Variable Compleja. Transformaciones conformes. María Eugenia Torres

Transcripción

1 Variable Compleja Transformaciones conformes. María Egenia Torres Uniersidad Nacional de Entre Ríos Facltad de Ingeniería Matemática III Carrera de Bioingeniería Octbre 28

2 Transformación conforme Alcance y objetios En estas notas tratamos de complementar con n análisis mas detallado ciertos contenidos de la sección de transformaciones conformes desarrollada en el libro de texto. Es decir, esto no lo sstitye en modo algno y arios temas, teoremas y propiedades no han sido abordados neamente aqí. No obstante, en la sección.6 (pág. 7) encontrará n resmen de resltados. Si encentra errores de tipeo o de algna otra índole, le agradeceremos nos lo haga saber para ir mejorando para ediciones posteriores, eniando n a metorres@santafe-conicet.go.ar. Desde ya, mchas gracias. Contenidos.. Sobre el ben so del idioma español Transformaciones conformes Usos de las transformaciones conformes Ejemplos de introdcción Transformaciones lineales y afines Solción de la sección Transformaciones del tipo w = z Transformaciones del tipo w = /z Transformado por /z del cadrado nitario Ejercicios propestos con la transformada w = /z Formas alternatias de representar n círclo en el plano complejo La transformación fraccionaria lineal o de Möbis Transformación Conforme - Reisión Problemas para pensar Sobre el ben so del idioma español. En textos de matemática escritos en inglés es frecente encontrar las palabras map, mapping, transform, transformation. En consecencia, en los textos tradcidos encontramos mapa, mapeo, transformada, transformación. Sin embargo, en mchos de los casos s so en castellano es erróneo y n anglicismo. La palabra inglesa mapping pede referir a nmerosas áreas científicas, entre ellas cartografía, lingística (sado como metáfora o analogía), genética ( Gene mapping, the assignment of DNA fragments to chromosomes ), en informática ( Data mapping, Memorymapped I/O o Textre mapping ), en nerociencia ( Brain mapping ). En Matemática la palabra Map (o mapping) se sa (siempre en inglés) como sinónimo de fnction (fnción) o -en lógica formal - como el predicado de n fncional (n símbolo lógico qe pede aplicarse a n término objeto para prodcir otro término objeto). El so de la palabra mapping Conforme a la Real Academia Española (2). Anglicismo. (). m. Giro o modo de hablar propio de la lenga inglesa. (2). m. Vocablo o giro de esta lenga empleado en otra. (3). m. Empleo de ocablos o giros ingleses en distintos idiomas.

3 Transformación conforme 2 sgiere qe se trata de n término mas genérico. En el contexto de la geometría el término fnction se refiere a n mapping cyo propósito es asignar alores a los elementos del dominio. En otras palabras, na fnción define n conjnto de alores (de aqí qe para definir na fnción se necesita na terna (f, A, B)). Por el contrario, mapping tiene na connotación mas geométrica, como cando se habla de a mapping of one space to another (na transformación de n espacio en otro). Usada en castellano (2) las palabras mapa y mapear poseen las sigiente acepciones: mapa. (Del b. lat. mappa, toalla, plano de na finca rústica).. m. Representación geográfica de la Tierra o parte de ella en na sperficie plana. 2. m. Representación geográfica de na parte de la sperficie terrestre, en la qe se da información relatia a na ciencia determinada. Mapa lingüístico, topográfico, demográfico. 3. f. coloq. p. s. Lo qe sobresale en n género, habilidad o prodcción. La cidad de Toro es la mapa de las frtas. mapear.(de mapa).. tr. Biol. Localizar y representar gráficamente la distribción relatia de las partes de n todo; como los genes en los cromosomas. 2. tr. clt. Chile. Hacer mapas. 3. tr. clt. Chile. Trasladar a n mapa sistemas o estrctras conceptales. Desde el pnto de ista de la matemática, n mapa es n elemento matemático tilizado en la llamada geometría diferencial, descripto como na porción de la ariedad análoga a n espacio ectorial; los cambios de mapa indican cómo estas porciones de ariedades se acoplan entre sí. Una ariedad es el objeto geométrico estándar en matemática, qe generaliza la noción intitia de cra (-ariedad) o sperficie (2-ariedad) a calqier dimensión y sobre cerpos 2 ariados (no forzosamente el de los reales). Este tipo de teoría matemática se tiliza cando se trabaja por ejemplo en control no lineal o en ciertas áreas de mecánica de los flidos. La palabra transformación (transformation en inglés) en s ersión mas simple comprende na ariedad de diferentes fnciones de la geometría, tales como rotaciones, reflexiones y traslaciones. Estas peden aplicarse en el espacio Eclídeo. También es tilizada para denominar operaciones en el contexto del álgebra lineal, y qe tilizan explícitamente teoría de matrices. En este contexto, se conocen las transformaciones lineales. Sin embargo no se limita a esto. El término transformación, algnas eces expresado como transformada, pede hacer referencia a los sigientes elementos, entre mchos otros: Transformada de Forier, Transformada de Forier discreta y Transformada rápida de Forier 2 Un cerpo es na estrctra del álgebra abstracta en la cal las operaciones de adición y mltiplicación se peden realizar y cmplen las propiedades asociatia, conmtatia y distribtia, además de la existencia de n inerso aditio y de n inerso mltiplicatio, los cales permiten efectar la operaciones de sbstracción y diisión (excepto la diisión por cero); estas propiedades ya son familiares de la aritmética de números ordinarios. Los cerpos son objetos importantes de estdio en álgebra pesto qe proporcionan la generalización apropiada de dominios de números tales como los conjntos de números racionales, de los números reales, o de los números complejos.

