Tema 6: Campo magnético

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1 1/65 Tema 6: Campo Magnético Fátima Masot Conde Ing. Industrial 2007/08 Tema 6: Campo Magnético 2/65 Índice: 1. Introducción. 2. Fuerza ejercida por un campo magnético. 3. Líneas de campo magnético y flujo magnético. 4. Ley de Gauss del campo magnético. 5. Cargas en movimiento dentro de un campo magnético. 5.1 Aplicaciones: Selector de velocidad. Relación carga-masa (Expto. Thomson). Espectrómetro de masas. Ciclotrón. 6. Fuerza magnética sobre un conductor que transporta una corriente. 7. Fuerza y momento magnético sobre una espira de corriente. Momento dipolar magnético. 8. Fuentes del campo magnético. 8.1 Campo que crea una carga puntual en movimiento. 8.2 Campo que crea un elemento de corriente. 9. Fuerza entre conductores paralelos. Definición de Amperio. 10. Ley de Ampère Limitaciones de la Ley de Ampère.

2 Introducción 3/65 Utilidades técnicas: Sistemas mecánicos para manejo de industria pesada, motores, altavoces, sistemas de enfriamiento Algo de de historia: Brújula: China, s. XIII a.c. Magnetita (Fe 3 O 4 ). Grecia. 800 a.c. Introducción 4/65 Año Año Pierre de de Maricourt Descubrimiento de de polos N y S de de un un imán. Año Año W. W. Gilbert. Descubrimiento de de la la Tierra como imán natural. Año Año J. J. Mitchell Descubrimiento de de la la la la ley ley del del cuadrado inverso para para las las fuerzas magnéticas. Descubrimiento de de la la inseparabilidad de de los los polos.

3 5/65 Introducción Descubrimiento de la relación del magnetismo con la electricidad Año Año Oersted Descubre cómo variaciones en en una una corriente eléctrica afectan a una una brújula (produce un un campo magnético). Año Año 1800 Ampère Deduce las las leyes leyes de de las las fuerzas magnéticas entre conductores, y la la interpretación microscópica del del origen del del magnetismo. Año Año 1850 Faraday-Henry Descubren cómo se se produce una una corriente eléctrica por por el el movimiento de de un un imán (produce un un campo eléctrico). 6/65 Introducción Maxwell: Unificación total de la teoría del electromagnetismo Leyes de Maxwell

4 Fuerza magnética - Campo magnético 7/65 carga en reposo o en movimiento q Comparemos el campo eléctrico y el campo magnético: Una carga eléctrica, en reposo o en movimiento, genera un campo eléctrico en su entorno y q o carga en reposo o en movimiento q o E Fuerza debida al campo eléctrico Ese campo eléctrico ejerce una fuerza ~F e = q E ~ sobre cualquier carga, en reposo o en movimiento, que esté dentro del campo 8/65 Fuerza magnética En cambio, el campo magnético: Es generado sólo por cargas en movimiento y Actúa sólo sobre cargas en movimiento Cómo es esa fuerza magnética?

5 Fuerza magnética 9/65 Si tenemos una carga q, en movimiento dentro de un campo magnético (por ejemplo, en las proximidades de un imán), experimentalmente vemos que: Llamamos B al campo magnético B v La fuerza magnética es proporcional a la carga q de la partícula (con su signo) La fuerza magnética es proporcional a la velocidad v de la partícula Su módulo y dirección dependen de la dirección relativa entre la velocidad v y el campo magnético B, observándose que: 10/65 Fuerza magnética La fuerza magnética es siempre perpendicular al plano que forman v y B (su sentido, dado por la regla de la mano derecha) Su módulo es proporcional al seno del ángulo que forman v y B. (senφ) Si la partícula se mueve paralela al campo, la fuerza magnética es cero. Sobre una carga positiva, es opuesta a la que experimenta una carga negativa en las mismas condiciones de movimiento.

