
14 . El nto de Gegonne. Demet e lo nto de tngeni ente el tiánglo de efeeni infeeni init on l t de ieto nto llmdo Pnto de Gegonne G e del tiánglo.
15 . El nto de Longhm. e define el nto de Longhm omo el nto D imétio del otoento E eeto l inento F. Ete nto etá tlogdo omo X en el ET. Demet e el tiánglo edl oido l nto de Longhm e el tiánglo eino de ieto nto G tlogdo omo X 69 en ET. Etá lo e el nto de Longhm etenee l et de Ele del tiánglo. Demet e tmién etenee l et detemind o el inento el nto de Gegonne.
16 . Eión de l infeeni init. Detemin l eión de l infeeni init l tiánglo de efeeni.
17 4. L infeeni de lo nee nto. Demet e, ddo n tiánglo, lo nto medio M, M M, lo ie H, H H de l lt, lo nto medio ', ' ' ente d étie el otoento H n o n mim infeeni, llmd "infeeni de Ele" o "l infeeni de lo nee nto". ento etá tlogdo omo X 5 en ET.
18 5. Do ejeiio de deteminión de ánglo. ome, medinte l fóml de.., e efetimente, l et e l ieti inten del tiánglo de efeeni o el étie, e dei, detemin eeto de lo ldo ánglo oientdo igle / /. Demet, deteminndo lo ánglo, e el otoento de n tiánglo e el inento de tiánglo ótio, e dei, e en el eem igiente
19 6. imedin medinte do et lel. Ddo n tiánglo, e D el nto de ote ente l ieti o. e E el nto de ote de on l lel o D e F el nto de ote de on l lel o D. e P F E. Demet e P e l et imedin o. Fente "Geometí méti oeti en el lno on oodend iénti. lgno tóio". ngel Montedeo. ágin 5
20 7. onjgdo iogonl medinte eendile. Demet, de fom intéti nlíti, e l eendile dede lo étie del tiánglo lo oeondiente ldo del tiánglo edl de n nto P onen en el onjgdo iogonl de P. Fente "Geometí méti oeti en el lno on oodend iénti. lgno tóio". ngel Montedeo. ágin 55
21 8. L et de imon. Demet, medinte oodend iénti, e lo edle de n nto P etán linedo en n et llmd et de imon i ólo i P etenee l infeeni init.
22 9. diláteo ílio on et tngente l inílo. Tmo l et tngente t o el étie l infeeni init de n tiánglo. L et, e e lel et et tngente, ot l et en lo nto D E, eetimente. Demet e lo nto,, D E eteneen n mim infeeni. JMO hotlit 5 Not Ete olem e ede eole intétimente nlítimente. Fente "Note on enti Homogeneo oodinte" Wong Yn Loi, Págin 6
23 . diláteo ílio on l ietie de n tiánglo. Lo ietoe de, otn lo ldo de n tiánglo en ', ', eetimente. Demet e, ', ' ' on oílio i ólo i ' Mongoli Fente "Note on enti Homogeneo oodinte" Wong Yn Loi, Págin 6
24 . Peendilidd en diláteo on ieti. En n diláteo oneo D tenemo D 9º. ongmo e D. Demet e l ieti de e eendil D. enel 7 Fente "Note on enti Homogeneo oodinte" Wong Yn Loi, Págin 7
25 . Pnto en inílo on lel e inento. En n tiánglo,, e I inento, M el nto medio de N el nto medio de. L et o lel IM ot en D, l et o lel IN ot en E. L et o I lel DE ot en P. i Q e el ie de l eendil o P en l et I, demet e Q etenee l infeeni init de. hin Fente "Note on enti Homogeneo oodinte" Wong Yn Loi, Págin 7
26 . Pnto imétio on lo edle del inento. e n tiánglo inílo. Denotmo o D E lo nto en lo e e tngente lo ldo, eetimente. Denotmo o D E lo nto de lo ldo, eetimente, tle e D D E E, denotmo o P el nto de inteeión de lo egmento D E. L infeeni ot el egmento D en do nto, el má eno l étie e denot o Q. Demet e Q DP. UMO / Fente enti oodinte fo the Imtient M hindle, En hen Págin 5
27 4. Pnto oílio on medin meditie. e n tiánglo gdo eleno, en M, N P lo nto medio de,, eetimente. L meditie de otn l emiet M en lo nto D E eetimente, e F el nto de ote de l et D E, en el inteio del tiánglo. Demet e lo nto, N, F P eteneen n mim infeeni. UMO 8/ Fente enti oodinte fo the Imtient M hindle, En hen Págin 6
28 5. to ejeiio de tiánglo eetio. Ejeiio. en D, E, F lo nto medio de lo ldo,, del tiánglo, X, Y, Z lo nto medio de l lt dede,,, eetimente. Demot e lo tiánglo XYZ DEF on eetio hll el ento de eeti. Ejeiio. en n tiánglo, DEF el tiánglo eino del nto Q X, Y, Z lo nto medio de l lt del tiánglo. Hll el lg geométio del nto Q e lo tiánglo XYZ DEF en eetio. Ejeiio. en n tiánglo, DEF el tiánglo medil de, X, Y, Z lo nto medio de l ein del nto P. Demot e ieme on eetio lo tiánglo XYZ DEF, hll el ento de eeti. Ejeiio 4. en n tiánglo, DEF el tiánglo eino del nto Q, X, Y, Z lo nto medio de l ein del nto P. Hll el lg geométio del nto P e e lo tiánglo XYZ DEF en eetio. Not El ejeiio e el ejeiio # de ete olmen. Not No e omñn olione de lo ejeiio 4. Fente Fnio J. Gí itán
29 6. Medin eendile. En n tiánglo, l medin oeondiente lo étie on eendile. ll el lo de en fnión de. Fente ntoni enedit en Feook.