4 Transformación conforme 3 Transformada de coseno discreta y Transformada de coseno discreta modificada Transformada de Hilbert Transformada de Laplace Transformada Z Transformadas waelet Transformación bilineal Transformación lineal Transformación polinómica e inclso pede ser tilizada como sinónimo de fnción. Por lo anterior, en el contexto de este crso, no hablaremos de mapasçonformes, ni de mapeos conformes y nos limitaremos a referirnos a transformaciones conformes o a transformaciones bilineales, por ser la denominación correcta en el so del idioma español en el área de la matemática en qe estamos trabajando..2. Transformaciones conformes En matemática, na transformación conforme es na fnción qe presera ánglos. Más formalmente, na transformación w = f(z) se dice conforme (o qe presera ánglos) en z si presera:. la magnitd y 2. la orientación (es decir la dirección) de los ánglos entre dos cras qe pasen por z. Las transformaciones conformes preseran tanto los ánglos como las formas de figras infinitesimalmente peqeñas, pero no necesariamente s tamaño..2.. Usos de las transformaciones conformes Si na fnción es armónica - es decir si satisface la ecación de Laplace ( 2 f = )- en cierto espacio particlar, y es transformada por medio de na transformación conforme en otro espacio, la fnción transformada también es armónica. Por esta razón, calqier fnción qe esté definida por medio de n potencial pede ser transformada por medio de na transformación conforme y aún segir siendo gobernada por n potencial. En física existen múltiples ejemplos de tales fnciones, entre ellas los campos electromagnéticos, los campos graitacionales, y en dinámica de los flidos, los fljos potenciales, qe son na

5 Transformación conforme 4 aproximación de los fljos de flidos sponiendo densidad constante, iscosidad nla y fljo irrotacional. La importancia de las transformaciones conformes para el estdio de los campos electromagnéticos fe pesta de manifiesto en 9 por Harry Bateman (). Las transformaciones conformes son de gran tilidad para resoler problemas de la ingeniería o la física qe peden ser expresados en términos de fnciones de ariable compleja, pero qe presentan seeras dificltades en s geometría. Escogiendo na transformación adecada, el problema pede simplificarse transformando la región en la qe se plantea el problema en otra de geometría mas accesible. Por ejemplo, si se desea calclar el campo eléctrico E(z) proeniente de n pnto de carga, bicado cerca de na esqina de dos planos condctores separados por cierto ánglo (donde z es la coordenada compleja de n pnto en el espacio bidimensional), tilizando na transformación conforme my simple el ánglo es transformado (mapeado) en no de π radianes, haciendo qe el ánglo entre los planos se transforme ahora en na línea recta (formada por las dos semirrectas opestas). En este neo domino, el problema es de my fácil resolción..3. Ejemplos de introdcción.3.. Transformaciones lineales y afines En los crsos de cálclo acostmbramos pensar a las fnciones de R en R graficadas en R R o R 2. Sin embargo, esto no es de ayda cando trabajamos con fnciones en el campo complejo C, dado qe en este caso, el gráfico está en C C, y por lo tanto en n espacio de dimensión catro. Pensemos en na simple fnción lineal, e imaginemos qe qeremos transformar pntos aleatorios bicados dentro del cadrado: R = {x + iy C : x, y }. Qe pasa con el cadrado R si mltiplica z = x + iy R por n nmero real a?, digamos a = 2. Y si ahora le sma n número real b?. (sponga b = 4). Grafiqe ambas sitaciones, pero antes de hacerlo trate de imaginarse qe obtendría, ganando así cierta intición. Ahora analice qe scede si a es n número imaginario pro (sponga a = 2i). Calcle en qé se transforma z = x + iy, bajo la transformación T (z) = a.z con a = 2i. Qé scede si b es n imaginario pro?. Sponga T (z) = z + b con b = 4i. En cada no de los pntos anteriores grafiqe el transformado de la región R. Analice como se transformaron cada no de los lados de R. Describa geométricamente el efecto de dicha transformación. Qe tipo de transformaciones son?.

