CONGRESO ANUAL DE LA AMCA 2004 CONTROLADOR LQG EXPERIMENTAL DE PROPÓSITO DIDÁCTICO

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1 CONROLADOR LQG EXPERIMENAL DE PROPÓSIO DIDÁCICO M. en I. Ricaro Garibay Jiménez, Ing. Roberto Iniestra González Departamento e Ingeniería e Control, Faculta e Ingeniería, UNAM Fa: ; rgaribay@servior.unam.m Resumen. El objetivo e este trabajo consiste en presentar el esarrollo y aplicación e un controlaor igital e enfoque iáctico, programao en C++, que facilita la eperimentación sobre el esquema e control óptimo gaussiano que se estuia en los cursos e control lineal. El sistema pretene apoyar el trabajo eperimental e los estuiantes e licenciatura, para aplicar el control LQG en procesos lineales e hasta 5º oren y asimilar, e forma más profuna y efectiva, las características e este algoritmo, sus criterios e iseño y el proceimiento para lograr el mejor esempeño. El sistema ha sio aplicao a iversos procesos físicos, e one se reportan los resultaos el control e una planta lineal e tercer oren. Abstract. he aim of this job is to present the evelopment an use of a iactic igital controller, programme in C++, focuse to support the practice on the linear quaratic Gaussian (LQG) scheme, stuie in the unergrauate linear control courses an laboratories. he evelope controller allows the stuents to practice LQG control on several types of one input-one output linear plants, up to 5 th orer, thus improving their nowlege on the algorithm characteristics, esign criteria an the proceure to get better performance. he system has been prove on several bench type physical processes, an the eperimental results of a 3r orer plant control are reporte. El sistema iáctico, basao en una PC 486, satisface la necesia e realizar prácticas y eperimentos e sistemas e control igital. A partir e su estructura e programación orientaa a objetos (POO), el software coificao en C++, se puee aplicar a procesos continuos, a través e una tarjeta e aquisición e atos PCL-82, con un rango e (- 0,0) volts para los canales A/D y D/A. El sistema puee controlar procesos lineales e hasta 5º oren, con estimación el estao y permite la actualización en línea e los parámetros el controlaor, el observaor y el valor e referencia. El espliegue e variables incluye la señal e control, la salia e la planta, la estimación e la salia y el error e estimación, esplegano gráficas comparativas e estas señales en forma e barras y contra el tiempo. En la Figura se muestra urante las pruebas en las que se aplican señales e ruio blanco a la entraa el proceso y en la meición e la salia. I. Motivación Durante el aprenizaje e la teoría básica e control, frecuentemente se consiera el caso ieal en el que la planta no está sujeta a perturbaciones internas o eternas al sistema. A partir e los conceptos básicos se formulan esquemas y moelos matemáticos más elaboraos que incluyen perturbaciones eternas e incertiumbres e moelao e tipo paramétrico y/o estructural. Por otra parte, en las aplicaciones reales los procesos a controlar frecuentemente son afectaos por perturbaciones, a iferencia e aquellos que conocemos en la teoría básica. Por estas razones, la eperimentación completa en el área e control requiere e sistemas iácticos que permitan verificar la operación y esempeño e los algoritmos y esquemas e control que incluyen perturbaciones eternas, tal como ocurre en el algoritmo e control lineal óptimo gaussiano LQG. Figura. Aplicación el controlaor igital LQG A continuación se escriben los algoritmos que se han programao, enunciaos para que los alumnos o usuarios finales encuentren accesible su aplicación. II. Algoritmo e control igital óptimo cuarático (DLQR) El sistema permite el control e procesos continuos, a partir e la escripción iscreta el proceso en variables e estao e oren n<6, e una entraa-una salia con estimación completa el estao. ISBN:

2 y + = A = C + B u () one es el vector e estao, u y y son las variables e entraa y salia, y los términos A, B y C son las matrices e estao, e entraa y salia, respectivamente. El algoritmo DLQR [] asegura que el proceso transite establemente el estao 0 a N, en N pasos, al aplicarse la secuencia e control óptima u que se obtiene minimizano el ínice e costo El controlaor incluye la matriz e control K e acuero con la estructura e la Figura 2 y puee seguir los cambios e referencia r. En este esquema e seguimiento, la matriz N amplia al estao los cambios e referencia y el término e ganancia i > 0 se incluye para generar un integraor en la trayectoria irecta; si la planta contiene valores propios nulos, es ecir, es