30 7. Te egmento igle on n tiánglo eiláteo. e n tiánglo eiláteo, o ldo miden. Tmo l et, e ontiene l, lel o. i PQ=QR=R, iendo PQR n tnel de, on P en, Q en, R en, en, ál e l longitd de? etmen l-t 6 Polem del niel II to de EO Fente Tingloi Polem #889 htt//eonl..e/oo/tingloi/o89.htm Not Ete mimo olem ee eelto on téni intéti omo Polem # en [Po4]
31 olione e ofeen olione omlet todo d no de lo ejeiio. ieme e indi l fente del ennido de l olión. i no e indi l fente, on del to de ete lio, Ged Romo, e on ell no etende ehii ediión no on neeimente l mejoe, ni l má ell, ni l ótim. ego e tú enontá olione ltenti mho mejoe e l mí. L efeeni nméi e een en l demotione o ejemlo 6.. o.5.4 indin tdo del lio de teoí, e e ede deg gtitmente en el enle igiente.toomte.net/iliote/geometiiomti.df. ontimo el ime ddo oemo e eite n homotei entd en e oniete el ddo inito en el ddo ontido etenmente oe el ldo e el ento do l ento del ddo eteno, í e, l et d eá igl l et. L oodend de l tenemo lld e.4.7, hemo lo mimo on lo oto do ddo, oteniendo lo nto L et d on Y et te et on onente, e Fente de l olión enti oodinte in Olmid Geomet M hindle, En hen, Jl, ágin 9.
32 .,,,,,,,,. D, E, F. L lt dede e l et e o tiene omo nto imoio e.7., lego tendá o eión L et tiene o eión, lego nto de ote ' on l lt o eá P ll el nto medio X ente ' limo.. teniendo en ent e ' ',, X L et DX eá nálogmente EY FZ Y l te et on onente e el deteminnte e eo, t et l ime l ot do P hll l oodend del nto de inteeión tommo l do ime eione DX EY
33 E dei, e otn en el nto imedino del tiánglo de efeeni.
34 . N e.5. I e..7 G e..6 Y, efetimente, on nto linedo e el deteminnte e fomn e eo, e F F F L oodend de I mn, l oodend de G mn, lego l onetimo en oodend olt limo.. I,,,, G N,,,, Y lmente G I N, lego G N N I, tl omo eímo e.
35 4. lmente ', '. Lego l et l tendá o eión L lt o e l et e o,, o el nto imoio, lego tendá o eión Y nto de ote D on el ldo eá L et eendil o D á o D o el nto imoio Y nto de ote F on '' eá limo ho l igldde de.4..4.
36 F ho odemo detemin el nto E e EF DE L m de l omonente de F e Lego,, F L m de l omonente de D e, lego,, D,,,, F D E E L et E eá En.4.4 hemo ito e el inento tiene oodend O, lmente etenee l et E, e.
37 5. En oodend iénti O,, G Ret G Pnto imoio de l et G,, Ret OG Pnto imoio de l et OG,, OG G OG G 4 4 4
38 6. emo e,, G e l et eendile tienen omo nto imoio. Lego l et eendil G o eá El nto ' e l inteeión de l et l et nteio Deteminmo ho el imétio '' lindo.. ',, G ' ' G llmo l et '' De l mim fom deteminmo l et '' l et '' Y et te et on onente. En efeto
39 7. lindo.., el nto medio M ente P Q e Q P M Y omomo e O etá en l et RM F F F F De l mim fom, el nto medio N ente P R e R P N Y omomo e O etá en l et QN F F F F í e, O e l inteeión de l medin del tiánglo, o tnto e iento.