6 Transformación conforme 5 Efectiamente, son del tipo: Ahora bien, sponga qe: f : R C C f(z) = a z + b, con a, b C. a =,25 + i,7 y b =. Sige siendo na transformación lineal, pero qe pasa con la imagen de R en este caso?. Grafiqe neamente. Como ha actado esta transformación sobre el eje y?. Haga ahora a =, + i,7 y b =, i,5. Grafiqe neamente. En el campo complejo, las fnciones de la forma f(z) = ωz para algún alor constante de ω, se denominan Transformaciones Lineales de C en C. Las fnciones de la forma f(z) = ω z + ω 2 para ω y ω 2 constantes, se denominan Transformaciones afines. En los textos clásicos de ingeniería, an se denomina a estas últimas como lineales. La distinción entre ambas es importante en ingeniería. La adición de n ector constante a todo ector del plano es eqialente a realizar na traslación. En ingeniería esto es n corrimiento (shift, en inglés). Entonces, en el campo complejo, na transformación afín es na transformación lineal con n corrimiento. Los términos fnción, transformación son eqialentes. Anqe en inglés se sa también map, y mapping, como eqialentes, no existen tales expresiones matemáticas en castellano. Sin embargo es frecente en las tradcciones mejicanas encontrar qe se habla de mapeos o mapas. Esto constitye n anglicismo Solción de la sección.3 En la figra se presentan las gráficas correspondientes a los ejercicios propestos en la sección.3. En (a) se obsera qe la transformación afín f(z) = az + b, con a = 2 + i, b = prodce na dilatación 3 tanto en la parte real como en la parte imaginaria de los pntos del cadrado R. En (b) se pede apreciar qe f(z) = az + b, con a = + i, b = 2 + i prodjo sólo na traslación de R. Por s parte, la transformación d) f(z) = az + b, con a = + i, b = 2i, también prodjo na traslación de R pero ahora en el sentido del eje imaginario. Por último, en (d) obseramos qe f(z) = az + b, con a = i, b =, prodjo na rotación de 9 o del rectánglo; esto pede apreciarse, por ejemplo, al mirar como han sido transformados los lados de R. Obserar qe para transformar la región es necesario:. Calclar en forma explícita la parte real y la parte imaginaria de f(z). En este caso w = f(z) = az + b = (a + ia 2 )(x + iy) + (b + ib 2 ) = (a x a 2 y + b ) + i(a 2 x + a y + b 2 ) Entonces + i = (a x a 2 y + b ) + i(a 2 x + a y + b 2 ) C 3 En inglés stretched, stretching.

7 Transformación conforme 6 5 z = x + i y y x (a) Plano complejo z 5 w = + i = f(z) 5 w = + i = f(z) (b) f(z) = az + b, con a = 2, b =. (c) f(z) = az + b, con a =, b = 2. Figra : En (a) se mestra la región R y algnos pntos interiores. En (b)-(c) se mestra la imagen de la región R bajo la transformación afín w = f(z) = az + b, para diferentes alores de a C y b C y reslta Re(f) = = a x a 2 y + b R Im(f) = = a 2 x + a y + b 2 R () 2. Calclar el transformado de cada no de los lados del cadrado, los cales deberán estar adecadamente parametrizados para poder recorrer la cra en cierto sentido, haciendo x = x(t) y y = y(t): L (color cian), tiene por ecaciones en el plano C z : { Re(z) = x con < x < Im(Z) =. En este caso hacemos en la ec. () x = t (el parámetro qe aría de - y ) e y =, resltando { = a t + a 2 + b = a 2 t a + b 2 para t (, ).

8 Transformación conforme 7 5 w = + i = f(z) 5 w = + i = f(z) (d) f(z) = az + b, con a =, b = 2i. (e) f(z) = az + b, con a = i, b =. Figra 2: En (d)-(e) se mestra la imagen de la región R de la figra bajo la transformación afín w = f(z) = az + b, para otros alores de a C y b C Graficamos + i para alores de t (, ) en el plano C w. L2 (color azl en fig..(a)), tiene por ecaciones en el plano C z : { Re(z) = Im(Z) = y con < y < Reemplazando en la ec. () por x = e y = t (el parámetro qe aría de - y ), reslta { Re(f) = = a a 2 t + b Im(f) = = a 2 + a t + b 2 para t (, ). L3 (color rojo en fig..(a)), tiene por ecaciones en el plano C z : { Re(z) = x con < x < Im(Z) = En este caso debemos tener en centa qe si nos interesa segir recorriendo el borde del cadrado en sentido anti-horario, tal como eníamos, ahora x deberá ir desde hacia -, entonces deberemos reemplazar en la ec. () por x = t e y =. El parámetro t segirá ariando de - y y el sentido anti-horario lo sstenta x = t. De este modo se obtienen las ecaciones paramétricas de la imagen por la transformación w = f(z) del segmento L3. De forma análoga a la anterior se procede con el segmento L4 (color magenta en la fig..(a)). Para el ejemplo sigiente de la sección.3., tenemos a =,25 + i,7 y b = en la figra 3. Se obsera qe la región se ha encogido 4 por n factor menor qe no y ha sido rotada en sentido anti-horario. Si concentramos nestra atención en el segmento real [, ] de C z, 4 En inglés shrink

