MECÁNICA DEL SOLIDO RÍGIDO

Transcripción

1 MECÁNICA DEL SOLIDO RÍGIDO ESTÁTICA 4.- Estática, Equilibrio La estática es la parte que estudia las interacciones - fuerzas, cargas, momentos- entre cuerpos o entre las diferentes partes de un cuerpo, cuando estos se encuentran en equilibrio estático. En esta lección se aborda el equilibrio de los cuerpos sólidos. Posteriormente se trata el equilibrio para el caso de fluidos

2 Mecánica del Sólido Rígido 1.- Introducción Cinemática, Dinámica y Estática 2.- Cinemática. Tipos de movimiento del sólido: Traslación, Rotación Movimiento Plano General Movimiento General 3.- Cinética. Fuerzas y aceleraciones. Energía y cantidad de movimiento. Momento Angular y Momento de Inercia Ecuaciones Fundamentales de la Dinámica 4.- Estática. Equilibrio.

3 INTRODUCCIÓN A LA ESTÁTICA Britannica, statics, in physics, the subdivision of mechanics that is concerned with the forces that act on bodies at rest under equilibrium conditions. Its foundations were laid more than 2,200 years ago by the ancient Greek mathematician Archimedes and others while studying the forceamplifying properties of simple machines such as the lever and the axle. The methods and results of the science of statics have proved especially useful in designing buildings, bridges, and dams, as well as cranes and other similar mechanical devices. To be able to calculate the dimensions of such structures and machines, architects and engineers must first determine the forces that act on their interconnected parts. Statics provides the analytical and graphical procedures needed to identify and describe these unknown forces.

4 Mecánica del sólido Rígido. Estática Condiciones para el equilibrio CONCEPTO DE EQUILIBRIO el concepto de equilibrio equivale a no aceleración, i.e. Una partícula se encuentra en equilibrio cuando permanece en reposo o se mueve a velocidad constante, lo que podemos expresar con la primera ley de Newton estableciendo que la resultante de fuerzas que actúan sobre la partícula es cero. F m a 0 Sistemas de partículas: El sólido rígido En general los objetos están compuestos de muchas partículas y para que se encuentren en equilibrio se requiere que todas y cada una de las partículas que forman el objeto o sistema de partículas se encuentren en equilibrio. Sin embargo la aplicación directa de la ecuación a todas y cada una de las partículas no es práctica. El sólido rígido un objeto que no se deforma- es un caso especial de sistemas de partículas.

5 Estática Condiciones para el equilibrio de un sólido rígido Un cuerpo perfectamente rígido se encuentra en equilibrio cuando: La suma de las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo en equilibrio tiene que ser cero, esto es las fuerzas se equilibran unas con otras. Las fuerzas aplicadas no hacen girar el cuerpo alrededor de cualquier eje. la tendencia a girar el cuerpo que unas fuerzas externas pueden producir es contrarrestada por otras. Las ecuaciones matemáticas que expresan estas condiciones se denominan las ecuaciones de equilibrio. ECUACIONES DE EQUILIBRIO DE UN SÓLIDO RÍGIDO F O 0 ext 1.- La resultante de las fuerzas externas aplicadas es cero 2.- El momento neto de las fuerzas externas aplicadas es cero.

6 Mecánica del Sólido Rígido Introducción: Estática, Equilibrio. Restaurant 1 m 1.5 m Restaurant

7 Mecánica del Sólido Rígido Introducción. El Sólido Rígido como un sistema de partículas especial Sistema de Partículas. Fuerzas Internas y Externas Sólido Rígido: Se define como aquel sistema de partículas que no se deforma. Esto es, si A y B son dos partículas cualesquiera de un sólido rígido, entonces la distancia entre A y B permanecerá sin cambios. Los límites de esta hipótesis son aquellas deformaciones debidas a la elasticidad y a la rotura del cuerpo. r B A AB r r B B / A r A C (a) Fuerzas externas, representan la acción de otros cuerpos sobre el que consideramos (b) Fuerzas internas son las fuerzas que sujetan juntas las partículas que forman el sólido rígido.