40 8. iento inento Otoento O Y nto imoio eá P detemin l Ret de Ele del tiánglo I deteminmo iento otoento. iento de I,,,,,, I,, Po.. o el ejeiio nteio, iento eá I O Otoento de I lt o I eá l et e o I el nto imoio de l eendile
41 lt o eá l et e o,, el nto imoio de l eendile I, e tenemo e detemin Ret I Pnto imoio de l et I Pnto imoio de l et eendile I * * Lego l eión de l lt o eá El otoento eá l inteeión de l lt o I l lt o *
42 imlifindo on d de Mthemti * Y l Ret de Ele del tiánglo I eá De l mim mne e deteminn l et de Ele de lo oto do tiánglo I I Deteminemo el nto de ote de l egnd tee * ** Vemo e ete nto etenee tmién l et de Ele de I
43 d Medinte Mthemti e ome fáilmente e el nto nteio tife l eión de l et de Ele del tiánglo iniil
44 9. El inento tiene oodend iénti I..8 L ieti inten o eá L ieti inten o eá Y eto de delmiento oido eá L ieti eten o eá eendil l ieti inten o, lindo.7.5 tendá omo nto imoio * * Lego eión eá El nto -eento de l infeeni -einit del tiánglo, eá el nto de inteeión de l ieti inten o l ieti eten o L et eendile l ldo del tiánglo tendán omo nto imoio, lego l eendil l ldo o el -eento eá
45 ** ** Y inteeión on el ldo eá Peto e ', ' ', e n dedión diet del teoem de e on oodend iénti.5.
46 . Hemo ito en el olem nteio e I, l eendile l ldo tienen omo nto imoio, lego l eendil o I l ldo tendá o eión lindo l igldde igiente e.4. en l eión de l et Llegmo l eión De l mim mne dedimo l ot do eendile Et te et on onente e el deteminnte de oefiiente e eo F F F F Ete nto de ote lo odemo detemin omo inteeión de l do ime et
47 P ontinión oio de l ágin 47 del domento "Geometí méti oeti en el lno on oodend iénti. lgno tóio" de ngel Montedeo l imlifiión de l eeión de diho nto L ime oodend e Qe e ede one de l fom i e le m et l eeión ed omo o eilentemente L ot do omonente e otienen emtndo ét ílimente. En definiti, el nto enontdo tiene o oodend onoido omo nto de en lifido omo X 4 en ET. Ete nto e el inento del tiánglo eentl.
48 . e ', ' ' lo nto de tngeni ente el tiánglo de efeeni infeeni init. En.. e ome e ' ', ' ' ' ', donde e el emieímeto del tiánglo. Lego, lindo.., ', ' '. Eto te nto e eden eeii de l igiente mne ', ' ' Y o tnto odemo li.5. dedi e on l t del nto P Ete nto e onoido omo el Pnto de Gegonne G e del tiánglo.
49 . Otoento E, on m. inento F, on m. Lego E o.4.5 E F D El nto imoio de l et eendile e, lego l eendil o D l et eá * * Y nto de ote on l et e Lo étie del tiánglo edl oido l nto de Longhm on, o tnto,, e lmente on lo étie del tiánglo eino oido G Not El nto de Longhm tmién e ede eii en fnión de lo ánglo del tiánglo de efeeni de l igiente mne tn tn tn tn tn tn tn tn tn E
50 Pnto de Gegonne G E e olem nteio Inento,, I Pnto de Longhm D Todo e ede demot e el deteminnte de lo te nto e eo ** Lego Y on el mimo onmiento llegmo Y o tnto **
51 . L infeeni init o lo edle ', ' ' del inento I. L et I' e eendil, o lo e tendá omo eión Y nto de ote ' on l et e ' De l mim mne lo oto do edle del inento on ' ' titimo l eión genel de.9. en el nto ' De l mim fom, titendo en ' ', llegmo l item de eione
52 L olione on,, 4 4 Y o tnto, l eión de l infeeni init e
53 4. emo e M, M, M. titimo eto te nto en l eión genel de l infeeni En M En M En M L olión e,,, l eión de l infeeni e o lo nto medio e Vemo e et infeeni ontiene lo ie de l lt del tiánglo L lt o e l et e o el nto imoio de l et eendile,. Y nto de ote on el ldo eá H De l mim fom deteminmo lo oto do ie de l lt d ldo H, H. Efetimente, eto te nto eteneen l infeeni titendo en H Y de l mim fom en H H.