9 Transformación conforme 8 5 z = x + i y 5 w = + i = f(z) y x (a) Región R C z (b) f(z) = az + b C w. Figra 3: En (a) se mestra la región R y algnos pntos interiores. En (b) se mestra la imagen de la región R bajo la transformación afín w = f(z) = az+b, para a =,25+i,7 C y b = C 5 z = x + i y 5 w = + i = f(z) y x (a) Región R C z (b) f(z) = az + b C w Figra 4: En (a) se mestra la región R y algnos pntos interiores. En (b) se mestra la imagen de la región R bajo la transformación afín w = f(z) = az +b, con a =,25+i,7 C y b =,,5 i C. obseramos qe s longitd ha sido encogida a la de n segmento ( cál? ) de longitd.4866 en el espacio transformado C w. Habitalmente no pensamos qe na transformación lineal (de la forma T (z) = A.z) tenga la capacidad de encoger el eje real. Si ahora le smamos na constante compleja lo qe se prodce es n corrimiento 5, como podemos apreciar en la figra 4. Por lo tanto na transformación afín es n corrimiento de na transformación lineal. En geometría real se sele denominar traslación al corrimiento. Pensando en n ftro contexto de procesamiento de señales, es preferible la segnda denominación. Tanto la palabra encoger como corrimiento son sales en ese caso. 5 En inglésshift

10 Transformación conforme Transformaciones del tipo w = z 2 Analicemos ahora la transformación f(z) = az 2, para a, z C. Para el mismo cadrado R de la sección anterior, calcle y grafiqe s transformado, considerando los sigientes casos: a = a =,25 + i,7 Discta como se transforman los pntos interiores del cadrado. Qé esperaría qe ocrra con los pntos del exterior del cadrado?. Considere ahora n sector circlar S = { z = ρe iθ, θ < θ < θ, para θ = π/3, θ = 2π/3, < ρ < }, (2) y transfórmelo bajo w = z 2. Tras haber realizado esta transformación, resela los sigientes ejercicios. Ejercicio. Pede inferir qé le pasaría al sector si en lgar de tener n radio entre cero y no, éste pdiera llegar a 2?. Y si sólo pdiera llegar hasta.25?. Ejercicio.2 Pede inferir qé ocrre con el eje x (el eje real) bajo la misma transformación?, con el eje y?, con na recta paralela al eje x?. Con na paralela al eje y?, Con na franja horizontal?, con na franja ertical?. Con n sector anlar?. Al igal qe cando se trabajaba con fnciones reales, en el campo complejo es importante desarrollar cierta intición de lo qe na fnción simple pede hacer. Para ello se necesita también cierta experiencia y ésta se desarrolla con la práctica. Una ayda importante es el análisis de como se transforman líneas rectas, ciertas cras y regiones sencillas. Ejercicio.3 Cál es la imagen bajo la transformación f(z) = z 2 de la franja de ancho 2 y altra acotada por los ejes real e imaginario en dos lados y qe tienen al origen en la esqina inferior izqierda?. Determine cales son las coordenadas en C z de los értices de la región descripta. Solción de la sección.3.3- Caso de sector cadranglar En la figra 5 se mestra neamente nestra región cadrada R C y s imagen bajo la transformación w = f(z) = az 2 para a = C y a =,25 + i,7. Hemos mantenido el código de colores para los lados del cadrado y ss transformados. Sin embargo obseramos qe parecen haber desaparecido los transformados de los lados erticales (azl y magenta). Sin embargo, n trabajo mas cidadoso, mirando las etapas de graficación en Matlab, le permitirá constatar qe en realidad los mismos están escondidos debajo de las imágenes de los lados horizontales (cian y rojo). Ver las imágenes del segndo caso en 5(c-d).

