INTEGRACIÓN COMPLEJA. Curso

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1 Ampliación de Matemáticas (ngeniería de Telecomunicación) urso 2/ urso 2 o. ngeniero de Telecomunicación. Ampliación de Matemáticas. Lección 8. NTEGRAÓN OMPLEJA. urso 2- Un aspecto esencial de la teoría de las funciones analíticas es la forma en que la integral compleja interviene en ella. omo ya hemos comentado, fueron. F. Gauss, que no publicó sus resultados, y A. L. auchy quienes, a comienzos del siglo XX, desarrollaron la teoría de la integración compleja y la utilizaron para demostrar que la analiticidad de una función en un dominio implica la existencia de todas las derivadas superiores en un entorno de dicho dominio. Definiremos la integral de una función compleja continua sobre una curva del plano, mostrando su relación con las integrales de línea en R 2 estudiadas en la asignatura álculo del curso anterior. En este contexto y haciendo uso del teorema de Green probaremos el resultado fundamental de esta lección: el Teorema de la ntegral de auchy para funciones analíticas que nos dice que si f es analítica en un dominio Ω simplemente conexo, entonces la integral de f sobre una curva cerrada contenida en Ω es cero. El resto de los resultados de esta lección serán, esencialmente, consecuencias de éste. Esta lección es muy teórica, pero los resultados que presentaremos son esenciales en las aplicaciones que estudiaremos en las siguientes lecciones. ntegrales de funciones de variable compleja. Si Ω es un dominio en el plano complejo y f : Ω es una función de variable compleja, cómo podríamos definir la integral de f entre dos puntos z y z 2 de Ω, digamos R z 2 z dz? uando se define la integral R x 2 x f(x) dx de una función de variable real, nos valemos de la noción intuitiva de área construyendo aproximaciones cada vez mejores del área de la región comprendida entre la curva de ecuación y = f(x) yelintervalo[x,x 2 ] del eje OX mediante sumas finitasdelaforma P n f(x n) x n cada una de las cuales corresponde a una partición del intervalo [x,x 2 ]. Para extender este proceso a integrales de funciones complejas nos encontramos con dos dificultades. La primera es que ahora no tenemos la noción intuitiva de integral como área y la segunda es que para ir de z a z 2 podemos seguir muchas curvas (sin salirnos del dominio Ω) y cada curva podría proporcionar (tras el proceso de hacer particiones, construir las sumas y tomar límites) un valor diferente de la integral.

2 2 Lección 8. ntegración ompleja Sabemos que la integral de línea de un campo vectorial real plano F (x, y) entre dos puntos (x,y ) y (x 2,y 2 ) no depende del camino utilizado para ir desde el primer punto hasta el segundo cuando el campo es conservativo. En consecuencia, podremos definir integrales de funciones de variable compleja que sólo dependan de los puntos entre los que integremos, y no del camino usadoparairdeunoaotro,cuando,alrealizarlaidentificación de una función de variable compleja con un par de funciones reales de dos variables, el campo vectorial que aparezca en la integral de línea sea conservativo. Fueron. F. Gauss y A. L. auchy quienes descubrieron que las funciones de variable compleja que cumplen esta condición son, precisamente, las funciones analíticas. urvas en el plano complejo. Una curva parametrizada en el plano complejo es la imagen de una función continua con valores complejos z(t) =x(t) +jy(t) definida para los puntos t de un intervalo [t,t 2 ] R. La variable independiente t de la función z(t) se llama parámetro de la curva ylapropiafunciónz(t) recibe el nombre de parametrización de la curva. Los puntos z = z(t ) y z 2 = z(t 2 ) se llaman extremos de la curva; z es el extremo de partida y z 2 es el extremo de llegada (por eso en algunos textos no se habla de curvas en el plano complejo, sino de caminos). Naturalmente, una curva z(t) en el plano complejo se identifica con la curva (x(t),y(t)) en el plano real, lo que nos permite trasladar de manera obvia a curvas complejas algunos conceptos dados para curvas planas como los de curva simple (la que no se cruza consigo misma salvo, quizás, en los extremos), curva cerrada (cuando sus extremos coinciden), curva regular o suave (cuando las funciones x(t) e y(t) son derivables con derivada continua en [t,t 2 ], en cuyo caso se define z (t) =x (t)+jy (t)), curvaregularosuaveatrozos(cuando las funciones x(t) e y(t) son derivables con derivada continua en [t,t 2 ] salvoenunnúmerofinito de valores del parámetro que corresponden a esquinas de la curva) o curva de Jordan (una curva regular a trozos, cerrada y simple). Definición. Sea Ω un dominio en el plano complejo y sea f : Ω una función continua. Sea una curva regular a trozos contenida en Ω y parametrizada por z(t) =x(t)+jy(t) para t t t 2.Sedefine la integral de f sobre como t2 dz = f (z(t)) z (t) dt. t uando la curva es cerrada entonces habitualmente se escribe H dz. Una propiedad importante que utilizaremos a menudo es la siguiente. Proposición. Sea Ω un dominio en el plano complejo y sea f : Ω una función continua. Sea una curva regular a trozos de longitud L contenida en Ω. SeaM> tal que M para todo z. Entonces dz ML. Observación. Si no imponemos condiciones adicionales a la función f, entonces la integral definida anteriormente sí puede depender del camino que hayamos fijado; en otras palabras, si denotamos por z y z 2 losextremosdelacurva, entonces R dz no sirve para definir la integral de f entre z y z 2 porque puede cambiar de valor si cambiamos el camino elegido para ir desde z hasta z 2. Por ejemplo, sean z =, z 2 =y =z. Si es el segmento z(t) =t

