TEMA 3 FUERZAS CENTRALES: PROBLEMA DE DOS CUERPOS

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1 TMA 3 FZAS CNTALS: POBLMA D DOS CPOS

2 Poe e os ceos jo ezs centes Vos consie ináic e n siste oo o os ceos e ctún jo inenci e n otenci e sóo eene e istnci ente os ceos es eci jo n ez cent-: con x y z C.M. Qeeos exes Lgngin en nción e y :,,, T L

3 Poe e os ceos jo ezs centes,,, T L x y z C.M. M con M T M T

4 Poe e os ceos jo ezs centes Conseción e oento ine,,,,,,,,,,, :,,, M L ctesins n M L z y x z y x z y x z y x z y x z y x Oseos e hy tes cooens cícics: cte M M P cte M P cte M L P cte M L P cte M L P L L L z z z y y y x x x z x x Coo e Lgngino está einio so n cte teneos:, L

5 Fezs centes: Conseción e oento ng L, Coo eos e gngino sóo eene exicitente e óo e y no e s iección. Po tnto osee sietí esecto gios exeso en cooens eséics y coo e no tiene eenenci en os ángos-. Deostos en e cíto nteio e si e siste es ininte ente gios e oento ng es n cnti conse. Po tnto e oento ng es n cnti conse en n siste e os ceos intectno jo ezs centes. P cte n consecenci e conseción e oento ng es e e oiiento está contenio en e no e tiene o ecto no oento ng.

6 Lgngino e os ceos jo ezs centes en cooens oes,,,,,, L y x y x y x y x y x L Veos e gngin e os ceos jo ezs centes en cooens oes es cícic en,,,, y o tnto s oento conjgo seá n constnte e oiiento: cte L

7 Ley e s áes ª ey e Kee t t L cte A A t t cte L eoci eo áe i o ni e tieo es constnte en ináic e os ceos jo ezs centes. P e cso tic e oiiento netio est ey e eci o Johnnes Kee en 69 ts n estio exhstio e os tos exeientes enios o Tycho Bhe cec e s osiciones e net Mte.

8

9 Conseción e enegí,,, L Coo eos e gngino e n siste e ceos jo ezs centes es nción hoogene e go en s eocies y e otenci no eene e s eocies: Aeás e L no es nción exícit e tieo con o c: cte cte H t L t H ; T H

10 POTNCIAL FCTIVO tiizno e oento ng oeos escii enegí coo: L L V ; V Done coo y ios en e ie te se conoce coo e otenci eectio. De est exesión oeos esej eoci i coo: V n ig teneos e otenci eectio e otenci gittoio -/ : > e oiiento no es conino. L tíc se iige hci hst e cz e único nto e etoceso y eot cecieno ineiniente. Iéntico nteio eo eg ininito con 3 << oiiento seá conino ente os ntos e etoceso y 4. Son s istncis sies e óit eiheio, y 4 eio si se tt e n net eeo e so. 3 ecto e osición es cte e ig 3. s eci e oiiento es cic.

11 Tyectoi t y t Oteni con s constntes e oiiento t t t t t t t t V t V t V

12 ,,, 3 t t F F F L t L F L L L t L L t L Tyectoi t y t Oteni con s ecciones e Lgnge ecciones e oiiento

13 Óit ; F t t : ie e Cio F F F 3 3 Oscio ozo!

14 F Deshcieno e cio e ie oteneos: F st exesión es tién y úti etein ez e g n óit conoci Poe ineso e e csi esoió Kee Óit

15 Óit Ot osiii es tiizno s ecciones integes: cio e con V V t V t V : n Si Sociones nítics:. P n,- y -3 nciones cices. P n5,3,,-4,-5-7 integes eítics.

16 POBLMA D KPL ncont óit e cso e otenci gittoio: F F Poeos esoe integ e otenci gittoio, e e coo n integ cic ineit. O oeos esoe ección ieenci e este cso es e n oscio con n ez e ozo constnte y e tién es sencio. Lo esoeeos o os os étoos.