11 Transformación conforme 3 z = x + i y 3 w = z 2 = f(z) 2 2 y x 3 (a) Región R C z. w = a z 2 = f(z) (b) f(z) = z 2 w = a z 2 = f(z) (c) f(z) = az (d) f(z) = az 2 Figra 5: En (a) se mestra la región R y algnos pntos interiores. En (b)-(d) se mestra la imagen de la región R bajo la transformación w = f(z) = az 2, para (b) a = C y (c-d) a =,25 + i,7 respectiamente. En (c) y (d) apreciamos como se sperponen las imágenes de los lados opestos en el cadrado. Haciendo los cálclos analíticos erificamos esto. En este caso se tiene: w = f(z) = a z 2 = (a + i a 2 ) (x + i y) 2 = (a + i a 2 ) [(x 2 y 2 ) + i 2 x y] = [a (x 2 y 2 ) a 2 2 x y] + +i [a 2 (x 2 y 2 ) + 2 a x y] Reslta entonces qe en el plano C w se tiene qe w = + i con { = a (x 2 y 2 ) a 2 2 x y = a 2 (x 2 y 2 ) + 2 a x y. A partir de este pnto se procede como en el pnto 2 de la página 6 obteniéndose así los resltados graficados en la figra 5(b) y (c). Se aprecia en ambos casos la mayor concentración de pntos en las proximidades de z = y qe los segmentos de recta laterales (lados del cadrado) se han transformado en segmentos circlares.

12 Transformación conforme Solción de la sección.3.3- Caso del sector circlar Para el caso del sector circlar S dado por la ec. (2), en lgar de trabajar con coordenadas cartesianas para z, coniene trabajar con coordenadas polares, dado qe la transformación es f(z) = z 2. Así entonces, hacemos: z = ρ e iθ, con θ como se indica en (2). Por lo tanto, la imagen de S a traés de la transformación dada será w = z 2 = ρ 2 e i 2 θ. De aqí se conclye qe w = f(z) está dada en C w por w = ϱe i σ con { ϱ = ρ 2, σ = 2 θ y dado qe θ < θ < θ, para θ = π/3, θ = 2π/3 y qe < ρ <, se pede conclir qe la imagen de la región S a traés de la transformación w = z 2 es la región S del plano complejo C w definida por mostrada en la figra 6.(b). S = { w = ϱe i σ, con 2θ < σ < 2θ, y < ϱ < }, z = x+i y w = +i.5.5 y x (a) Región S C z..5.5 (b) f(z) = z 2 Figra 6: En (a) se mestra la región S y algnos pntos interiores. En (b) se mestra la imagen de la región S bajo la transformación w = f(z) = z Transformaciones del tipo w = /z La transformación w = /z en el plano complejo tiene sentido sólo si z. Obserando qe f(z) = /z = z zz = z, reslta qe /z hace dos cosas sobre la ariable z C z 2 z :

13 Transformación conforme 2 y w = /z = f(z) x (a) Región R C z (b) f(z) = /z Figra 7: En (a) se mestra la región R y algnos pntos interiores. En (b) se mestra la imagen de la región S bajo la transformación w = f(z) = /z.. toma primero el conjgado de z 2. lego lo escala diidiendo por s módlo al cadrado. Si el módlo es no, s único efecto es na reflexión sobre el eje real (el eje x). Miremos ahora la imagen de z en el plano C w, en coordenadas polares. Si z = ρe iθ : con ϱ = ρ y ϕ = θ. Entonces w = f(z) = ρ e iθ. = ϱe iϕ, Un pnto qe está sobre el círclo nitario, sige en él, pero pasa a s reflejado en el eje real. Un pnto qe esté dentro del círclo nitario en C z tendrá s imagen fera del círclo nitario en C w. Por el contrario, si z estaba fera del círclo nitario (ρ > ), s imagen tendrá ϱ < y estará dentro de él en C w. Un pnto qe está en el eje real (θ = n 2π, n Z) sige estando en el eje real y en la misma semirrecta. Si ρ <, entonces w será n número real mayor qe no. Un pnto qe está sobre el eje imaginario (θ = π/2 + n 2π, n Z), tendrá s imagen en el mismo eje, pero cambiará de signo. Los pntos próximos al origen serán lleados a pntos próximos a Transformado por /z del cadrado nitario Consideremos el cadrado nitario del primer cadrante de C z : Γ = {z = x + iy, x, y }

14 Transformación conforme 3 Denominemos a ss lados Γ (sobre el eje real), Γ 2 (con x = ), Γ 3 (con y = ) y Γ 4 (sobre el eje imaginario) y consideremos ss ecaciones paramétricas en el plano C z : Γ : z = ρ, < ρ Γ 2 : z = x + iy, x =, < y. (3) Γ 3 : z = ( t) + iy, y =, < t Γ 4 : z = ( t)e i π/2, < t El segmento Γ se transforma por w = f(z) = /z en w = ϱ con ϱ = (ρ) qe se ha transformado en la semirrecta contenida en el eje real, con >. >. Es decir, El segmento Γ 4 se transforma en w = t e i π/2, < t, o lo qe es lo mismo w = ( i), < t. Cando t =, w es i, cando t, w. Por lo tanto, la t imagen de Γ 4 en el plano C w está en el semieje imaginario (eje ) negatio y está dado por w = i, con <. Para transformar el segmento Γ 2 necesitamos mirar la transformación en coordenadas cartesianas: w = f(z) = /z, =, mltiplicando por el conjgado nmerador y denominador, x+ i y = x i y, x 2 +y 2 entonces se tiene qe, las coordenadas real e imaginaria de la imagen satisfacen: w = + i = x x 2 + y i y 2 x 2 + y, 2 es decir { = x =, x 2 +y 2 y. x 2 +y 2 Para el caso de Γ 2 : z = x + iy, x =, < y se tiene: { = +y 2, = y +y 2. Diidiendo m.a m. ambas ecaciones se tiene qe / = y y reemplazando en la primera de ec. (5) se tiene qe: = + (/), 2 de donde reslta qe = y completando cadrados, la imagen de Γ 2 está contenida en la circnferencia: ( /2) = (/2) 2, qe corresponde a w /2 = /2. Qé parte de esta circnferencia es la imagen de Γ 2? Si miramos con otros ojos nestro segmento, y tratamos de parametrizarlo en coordenadas polares, nos daríamos centa qe z = ρe iθ, con < θ < π/4 y < ρ < ( + y 2 ), para < y <. Por lo tanto, en el espacio transformado es: ϕ = θ, con π/4 < ϕ <. (4) (5)