6 11/65 Fuerza magnética Todo esto se puede resumir matemáticamente: carga de la partícula ~F B = q (~v B) campo magnético fuerza magnética sobre la carga Módulo: Dirección: velocidad de la partícula ~ F B = q vb sen θ Regla de la mano derecha 12/65 Diferencias entre el campo eléctrico y el campo magnético Eléctrico Magnético ~F e ~ E ~F B ~ B F e actúa sobre una carga SIEMPRE (esté en reposo o mov.) Fe realiza trabajo al desplazar la carga F B actúa sobre una carga sólo si está en movimiento F B NO realiza trabajo (porque es a la trayectoria) ~F B d~s =( ~ F B ~v)dt =0 La La energía energía cinética cinética de de la la carga carga no no se se ve ve alterada alteradapor por un un campo campo magnético magnético constante constante

7 Líneas de campo magnético y flujo magnético 13/65 Igual que en el campo eléctrico, el campo magnético también se puede representar por líneas de campo. se trazan en cualquier punto, de modo que la línea sea tangente al vector campo en dicho punto. Ocupan todo el espacio (aunque sólo se pinten algunas) 14/65 Líneas de campo magnético y flujo magnético Alta densidad de líneas: Campo magnético intenso Baja densidad de líneas: Campo magnético débil Las líneas se cierran sobre sí mismas y nunca se cruzan

8 15/65 Líneas de campo magnético y flujo magnético Flujo eléctrico Flujo magnético I I φ e = ~E d~s φ B = ~B d~s S S Unidades: [φ B ]=[B][s] Tesla m 2 N m A Wb='Weber' 16/65 Líneas de campo magnético y flujo magnético Casos especiales ~B Si la superficie es PLANA y B es UNIFORME: A φ B = B A = BAcos φ Si B y A son perpendiculares (B perpendicular a la superficie) (cos φ =1) φ B = B A

9 17/65 Líneas de campo magnético y flujo magnético En ese caso: ( ~ B ~ A) dφ B B da ~B B = dφ B da B=flujo por unidad de área perpendicular al campo A De ahí su nombre alternativo: B=''densidad de flujo magnético'' Ley de Gauss para ~B 18/65 Ley de Gauss para E ~ Ley de Gauss para B ~ I ~E d~s = q I ~B d~s =0 ε 0 S S La La carga magnética neta neta dentro de de cualquier superficie es es nula. El El flujo flujo a través de de cualquier superficie cerrada es es nulo nulo Esto Esto es es así asídebido a que que no no existe la la 'carga magnética' como tal, tal, de de forma aislada. Monopolo magnético

10 19/65 Ley de Gauss para B De ahí surge una diferencia entre las líneas de campo eléctrico y las de campo magnético: Las líneas de campo eléctrico comienzan y terminan en cargas eléctricas (fuentes o sumideros) Las líneas de campo magnético nunca tienen extremos (un principio o un fin). Se cierran sobre sí mismas formando espiras cerradas. Cuando parecen surgir de un norte y terminar en un sur, en realidad continúan por dentro del imán. Dipolo eléctrico Dipolo magnético 20/65 Cargas en movimiento dentro de un campo magnético Si B es uniforme fig sears Partícula que que se se mueve en en el el seno seno de de un un equipo magnético perpendicular. Sea una partícula que entra perpendicular a un campo uniforme. La fuerza sobre ella: ~F B = q(~v ~ B) Como F B es a v, no altera el módulo de v, (sólo su dirección), y la E K de la partícula no cambia.

11 21/65 Cargas en movimiento dentro de un campo magnético Si ~v ~ B Actúa como fuerza centrípeta ~F B = q vb = m v2 R fig sears R = mv q B p=cantidad de movimiento Movimiento circular circular de de una una carga carga en en un un campo campo uniforme perpendicular Radio de la trayectoria circular 22/65 Cargas en movimiento dentro de un campo magnético La frecuencia angular: ω = v R = v q B mv = q B m 'frecuencia de ciclotrón' Es independiente de v y de R Aplicación: CICLOTRÓN La frecuencia lineal y el período: f = ω 2π T = 1 f

12 23/65 Cargas en movimiento dentro de un campo magnético Si ~v 6 ~ B La componente de v paralela a B permanece constante. La componente perpendicular sufre la misma desviación que en el caso anterior. Resultado Movimiento helicoidal de de la la carga en en un un campo uniforme no no perpendicular Movimiento helicoidal Radio de la hélice: R = mv q B 24/65 Cargas en movimiento dentro de un campo magnético Si ~ B no es uniforme Aplicación: Confinamiento magnético (Botella de Leyden) 22.7 SEARS Confinamiento de plasmas calientes Cinturones de radiación de Van Allen debido al campo terrestre