3 Ampliación de Matemáticas (ngeniería de Telecomunicación) urso 2/ 3 para t que une z con z 2,entonces dz = f (z(t)) z (t) dt = tdt= 2, Mientras que si 2 es el arco de circunferencia z(t) = 2 ( + ejt ) para π t que también une z con z 2, entonces 2 dz = π f (z(t) z (t) dt = π +e jt j 2 2 ejt dt = 2 + j π 4. ndependencia del camino. Sea Ω un dominio en el plano complejo. Se dice que las integrales de una función continua f : Ω son independientes del camino seguido en Ω si dados dos puntos cualesquiera z y z 2 del dominio y dadas dos curvas regulares a trozos y 2 contenidas en Ω y tales que ambas empiezan en z y terminan en z 2 entonces R dz = R 2 dz. En ese caso dicha integral se escribe R z 2 z dz, notación que pone el énfasis en el hecho de que la integral sólo depende de los puntos z y z 2 ynodelcaminousadoparairdeunoaotrodentro de Ω. Es fácil ver que las integrales de una función continua f son independientes del camino seguido en Ω si, y sólo si, la integral de f sobre cualquier curva de Jordan contenida en Ω es cero. Primitivas. Se sabe que la condición necesaria y suficiente para que las integrales de línea de un campo vectorial real sean independientes del camino es que dicho campo admita una función potencial. En el caso de las funciones de variable compleja, esto se traduce en el concepto más familiar de función primitiva. Se dice que F es una función primitiva de f en un dominio Ω si F es analítica en Ω y F (z) = para cada z Ω. La Regla de Barrow para integrales complejas. Sea Ω un dominio en y sea f : Ω una función continua que tiene una función primitiva F en Ω. Entonces las integrales de f son independientes del camino seguido en Ω ysetiene R z 2 z dz = F (z 2 ) F (z ) para cualesquiera z,z 2 Ω. El Teorema Fundamental del álculo para integrales complejas. Sea Ω un dominio en y sea f : Ω una función continua cuyas integrales son independientes del camino seguido en Ω. Entoncesf tiene una función primitiva F en Ω. 2 El Teorema de la ntegral de auchy. Si escribimos f(x + jy) =u(x, y)+jv(x, y) y z (t) =x (t)+jy (t), entonces podemos obtener la expresión de la integral de f sobre una curva como un par de integrales de línea en R 2 (las

4 4 Lección 8. ntegración ompleja parte real e imaginaria del número R dz): t2 dz = f (z(t)) z (t) dt = = = t t2 t t2 [u (x(t),y(t)) + jv (x(t),y(t))] [x (t)+jy (t)] dt t [u (x(t),y(t)) x (t) v (x(t),y(t)) y (t)] dt + t2 +j [u (x(t),y(t)) y (t)+v (x(t),y(t)) x (t)] dt t u(x, y) dx v(x, y) dy + j v(x, y) dx + u(x, y) dy. En resumen, usando la notación habitual para integrales de línea de campos vectoriales, si r(t) = (x(t),y(t)) denota una parametrización de la curva como curva en R 2, entonces tenemos µ Re dz = (u, v) d r, µ m dz = (v, u) d r. Ahora, usando el Teorema de Green, estudiado en la asignatura álculo, y las ecuaciones de auchy-riemann obtenemos el resultado fundamental de esta lección. Teorema de la ntegral de auchy. Sea Ω un dominio en yseaf : Ω una función analítica en Ω tal que f es continua en Ω. Sea una curva de Jordan tal que ella y su región interior están contenidas en Ω. Entonces dz =. orolario. Sean Ω un dominio simplemente conexo y f una función analítica en Ω tal que f es continua en Ω. Entonces las integrales de f son independientes del camino seguido en Ω. orolario 2. Sean Ω un dominio simplemente conexo y f una función analítica en Ω tal que f es continua en Ω. Entonces f tienefuncionesprimitivasenω. La hipótesis de que la derivada de la función f seacontinuaenω, que se usa para poder aplicar el Teorema de Green, no es realmente necesaria; basta con que f exista para que la tesis del teorema se mantenga (y entonces se conoce como Teorema de auchy-goursat, cuya demostración es mucho más complicada). La hipótesis de que la región interior a la curva esté contenida en Ω sí es esencial. En principio, para calcular H dz sólo necesitamos que f esté definida y sea continua en, por lo que los valores de f en la región interior a no desempeñan un papel visible; éste se pone de manifiesto cuando, al usar el Teorema de Green, escribimos las integrales de línea reales que aparecen como integrales dobles sobre dicha región. Veamos un ejemplo de que dicha hipótesis no puede eliminarse.