15 Transformación conforme 4 Se tiene así qe la imagen de Γ 2 por la transformación w = /z es el arco de circnferencia de centro en w = /2 y de radio /2 comprendido entre w = f( + i) = y w = f( + i) = /2 /2 i. (Ver figra 7.(b)) Mediante n razonamiento análogo se obtiene qe la imagen de Γ 3 es el arco de circnferencia de centro en w = (/2) i y radio /2 comprendida entre w = f( + i) = /2 (/2) i y w = f(i) = i. Obserar qe en este caso la ecación en coordenadas cartesianas de la circnferencia es y 2 + ( /2) 2 = /4. (Ver figra 7.(b)). (Realice Ud. mismo los detalles faltantes para arribar a esta conclsión y conencerse de qe es así). Ejercicio.4 Conénzase y demestre analíticamente qe los pntos del interior del cadrado an a parar a la región indicada en la figra 7.(b) con pntos negros..4. Ejercicios propestos con la transformada w = /z Ejercicio.5 Determine la imagen por la transformación w = /z de la circnferencia z = del plano C z. Trate de lograr cierta intición simlando la transformación en Matlab c. Podrá obserar qe las circnferencias parecen transformarse en circnferencias. Qé ocrre si la circnferencia pasa por el origen?. En este caso, obsere qe la imagen se degenera. Por qé motio?. Es la transformación w = /z conforme en el origen?. Escribamos la ecación de na circnferencia de radio R con centro en z = x + iy trabajando en coordenadas polares: { x = ρ cos θ. y = ρ sin θ Desarrollando los cadrados en la ecación de la circnferencia (x x ) 2 + (y y ) 2 = R 2 y reemplazando x y y por ss coordenadas polares, se obtiene: ρ 2 2 x ρ cos θ 2 y ρ sin θ = R 2 x 2 y 2. (6) La transformación w = /z establece qe ϕ = θ y ϱ = ρ en el plano transformado, entonces reemplazando en la ecación anterior tenemos la ecación de la cra transformada en el plano C. Esto se pede escribir como: (/ϱ) 2 2 x (/ϱ) cos ϕ 2 y (/ϱ) sin( ϕ) = R 2 x 2 y 2. 2 x ϱ cos( ϕ) 2 y ϱ sin( ϕ) = ϱ 2 (x 2 + y 2 R 2 ). y diidiendo ambos miembros por x 2 + y 2 R 2 y cambiando de miembro ϱ 2 se tiene: ϱ 2 2 x /(x 2 + y 2 R 2 ) ϱ cos( ϕ) 2 y /(x 2 + y 2 R 2 ) ϱ cos( ϕ) = /(x 2 + y 2 R 2 ).

16 Transformación conforme 5 Esta es la ecación en el plano C w en coordenadas polares de na circnferencia de centro + i = x (x 2 + y 2 R 2 ) + i y (x 2 + y 2 R 2 ) y radio R/(x 2 + y 2 R 2 ). Conénzase de esto último comparando con la ecación (6) y haciendo los cálclos correspondientes para obtener la expresión del radio. Obserar qe al diidir por x 2 + y 2 R 2 se da por spesto qe x 2 + y 2 R 2. Esta expresión se anla si el origen de coordenadas pertenece a la circnferencia (la distancia del centro de la circnferencia al origen coincide con R). Por lo tanto si z = + i está en la circnferencia a transformar, el radio de la región transformada tiende a infinito y también lo hace s centro. Conénzase, trabajando a partir de las ecaciones anteriores adecadas, qe na circnferencia de radio nitario qe pase por el origen de coordenadas se transformará por w = /z en na recta. Determine, a modo de ejemplo, en dónde estará bicado el centro de la circnferencia de radio no en el plano z, qe pasa por el origen de coordenadas, para qe la misma se transforme en na recta a 45 o. Ejercicio.6 Verifiqe qe es correcto afirmar qe la ecación degenera a na recta cando R 2 = x 2 + y Formas alternatias de representar n círclo en el plano complejo Una forma alternatia de representar n círclo es: para A, B y C números complejos. Otra alternatia es tilizar la expresión AĀz z + Bz + B z + C C = z a z b = R, para R n real positio, y A y B números complejos. Ejercicio.7 Verifiqe qe:. Si R = la ecación anterior es la de na recta qe bisecta el segmento qe ne A y B. 2. Si R, da la ecación de na circnferencia qe corta el segmento de recta entre A y B y se pede dedcir de esta expresión na forma standard de ecación de la circnferencia. 3. Utilizando las expresiones anteriores erifiqe qe la inersión transforma círclos en círclos o en rectas.