13 25/65 Cargas en movimiento dentro de un campo magnético Cinturones de Van Allen 26/65 Aplicaciones del movimiento de partículas cargadas en campos magnéticos Selector de velocidad Sirve para seleccionar partículas de un haz con una velocidad determinada. Una haz de partículas, de carga q y masa m entra en una región de campo eléctrico y magnético perpendiculares. Las partículas que no se desvían son aquellas que cumplen: v = E B

14 27/65 Aplicaciones del movimiento de partículas cargadas en campos magnéticos Relación carga-masa (Experimento de Thomson) Básicamente consiste en un acelerador y un selector de velocidad. En el acelerador, E p = ev r 2eV v = m En el selector, las partículas que no se desvían, cumplen: E B = r 2eV m E K = 1 2 mv2 e m = E2 2VB 2 magnitudes fácilmente medibles 28/65 Aplicaciones del movimiento de partículas cargadas en campos magnéticos Esa relación no depende del material del tubo, ni de ningún otro aspecto del experimento e m = C/kg Esta independencia demuestra que esas partículas son un componente común de la materia (electrones) A Thomson se le atribuye su descubrimiento Con este experimento no se puede medir la carga o la masa por separado, sólo su relación. Millikan, más adelante, consiguió medir la carga, con lo que el valor de la masa del electrón quedó determinada en m = kg

15 29/65 Aplicaciones del movimiento de partículas cargadas en campos magnéticos Espectrómetro de masas Extensión del experimento de Thomson a medidas de masas atómicas, moleculares, iónicas... Consta de: Un selector de velocidades o un acelerador Una región de campo magnético La relación carga-masa de la partícula se determina midiendo el radio de la trayectoria, que impresiona la partícula en una placa fotográfica. 30/65 Aplicaciones del movimiento de partículas cargadas en campos magnéticos Para el selector de velocidades: v = E B Para el acelerador: 1 2 mv2 = qv velocidad v = voltaje r 2qV m En cualquier caso, el radio de la trayectoria verifica: R = mv qb q m = v RB

16 31/65 Aplicaciones del movimiento de partículas cargadas en campos magnéticos Ciclotrón: Es un acelerador de partículas Utiliza/se basa en el hecho de que la frecuencia ciclotrónica no depende de la velocidad (de la partícula) La partícula sufre sucesivas aceleraciones en la región de campo eléctrico, cuya polaridad se invierte alternada y precisamente gracias a la frecuencia de ciclotrón. 32/65 Fuerza magnética sobre un conductor que transporta una corriente: Partiendo de la fuerza magnética sobre una carga individual: ~F B = q(~v B) ~ à d ~F B = q ~! l dt B ~ La fuerza sobre cada elemento de carga dq del chorro de carga: d ~ F B =dq à d ~ l dt ~ B!

17 33/65 Fuerza magnética sobre un conductor que transporta una corriente: d ~ F B =dq d ~ F B = I Ã elemento de longitud recorrido por la carga a lo largo del cable d ~ l dt ~ B! intensidad de corriente I ³ d ~ l ~ B Si el alambre es recto y B es uniforme: Z Z ~F B = d F ~ ³ B = I d ~ l B ~ = I ~ l B ~ cable cable longitud del segmento de cable recto 34/65 Fuerza magnética sobre una espira rectangular: Si tenemos una espira rectangular de lados a y b dentro de un campo magnético B La fuerza sobre los lados a: (perpendiculares al campo) Dirección: Módulo: ±x F = IaB Par de fuerzas τ

18 35/65 Fuerza magnética sobre una espira rectangular: El momento del par (módulo): ~τ = 2X ~r i F ~ =2(IBa)senφ b i 2 i=1 Dirección: +y (la espira gira en torno al eje y) F ángulo que forman ~r y ~F prod. vectorial La La fuerza neta sobre una espira de de corriente inmersa en en un un campo magnético uniforme es es cero, aunque no no lo lo es es el el momento (par) de de giro. r 36/65 Fuerza magnética sobre una espira rectangular: La fuerza sobre los lados b (oblicuos al campo): Dirección: Módulo: ±y ³ π φ F = IbBsen 2 ángulo que forman b y B Esta pareja de de fuerzas se se contrarrestan. No producen un un par porque actúan (están aplicadas) a lo lo largo de de un un mismo eje eje (y) y contrarias. Su Su único efecto sería deformar la la espira, si si fuera deformable. Si Si es esrígida, su su efecto es es nulo.