5 Ampliación de Matemáticas (ngeniería de Telecomunicación) urso 2/ 5 Ejemplo. La función =/z es analítica en Ω = r{}. Para calcular su integral sobre la circunferencia unidad usamos la parametrización z(t) =e jt con t 2π, que la recorre en el sentido positivo, obteniendo 2π 2π 2π dz = z(t) z (t) dt = e jt je jt dt = j dt =2πj. Sin embargo, el que la región interior a la curva no esté contenida en Ω no tiene por qué implicar que las integrales sean distintas de cero; veamos un ejemplo de esta situación. Ejemplo. Para n =2, 3, 4,..., la función =/z n es analítica en Ω = r{}. Paracalcular su integral sobre la circunferencia unidad usamos otra vez la parametrización z(t) =e jt con t 2π obteniendo 2π 2π dz = (z(t)) n z (t) dt = e jnt je jt dt = j 2π e j( n)t dt = n e j(n )2π e =. Observación. El dominio Ω = r{} de =/z, visto en el ejemplo anterior, no es simplemente conexo. Podemos restringir el dominio de definición dando un corte a lo largo, por ejemplo, del eje real negativo. De esa manera = /z es una función analítica en r{eje real negativo} que sí es simplemente conexo y, por tanto, en este dominio sí podemos z2 definir dz, obteniendo z z z2 z z dz =Log(z 2) Log(z ). Esto nos muestra, entonces, que la elección del dominio en el que vayamos a trabajar es esencial alahoradeaplicarlosteoremas sobre funciones de variable compleja. TeoremadelantegraldeauchyparaDominiosMúltiplementeonexos. Sea Ω un dominio en el plano complejo y sea f : Ω una función analítica en Ω tal que f es continua en Ω. Sean,,..., n una familia de curvas de Jordan contenidas en Ω tales que. las curvas, 2,..., n son todas interiores a, 2. las curvas, 2,..., n son todas exteriores entre sí, 3. la región que es interior a y exterior a todas las curvas, 2,..., n está contenida en Ω. Entonces se verifica nx dz = dz k= k cuando todas las curvas se recorren en el mismo sentido.

6 6 Lección 8. ntegración ompleja Ejemplo. ombinando el caso en que =z n es entera (n =,, 2,...) y los ejemplos anteriores con este corolario, obtenemos la siguiente conclusión, que aplicaremos algunas veces. Sea una curva de Jordan que no pasa por el origen y recorremos en el sentido positivo. Entonces z n dz = para todo n =, ±, ±2,...,salvoque rodee al origen y n =, encuyocaso z dz =2πj. 3 Las Fórmulas ntegrales de auchy. La Fórmula ntegral de auchy para una función analítica muestra que el valor de dicha función en una región está determinada en toda ella por los valores sobre su frontera. La Fórmula ntegral de auchy. Sea Ω un dominio en el plano complejo y sea f : Ω una función analítica en Ω. Sean z un punto de Ω y una curva de Jordan que rodea a z y tal que ella y su región interior están contenidas en Ω. Entonces f(z )= 2πj z z dz, cuando la curva se recorre en sentido positivo. En particular, si es una circunferencia con centro z yradior parametrizada por z(t) =z + re jt para t 2π, deformaque z (t) =jre jt = j (z(t) z ), entonces f(z )= dz = 2π f(z + re jt ) dt 2πj z z =r z z 2π fórmula que se conoce como Teorema del Valor Medio de Gauss. La integral de la fórmula anterior f(z )= dz, 2πj z z podemos interpretarla como una integral que depende de un parámetro z. Puesto que el integrando es derivable con respecto a z en la curva, yaquez no está en, entonces podemos derivar con respecto a z, obteniendo f (z ) = 2πj f (z ) = 2πj f (z ) = 2πj (z z ) dz, 2 2 (z z ) dz, 3 6 (z z ) dz, 4