17 POBLMA D KPL < : Siiicno y c con si c x c x x x tio e es

18 POBLMA D KPL : áetos Deinieno os cción e n cónic en oes y con e oigen e cooens en no e ss o.

19 POBLMA D KPL Vos esoe e iso oe eo ho tiizno ección ieenci: st es ección e n oscio ónico con n ez constnte. n gene se ee eost e soción gene e n ección ieenci e este tio se ee escoone siee coo s e soción e ección hoogene ez ás n soción tic: A A A P H P P P H : A áetos Deinieno os cción e n cónic en oes y con e oigen e cooens en no e ss o.

20 eso e Secciones cónics en oes O P D Se n nto e os oco y one sitos nesto oigen e cooens O, y n ect iectiz. Toeos n nto cie e no P. g geoético e os ntos tes e: PO P cte es n cónic, one constnte ecie e noe e excentici. Si exesos eción nteio en oes: PO P DPO D D D D D > hiéo áo < eise cicneenci

21 eso e Secciones cónics en oes Cicneenci. cte si ise << < < < [ ] [ ] tie ogeo so eio tie eigeo so eiheio si < < x in x in,, x x o in x c

22 eso e Secciones cónics en oes Páo L consieos coo e cso íite e n eise e se cie en e ininito: si in cno ± in Hiéoe > in in Si in

23 POBLMA D KPL con egesos oe e Kee one híos enconto e óit se exes coo: Así o o e heos isto s secciones cónics: óit cic óit eític óic óit hieóic óit < < < < > > ª Ley e Kee

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25 POBLMA D KPL con Ls óits netis son eítics ª Ley e Kee entonces h e cise e eítico: eítics óits < < < < x x o in x c

26 POBLMA D KPL: Óits eitics con eítics óits < < < < x x o in x c Los ntos sies seán: : : x in eio eiheio Peioo e óit: 3/ A A t A t cte t A eise eise τ τ 3/ τ

27 POBLMA D KPL Tece Ley e Kee: 3 3 3/ 3/ 4 A eise τ τ x x o in x c con 3ª Ley e Kee

28 POBLMA D KPL: Oit teeste x x o in x c 3/ G G β τ β τ τ [ ] s s g s g g N g g N G tie so tie so tie so 3/ β β, A Tie ís hos s tie Tie so tie / β τ eio eiheio : :

29 POBLMA D KPL Peioos e s óits gnos nets: x x c o x in τ β 3 / net net β sonet 4 G so net 4 G so s si net << so β sonet / s. A τ ens β 3/ ens 4,669ís,65ños τ te β 3/ te 686,93ís,88ños τ jite β 3/ jite 4334,33ís,87ños τ stno β 3/ stno 759,85ís 9,46ños

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31 cción e Kee t L óit es y úti ccteiz e oiiento, eo si eeos ose n ojeto stonóico net, steite, coet, steoie, etc necesitos conoce e ángo en e teneos e nt nesto teescoio en n eteino tieo t. L exesión e tyectoi t eeos eás exes coo nción sóo e os áetos oites nentes: eioo τ y excentici. τ A t τ t τ A t τ τ ctea τ t τ cte; t t A t con

32 cción e Kee t x tg ctg x x x x x senx x x tiizno τ t τ / sen tg ctg t Se iniete hcieno n esoo en seie e exesión nteio: τ τ τ τ τ O t t t t t t L

33 cción e Kee t L exesión nteio ee es úti y cete gcis os oenoes eo hst eios e sigo XX hí e sc étoos tentios es s e gnes seies con s ecisiones tn ts e son necesis cácos stonói en inoes. oio Kee y ego Newton y chos e os ás iotntes teáti scon étoos encont exesiones nejes y eciss e tyectoi. n e Mion g 95 o en e Gostein g se een encont gnos e eos. Si eizos e cio e ie: Se ee eost e exesión nteio: ψ Ψ noí excéntic t τ ψ t τ τ ψ ψ n ez eset est ección tscenente tiizno ección e óit: y e cio e ie se ee otene t ti e eción: tg tg t τ ψ cción e Kee ψ ψ

34 esee s oi ección tscenente t τ Astonoi No 69 ψ ψ Te ohine 67 Ss ts e 3 eces ás eciss e ningn nteio Peijo n tánsito e ecio oseo o Piee Gseni n ño eés e s ete.