19 37/65 Momento dipolar magnético El momento de giro cuyo módulo: τ =(IBa)(b sen φ) ángulo que forma la normal a la espira con ~B A=área de la espira τ = I ~ A ~ B se puede expresar como ~A esnormalalasuperficie 38/65 Momento dipolar magnético La dirección de τ también coincide con la de ese producto vectorial: direc(~τ) =direc(~r ~ F) ~A ~B ~r y ~ F forman el mismo ángulo que ~ A y ~ B ~τ = I ~ A ~ B = ~μ ~ B Momento magnético de la espira ~μ

20 39/65 Momento dipolar magnético El par de giro τ es nulo cuando μ y B son paralelos (sen φ=0) Los dipolos magnéticos (espiras de de corriente) tienden a orientarse en en la la dirección del campo. Entonces, el par cesa ~τ =0 ~μ ~ B ~μ ~ B Equilibro estable Equilibro inestable Fuentes del campo magnético 40/65 Qué es lo que genera un campo magnético? Las cargas en movimiento Los campos magnéticos Las cargas en movimiento actúan producen sobre cargas en movimiento campos magnéticos cómo?

21 41/65 Cómo las cargas en movimiento producen campos magnéticos 1) Calculamos el campo que crea una carga puntual en movimiento 2) Calculamos el campo que crea cualquier distribución de cargas en movimiento (corriente) 42/65 Campo que crea una carga puntual en movimiento Una carga q que se mueve con velocidad v constante, crea en un punto P un campo magnético: Permeabilidad magnética del vacío: ~B = μ 0 4π constante q~v ~u r r 2 unitario en la dirección r módulo del radiovector de posición μ 0 =4π 10 7 Jm A Wb/Am Exacto! (en realidad se trata de un valor definido que surge de la definición de amperio)

22 43/65 Campo que crea una carga puntual en movimiento Las líneas de campo B son círculos centrados en la línea de v, en planos perpendiculares a esa línea (señalada con un aspa si entra hacia el papel, o un punto si sale de él) REGLA DE DE LA LA MANO DERECHA Con Con v = dirección del del pulgar 44/65 Campo que crea un elemento de corriente Un elemento de corriente que transporta una intensidad I a lo largo de un elemento de camino dl se puede asimilar/interpretar como Un elemento de carga dq, que se traslada con velocidad v

23 45/65 Campo que crea un elemento de corriente El campo (diferencial) que crea esa "carga" dq: d B ~ = μ 0 4π dq ~v ~u r r 2 elemento de carga con velocidad ~v d ~ B = μ 0 4π I = d~l dt dq ~u r = μ 0 r 2 4π I d~ l ~u r r 2 Campo magnético de un elemento de corriente 46/65 Campo que crea toda la corriente El campo magnético creado por toda la corriente simplemente es la integral (teorema de superposición): ~B = Z cable d ~ B = μ 0 4π Z cable I d~ l ~u r r 2 Ley de Biot-Savart Líneas de campo asociadas a un elemento de corriente que entra hacia el papel (idénticas a las de una carga puntual entrante)

24 47/65 Campo que crea toda la corriente Ejemplo: Campo creado por un conductor recto Integrando todos los elementos de corriente, obtenemos: ~B = μ 0 2π constantes I r ~u r Intensidad que transporta el cable Unitario en la dirección tangente a la circunferencia con centro en el cable Distancia (en perpendicular) del punto al cable 48/65 Ejemplo: Campo creado por un conductor recto ~B = μ 0 I 2π r ~u r Todos los cortes transversales al cable son iguales (el cable tiene simetría traslacional a lo largo del eje) Simetría del campo debido a un hilo recto

25 49/65 Fuerza entre conductores paralelos Sean dos conductores paralelos que transportan corrientes I e I' conductor 1 conductor 2 50/65 Fuerza entre conductores paralelos La fuerza que el conductor 1 ejerce sobre un tramo de longitud L del conductor 2 es: longitud del tramo conductor 2 F (1 2) : fuerza del 1 sobre el 2 ~F = I 0 ~ L ~ B Corriente del conductor 2 Campo creado por el conductor 1 (en la línea/región ocupada por el 2) Esto se puede poner así (sin integral) porque los conductores son rectos. Veámoslo. Cuánto vale este campo?