7 Ampliación de Matemáticas (ngeniería de Telecomunicación) urso 2/ 7 y así sucesivamente. Esto garantiza que f es derivable de todos los órdenes y nos proporciona fórmulas para calcular sus derivadas seucesivas en z. La Fórmula ntegral de auchy para las Derivadas. Sea Ω un dominio en el plano complejo y sea f : Ω una función analítica en Ω. Entoncesf admitederivadasdetodoslosórdenes en Ω que, a su vez, serán funciones analíticas. Además, sean z un punto de Ω y una curva de Jordan que rodea a z y tal que ella y su región interior están contenidas en Ω. Entonces la derivada de orden n de f en z viene dada por f (n) (z )= n! 2πj dz, (z z ) n+ cuando la curva se recorre en sentido positivo. Del teorema anterior se deduce que el crecimiento de las derivadas de f en un punto z está controlado por el crecimiento de la propia f. 4 Funciones analíticas y funciones armónicas. Ya sabemos que si una función f es analítica en un dominio Ω, entonces su derivada f también es analítica en Ω. En particular, esto implica que f existe y es analítica en Ω o, en otros términos, que u(x, y) y v(x, y) son dos veces diferenciables en Ω. Derivando en las ecuaciones de auchy-riemann y usando el teorema de Schwarz de igualdad de las derivadas cruzadas, obtenemos 2 u x = 2 v 2 x y, 2 u x y = 2 v y, 2 2 u x y = v 2 x 2 2 u y = 2 v 2 x y con lo cual 2 u x + 2 u 2 y = y 2 v 2 x + 2 v 2 y =; 2 es decir, u y v son funciones armónicas en Ω. omo hemos comentado antes, este hecho proporciona una conexión muy importante entre el estudio de las funciones de variable compleja y la resolución de la ecuación de Laplace. Naturalmente, en coordenadas polares f(re jθ )= u(r, θ)+jv(r, θ), lasfuncionesu y v verifican la ecuación de Laplace en coordenadas polares e igual para v. 2 u r + 2 u 2 r 2 θ 2 + u r r = Esto muestra que hay una relación estrecha entre las partes real e imaginaria de una función analítica f(x + jy) =u(x, y)+jv(x, y) ysedicequev es la función armónica conjugada de u. Dos advertencias: primera, la palabra conjugada no tiene relación con la conjugación de números complejos; segunda, que v sea armónica conjugada de u no quiere decir que u sea armónica

8 8 Lección 8. ntegración ompleja conjugada de v porque las ecuaciones de auchy-riemann no son simétricas; de hecho lo que se cumple es que u es armónica conjugada de v porque la función definida por jf(x + jy) = v(x, y) ju(x, y) es analítica. Dada una función armónica u, para encontrar una función v que sea armónica conjugada de u basta con resolver el sistema planteado por las ecuaciones de auchy-riemann: ntegrando u x = v y con respecto a y obtenemos v(x, y) = u dy + φ(x) x donde φ(x) es una constante de la integración con respecto a y que puede depender de x. Para hallar φ(x) usamos la otra ecuación u y = v, a partir de la cual obtenemos una ecuación x diferencial de primer orden para φ(x) que debemos resolver. Veamos un ejemplo. Ejemplo. La función u(x, y) =y 3 3x 2 y es armónica en todo el plano. Para hallar la armónica conjugada de u integramos la ecuación v y = u = 6xy con respecto a y x v(x, y) = ( 6xy) dy = 3xy 2 + φ(x). omo debe cumplirse u y = v x, tenemos 3y 2 3x 2 = 3y 2 + φ (x) luego φ (x) =3x 2 y φ(x) =x 3 + c donde c R es una constante de integración. En definitiva v(x, y) = 3xy 2 + x 3 + c es la armónica conjugada de u y =f(x + jy) =y 3 3x 2 y + j( 3xy 2 x 3 + c) =j(x + jy) 3 + jc = jz 3 + jc es la función analítica compleja correspondiente. Resolución del problema de Dirichlet en el círculo unidad mediante la teoría de funciones analíticas. Vamos a empezar construyendo la Fórmula ntegral de Poisson para funciones analíticas en el disco unidad. Esta fórmula es una extensión de la que vimos en la Lección 6, en el sentido de que la fórmula para funciones armónicas se obtendrá tomando parte real en la versión para funciones analíticas, y se deduce a partir de la Fórmula ntegral de auchy. Si f es una función analítica en un dominio que contiene al círculo unidad, entonces la Fórmula ntegral de auchy nos dice que para un punto de dicho círculo z 6=se tiene f(z )= dz. 2πj z z Sea r = z y consideremos el punto z =/z = z /r 2 exterior al círculo unidad. El Teorema de la ntegral de auchy nos dice que 2πj z z dz =.