8 Mecánica del Sólido Rígido Fuerzas que actúan en un sólido rígido : -Sólo la acción de fuerzas externas sobre un sólido rígido puede producir cambio en el movimiento de traslación, rotación o ambos. -Principio de transmisibilidad: El efecto de una fuerza externa en un sólido rígido es exactamente el mismo cuando la fuerza se aplica en cualquier punto a lo largo de su línea de acción. [rigidez] Posteriormente se demostrarán utilizando Leyes de Newton. Necesitaremos introducir el concepto matemático de momento de una fuerza (torque) para expresar matemáticamente este principio La acción de la fuerza que ejerce la cuerda sobre el camión cuando los hombres tiren de ella sería la misma si empujaran con la misma fuerza en la trasera del camión en un punto situado a lo largo de la línea marcada por la cuerda?

9 Momento de una fuerza El momento de una fuerza respecto a un punto o a un eje como concepto matemático que expresa la tendencia a girar el cuerpo que imprime dicha fuerza respecto a un punto o a un eje Condición de equilibrio de no rotación Las fuerzas aplicadas no hacen girar el cuerpo alrededor de cualquier punto o eje. la tendencia a girar el cuerpo que unas fuerzas externas pueden producir es contrarrestada por otras El momento neto de las fuerzas externas aplicadas es cero.

10 Momento de una fuerza Momento de una fuerza. Respecto a un punto y respecto a un eje Pares de fuerzas. Momentos puros Qué efecto produce sobre un cuerpo un par de fuerzas (iguales y opuestas)? Representar el diagrama de solido libre sobre la llave grifa mostrada en la figura. Hacer el diagrama de sólido libre sobre la tuerca enroscada en la tubería Qué acción producen estas fuerzas? El momento de una fuerza respecto de un punto es un vector, cuyo módulo es el producto de la fuerza por la menor distancia entre la línea de acción de la fuerza y el punto. Su dirección es perpendicular al plano que forman la fuerza y el vector Su sentido está dado por la regla del tornillo

11 Momento de una Fuerza Producto Vectorial de dos vectores C A B C C A B sen( ) Significado geométrico del producto vectorial: El módulo del producto vectorial de dos vectores es el área del paralelogramo que forman A B B A Cuál es la expresión analítica del producto vectorial en función de los componentes? Recordar el concepto de producto escalar de dos vectores

12 Momento de una fuerza d Momento de una fuerza respecto de un punto [SI]= N.m O F r F O O M O M O (F) ( F) r F d r O O M O (F) O M O ( F) r F sin( ) d F Ver y demostrar que el momento de la fuerza respecto de un punto es el mismo cuando la fuerza se aplica en cualquier punto a lo largo de la línea de acción [concepto de vector deslizante]. Principio de transmisibilidad para la rotación.

13 Momento de una Fuerza Momento de una fuerza respecto de un punto unidades SI [N.m] O M O ( F) r F O M O ( F) r F sin( ) d F Momento de una fuerza respecto a un eje Se define como la proyección sobre la dirección del eje del momento de la fuerza respecto de cualquier punto de dicho eje. Expresa la tendencia al giro que imprime la fuerza respecto de dicho eje Si la dirección del eje la representamos por un vector unitario e, el momento de la fuerza respecto a un punto cualquiera O de dicho eje por M O (F), el momento de una fuerza respecto a un eje e se define como el producto escalar entre la dirección del eje y el momento de la fuerza respecto de un punto de dicho eje: M e. M ( F) e. r F ejee O

14 Mecánica del sólido Rígido. Estática Ecuaciones de equilibrio O F ext 0 Resolución de problemas. Manejo de las ecuaciones de equilibrio 1.- Dibujar un esquema 2.- Realizar el Diagrama de Sólido Libre sobre el objeto seleccionado Una grúa tiene una masa de 1000 kg y se usa para elevar un bloque de 2400 kg. Está sujeta por un pasador en A y por un balancín en B. El centro de masas de la grúa está situado en G. Determinar las reacciones en A y B

15 Mecánica del sólido Rígido. Estática Resolución de problemas 1.- Dibujar un diagrama limpio y claro que recoja las principales características del problema 2.- Dibujar el Diagrama de Sólido Libre sobre el objeto (o partícula) de interés. Para ello: Seleccionar el objeto o partícula. Identificar y representar en un nuevo dibujo todas las fuerzas externas que actúen sobre el objeto seleccionado. 3.- Elegir el sistema de referencia más conveniente para cada objeto e incluirlo en el DSL. 4.- Aplicar las ecuaciones de equilibrio escribiendo la ecuación en componentes de acuerdo con el sistema de referencia elegido 5.- Para problemas en que interactúan dos o más objetos hacer uso de la Tercera ley de Newton. 6.- Resolver el conjunto de ecuaciones que describen el el equilibrio 7.- Comprobar los resultados en cuanto a las unidades y verificar que son razonables. Un buen método es sustituir valores extremos en la solución.