35 cción e Kee Vos esi í e étoo e Kee e nos oocion n inteetción geoétic noí excéntic y e jnto ección e Kee nos eitiá encont n senci exesión e óo e eoci e n ceo en s óit. De ig eos e es sencio eci sigiente eción geoétic: x y ψ senψ ψ óo e eoci e n ceo e sige n oit eític ciá: x y ψ ψ eino : t ψ ψ ψ ψ τ τ Sstityeno en exesión nteio oteneos: ψ 3 τ ψ τ

36 Tyectois óics e hieóics Páo ± cno si in in in L consieos coo e cso íite e n eise e se cie en e ininito: Hiéoe > > > > > in in in in Si con

37 Pecesión e s óits Heos enconto e otenci gittoio e siee e tyectoi ese cot, óit es n eise ce. P iscsión sigiente es coneniente eini e ángo si coo e ángo ecoio ente e eiheio y e eio. P n óit eític ce este ángo es exctente. Sin ego si etos igeente óit oe existen ots ezs e no híos incio en nesto náisis este ángo h e i y óit no seá ce. Cno etción se eeñ, e eiheio se oeá n cnti eeñ en c cico e óit ntenieno e no oit. s eci os ásies eiheio y eio ecesionán. n e oiiento netio ecesión iene cs o s etciones ocis o os otos nets y e hce e ez tot ente e so y e net se igeente istint e ez gittoio ente os os ceos. Mecio tiene n ecesión noente gne, eio eectos etiists. Ve Mion g 3.

38 Pecesión en óits ces. Cc e ϕ en n eioo coeto n otenci cent. ϕ t ϕ ϕ t t V L V L tiizno conseción e oento ng: ϕ L ; t L ϕ V L L L V ϕ L n n Sóo se ce : V / V/ eociones eioos L ϕ cte

39 Poe Songos n net oitno eeo e so con n otenci e tio L esenci e otos nets oitno eeo e so etn e otenci ñieno n téino e en e cso e siste so es eeño: GM δ <<< Detein e esziento ng e eiheio δφ eiheio e este net si: δ β δ γ 3

40 Soción: V V V t V t V Lo ieo es escii e esziento ng e ios e e: x in ángo ecoio cno í ese in x y ee in ios e e: Y e o oeos exes eino esecto áeto e o x in

41 x in Sstitios exesión e y oteneos: x in x in F δ δ δ Hgo n esoo e tyo e F en nción e δ x in x in x in F O O O F F F δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ

42 x in eiheio δ δφ econo e δ δ δφ x in eiheio δ δφ eiheio

43 Cso β δ O O eiheio β β δ β δ δ δφ L L β δφ eiheio x x o in x c con

44 Cso 3 γ δ eiheio γ γ γ γ γ γ γ δ δφ 6 γ δφ eiheio x x o in x c con Petción etiist

45 esoción Néic e cción e Kee n óit eític en nción e eioo oit τ y e excentici Ato e og: D. Jie Gcí Sánchez Ano e Mecánic y Ons 6/7

46 con x x o in x c : : x in eio eiheio.. 37, A τ

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49 CHOQS LÁSTICOS n choe ente os tícs se eástico si no hy éi e enegí cinétic en coisión. n este cso s ecciones e conseción nos oocionn: inici inici i i in i i Descien s intecciones css o otencies consetios e se nen en e ininito -es en t cso enegí cinétic en e ininito es enegí tot- cno os estos no son igos. n cso e eseci iotnci es ez e Coo. Moento in tíc i in Moento inici tíc i inici i in i i negí i negí inici tíc i in tíc i F ± j Tién escien s coisiones ente ceos y os sóio ígio coo es e cso e os choes ente os e i.