9 Ampliación de Matemáticas (ngeniería de Telecomunicación) urso 2/ 9 Restando estas expresiones obtenemos f(z )= 2πj µ dz. z z z z Ahora parametrizamos mediante z(t) =e jt con t 2π, con lo que obtenemos f(z )= 2π µ e jt ejt f(e jt ) dt. 2π e jt z e jt z Ahora, escribiendo z = re jθ, z = r e jθ y operando, nos queda f(re jθ )= 2π 2π ( r 2 )f(e jt ) e jt re jθ 2 dt, fórmula que también es válida para r =(que es el Teorema del Valor Medio de Gauss). Finalmente, separando en partes real e imaginaria obtenemos, como hemos dicho antes, la Fórmula ntegral de Poisson para funciones armónicas que vimos antes u(r, θ) = 2π 2π 5 Transformaciones de regiones. ( r 2 )u(,t) 2r cos(θ t)+r 2 dt. Otra propiedad de las funciones analíticas es que cuando son transformaciones conformes, es decir, con derivada no nula, conservan la ecuación de Laplace. oncretamente, supongamos que w = =u(x, y) +jv(x, y) es una función analítica en un dominio Ω que se transforma mediante f de manera conforme y biyectiva sobre el dominio Ω 2. Si φ(u, v) es una función armónica en Ω 2, entonces la composición ψ(x, y) =φ (u(x, y),v(x, y)) es también una función armónica en Ω. En efecto, usando la regla de la cadena y las ecuaciones de auchy-riemann, o bien pasando a las correspondientes funciones analíticas y tomando parte real, es fácil probar que µ 2 ψ x + 2 ψ 2 2 y = φ 2 u + 2 φ f (z) 2 =, 2 v 2 de manera que ψ es armónica en Ω 2. En la práctica, esto nos dice que si tenemos el problema de Dirichlet planteado en un dominio Ω y podemos transformar conformemente este dominio en un dominio Ω 2 en el que sí sabemos resolver el problema de Dirichlet, entonces la solución obtenida en Ω 2 se convierte, mediante la transformación conforme, en una solución del problema original. Ejemplo. La circunferencia de ecuación z /4 =/4 se mantiene a mientras que la circunferencia 2 de ecuación z /2 = /2 se mantiene a cero grados. Para hallar la distribución estacionaria de temperaturas en la región comprendida entre ambas circunferencias, debemos calcular una función armónica φ(x, y) tal que φ = en y φ = en 2. Si usamos la transformación conforme bilineal w = z, podemos comprobar que transforma z

10 Lección 8. ntegración ompleja la circunferencia en la recta Re(w) =y la circunferencia 2 en la recta Re(w) =,con lo cual el problema ahora es hallar una función armónica ψ(u, v) en la banda comprendida entre estas dos rectas tal que ψ =en Re(w) =y ψ = en Re(w) =. Es fácil ver que ψ(u, v) = u =Re(w) es la solución. Haciendo los cálculos en la transformación w = z, z obtenemos x u = x 2 + y y v = y 2 x 2 + y 2 µ x con lo que la solución del problema buscado es φ(x, y) = x 2 + y. 2 El problema de Dirichlet en el semiplano superior. La función bilineal w = j z j + z transforma el eje real m(z) =en la circunferencia unidad w =de forma que el semiplano superior del plano z se transforma de manera conforme en el interior del círculo unidad del plano w. Si queremos hallar una función u(x, y) armónica en el semiplano superior a partir de sus valores u(x, ) en el eje real, podemos usar la transformación bilineal para llevarnos el problema al círculo unidad, usar ahí la fórmula de Poisson y deshacer la transformación. Haciendo las operaciones con cuidado se obtiene la solución, que además es acotada, u(x, y) = y π u(s, ) (x s) 2 + y 2 ds, expresiónqueseconocecomofórmula ntegral de Schwartz. Aplicaciones a la Electrostática. uando tenemos un dominio plano Ω simplemente conexo (sin agujeros) en el que no existen cargas eléctricas, las ecuaciones del campo eléctrico E = (E x,e y ) se reducen a ³ E div = ³ E E = y rot = E = de las que se deduce que E admite un potencial escalar Φ en Ω, es decir grad(φ) = Φ = E, que es armónico, o sea (Φ) =.SeaΨ la función armónica conjugada de Φ en Ω. Lafunción analítica W (z) =Φ(x, y)+jψ(x, y) se llama potencial complejo de E. Observemos que de las ecuacionesdeauchy-riemannsededucequelafunciónψ, quesellamafunción de Stokes, verifica grad(ψ) =( E y,e x ). Las curvas de nivel Φ(x, y) =c se llaman líneas equipotenciales y forman una familia uniparamétrica de curvas cuya familia ortogonal viene dada, según hemos visto, por las curvas de nivel Ψ(x, y) =c de la función de Stokes. Puesto que el campo E es tangente a estas curvas, reciben el nombre de líneas de corriente del campo eléctrico. Según lo que acabamos de describir, los problemas de cálculo de potenciales y campos eléctricos planos se reducen a la determinación del potencial complejo, lo que exige conocer las componentes E x y E y del campo o bien una cualquiera de las funciones Φ y Ψ. Veamosunpar de casos interesantes que pueden usarse, mediante el principio de superposición y las transformaciones conformes, para estudiar casos más generales.