54 Po último, mo e e et infeeni inle tmién lo nto medio ente el otoento d étie. H on m.,, H ' titimo en l eión * Po n ldo Y o oto ldo Lego * on lo oto do nto H ' ' H el onmiento e imil.
55 5. Ánglo on l et ot / ot ot / Ánglo on l et / ot / ot ot / P demot e tjemo on omlementio, de et mne tili l fóml de... H, en el olem #4 llmo lo ie de l lt H, H, H - Ret H H - Ánglo, H H
56 ot - Ret H H - Ánglo, H H ot Y llegmo ot ot
57 6. L ieti o tiene omo eión. El nto D e, o lo tnto, L et e, lego el nto imoio de lel e, o tnto l et DE e Y nto de ote E on el ldo e L et E e L et e, lego el nto imoio de lel e, o tnto l et DF e El nto F de ote on eá L et F e El nto P eá Y, finlmente, l et P e Qe e l imedin o e 9..
58 7. olión intéti Peto e P P P P on eto, án o l infeeni o diámeto e P. Lego P P P P P eto e on ánglo e n el mimo o. 9 9 P P P D P e D el nto de ote ente P P eendil o. Entone D P DP í e, l et D e l iméti de P eeto de l ieti en. olión nlíti i P, el tiánglo edl oido tendá o étie e.7. P P P L et P P e o nto imoio e ed o demot,, h g f h g f Y o lo tnto lo nto imoio de eendile eán
59 g f f h h g h g f h g f E dei, Y o lo tnto, l eendil P P o eá Qe e l onjgd iogonl de P eeto de e 9.. De l mim fom e demet e l ot eendile oiniden on l onjgd iogonle eeti, o lo tnto nto de ote e el onjgdo iogonl de P.
60 8. e n nto P. edle oido on.7. P P P Eto nto etán linedo i ólo i el deteminnte e fomn e nl * * Qe e l eión de l infeeni init, tl omo eímo e.
61 9. olión intéti. Tmo el inento O edle oido ', ' ' e eán lo nto medio de lo ldo,, eetimente. L et t o e tngente l infeeni init, lego e eendil l dio O. Lego l et tmién e eendil l dio O. e F nto de ote on O. Tenemo e ' O, e l e O ióele, l mediti de e tmién ieti de O, o tnto ' O O, o oto ldo O o e el ánglo entl e mimo o de infeeni. Lo nto ' F eteneen l infeeni de diámeto OD, e fomn ánglo eto on el egmento OD..4. Lego el diláteo OFD' e ílio, o tnto ánglo oeto on lementio.5. ' OF ' DF 8 Peto e ' OF ' O llegmo ' DF 8, de l mim fom tmién llegmo ' EF 8, on lo e, o.5.5 e demet e DE e ílio. olión nlíti. titendo,, en.. dedimo e l et e o tngente l infeeni init tiene o eión Y o tnto nto imoio e l finl de l olión e he n deteminión diet de ete nto Lego l et tendá o eión
62 Y nto de ote E on el ldo eá Deteminmo l eión de l infeeni e o, D P o,, P o,, P o,, D L eión de l infeeni e o, D e, o tnto, Y el nto E etenee et infeeni Not Deteminión diet del nto imoio de l et tngente El inento de e O, lego l et O e
63 nto imoio e h g f Y lindo.7.5 el nto imoio de eendil eá g f f h h g h g Y de l mim fom f h Y tmién g f E dei
64 . I Ret I I ' Ret I I ' Ret I I ' L eión de n infeeni e de l fom P o, lego... P o ', lego... P o ', lego... Finlmente, tmién o ', lego e tiene e mli Qe e l identidd e ee en el ennido. P e el eíoo, t tom l eión de l infeeni on lo loe, e hemo dedido omo e efetimente l eión e tife '.