50 Siste e cento e ss y Siste e Lotoio x y z L T P Ls cnties eis en e siste cento e ss CM s esigneos con n steisco: L M L T M T M P Siste CM Siste L

51 Choes en e siste CM P in ot Coo ios en e CM: n este cso coo e oento tot es ceo, s tícs se cecn con oentos iges y oestos ejse con oentos iges y oestos ono n ángo con iección inciente. Conseción e oento ine Conseción e negí T Q P

52 Choes en e siste Lotoio n este cso tíc se cec con oento tíc os e está en eoso y o tnto con oento ϕ M V CM Moentos incientes Moentos sientes

53 eción ente os sistes CM y L Inteetción Geoetic C A O B ϕ AB 4 AB

54 eción ente os sistes CM y L Inteetción Geoetic C A O B h h : entonces Coo tg tg

55 Ángo áxio en e siste otoio O x econo e tzos n cicneenci e io cent en O. Aí eos geoeticente e cno < no existe iitción e ángo. Sin ego cno > éxistiá n o áxio e ángo e eene e cociente ente s ss. x > Tién oeos eg is concsión encontno os exteos e nción e ecion e ángo con : [ ] x si cnze soo tg > coo x

56 Ángo áxio en e siste otoio < cno í e, cece cnz n o íite. > cno í e, cnz n o áxio cno y o tnto x x O

57 TANSFNCIA D NGÍA n e siste e otoio enegí tot coincie con enegí cinétic inici e tíc. T M Pte e est enegí es tnsei tíc, e en e siste otoio est iniciente en eoso. L enegí e tíc ts e choe seá: T Po tnto cción e enegí tnsei seá: T T 4 M L áxi tnseenci e enegí se cnz y es Si eás s ss son iges tnseenci es e %. 4 M Cno yo es ieenci ente s ss eno es ts e tnseenci.

58 T T TANSFNCIA D NGÍA T 4 T De o náog oeos encont exesiones tnseenci e enegí en nción e ángo e es e e eios en os exeientos: 5 T T Si Si < > sóo ± ± eo < ϕ Songos n hz e tícs tos e s y enegí T nzs cont n nco coesto e átoos con ss e ien no se tos iges. Si oneos n etecto e ie enegí e s tícs isess n ángo e 9º esecto iección inciente encontos e esto e ig.

59 CHOQS NT DOS PATÍCLAS Q INTACCIONAN MDIANT N POTNCIAL CNTAL Heos enconto n seie e exesiones e etein os oentos ines tés e os oentos inicies y e ángo e isesión tg P oe etein e ángo es necesio conoce e otenci e intección y esoe s ecciones e oiiento. ϕ φ in φ

60 DISPSIÓN PO N POTNCIAL CNTAL N L CM j i φ φ esoeeos e choe en e siste CM esoieno e oe náogo e n tíc e s oiénose en n co cyo oigen está en eoso en e CM. oento ng seá: L enegí seá:,, L,,

61 DISPSIÓN PO N POTNCIAL CNTAL N L CM j e ne Coo tyectoi jo n otenci cent i φ φ e cento e otenci y e eiheio, teneos : es siétic esecto eje φ φ in in

62 φ in 4 4 in 4 4 φ in in 4 φ tg tg φ φ j i DISPSIÓN BAJO L POTNCIAL

63 4 φ in in φ tg tg φ φ j i DISPSIÓN BAJO L POTNCIAL

64 Sección eicz e isesión Consieeos isesión e n hz e tícs iéntics e incien hci e cento e isesión con eoci nioe eo con áetos e icto ieentes y e o tnto son isess jo istintos ángos. Se N e núeo e tícs isess o ni e tieo en ángos coenios ente y. Se n e núeo e tícs e o ni e tieo tiesn ni e seicie e n sección ect e hz. ensi e jo e tícs inciente N na n Sección eiczσ N n σ σ

65 Sección eicz ieenci Poeos i tién istición ng si, en nción e ángo sóio en ez e en nción e ángo no, eci e núeo e tícs isess con ángos sóios coenios ente Ω y Ω : N n Ω N Ω N Ω σ n Ω σ Ω ángo sóio ente os os conos geneos o ángos en e étice ente y es: Ω Sección icz ieenci σ Ω σ Ω N n Cáco Teóico Meición exeient