11 Ampliación de Matemáticas (ngeniería de Telecomunicación) urso 2/ Ejemplo. El potencial de un campo uniforme E que forma un ángulo α con el eje de abscisas, o sea E =( E cos(α), E sen (α)), viene dado, imponiendo W () =, por W (z) =E e j(π α) z así que las líneas de corriente son la familia de rectas de pendiente tan(α) y las líneas equipotenciales son la familia de rectas de pendiente / tan(α). Ejemplo. Para calcular el potencial de una línea cargada perpendicular al plano en el origen se observa que las líneas equipotenciales sólo dependen de la distancia r de un punto z = re jθ al origen, es decir Φ = Φ(r). omo Φ debe ser armónica, se cumple (Φ) =,conloque d dr (rφ (r)) =. on lo cual obtenemos Φ(r) =k log(r) para alguna constante k. Entonces, usando las ecuaciones de auchy-riemann en polares, la función de Stokes es, en este caso, Ψ(re jθ )=kθ con lo que el potencial complejo es W (re jθ )=k log(r)+jkθ W (z) =klog(z), o sea, la rama principal de la función logaritmo (salvo la constante de proporcionalidad k que, como puede probarse es k = q, siendo q la densidad lineal de carga y ε la constante dieléctrica 2πε del medio). Las líneas de corriente son la familia de rectas que pasan por el origen y las líneas equipotenciales son la familia de las circunferencias con centro en el origen. Ejemplo. Si tenemos una línea cargada, con densidad lineal de carga q, perpendicular al plano en el punto x = a del eje real y otra, con densidad lineal de carga q perpendicular al plano en el punto x = a del eje real, entonces los potenciales debidos a estas líneas son, respectivamente, W (z) = así que el potencial complejo total es q Log(z a) y W 2 (z) = q Log(z + a), 2πε 2πε W (z) =W (z)+w 2 (z) = q Log 2πε µ z + a (±2πj). z a En este caso, las líneas de corriente son arcos de circunferencias que tienen su centro en el eje de ordenadas y pasan por los puntos (a, ) y ( a, ). 6 Ejercicios. Notación. En lo que sigue, denotaremos por [z,z 2 ] el segmento rectilíneo que une z con z 2 y por (z,r) la circunferencia con centro en el punto z del plano complejo y radio r>.

12 2 Lección 8. ntegración ompleja Ejercicio. alcula las integrales R zdz y R 2 zdz,donde es el segmento [,j] y 2 es la quebrada que une estos dos puntos pasando por +j. Ejercicio 2. alcula las integrales de las funciones z(z ) y Re(z) alolargodelossegmentos [, +j], [, ] y [, +j]. Ejercicio 3. alcula la integral R zdz, a lo largo de las siguientes curvas:. La semicircunferencia de radio uno, desde a, enelsemiplanosuperior. 2. La semicircunferencia de radio uno, desde a, en el semiplano inferior. 3. La circunferencia (, ), recorrida en sentido positivo. Ejercicio 4. alcula la integral R z2 dz, a lo largo de los siguientes caminos:. El segmento [, 2+j]. 2. La quebrada que pasa por los puntos, 2 y 2+j. 3. El perímetro del triángulo formado por los vértices de la quebrada anterior. Ejercicio 5. alcula las integrales dz z, 2 Log(z) dz y zdz para las semicircunferencias y 2 parametrizadas, respectivamente, por z (t) =e jt y z 2 (t) = e jt,con t π en ambos casos. Ejercicio 6. alcula H Log(z) dz, siendo la circunferencia unidad. Ejercicio 7. Sea α un número real no nulo. Tomando la rama principal del integrando, calcula (z z ) α dz. (z,r) Ejercicio 8. integración: alcula las siguientes integrales para un camino arbitrario entre los límites de j/2 e πz dz, π+2j cos(z/2) dz, 3 j (z 2) 3 dz. Ejercicio 9. En los siguientes casos, comprueba la igualdad, e indica qué hipótesis del Teorema de la ntegral de auchy no se verifica: dz z =2πj, Re(z) dz = r 2 πj. (,r) (,r)