17 Transformación conforme 6 Ejercicio.8 Determine la imagen por la transformación w = /z de la semirrecta a 45 o en el primer cadrante del plano C z. Ejercicio.9 Determine la imagen por la transformación w = /z de la semirrecta a 45 o del segndo cadrante del plano C z. Ejercicio. Determine la imagen por la transformación w = /z del exterior de la circnferencia z = bicado en el segndo cadrante del plano C z. Ejercicio. Determine la imagen por la transformación w = /z del sector circlar z 2 bicado en el primer cadrante del plano C z. Ejercicio.2 Determine la imagen por la transformación w = /z de na semirrecta paralela al eje imaginario bicada en el primer cadrante de C z. Ejercicio.3 Determine la imagen por la transformación w = /z de na semirrecta paralela al eje real bicada en el primer cadrante de C z..5. La transformación fraccionaria lineal o de Möbis La transformación w = /z es n caso particlar de na clase mas general de transformaciones, denominadas antigamente como transformaciones bilineales y mas recientemente denominadas transformaciones fraccionarias lineales o de Möbis. La denominación bilineal cayó en desso debido a qe dicha palabra tiene otros significados y se presta a confsión. Una forma general de na fnción de Möbis es: w = f(z) = az + b cz + d, (7) donde a, b, c, d son números complejos. Si c = y d = se tiene na transformación afín. Si a =, b =, c =, d = se tiene na transformación recíproca. La importancia de estas transformaciones es qe llean círclo (y rectas) en círclos o en rectas. Teorema. Propiedad de preseración de círclos Si C es n círclo en el plano z y si f es na transformación fraccionaria lineal dada por (7), entonces la imagen de C por f es o n círclo o na linea recta en el plano complejo extendido w. La imagen es na recta si y solo si c y el polo z = d/c está en el círclo C.

18 Transformación conforme 7.6. Transformación Conforme - Reisión Definición. Sean V y W dos espacios ectoriales sobre el mismo campo F. Se denomina transformación afín ( del Latín, affinis, conectado con ) a na fnción A: V W tal qe A() = L() + w, V para algna transformación lineal L: V W y cierto ector w W. L se denomina la transformación lineal asociada a la transformación afín A. Sabemos qe dada na base en V, existe na matriz T L asociada a L en dicha base, tal qe L() pede escribirse como L() = T L. para calqier en V. De este modo entonces, dada na base en V na transformación afín pede escribirse como A() = T L. + w, V, para T L la matriz asociada a cierta transformación lineal L en dicha base. Pede demostrarse qe na definición eqialente es decir qe A: V W es na transformación afín de V en W si existe na matriz T y n ector w W, tal qe A() = T + w, V. En geometría na transformación afín (en inglés affine map) entre dos espacios ectoriales (en sentido estricto entre dos espacios afines) consiste en na transformación lineal segida de na traslación: x A x + b En general, na transformación afín se compone de na o arias transformaciones lineales (rotación, scaling -escalamiento- or shear -corte) y na traslación (shift). Varias transformaciones lineales peden combinarse en na sola matriz, permitiendo qe la formla anterior an peda aplicarse. Definición.2 (Transformación conforme) Sea w = f(z) na transformación compleja definida en n dominio D y sea z n pnto en D. Entonces se dice qe w = f(z) es conforme en z (o qe w = f(z) es na transformación conforme en z ) si para todo par de cras orientadas saes C y C 2 en D qe se interseqen en z, se tiene qe: i) el ánglo entre C y C 2 en el plano C z y ii) el ánglo entre las correspondientes imágenes C y C 2 en f(z ) en el plano C w, son igales tanto en magnitd como en sentido. También samos el término transformación conforme en D para referirnos a na transformación compleja w = f(z) qe llea n domino D sobre n dominio D (sobre en el sentido de sryectia o sobreyectia), f : D D tal qe sea conforme en z y qe además sea conforme en todo pnto en D.