66 Sección eicz ieenci en e CM e n ese > < si V si V otenci e Se Sóo s tícs con < se isesn A se n otenci cent tyectoi h e se siétic esecto eje e ne e cento e otenci y in, o tnto os ángos e incienci y e si hn e se iges. Ω Ω Ω ϕ σ σ σ 4 4 σ σ Ls tícs isess tiesn n ese e io 4 σ σ Ω

67 eción ente sección eicz ieenci en e CM y en e SL Songos e y teneos sección eicz ieenci en e CM. ntonces oeos tiiz eción: exesión : tiizno est Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω σ σ σ oteneos eino tg o oto o y Ω Ω σ σ

68 Disesión e theo : otenci e Consieeos ecoeos eción e encontos ente e áeto e icto y e ángo e isesión: ctg tg tg Ω 4 4 σ / 4 4 σ Ω φ φ j i

69 Aoxición e ángos eeños en e SL cáco e sección eicz se siiic cho si consieos únicente eos choes con ángos e esición eeños. sto e otenci e Coo se coesone con áetos e icto gnes e o e e otenci se éi y o tnto tengos ángos e esición eeños. y Si y Po tnto : Si Fez es cent : C oo y ; y x F y ; t; Po x y t oto o x : y Fyt t t y x y y Fy x y y F y x y y y x y y. x t y

70 Poe : Vijes intenetios - Nes Voyge cóo eg en e ínio tieo y con e ínio conso e enegí?

71 TAYCTOIA LIPTICA TIA-ANO T T T no Tie x in,9, ,9, 9,.. 9,,5.. 8 A A A A A T T ños t T T eo 6. 3/ 3/ τ τ x

72 ,9,99 4 s GM T So eiheio.5,5 3 4 s eco ot tie o tie esce eiheio esege GM GM GM So So So Júite... 5 A J.., 9 A TAYCTOIA LIPTICA TIA-ANO

73 Tyectoi Tie-no con isesión o Júite V V júite júite i i CM: Oigen en Júite V V júite júite i β V Jite i i i V júite so Ne Júite i V J i s J 3 τj GM 6 So s J Heiocéntico:Oigen en e So i i Choe eástico! V V i i V júite júite i V i júite júite β

74 Choe con Júite V Jite so β i Ne Júite Tyectoi ái en zon one oin e co gittoio e júite, i i β β, i i i júite, i β T J, i i, i V V β 4.7s i júite J 5. T 8s

75 Qeeos si e choe con Júite con yo eoci osie Coo : V júite óo e eoci e si seá áxio si tot e si es e eoci e Júite: V júite áxio si V júite V s júite V Jite β i i GM 6 So s J so Ne Júite

76 Ango e isesión choc con Júite P consegi áxi eoci e si i β V Jite so i i Ne V J Júite i tg V Si tot e si es e eoci e Jite entonces e oo e eoci e si es áxio en e siste heiocentico. ntonces es ci eost e: júite V j i áxio β i β Vj GM J º si V júite

77 Óit nte e choe con Júite en e siste CM º 4.7J in.9j in >.. i J No se este! GM J tg. ; GM J GM J 4.7 J. GM J tg 4.7J.

78 Bnce enegético ts e choe negí e ne ntes ne i i GM So J negí e Júite ntes Júite i M J V J GM So J M J negí e ne esés negí e Júite esés ne GM So J Júite i M J V ' J GM So J M J ne ne ' i MJ VJ VJ M J V J V J M J Jite ne

79 Ne óit heiocéntic ts e choe con Júite in A GM GM J J J so J J so

80 TIMPOS D VLO t t < > tn ctn tn tn n si si t

81 TIMPOS D VLO < > tn ctn tn tn n si si t. Tieo e eo tie-júite o óit:,9, º 5.,9 5.,99,9,99,9,99 ángo T J J Júite ños t jite tie tn ctn

82 TIMPOS D VLO < > tn ctn tn tn n si si t. Tieo e eo júite-no o óit º ángo J no ños t no jite tn tn.9 n

83 t TIMPO D VLO τ τ 3/ 3/. ños T TIAANO 6 ÓBITADICTA T x t TIAJÚPITANO t t tiejúite júiteno ños

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