13 Ampliación de Matemáticas (ngeniería de Telecomunicación) urso 2/ 3 Ejercicio. alcula las siguientes integrales usando, en cada caso, alguno de los teoremas sobre integrales de funciones analíticas: e z z 2 +4 dz, e zt z 2 + dz, e z z( z) dz, 3 (,) (,/2) (,2r) e z z( z) 3 dz, (,) e z z 2 + r (,2) x + y =2 (,2) (,3) cos(z) (,/3) z 2 (z ) dz, e z z dz, dz (,2) z 2 +, (,r) dz dz (r >), 2 x 2 +4y 2 = z 2 +, sen (z) z 2 + dz, sen (z) z 2 z dz, e z z dz, 2 e z +z dz, 2 (,2) (,2) (,4) sen (z) (z ) 3 dz, Log(z +6)dz, (,/2) z(e z ) (,2) (z a) dz, 2 z dz (r >), z 4 (π,π) (,) (,2) cos(z) z dz, sen (z) z π dz, sen (z) z 2 (j,2) dz, (z 2 +4) 3 dz. Ejercicio. ntegralafunciónexp( z 2 ) en la frontera del rectángulo dado por las desigualdades Re(z) a y m(z) b y toma límite cuando a para deducir Ejercicio 2. ntegrando la función = <r<r,deduceque 2π e x2 cos(2bx)dx = πe b2. R + z z(r z) R 2 r 2 dθ =2π. R 2 2Rr cos(θ)+r2 sobre la circunferencia (,r), siendo Ejercicio 3. Sea z una rama de la función raíz cuadrada analítica en el semiplano superior m(z) (salvo en z =).. alcula z z 2 + dz sobre la curva que es la frontera del semianillo contenido en el semiplano superior dado por <r< z <R. 2. Usa el resultado anterior para, tomando límites cuando r y R, calcular el valor de x x 2 + dx.

14 4 Lección 8. ntegración ompleja Ejercicio 4. alcula, según los valores de a, laintegral z(e z ) (z a) dz. 2 (,2) Ejercicio 5. Demuestra la Desigualdad de auchy, que afirma lo siguiente: Sea f una función analítica en un dominio que contiene el círculo D con centro z yradior. Sea M tal que M para cada z D. Entonces f (z ) M r. (ndicación: Usa la Fórmula ntegral de auchy para la derivada primera.) Ejercicio 6. Demuestra el Teorema de Liouville, que afirmalosiguiente: Sif es una función entera y acotada, entonces f es constante. (ndicación: Usa la Desigualdad de auchy.) Ejercicio 7. Demuestra el Teorema Fundamental del Álgebra, que afirma lo siguiente: Todo polinomio complejo p(z) de grado n se anula en n puntos del plano complejo z,z 2,...,z n,contados tantas veces como indica su multiplicidad. (ndicación: Supón que p(z) no se anula en ningún punto y aplica el Teorema de Liouville a /p(z).) Ejercicio 8. Sea u(x, y) una función armónica y acotada en todo el plano R 2. Prueba que u debe ser constante. Ejercicio 9. Dada u(x, y) =e x (xsen (y) y cos(y)) prueba que es armónica y encuentra su armónica conjugada. Ejercicio 2. Sea la función entera tal que m (f (z)) = 6x(2y ), f() = 3 2j y f() = 6 5j. alculaf( + j). Ejercicio 2. Halla la función analítica =u(x, y) +jv(x, y) cuya parte imaginaria es v(x, y) =log(x 2 + y 2 )+x 2y yverifica f() = 3 + j. Ejercicio 22. () Resuelve el problema de Dirichlet siguiente: la ecuación de Laplace : con las condiciones de contorno : 2 u x + 2 u = 2 y2 para x 4 y y 2, u(x, ) = para x 4 u(x, 2) = para x 4 u(,y)= para y 2 u(4,y)=sen(πy) para y 2. (2) Halla la función entera cuyaparterealeslasoluciónu(x, y) del problema de Dirichlet anterior y tal que dz =, z siendo la circunferencia unidad del plano complejo. (3) Para dicha función calcula (z 2 j) dz, 2 R