26 51/65 Fuerza entre conductores paralelos Por Biot-Savart, ya sabemos que ese campo es: ~B = μ 0 2π I r ~u r Campo producido por un hilo, a una distancia r 52/65 Fuerza entre conductores paralelos Sustituyendo en ~ F = I 0 ~ L ~ B Como ~ L ~ B: perpendicular Módulo: Dirección: ~ F = I 0 LB = μ 0II 0 L 2πr Normal al conductor 2 Atractiva hacia el conductor 1 corrientes se atraen corrientes se repelen

27 53/65 Definición de Amperio De la ecuación anterior: F L = μ 0 2π II 0 r Definición "funcional" (proporciona un procedimiento experimental para medir la corriente) Un amperio es es la la corriente que, transportada por dos conductores paralelos, separados 1 metro de de distancia en en vacío, produce una fuerza atractiva (repulsiva) entre ellos de de (EXACTO) N/m De aquí surge la definición de μ 0 4π 10 7 N A 2 (EXACTO) 54/65 Ley de Ampère Hasta ahora, el cálculo del campo magnético lo hemos hecho por integración directa: Se parte la corriente en elementos diferenciales Se calcula el campo diferencial de cada uno de ellos Se suman (integran) todos (superposición)

28 55/65 Ley de Ampère Recordando: Éste es un planteamiento paralelo al del campo eléctrico Pero además de éste, existía en el caso eléctrico otro método, la Ley de Gauss, que nos permitía explotar las condiciones de simetría del problema para calcular ~ EI S ~E d~s = q ε 0 56/65 Ley de Ampère En el caso magnético, la Ley de Gauss no sirve I ~B d~s =0 para calcular B, porque en ella no aparece relacionado el campo con la distribución de corriente Sin embargo, existe un procedimiento alternativo, La Ley de Ampère que sí nos permite aprovechar la simetría de la distribución para este cálculo.

29 57/65 Ley de Ampère Ley de Ampère I C ~B d ~ l = μ 0 I permeabilidad magnética del vacío intensidad enlazada por C elemento de desplazamiento sobre C Aunque en apariencia son iguales, esta integral es distinta a la de la Ley de Gauss: Ley de Gauss: Integral de superficie (flujo) Ley de Ampère: Integral de línea (circulación) 58/65 Ley de Ampère Signo de I: I C d ~ l = I I>0 I<0 C C Si coincide con el de C según la regla de la mano derecha I>0 Si es opuesto al de C I<0

30 59/65 Ley de Ampère Signo de I: I<0 I>0 C I C I I<0 I>0 Comprobación de la Ley de Ampère 60/65 Cable recto que transporta una corriente I. El campo B es tangente a círculos concéntricos con centro en el cable. SIMETRÍA AXIAL nuestra curva de integración arbitraria En este caso, la elección más razonable de C es un círculo con centro en el cable, para que dl y B sean paralelos.

31 61/65 Comprobación de la Ley de Ampère Así: I C ~B d ~ l = vectores (producto escalar) longitud de la circunferencia= 2πr I Y como B es constante para radio constante = B I C dl = μ 0I 2πr 2πr C B dl = módulos μ0i B= 2πr = μ 0 I Limitaciones de la Ley de Ampère 62/65 Ley de Ampère I C ~B d ~ l = μ 0 I curva cerrada C Sean dos superficies diferentes, S 1 y S 2, apoyadas sobre la misma curva cerrada C

32 63/65 Limitaciones de la Ley de Ampère pero Através de S 1 atraviesa una corriente I Através de S 2 la intensidad que circula es cero. (por la acumulación de carga en el condensador) Entonces "la corriente que enlaza C" es ambigua, porque depende de la superficie elegida. 64/65 Limitaciones de la Ley de Ampère Esta ambigüedad aparece siempre que la corriente varía con el tiempo, y se puede resolver añadiendo un término de corriente de desplazamiento (Maxwell) Ley de de Ampère generalizada ó Ley Ampère-Maxwell I C ~B d ~ l = μ 0 (I + I d ) válida para todos los casos corriente de desplazamiento

33 65/65 Bibliografía Tipler & Mosca Física para la ciencia y tecnología Ed. Reverté (vol. II) Serway & Jewett, Física, Ed. Thomson (vol. II) Halliday, Resnick & Walter, Física, Ed. Addison- Wesley. Sears, Zemansky, Young & Freedman, Física Universitaria, Ed. Pearson Education (vol. II) Fotografías y Figuras, cortesía de Tipler & Mosca Física para la ciencia y tecnología Ed. Reverté Sears, Zemansky, Young & Freedman, Física Universitaria, Ed. Pearson Education