19 Transformación conforme 8 De las secciones anteriores podríamos inferir qe: Las transformaciones afines f(z) = az + b con a son conformes en todo el plano complejo. Porqé?. Se pede erificar qe w = z no es na trasformación conforme en el pnto z = + i porqe los ánglos entre las cras z (t) = t + i(2t t 2 ) y z 2 (t) = t + i/2(t 2 + ), para t 2, conseran s magnitd pero no s sentido a traés de esta transformación. Ejercicio.4 Demostrar qe los ánglos entre las cras z (t) = t + i(2t t 2 ) y z 2 (t) = t + i/2(t 2 + ), para t 2, conseran s magnitd pero no s sentido a traés de la transformación w = z. Sin embargo, en el caso de las transformaciones afines, sólo hemos considerado algnas cras particlares. No es inmediato, a partir de estos ejemplos, qe las mismas sean efectiamente transformaciones conformes, es decir qe conseren los ánglos y las orientaciones de los mismos para calqier par de cras qe se considere. Es por lo tanto necesario contar con algún mecanismo qe nos permita realizar esta afirmación. Teorema.2 (Condición sficiente) Si f es na fnción analítica en n dominio D C z qe contenga al pnto z, y si f (z ), entonces w = f(z) es na transformación conforme en z. Demostración (erla de Kaplan pag 634 o Wnsch pag 526.) Definición.3 Pntos críticos Se dice qe z es n pnto crítico de la transformación w = f(z) si f es analítica en z pero f (z ) =. Se demestra qe las fnciones analíticas no son conformes en ss pntos críticos. Por el contrario, en ellos ocrre n fenómeno de magnificación de los ánglos. Teorema.3 (Magnificación de ánglos en los pntos críticos) Sea f analítica en n pnto crítico z. Sea n >, el menor número entero donde no se anla la deriada n-enésima de f, entonces el ánglo entre dos cras saes calesqiera qe se interseqen en z se incrementa con n factor de n a traés de la transformación w = f(z). En particlar, w = f(z) no es na transformación conforme en z. Obserar qe la hipótesis dice qe se satisface qe: y qe f (n) (z ). f (z ) = f (z ) =... = f (n ) (z ) =,

20 Transformación conforme 9.7. Problemas para pensar Cando crea haber entendido bien el tema de transformaciones conformes, le proponemos qe trate de completar los espacios en blanco en los problemas sigientes, sin oler a mirar el texto ni ss notas.. La fnción analítica f(z) = coshz es conforme excepto en z = Las transformaciones conformes preseran tanto la magnitd como... del ánglo. 3. La fnción... es n ejemplo de na transformación qe es conforme en todo pnto del plano complejo. 4. Si f (z ) = f (z ) = y f (z ), entonces la transformación w = f(z)... la magnitd de los ánglos en el pnto z. 5. T (z) =... es na transformación lineal fraccionaria qe transforma los pntos, + i, e i en los pntos, i, y La imagen del círclo z = 2 bajo la transformación lineal T (z) = (2z i)/(iz + ) es n La imagen de na recta L bajo la transformación lineal fraccionaria T (z) = (iz 2)/(3z + i) es n círclo si y sólo si el pnto z =... está en L. En los sigientes problemas indiqe si la afirmación es erdadera o falsa, sin recrrir a ss notas o libro. Si la afirmación es falsa, jstifiqe s respesta, explicando porqe motio lo es o bien presentando n contraejemplo. Si la afirmación es erdadera, jstifiqe s respesta, sea demostrando la afirmación o citando n resltado apropiado isto en teoría o en estas notas.. Si f(z) es analítica en n pnto z, entonces la transformación w = f(z) es conforme en z. 2. La transformación w = z 2 + iz + no es conforme en z = 2 i. 3. La transformación w = z 2 + no es conforme en z = ±i. 4. La transformación w = z no es conforme en todo pnto del plano complejo. 5. Una transformación lineal fraccionaria es conforme en todo pnto de s dominio. 6. La imagen de n círclo bajo na transformación lineal fraccionaria es n círclo. 7. La transformación lineal fraccionaria T (z) = z i z+ los pntos i, 8, y, respectiamente. transforma los pntos,, e i en 8. Dados tres pntos distintos z, z 2, y z 3, existe na transformación lineal fraccionaria qe transforma z, z 2, y z 3 en,, y 8.

21 Transformación conforme 2 9. La inersa de na transformación lineal fraccionaria T (z) = (az + b)/(cz + d) es T (z) = (cz + d)/(az + b).. Si f (z) = A(z + ) /2(z ) 3/4, entonces w = f(z) transforma el semiplano sperior en na región poligonal no acotada.. Si f (z) = A(z+) /2z /2(z ) /2, entonces w = f(z) transforma el semiplano sperior en n rectánglo. Bibliografía [] Harry Bateman. The transformation of the electrodynamical eqations. Proc. London Math. Soc., 8: , 9. 4 [2] Real Academia Española. 2