15 Ampliación de Matemáticas (ngeniería de Telecomunicación) urso 2/ 5 siendo R la frontera del rectángulo del apartado () recorrida en sentido positivo. Ejercicio 23. Resuelve el problema de Dirichlet en el semiplano superior para la función dada en el eje real por φ(x) =si x < y φ(x) =si x >. Ejercicio 24. Sea Ω el dominio formado por los puntos z del semiplano superior que son exteriores al círculo unidad. () Prueba que la función =z + z transforma Ω en el semiplano superior de forma biyectiva, halla su inversa y estudia si dicha función inversa es analítica. (2) Usa la transformación dada y la Fórmula ntegral de Schwartz para resolver el problema de Dirichlet en Ω si los valores de la función armónica u que se busca están dados en la frontera por u =sobre el eje real y u(e jθ )=cos(θ) para θ π. Ejercicio 25. La función w =Log(z) transforma el primer cuadrante en la banda definida por < m(w) <π/2. Utiliza esta transformación para resolver el problema de Dirichlet en el primer cuadrante para la función dada que vale en el eje real y en el eje imaginario. Ejercicio 26. () Determina la correspondiente fórmula de Schwartz que resuelve el problema de Dirichlet en el semiplano derecho Re(z) > usando la transformación w = z z +. (2) Usa esta fórmula para resolver el problema de Dirichlet en dicho semiplano para los valores inciales u(,y)=si y> y u(y, ) = si y<. Ejercicio 27. Resuelve el problema de Dirichlet en el primer cuadrante para la función dada en la frontera por φ(,y)= sen (y 2 ) y φ(x, ) = sen (x 2 ). ndicación: utiliza la transformación w = z 2 que lleva el primer cuadrante de forma biyectiva sobre el semiplano superior. Ejercicio 28. Resuelve el problema de Dirichlet en la semibanda dada por x <π/2 e y> para la función dada en la frontera por φ( π/2,y) = φ(π/2,y) = (y>); φ(x, ) =, ( x <π/2 ). Para ello utiliza la transformación w =sen(z) que lleva dicha semibanda de forma biyectiva sobre el semiplano superior. Ejercicio 29. La función w = e z transforma la banda log(r) < Re(z) < log(r) en el anillo r< z <R. Utiliza esto para resolver el problema de Dirichlet en este anillo para la función φ que vale α r en la circunferencia interior y α R en la circunferencia exterior. Ejercicios y cuestiones de exámenes de cursos anteriores. Ejercicio 3. Enuncia y demuestra el Teorema de la ntegral de auchy. Ejercicio 3. Enuncia y demuestra la Fórmula ntegral de auchy. Ejercicio 32. alcula dz siendo la circunferencia con centro en el punto j y (z 2 +4) 2 radio igual a 2. Ejercicio 33. Prueba que si f = u + jv es una función analítica en un dominio Ω, entonces la

16 6 Lección 8. ntegración ompleja función u verifica 2 u x + 2 u = en Ω. 2 y2 Ejercicio 34. Determina la función entera f = u + jv cuya parte real viene dada por u(x, y) = y 2 x 2 +2x y y cumple f(j) =j. Ejercicio 35. Dada la función armónica v(x, y) =x 3 3xy 2, halla una función analítica f de manera que v =m(f). Ejercicio 36. Encuentra la función =u(x, y)+iv(x, y) (con z = x + iy) sabiendo que es una función entera tal que u = v 2 y f(i) =4 2i. Ejercicio 37. Halla la función analítica f = u + jv cuya parte real es u(x, y) =e x (x cos(y) ysen (y)) ysatisfacef() = j. Utiliza esto para resolver el problema de Dirichlet en la banda <y<π de R 2 con condiciones de contorno en la frontera inferior y e x en la frontera superior. Ejercicio 38. Sea Ω la semibanda del plano definida por Ω := (x, y) R 2 : x> y <y<π ª.. Aplica el método de separación de variables para hallar la función u que es armónica en Ω y verifica las siguientes condiciones: u(x, ) = para x>, u(x, π) = para x>, u(,y) = sen(y)+ sen(2y) para <y<π, lim u(x, y) x = para <y<π. 2. Halla la función v que es armónica conjugada de u en Ω y cumple v(, ) = Haz un dibujo aproximado de la imagen del dominio Ω por la función f = u + jv. Ejercicio 39. () Halla la función u(r, θ) que es armónica en el interior del círculo unidad r< (donde r y θ denotan las coordenadas polares) y cuyos valores en la circunferencia unidad r = son u(,θ)=2cos(2θ) sen (3θ), para θ 2π. (2) Halla la función f que es analítica en el círculo unidad, cuya parte real es u ytalque f() = j.

17 Ampliación de Matemáticas (ngeniería de Telecomunicación) urso 2/ 7 7 Bibliografía Para desarrollar esta lección pueden consultarse los siguientes textos, principalmente el de hurchill y Brown que, además, es un libro excelente para complementar las explicaciones teóricas. [57.5/2-HU] R.V. hurchill, J.W. Brown, Variable compleja y aplicaciones, ap. 4, 9y. [5:62/ADV] G. James, Advanced Modern Engineering Mathematics, ap.. [57.5/WUN] W.A. Wunsch, Variable compleja con aplicaciones, ap. 4 y 8.

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