16 Mecánica del sólido Rígido. Estática El centro de masas Centro de gravedad

17 Mecánica del sólido Rígido. Estática CONCEPTO DE EQUILIBRIO CONDICIONES PARA EL EQUILIBRIO F ext O 0

18 Mecánica del sólido Rígido. Estática CONDICIONES PARA EL EQUILIBRIO CONCEPTO DE EQUILIBRIO Pared sin fricción F ext O 0 Suelo rugoso

19 Mecánica del sólido Rígido. Estática Diagrama de Sólido Libre

20 Mecánica del sólido Rígido. Estática Un hombre sujeta un poste de 10 kg, que tiene una longitud de 4 m, tirando de la cuerda. Encontrar la tensión en el cable y la reacción en A El marco soporta parte de un tejado de un pequeño edificio. La tensión en el cable es 150 kn. Determinar la reacción en el punto E

21 Mecánica del sólido Rígido. Estática M E 0 : 20 kn 7.2m 20 kn 5.4m E y E x 200 kn F x 0 : Ex 90.0 kn kn 0 M E kn 20 kn 3.6m m 150 kn 4.5m 20 kn 1.8m M E 0

22 Reacciones en Apoyos y Conexiones Rodamientos Patines Balancín Superficie sin fricción Fuerza con línea de acción conocida Cable corto Eslabon corto Fuerza con línea de acción conocida Collarín sobre una barra sin fricción Perno o articulación que desliza en una ranura sin fricción Fuerza con línea de acción conocida

23 Reacciones en Apoyos y Conexiones Reacciones equivalen a un fuerza de dirección desconocida Articulación sin fricción, bisagra Superficie rugosa Fuerza de dirección desconocida Reacciones equivalen a una fuerza y a un momento o par. Soporte fijo: Empotramiento, soldadura Fuerza y momento

24 Equilibrio. Reacciones estáticamente determinadas Ecuaciones de equilibrio F x 0 Fy 0 M A donde A es cualquier punto del plano de la estructura. 0 Las 3 ecuaciones pueden ser resueltas para las tres incógnitas Cualquier otra ecuación no añade al sistema nueva información, pero puede utilizarse en vez de las anteriores F x 0 M A 0 M B 0

25 Reacciones estáticamente indeterminadas Mas incógnitas que ecuaciones Menos incógnitas que ecuaciones, pero parcialmente restringido Igual número de incógnitas que de ecuaciones pero impropiamente restringido

26 Mechanics of Rigid Body. STATICS Una plancha de longitud 3 m y masa M=35 kg está apoyada por apoyos a una distancia d =0.5 m desde el fín de la tabla, como se muestra en la figura. Un bloque B de masa m B =50 kg se coloca sobre la tabla como indica la figura. Determinar las reacciones en los soportes. El cartel de un restaurante de 30 kg cuelga de una barra de100 kg y longitud 3 m, que pivota en la pared y se sujeta mediante un cable como se muestra en la figura. Calcular (a) la tensión en el cable (b) las reacciones en la articulación. 1 m 1.5 m Restaurant Varios hombres tiran de un cable paralelo al suelo manteniendo el camión en reposo, como se muestra en a figura. Ni los frenos ni el motor están actuando; entonces (a) calcular la tensión en el cable, (b) las reacciones en las ruedas traseras y delanteras. Inclinación: 10º; masa del camión: kg: altura del cable sobre el suelo: 1 m; 1.5m 2m CM 2.5 m

27 Mecánica del Sólido Rígido FUERZAS. Taller Beer, F. and Johnston, P.. Mecánica Vectorial para ingenieros. McGraw-Hill