65 . e M el nto medio del ldo. El nto D eá el nto imétio de M eeto de l mediti de, e dei, l inteeión ente l mediti de l et lel o M. Fijmo omo tiánglo de efeeni. El nto medio del ldo eá M. L mediti del ldo tiene o eión e.7. El ldo tiene o eión. eto de delmiento e,,, lego l et lel o M eá Y el nto E de ote ente m et eá E El nto D imétio de M eeto de E eá M E M M E D L et D eá on nto imoio
66 L et D eá on nto imoio Peto e D D e dee mli 4 Lego o ien, eo el ánglo e oto e i on gdo, entone 9 DM, eo 9 D DM, lego o tnto, en oneeni tenemo e. L ieti inten o eá l et e o el nto,, el inento I limo.8.4 omo e et et on eendile
67 .,,,,,,,,, N, M I. L et NI e nto imoio e L et lel NI o e Et et otá l et on eión en el nto E E L et MI e nto imoio e L et lel MI o e Y nto de ote on l et on eión en el nto D D L et DE tiene o eión
68 nto imoio e L et lel DE o I eá Y nto de ote P on el ldo eá L et I tiene o eión
69 Y nto imoio e L et eendile I tendán o nto imoio.7.5 * * Lego l eendil I o P eá Y nto de ote Q on l et I eá Q ólo ed omo e el nto Q etenee l infeeni init de, eión e e.9. Efetimente, Oeión Q e el nto medio del o.
70 .,,,,,, I. El nto D e el edl del inento en el ldo, oodend tein e llon en el ejeiio #, D, l olemo detemin í L et tiene o eión, o lo tnto nto imoio e. L et eendile tendán nto imoio Lego l et D I eá Y el nto D eá inteeión on el ldo D Y de l mim fom tenemo E. El nto D eá el nto imétio de D eeto del nto medio M del ldo, M. D M D M D M D
71 De l mim fom, el nto E eá el nto imétio de E eeto del nto medio N del ldo N E N E E N E Deteminmo l et D Deteminmo l et E Y el nto P de ote ente m Deteminmo el nto medio R de D,, D,, D R Y el nto ' P, imétio de P eeto de R P R P R
72 P' R P Medinte Mthemti omomo e el nto P' etenee l infeeni init del tiánglo, eión e e.9. on ete gmento hemo detemindo n nto P ' e etenee D l infeeni init, tl e P' PD. Peo no edí demot e diho nto P ' e el má eno. Un onmiento mho má elegnte e el e ee en el domento de M hindle En hen, el e e e oe e I e el nto medio de D P ' D P ' P' I D D on lo l demotmo e el nto P ' etenee l infeeni init del tiánglo, eto e D P ' etán en ldo oeto eeto de l ieti I, eto e D D etán en el mimo ldo, dedimo e P ' e el nto de ote má eno, e dei Q P', tl omo eímo e. Fente de l olión enti oodinte fo the Imtient M hindle, En hen Págin 5
73 4. L medin M tiene o eión e 9.. L mediti de tiene o eión e.7. Po lo tnto el nto D eá D L et D tendá o eión L mediti de tiene o eión e.7. Po lo tnto el nto E eá E L et E tendá o eión El nto F de inteeión ente D E eá F
74 Deteminmo l infeeni e o, P N P o,, P o P P o N L eión e, e ólo no ed omo e el nto F etenee et infeeni F Not en "enti oodinte fo the Imtient M hindle, En hen" e ige n onmiento ltentio inteente.
75 5. Ejeiio. E el ejeiio # de ete olmen. Ejeiio. El tiánglo medil tiene o oodend ', ', ' e n nto P,,. Po.5. tiánglo eil oido tiene o étie P, P, P / El nto medio P del egmento,, P P e / P P / / Y de l mim fom P L et e / ' P L et e / ' P P
76 L et / ' P e Y et te et on onente, e deteminnte e nl P enont nto de ote deteminmo el nto de ote de l do ime Q
77 6. e N el nto medio de M el nto medio de. L et M tiene o eión o tnto eto de delmiento e,,. L e N tiene o eión o tnto eto de delmiento e,,. limo.8.d 5 5 N M
78 7.,,,,,,,. L et tiene eión, o lo e el nto eá,,. El eto de tlión de l et e Lego l et, lel o, tendá o eión Lego el nto P eá de l fom,, P. L et P tiene omo eión El nto Q tendá o oodend El nto R tendá o oodend Po oto ldo, tmién odemo ll lo nto Q R e diiden el egmento P en one P Q P R Lego tenemo l igldde de nto Qe e eelen on. Lego 4,, Po ontión, o tnto 9, llmo l ditni ente, 9 9 4/ /, d d
79
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G F F G 2.008 2.009 2.010 2.011 G G G G Y J F 6 F F 6.698.167 0 30.000.000 36.698.167 6.999.585 31.350.000 38.349.585 7.314.566 0 32.760.750 40.075.316 7.643.721 0 34.234.984 41.878.705 157.001.772 H 0