e tipo o mayor, ebe introucirse = 0. i N = 0 J = u Ru (2) + Q+ + one las matrices Q y R son simétricas positivas semiefinias: Q = Q 0 y R = R 0. Estas matrices e iseño poneran la importancia relativa el esfuerzo e control y el estao. El ínice se epresa en forma cuarática con un valor mínimo garantizao, en términos el esfuerzo e control u y el estao como esviación e la conición e equilibrio. La teoría e control óptimo [] establece que si el horizonte e la solución puee ampliarse a un número inefinio e pasos, es ecir, si N, las matrices e control y e Riccati convergen a una forma cerraa ( B ) P B + R B P A Q + A P[ I B ( B PB + R) B P ] A K = (3) P = (4) De las ecuaciones anteriores se calcula el controlaor DLQR, a partir el moelo e la planta () y las matrices e iseño Q y R; el algoritmo e cálculo e las matrices se escribe por la siguiente secuencia. INICIO P matriz ientia REPEIR K = [ B P B + R] B P A PI = P P = A PI ( A B K ) + Q a = ma if ( PI, P) HASA K = [ B FIN QUE a ε P B + R] B P A Figura 2. Estructura el control III. Algoritmo el filtro e Kalman (FK). Una vez que se abora la necesia e controlar sistemas en los cuales eiste ruio, se aboran coniciones aleatorias, que an a los sistemas fluctuaciones fortuitas en los valores e las señales e entraa y e salia, lo cual hacen imposible preecir con certeza los valores e ichas señales. Cuano en un sistema se presentan señales con ruio, es necesario obtener, a partir e la información que contengan las mismas, estimaciones el estao el sistema. Estas estimaciones se pueen obtener por meio el filtro e Kalman, el cual, basa su caracterización en el conocimiento estaístico inferio el ruio presente en las señales. Consierano en el moelo e la planta () y la presencia e ruio en su entraa y salia, la representación quea z + + = A = C + + Bu + v + + Γw (5) En one w es el vector e señales e ruio eterno al proceso a la entraa el mismo, y a la salia se asume el vector v e ruio e meición. Debio a que pueen eistir varias señales e istorsión que conformen w será necesario la efinición e una ISBN:

3 matriz Γ para lograr el acoplamiento e icha istorsión en el sistema. Se asume que al estar solo isponibles la entraa y salia el sistema se trata e obtener, e la manera más precisa, el valor estimao e la variable e estao ˆ para ser usao en la retroalimentación, para lo cual se efine el estimao el estao como análisis. El primer paso para obtener los valores aecuaos e la matriz L es efinir el error e estimación e estao y su matriz e covarianza. ~ () + = + ˆ + + ~ ~ P = E ] = cov( ~ ) (2) [ ˆ = A + B u (6) + / ˆ / one ˆ + / enota el estimao el vector e estao en el instante + a partir e la información en el instante anterior. De (7) se epresa la preicción e la meición e la salia. z ˆ + = C ˆ + = C ( A ˆ + Bu ) (7) Ya que el valor e z + es meible en el intervalo e tiempo ~ (+), se efine el error e preicción como z + = z + zˆ. Este error se trauce en una mejora + para el estimaor e estaos, ya que se agrega parte e este error en caa elemento el vector e estao, tratano e llevar icho error hacia cero. ˆ + + = + + L~ ˆ z + (8) y utilizano la ecuación el estimaor e estao (6), se tiene ˆ + + = A + Bu + L~ ˆ z+ (9) Done la matriz L etermina la istribución el error e preicción e los estaos, que usualmente se conoce como la matriz e ganancia e Kalman. Finalmente sustituyeno z~ + y ẑ + en la ecuación (9) se tiene: ˆ + + = [ I LC][ A ˆ + B u ] + Lz + (0) Esta ecuación representa un estimaor recursivo, en el cual el valor el nuevo estao esperao ˆ + + epene el siguiente valor e la salia z +, el estimao anterior e ˆ y la entraa previa u, e acuero con el esquema e la Figura 3. En el esquema mostrao las señales e ruio, la señal z y los estimaos, son consieraos como variables aleatorias, por lo cual la matriz e ganancia e Kalman L es e especial importancia en este Figura 3. Estructura el filtro e Kalman La necesia e introucir estos os términos se ebe a que el filtro e Kalman es un estimaor e varianza mínima el error e estimación. En otras palabras se esea minimizar la matriz P. Sustituyeno en () las ecuaciones (5) y (0) se obtiene ~ ~ ] (3) + = [ I LC][ Φ ] + [ I LC Γw Lv + En la ecuación anterior se observa que el error e estimación e estao epene e las señales e perturbación, por lo cual es necesario consierar sus características importantes, ao que se asume que los vectores que representan el ruio tienen valor esperao nulo, para toa. Aemás e que al representar ruio el tipo blanco y estacionario, sus propieaes estaísticas son constantes con el tiempo, lo cual permite que las covarianzas el ruio se efinan como E w w W E [ v v = V (4) [ ] = toa y ] toa las cuales son matrices simétricas. Aemás si las señales e ruio en el vector w no están correlacionaas, entonces W es iagonal, lo mismo se puee afirmar acerca e v y V. Con base en el error e estimación e estao (3), se epresa su valor ISBN:

4 esperao o covarianza en el tiempo +, e acuero con (4). P + = [ I LC ] P [ I LC ] + LVL (5) one P es la matriz e covarianza minimizaa en el paso y esta aa por P = A P A + ΓWΓ. La ecuación (5) es la ecuación matricial e Riccati, para el Filtro e Kalman, misma que se ebe ser minimizaa en función e L, e one se obtienen los siguientes resultaos óptimos, consierano un número inefinio e pasos, N, con lo que las ecuaciones mmatriciales convergen a una forma cerraa. [ C P C + V (6a) L = P C ] P = A P A + ΓWΓ (6b) transuctor, a éste se le porá elevar al cuarao para obtener la varianza la cual será el elemento aecuao e V. 4. Para la asignación e los valores e W y V se ebe tener en consieración que si los elementos e W ecrecen en magnitu, o los elementos e V la incrementan, implica que habrá relativamente más ruio en las señales meias (salias el sistema) que en los estaos. El filtro e Kalman asume que los estaos estimaos generaos por el filtro, son relativamente más fieignos que las meiciones hechas a las salias e la planta, y por tanto, reuce las magnitues e los elementos e la matriz e ganancia. En el caso contrario, los elementos e la matriz e ganancia e Kalman se incrementan. En toos los casos, la matriz P e covarianzas e error estimao ebería ser simétrica, y en general elementos pequeños en P inican que el filtro e Kalman aceptará como fieignos los estimaos, para elementos granes sucee lo contrario. P = [ I L C ] P (6c) IV. Aplicación el controlaor P 0 = cov( 0 ) (6) Se observa que la matriz e ganancia e Kalman L es calculaa con base en las covarianzas el error e estimación e estao previo, e los atos estaísticos el ruio y e minimizar la matriz e covarianza e la siguiente estimación. Criterios e aplicación el filtro e Kalman.. El filtro e Kalman no evalúa las características e la planta y el ruio e meición, por tanto, la única información que tiene el filtro acerca e las señales con ruio esta contenia en las matrices W y V, las cuales eben ser especificaas. Estas matrices en conjunto con la matriz Γ eterminan el cálculo e la matriz e ganancia L y la e covarianza el error e estao estimao. La efectivia el filtro epene en primera instancia e los valores e las matrices W y V. 2. Debio a que en sistemas lineales los valores e la matriz L convergen hacia valores constantes, se puee aplicar la forma estacionaria el filtro e Kalman, lo cual simplifica consierablemente el cómputo el algoritmo. 3. La matriz e covarianza para el ruio e meición V puee ser estimaa gracias al buen conocimiento e la planta. Si las señales e ruio en varias meiciones resultan no correlacionaas, V será iagonal. Si un nivel e ruio r.m.s. está afectano al Es recomenable que la eperimentación se lleve a cabo en un enfoque comparativo, estacano las características esperaas para caa selección e las matrices o elementos e iseño. Es importante resaltar los aspectos en one el iseñaor tiene ecisión para mejorar le esempeño e lazo cerrao. Para que el estuiante concentre su esfuerzo en la comprensión e los algoritmos y el iseño e la solución, el controlaor proporciona los elementos e harware y software y con base en su interfaz e características iácticas, facilitano las etapas e aplicación, eperimentación y asimilación. La interfaz gráfica el sistema incluye el espliegue e las señales e control u, la salia e la planta y, la estimación e la salia ŷ y el error e estimación y~, presentano gráficas e estas señales en forma e barras y contra el tiempo. Aplicación el controlaor en el enfoque e control óptimo DLQR. Este esquema se aplicó en una planta controlable y observable e tercer oren, tipo, e una entraa y una salia, cuyo moelo iscreto se epresa para un períoo e muestreo = 0. seg A = 0 0, B = ISBN:

5 [ ] 3 C = (7) La efinición e las matrices e poneración se obtuvo e un proceso e ensayos en simulación, para un comportamiento inámico aproimao por un tiempo e levantamiento t r = 2.2 seg. 0 0 Q = 0 0, R = 50 (8) 0 0 A partir e estas matrices se emplearon las ecuaciones (3) y (4) para eterminar la matriz e control óptimo K. La matriz N se calculó e acuero con la propuesta en [2]. K = [ ] (9) Figura 4. Control DLQR e una planta tipo N = [ ] (20) Se tomó como caso e referencia, el iseño el observaor por el métoo e ubicación e polos, e tal forma que, la rapiez e la estimación sea mayor que la inámica e malla cerraa, especificano los polos el observaor en los valores: q,2,3 = -5. La matriz L, se calculó por meio e la fórmula e Acermann. L = [ ] (2) El resultao e la prueba se muestra en la figura 4, en la cual, la gráfica e color rojo, correspone a la respuesta el sistema ante un cambio el valor e referencia r = 4 y a la aplicación e una carga p = 4. La traza e color amarillo correspone a la señal e control. Aplicación el controlaor LQG. Con base en los eperimentos anteriores, se proceió a introucir las señales e ruio a la entraa y en la salia e la planta, por meio e generaores como se muestra en la Figura 5. Por tratarse e un proceso e una entraa y una salia, las señales e ruio son efinias por escalares, w=0. y v=0.5 volts rms, lo que etermina que las matrices e covarianza sean también escalares W = 0.0 y V = 0. 25, con Γ = B e acuero con la forma e coneión e la perturbación a la entraa. Con base en este eperimento se obtuvo que con la matriz el observaor aa por la ecuación (20), al aplicar las señales e ruio se egraó consierablemente el esempeño e malla cerraa, periénose el seguimiento e los cambios e la referencia. Figura 5. Coneión e las señales e ruio en la planta Para probar y la aplicación el filtro, e acuero con la ecuación (6) se calculó la matriz e ganancia e Kalman L = con = 0 (22) 0 Por el principio e separación, los iseños e la matrices e control K y e ganancia e Kalman L son inepenientes, por lo cual se proceió a mantener la matriz K (9), el eperimento inicial y sustituir la matriz el observaor calculaa por la fórmula e Acermann, por la matriz e Kalman (22), e one se obtuvieron los resultaos que se muestran en la Figura 6, para un cambio e referencia r = 4. Se observa que la señal e salia sigue los cambios e ISBN:

6 referencia, aunque con pequeñas variaciones causaas por el ruio, principalmente el que afecta a la salia. Cuano se presentan perturbaciones estocásticas en el proceso, se plantea la solución e control Lineal Cuarático Gaussiano, one la estimación el estao la realiza un estimaor óptimo que minimiza la varianza el error e estimación P. Al aplicar la teoría e filtrao e Kalman se observa que el control el proceso se logró aún cuano las señales e entraa y salia se vieron afectaas por las perturbaciones. Se comprobaron las ventajas que brinan los controlaores basaos en PC para apoyar la enseñanza e la teoría e control, realizar prácticas sencillas y iácticas, y evaluar el esempeño e los esquemas e control que se proponen. Figura 6. Graficas e control LQG para un cambio e referencia r = 4 En la Figura 7 se muestra la respuesta el sistema para un cambio e referencia = 4 r. Figura 7. Graficas e control LQG para un cambio e referencia r = 4 V. Conclusiones Con base en el presente trabajo se hace accesible a los alumnos e licenciatura la aplicación práctica e los algoritmos e control igital DLQR y LQG en procesos físicos eperimentales. En el métoo e control óptimo se formula un proceimiento que tiene como fin la minimización e un criterio e costo, el cual es una función cuarática e los estaos y e las señales e control ( J ). La solución estacionaria el esquema LQ para sistemas invariantes en el tiempo lleva a una ley e control sencilla y fácil e aplicar por la interfaz e operación el sistema. Es importante señalar que toos los algoritmos fueron suficientemente probaos, logránose esempeños apegaos a los que se plantearon teóricamente y muy similares a los obtenios en las simulaciones corresponientes. Referencias [] Iserman, R. Digital Control Systems, vol, 2 n e. Springer-Verlag, Berlín (989). [2] Franlin, G. F., Powell, J. D. Digital Control of Dynamic Systems, 2 n e. Aison-Wesley, New Yor (990). [3] Ogata, K. Ingeniería e Control Moerna, 3ª e. Prentice-Hall Hispanoamericana, Méico (990). [4] Ogata K. Discrete time control systems. Seguna eición. Eitorial Prentice Hall, 998. [5] Astrom, K. J., Wittenmar, B. Computer Controlle Systems: heory an Design Prentice-Hall, Englewoo Cliffs N.J. (984). [6] Dutton Ken, hompson S., Barraclough Bill, he art of control engineering.. Eitorial Aison Wesley, Englan. (997). [7] Ollero, A. Control por Computaora, Eiciones Alfaomega, Méico, D. F. (992). [8] Rosas, A. Paquete e controlaores igitales meiante POO, esis profesional, Faculta e Ingeniería, UNAM, 994. [9] Meellín, J. L., Roríguez, Ofelia. Diseño y aplicación el esquema DLQR en una planta eperimental, esis profesional, Faculta e Ingeniería, UNAM, [0] Iniestra, R., Roríguez, V, Ruiz, H. Control optimo LQG e una planta eperimental tipo, esis profesional, Faculta e Ingeniería, UNAM, ISBN: