FUNCIÓN CARACTERÍSTICA

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1 FUNCIÓN CARACTRÍTICA Aíd vgli Frádz * * po d Mmái, Fld d Ciis s y Tologí, Uivrsidd Niol d Tmá INTROUCCIÓN L Fió Crrísi s dfi omo l sprz mmái d vril lori ompl, dsmpñ ppl impor l állo d proilidds, omo isrmo líio ls dmosrios d los orms límis. L Fió Crrísi d vril lori s fió d vril rl q om vlors omplos, q prmi l pliió d méodos líios, s dir, d álisis fiol l sdio d l proilidd. s mro si s idifi l disriió d l vril lori osidrd o mdid posiiv, l Fió Crrísi s domi rsformd d Forir d l mdid orrspodi. L Fió Crrísi d vril lori, sí omo l fió grdor d momos o l fió d disriió mld o l fió d dsidd o d ms dfi l disriió d proilidd d dih vril lori. l méodo d ls Fios Crrísis f irodido ls proilidds por Lypov 94 pr l dmosrió dl Torm Crl dl Lími q hoy llv s omr. L vrsió dfiiiv d s orm f oid posriorm por Lidrg.

2 i dd q l myor impori dl sdio d l Fió Crrísi rdi l hho q prdr y mr s hrrmi, mos omú d l orí d proilidds fili l dmosrió dl rsldo más impor d ll: l Torm Crl dl Lími. s ro s prsrá primro l dfiiió d vril lori ompl y oros opos prlimirs. l ió dos s dfiirá Fió Crrísis y s dmosrrá los orms rlivos más impors. Tmié s drá lgos mplos. l ió rs s dmosrrá l Torm d Ivrsió. Lgo l ió ro s dmosrrá los Torms Límis ilizdo l Fió Crrísi. l ió io s drá pliió l mpo d l físi. Film s drá olsios dl sdio rlizdo y frs proyios.

3 CCIÓN Copos Prlimirs L Fió Crrísi d vril lori s dfi omo l sprz mmái d l vril ompl i. mos sdir primro ls vrils loris ompls y prgros ómo los orms rlivos ls vrils loris rls s pd plir ls vrils loris ompls. Vril Alori Compl y η vrils loris rls, s dir dfiids dl spio msrl R. dfi vril lori ompl omo α iη. L disriió d proilidd d α s rriz por l disriió d proilidd d y d η. sprz Mmái d Vril Alori Compl dfi l sprz mmái d α iη por: ( α ) α dp Ω Vl q ( α ) ( ) i( η) impr q ( ) < y ( η ) < fo ( α ) α dp ( iη) dp dp iη dp dp i η dp ( ) i( η) Ω Ω Ω Ω Ω Ω Vrils Aloris Compls Idpdis Ls vrils loris α iη y α iη s llm idpdis si y solo si (, η ) y (, η ) lo so. L idpdi d vris vrils loris s grliz l igl q l so rl.

4 4 Torm.: i,,..., α α α so vrils ompls idpdis y si ls sprzs mmáis ( ) α o,, is, s v fáilm q: ( ) α α mosrió: L dmosrió l hrmos por idió:. ( ) ( ) ( ) α α α α fo: ( ) ( )( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) α α η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η α α i i i i i i i i i i i i i i. pogmos válido pr - vrils loris y promos q vl pr. s dir: ( ) α α fo: ( ) ( ) ( ) ( ) α α α α α α α α

5 Torm.: vril lori ompl α l q ( α ) < os ( α ) α. mosrió: Por hipósis podmos sriir: Ω α dp ρ iθ Admás si α dp Ω Lgo Ω ρ iθ os Ω α θ dp ρ i, α _ iθ dp ρ ρ (.) Por propidd d l igrl Ω iθ iθ ( α ) dp R α dp ρ R (.) Admás R iθ iθ iθ ( α ) α α α Ω Usdo l propidd d moooí d l igrl vl q: Ω ( i ) dp α dp R α θ (.) Ω os sdo (.) (.) y (.) podmos sriir: Ω α dp Ω iθ ( α ) dp dp ρ R α Ω 5

6 CCIÓN fiiió d Fió Crrísi y lgos orms impors L Fió Crrísi d vril lori s fió d vril rl q om vlors omplos, q prmi l pliió d méodos líios. s ió sdirmos l dfiiió y ls propidds d ls Fios Crrísis. Tmié vrmos lgos mplos impors. Fió Crrísi llm Fió Crrísi d vril lori l sprz mmái d dir: i i ( ) ( ) s fió d l vril rl y s l dsig omo ( ) ( i ) Por lo o i () ( ) i, s od F( ) s l fió d disriió mld o rpriió d, y ( ) rsformd d Forir ils d F ( ). s l i l disriió d s disr, pdido omr los vlors o, o proilidd p o,, () s sri () p i l fió d disriió d s solm oi o f ( ) F ( ) i Lgo () i i () ( ) f d s l Trsformd d Forir d f ( ) por dsidd s 6

7 Osrvios: L Fió Crrísi d vril lori lqir solo dpd d s disriió. Ls Fios Crrísis d vrils loris q i l mism disriió so idéis, s s impor rsldo q prormos sios posriors. i L fió dfiid omo () ( ) s pd domir por osigi, Fió Crrísi d F( ) (lo mismo q Fió Crrísi d vril lori q g por fió d disriió F( ) ) Tod fió d disriió i Fió Crrísi porq l igrl d ils i i simpr is pso q. fo i i < Lgo i l so grl q pd omr vlors difrs d los ros posiivos, l fió grdor d momos o fió grriz o s dfiid, mirs q l Fió Crrísi is simpr. mplo: X vril lori o disriió d Chy o prámros α y β. fió d dsidd d proilidds s dd por: f ( ) L fió grdor d momos vi dd por: i < < os <, lgo ( ) d ( ( ) ( ) d < ) ( ) ( ) d 7

8 fo pr rsolvr ( ) d, srimos lim d hor llmos l ( ) igrl idfiid ( ) d ( ) d d rg q s igrl imdi q vi dd por: ( ) Cllmos hor l igrl dfiid r los límis y d rg ( ) ( ) rg rg() rg() rg() Tommos lími pr dido lim d lim rg ( ) () lim rg() < i < < os > ( ) d lim ( ) L igrl idfiid d rsl rvés dl méodo d ssiió, llmdo d d d d ssiydo rsl q: d d l l Cllmos hor l igrl yos límis d igrió so y d ( ) l( ) l( ) d l l Tomdo lími pr dido rsl lim ( ) lim l( ) d lim l Por lo o si ( ) i s sig q ( ) > por moooí d l sprz. i Lgo l fió grdor d momos ( ) Crrísi d l disriió d Chy vi dd por: o is, si mrgo l Fió 8

9 Torm.: i i ( ) d i simpr q (), l igldd orr do. mosrió: i i () ( ) i ( ) ( ) () Torm.: L fió () s iformm oi l irvlo < <. mosrió: Promos q:, :, (, ),( ( ) ( ) > δ > < δ < > y limos > l q P( > ) < i s dsig por A l sso > s i vidm i i () P( A ) P( A ) A i Como ( A ) A, por l Torm. s dd i () P( A ) P ( ) Y q A A < i i () P( A ) P( A ) A A i i () P( A ) P( A ) A A Tomdo vlor solo mos mimros i i () P( A ) P( A ) A A 9

10 i i () P( A ) P( A ) P ( A ) P( A ) A Por osigi i i ( ) ( ) A Pso q si spomos i ( ) P( A ) < A i ( ) P( A ) < A i i A < ( ) ( ) P( A ) ( ) ( ) P( A ) i i ( ) ( ) P( A ) A A A i i ( ) P( A ) ( ) P( A ) i i A < A A Por lo o i i ( ) ( ) A i i iz i dz o < (.) rsl: pr y < δ i i Promos (.) i os i os i i Pso q s ( ) i s( ) ( ) i s( ) ( ) os( ) i[ s( ) s( ) ] os (.) ( z) dz os( z) os( ) os( ) [ os( ) os( ) ]

11 os ( z) dz s( z) s( ) s( ) Rmplzdo (.) i i i s dir q i i i s os iz dz ( z) dz i os( z) dz i i s( z) dz os( z) ( z) dz i s( z) dz i os( z) is( z) Tomdo vlor solo mos mimros [ ] dz i dz iz dz i i i iz dz Promos hor q i iz dz si < iz iz iz iz i dz i dz dz dz dz Lgo d i i i iz dz Rsl q i i Pso q sdo (.) i ( ) i δ i s sig q < si dmás < os <, lgo dod por propidd d l sprz rsl

12 i i A oly q ( ) ( ) < Pr pr < δ < < δ dod δ > dpd solm d Torm.: i i y so oss y si η os ( ) ( ) η mosrió: η iη iη i( ) i i i i i () ( ) i i i ( ) ( ) i Torm.4: i,...,, so úmros rls lsqir,, () z z,..., z úmros omplos lsqir, si s l Fió Crrísi d vril lori y si z iy s l úmro omplo ogdo d z iy, s i q: h ( ) z z h h mosrió: h i( h ) ( h ) zh z ( ) Osrvmos q: i i Lgo z z i( h ) zh zh z h h h ih i zh h z ih i h z h h ( ) z h z ih i zh h ih zh h z h ih z h i z

13 Osrvió: Ls fios q vrifi ( ) h z z s llm dfiids posiivs. U orm ol d Bohr di q od fió ( ) dfiid posiiv o ( ) s pd hr orrspodr fió d disriió y ( ) s l Fió Crrísi, pro o drmos dmosrió d s orm. h h Torm.5: Pr odo rl, ( ) () rlió l orig () s fió rl pr d.. i prilr l fió d disriió d s siméri o mosrió: Promos lm prvio: f ( ) d f ( )d f ( ) ( ) iv( ), lgo f ( ) ( ) iv( ) od f : A C, : A R, v : A R ( ) d [ ( ) iv( ) ] d ( ) d i v( ) d f ( )d f Promos mié q l fió d disriió d s siméri s dir q y i l mism disriió. Y X, o X vril lori o disriió siméri, lgo R (, ) os ( ) R,. Y FY ( y) P( Y y) P( X y) P( X y) FX ( y) Como X s siméri rspo dl orig vl q f ( ) f ( ) f ( y) f ( y)( ) f ( y) f ( y) Y X X X Prormos sios posriors q si dos vrils loris i l mism disriió, ss Fios Crrísis so idéis. so olirmos q () ( ) Co sos rsldos prormos l sis: X X X i i i i i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ()

14 i( ) i( ) () ( ) ( ) ( ) Podmos olir q () () ( ) () Por osigi ( ) s rl y pso q ( ) ( ), ( ) s fió pr. Torm.6: i,,..., so vrils loris mm idpdis, l Fió Crrísi d s sm s igl l prodo d ls fios rrísis d d d lls: () () mosrió: Usdo l Torm. podmos sriir: i i(... ) () i i i i i ( ) (... ) ( ) () Osrvios: l Torm.6 prs l propidd d ls Fios Crrísis sor l l s poy l gr éio q h ido s pliió állo d Proilidds. fo, l fió d disriió d sm d vrils loris idpdis s l prodo d ovolió d ls fios d disriió d vrils; l állo d s prodo d ovolió s omplido l myorí d ls vs. Por l orrio, l Torm.6 prmi llr my fáilm l Fió Crrísi d sm d vrils loris idpdis prir d ls Fios Crrísis d ss érmios pso q s, simplm, l prodo. ls propidds d l Fió Crrísi s pd ddir ls propidds d l fió d disriió omo s vrá sios posriors. l ríproo dl Torm.6 s flso. ( ) ( ) ( ) idpdi d y. o rsl l 4

15 Cormplo: ido disriió d Chy. L Fió Crrísi d vi dd por: () () () () ( ) Y o s idpdi d si mismo. Torm.7: i los primros momos ( ) M o,,, d l vril lori is, l Fió Crrísi () s difril vs y s i i M pr,,,. ( ) ( ) mosrió: F( ) l fió d disriió mld d. i Ps i Lgo is l igrl i ovrg iformm i i ( ) ( ) ( ) ( ) < i () i ( ) ' ps podmos irmir prosos límis por l ovrgi iform. prilr ' ( ) i ( ) i ( ) im Rpiido l oprió s oi ( ) i () i ( ),,,,. Rmplzdo, rsl ( ) ( ) i ( ) i M,,,,. 5

16 Torm.8: pogmos l disriió d s solm oi. i l dsidd d f ( ) d s vs difril (,, ) y si f ( ) ( )d is pr,, s i ( ) lim. mosrió: i i ( ) f ( ) d lim f ( ) d i Igrmos por prs l igrl idfiid dd por f ( ) d dv ( ) d f ( ) f ' i d Rmplzdo rsl q: i f i i i ( ) d f ( ) f '( ) d Clldo l igrl r y f i i i i i v i i d, llmmos: i i ( ) d f ( ) f '( ) d f () f ( ) f '( ) d Tomdo lími pr dido i i i i i lim f ( ) d lim [ f () f ( ) f '( ) d] so s lim f i i i i i i i i i i () lim f ( ) lim f '( ) d] Cosidrdo q lim f ( ) ( ) i pr,,, - omo osi d ls hipósis hhs, lgo i i i i i i i i () lim f '( ) d lim f '( ) d lim f '( ) d Igrdo vm por prs dv ( ) d f ' ( ) f ' ' i d v i i i 6

17 Rmplzdo rsl: i f ' i Cllo l igrl r y f ' i i ( ) d f '( ) f ''( ) d i i i i i i i ( ) d f '( ) f '( ) d f '() f '( ) f ''( ) d Tomdo lími pr dido lim f ' lim f ' i i ( ) d lim f '( ) f '( ) f ''( ) i i Por hipósis lim i i i i () lim f '() lim f ''( ) d f ' i i i i i i i ( ) d lim f ''( ) d lim f ''( ) d i i i () lim f ''( ) d i i s dir q lgo d igrr dos vs por prs rsl q i i () lim f ''( ) d Por lo o igrdo vs por prs odré i i ( ) i ( ) i () lim f ( ) d f ( ) d dod i i i i ( ) i ( ) i ( ) () f ( ) d f ( ) d f ( ) i f ( ) i i d i ( ) i ( ) i ( ) d f ( ) d f ( ) d i i Osrvmos q ( ) Lgo ( ) () f ( )d Llmo i i, dmás i i i i d 7

18 Lgo f ( ) () ( )d Pso q, por hipósis f ( ) ( ) s igrl sor ( ), l sis rsl d i ( ) i () f ( ) d gris l Lm d Rimm sor l igrl d Forir (s Lm firm: l ofii d Forir d fió L id ro do id ). Osrvió: L dsigldd () s vidm irs l sdio dl ompormio d () pr vlors grds d. gú l Torm.7, l rglridd (difriilidd) d ( ) ompormio d ( ) f pr drmi l ompormio d ( ) s drmid por l, sgú l Torm.8, l rglridd d f ( ) pr. Hy iro sido, dlidd r los dos orms. so lo plirmos posriorm mdi l Torm d Ivrsió. Torm.9: i los primros momos d, M ( ) pr o,,, is, s i (o M ),! ( i) o( ) M () mosrió: Por l Torm.7 vl q ( ) i () i ( ) srrollmos () lrddor d sdo Tylor y mié q ( ) ( ) i ( ) i M ' i () i ( ) 8

19 ''... ( ) i () i ( ) i () i ( ) Como dsrrollrmos lrddor d, rmplzmos por, lgo ' ''... i ( ) i ( ) ( ) ( ) i ( ) im ( ) Lgo ( ) i ( ) i M ( ) i ( ) i M ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ''... o( ) im ( i) M o( )! i M... i M!!!! o! ( )! s orm hmos ilizdo l símolo o, pr rprsr l o d Ld. Rordmos q: ds dos ssios { } { } os s do o( ), ( > pr odo ), si. lim 9

20 Admás dds dos ssios { } { } úmro rl N ls q M pr odo N do O( ) do s odiió s qivl lim, ( > pr odo ), si is os M y Pr vir ofsió r los dos símolos o, O mhs vs dirmos o pqño, O grd rspivm. sro so: ( i) ( i) M! M! i M lim lim!, lgo ( ) i M o( )! Torm.: M is y si i odos los momos d l vril lori, ( ),,,... M lim sp! R s fiio, l domiio d dfiiió d ( ) s pd dr omplo: s i, pr < R () ( i) M,! () s ilso fió líi holomorf od l d v < R dl plo omplo iv. mosrió: Por l Torm.7, omo odos los momos d l vril lori is, ( ) ifiim difril l po, s dir vl q: Por l Torm.9, s dd q: ( ) ( ) i M s

21 ( ) i rzó d () i ( ) Promos q pr odo rl y pr od () Pso q ( ) M (),,,, M ( i)! ( ) i i i ( ) i ( ) i ( ) i ( ) Como i i y () ( ) ( ) ( ) ( ) M gú l dsigldd d Chy_wrz ( ) M M ( ) ( ) M M fo ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) M Admás M ( M M ) M M M M Así M M M M M M M M

22 M M M M Lgo por lo prodo s vl q ( ) M ( ) M M M l hho q M! < R ) y ( ) () lim sp, ( ) M Omos q pr odo rl ( ) ( M ( ) lim sp.! R Lgo () s holomorf odo l diso < R por lo o vl l orm. M i s pr () ( ) M M ( ) ( ) M ( )! ( )! ( ) ( ) M ( )! ( )! ( ) ( ) M limsp ( )! ( )! R limsp i s impr s dmsr d mr álog. Osrvió: Rsl dl Torm. q l fió ( ) M,,, simpr q () qd rm drmid por l ssió M lim sp <. fo sgú () M i,! R s drmid por l ssió M } l diso R { ( )! pr <, lgo, l vlor d ( ) odo rl s drmido por l prologió líi. Vrmos q l fió d disriió s drmid prir d l Fió Crrísi. Lgo si s vrifi q limsp M ( )! R l disriió d s fid por l ssió M ( ),,. l

23 prolm d vrigr si los momos M ( ) drmi ívom l fió d disriió F ( ) d osiy l prolm d los momos d ils. grl, l ssió d los momos o s pr drmir F ( ). Fios Crrísis d lgs disriios impors mplo : isriió Gssi (o Norml o Lpl Gss) L fió d dsidd d proilidd vi dd por: f ( ) μ σ σ σ V, vril lori orml sádr, s dir o μ ( ) y ( ) f lgo ( ) os i i i i () ( ) f ( ) d d i llmo z-i dz d lgo z ( i) i i i ividido rsl: z lgo ( i) i i i z z () dz dz L L z od L s l r horizol z-i ( < < ) z dl plo omplo; s fió r, s fió s ps, l lo lrgo d rv rrd lqir, prilr lo lrgo dl ráglo R d véri -i, -i,, -. Promos q

24 4 dv dz v i z, v> Cosidrmos ( ) z z f y L l sgmo d r q los pos -i o. Pso q ( ) ( )() ()d z z f dz z f L ' o. od ( ) [ ] z z L,, : s prmrizió d L, mos q: i [ ],, : i z L o ( ) ( ) ( ) i z z i z ' ( ) d i d i id dz i wi i L z Por lo o d d i dz i i L z Admás i Por lo o d d d dz i L z Llmo -v d -dv i - v i v ( ) ( ), dv dv v v Lgo dv dz v i z, [ ] v, Por lo o v>

25 z so impli q lim dz i dod s sig q s dir L z dz d () dz d L z Como d por propidd d l fió d dsidd, por osigi () mplo : isriió poil. L fió d dsidd d proilidd vi ddo por: > f ( ), >, oro so Cllmos hor l Fió Crrísi: i i i i ( i ) () ( ) f ( ) d d d ( i ) ( i d lim ) d d Vmos rsolvr d _ ( i) ( i) d ( i ) d d i ( ).Usrmos l méodo d ssiió, llmo d i i i Cllmos hor l igrl dfiid r y ( i ) ( i ) d d d i i ( i ) ( i ) ( i ) Tomo lími pr dido ( i ) [ ] [ ] [ ] ( ) i ( i ) ( i ) lim d lim i i i 5

26 Por lo o () i i dd sgid por l Torm.6, q vril lori q g disriió d ord, s dir i i, o i pr i,,.., idpdis idéim disriids y d sprz mmái i por Fió Crrísi i () Pso q () () i i i i i mplo : isriió Uiform L fió d dsidd d proilidd vi dd por: Co y R, <. f ( ), < <, oro so vril lori disriid iformm l irvlo (, ) Cllmos hor l Fió Crrísi:. i i () ( ) f ( ) s i ( ) d i d i i d i i i i d i i i d i i i d s ( ) mplo 4: isriió d Chy. l fió d disriió d Chy d prámros α y β 6

27 7 ( ) β α β f, < < Co R β α, i α y β ( ) [ ] f Cllmos hor l Fió Crrísi: () ( ) ( ) d d d f i i i i Usdo l Torm dl rsido vlmos hor pr >: [ ] ( ) ( )( ) i i i i i i i i i i i i i i i f ir d lim lim, Así () ( ) i i d mplo 5: isriió Biomil L fió d dsidd d ms vi dd por: ( ) q p p,,,,, Cllmos hor l Fió Crrísi () ( ) ( ) ( ) i i i i q p q p q p p

28 CCIÓN Torm d Ivrsió L Fió Crrísi d vril lori s l rsformd d Forir d s dsidd o l sigo mido. Así s q mdi l Fió Crrísi podmos or l dsidd d l disriió d proilidd y vivrs mdi l Torm d Ivrsió. s ió sdirmos los rsldos prlimirs l Torm d Ivrsió. Tmié dmosrrmos s Torm. Torm.: Torm d Ivrsió ) i () s l Fió Crrísi d l fió d disriió ( ) pos d oiidd d F ( ) ( ) < s i q: F y si y so i i i i F( ) F( ) () ( ) d (.) i i ) Tod fió d disriió s drmid omplm por s Fió Crrísi. l prdo ) rsl imdim d ), fo si s oo () l fórml dd ) d l irmo d F ( ) odo l irvlo yos rmos o s slos d F ( ) oos d slos s mrl s pd hr dr hi. Como l rorrido úim l oo d los pos d oiidd; l fórml dd ), l so, F( ) odo po d oiidd. Pro omo, por dfiiió F ( ) s oi por l izqird, s dir R, FX ( ) P( X < ), s pd or l vlor d ( ) F los pos d disoiidd hido dr por l izqird hi sos pos. Pso q l orm d iidd ) rsl d ) por l fórml d ivrsió dd llí, sr os dmosrr ). As d r l dmosrió hgmos lgs osrvios. Vimos l ió q ( ) ( ). i ( z) fórml dd ) s po l form: R dsig l pr rl dl úmro omplo z, l F i ( ) F( ) R () d i i (.) Ps 8

29 F i i i i ( ) F( ) () () d i i i i i i i i i i () () () () d Alimos i i i i i () () () () ( ) ( ) i i i i i i () () () () i i i i R i i i R i i i i i i i () () () ( ) ( ) () i i i i R i R i i Lgo F ( ) F( ) R R i () ( ) i R i i ()( ) d i i i d osrv q ls prs rls d ( ) y d prs imgiris so imprs. fo: Promos q R[ ( ) ] s pr i i i so fios prs, mirs q ss i [ () ] R ( ) R [ os( ) is( ) ] ( ) os( ) ( ) R os ( ) f ( )d Llmo G() R[ () ] os( ) f ( )d G ( ) os ( ) f ( ) d os( ) f ( ) d G( ) Como G ( ) G( ), os ( ) G s pr. 9

30 Promos hor q i i R s fió pr i Como i os ( ) is( ) y i os ( ) is( ) i i R i i os os i s i i ( ) is( ) os( ) is( ) ( ) s( ) os( ) s( ) ( ) s( ) os( ) os( ) s i ( ) s( ) ( ) ( ) s s Llmo L(), promos q s pr: i i, podmos sriir: [( ) ] s[ ( ) ] s( ) s( ) s( ) s( ) s L ( ) Como L ( ) L( ), os L ( ) s pr. Vmos hor q Im () s impr [ ] L() i () f ( ) d [ os( ) is( ) ] f ( ) d os( ) f ( ) is( ) f ( ) Llmo H () Im [ () ] s( ) f ( )d [ ]d ( ) s[ ( ) ] f ( ) d ( ) s( ) f ( ) d s( ) f ( ) d H ( ) H Como H ( ) H ( ) Tmié promos q, os ( ) Im ( ) ( ) os os Llmo N() i N ( ) os [( ) ] os[ ( ) ] i( ) Como N( ) N( ) i i i os, os ( ) H s impr os ( ) os( ) os( ) os( ) i ( ) os( ) os( ) os( ) i N s impr i i N () s impr Lo mismo orr o ψ () () i i i

31 ψ i () f ( ) s d [ os ( ) is( ) ] f ( ) L pr rl d ψ () s: [ () ] os( ) R ψ ( ) s( ) os( ) os( ) s L pr imgiri d ψ () s: [ () ] os( ) Im ψ i llmo M () R[ ψ () ] M ( ) os [ ( ) ] s s d os i ( ) s( ) os( ) os( ) d ( ) s( ) s ( ) os( ) [( ) ] s[ ( ) ] ( ) s os ( ) s i ( ) os( ) s [ ( ) ] f ( ) s( ) os ( )d f ( )d [( ) ] os[ ( ) ] f ( )d ( ) os( ) ( ) s( ) os s os ( ) s( ) f Lgo Rψ () s pr [ ] i llmo J () Im[ ψ () ] J ( ) os [ ( ) ] os ( ) os os ( ) Lgo Imψ () s impr. [ ] os os [( ) os[ ( ) ] ( ) os( ) ( ) os( ) Vmos hor q ψ ( ) ψ ( ) ψ s s ( ) s ( ) s [ ( ) ] s s ( ) s( ) ( ) s( ) ( ) ( ) () () () i i i i i i () ψ () i i i i i sigdo por Im( z) l pr imgiri d z, s i i ( ) d M ( ) [( ) ] s[ ( ) ] f f ( )d ( ) d J ( ) i i i f ( )d

32 T T Im [ ψ () ] d pr T > Osrvió: Prvim promos l sigi Lm: f : R R os: mosrió: f impr, f ( ) f ( ) T () f impr f d T T () d f () d f ()d f T T i llmo s- ds-d, lgo rmplzdo rsl: T T () d f ( s)( ds) f () d f ( s)( ds) f () d [ f () s ] ds f () f T T T f T () s ds f () T d Lgo, omo y promos q Im[ ψ ( ) ] dod s sig prir d T T T T s impr, qd dmosrd l firmió rior d d F ( ) F( ) R i i ( )( ) d i i i ( )( ) d T Q F( ) F( ) T lim i T mhos rsos s d l fórml d ivrsió l form rior. Pro mirs q l igrl grlizd (.) is simpr, o s pd dir lo mismo d i i () d i Cdo s igrl is, s vlor s, ( ) F( ) F. Vmos dmosrr, hor, l fórml (.), pro drmos l sidd, pr llo d dos lms simpls:

33 LMA : Llmmos (, T ) T ( α) d s α. Pr odo α rl y odo T posiivo, s (, T ) Admás lim ( α, T ) T s ( α) d α. pr α < pr α pr α Y l ovrgi s iform pr α δ >, sido δ úmro posiivo rirrim pqño. > mosrió: fio ( ) s ( ) d. i ( α, T ) ( αt ) ps si (, T ) α d d α d d, α > α Rplzdo ( α, T ) αt αt ( ) d s( ) s α α ( ) s ( ) d Promos q vl s igldd ( ) w, dw d Lgo si s ( ) d, llmo w T ( α) d s α por hipóis, si llmo d ( αt ) o mié ( ) ( ) w ( ) ( ) d s,,,, Así ( w ) dw s w Osrvmos q:

34 s ( w ) s( w) os ( ) os( w) s( ) Como os( ) Y ( ),,, 4,...,,, 5,... s pr,, Lgo s( w ) s( w)( ) Así ( ) ( w)( ) s w ( ) d s dw ( ) Promos hor q ( ) ( w) s dw w ( ) d s s ovrg. Osrvió: Usmos l sigi ririo pr pror s firmió: { } ssió dri q id ro os l sri lrd ( ) ovrg. Llmo ( ) d s. o pror ) ) dri ) < < ( ) < ( ), o (, ) y,,,... Lgo ( ) s( ) ( ) ( ) s < < Por moooí d l igrl s( ) ( ) ( ) d s d Mliplido mos mimros d l dsigldd por 4

35 5 ( ) ( ) ( ) d s d s os vl ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d s d s d s Pr rsolvr s igrl so l méodo d ssiió llmo d d d d l l Tomdo los límis d igrió r y podmos sriir: ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) d l l l l l l i os l Lgo omo vl ) y ), por l ririo s ido, s dd q ( ) ovrg. ( ) ( ) d s pr ( ) Rsl pr pr ( ) pr ( ) i s impr ( ) pr ( ) Osrvmos q si s pr ( ) d s y < Lgo vl ( ) ( ) ( ) [ ] pso q ( ) ( ) ( ) ( ) d s d s d s ( ) ( )

36 i s impr ( ) d s y < Lgo si ( ) os [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) y q ( ) ( ) s( ) d s s d d s ( ) d ( ) Lgo, odos los sos, ( ) pr. fo: Osrvmos q ( ) s d ( ) Admás omo ( ) i y os ( ) ( ) ( ) ( ) Fl dmosrr q ( ) s d d d Pso q ( ) ( ) ( ) i llmo y q s s ds d ( ) d Vl q si s Y si - s ( ) ( ) s( s ) s( s ) s( ) s ( ) d ds ds s s sig pr odo rl ( ) d ( ) 6

37 Y q < os >, lgo vl lo q promos s, s dir ( ) ( ) ( ) Así ( ) ( ) si < si > Lgo ( ), d dod ( ) os o los rsldos riors promos q: pr α < s ( ) ( α) lim α, T d pr α T pr α > Rsl d l fórml i ooid ( ) s dir smos q Admás ( ) s s ( ) ( ) d d, o s s ( ) d ( ) d Al omzr l dmosrió promos q ( α, T ) ( αt ), o s lim ( α, T ) lim ( αt ) i α > ( α T ) ( ) lim T T T i α < ( αt ) ( αt ) lim T ( α T ) lim ( αt ) ( ) T ( ) i α ( ) s d ( α T ) lim ( ) lim T T 7

38 L ovrgi iform rsl d ( α, T ) ( αt ) pr ( ) (, ) irvlo m idpdizo dα., ps s LMA : ( T z,, ) ( z,, ) (, z,, ) T [ ( z ) ] s[ ( z ) ] d s, y T s Pr odos los rls z,, y odo T posiivo ( T, z,, ) [ ( z ) ] s[ ( z ) ] d i dmás < lim T (, z,, ) ( z,, ) T pr pr pr < z < z o z z < o < z L ovrgi s iform pr z < δ y z < δ (pr δ > rirrio) mosrió: l Lm rior dfiimos ( α, T ) T s ( α) d i llmo α z os ( α, T ) ( z, T ) i llmo α z os ( α, T ) ( z, T ) ( α) s Promos q f ( α ) s pr: s ( ) [( α ) ] s( α) s( α) f α f Como α, f ( α ) f ( α ), os f ( α ) s pr Lgo ( z, T ) ( z, T ) T T T T s s [( z ) ] d [( z ) ] d ( α ) T T s s [( z ) ] d [( z ) ] d 8

39 ( z, T ) ( z, T ) T T T T s s Mliplio por mos mimros Lgo [ ( z T ) ( z, T )] T [( z ) ] s[ ( z ) ] d d T [( z ) ] s[ ( z ) ] T T, Por l Lm pr odo R s ( T, z,, ) [ ( z T ) ( z T )] d [( z ) ] s[ ( z ) ] α y T posiivo ( α, T ) d Como z R y z R vl q ( z, T ) y ( z, T ) (, z,, ) [ ( z T ) ( z, T )] ( z, T ) ( z, T ) T Por lo o ( T, z,, ) [ ( z, T ) ( z, T )] ( ) 4 < promos lim ( T, z,, ) T pr pr pr < z < z o z z < o < z Por l Lm lim ( α, T ) T pr α < pr α pr α > Alimos < z <. Podmos olir q z > y z <, lgo ( z, T ) lim T lim T ( z, T ) omo lími mos mimros, vl q Como ( T, z,, ) [ ( z T ) ( z, T )] [ ] ( ) lim ( T, z,, ) lim ( z T ) lim ( z, T ) T T T [ ] 9

40 z ó z. pogmos q z y os Lgo ( T, z,, ) ( z, T ) lim ( T, z,, ) lim ( z, T ) T T z >, podmos olir q ( z, T ). z < ó z >. pogmos q z < y z < podmos olir q z < lim T lim T z <. Lgo: ( z, T ) ( z, T ) omo lími mos mimros, vl q Como ( T, z,, ) [ ( z T ) ( z, T )] [ ] ( ) ( ) lim ( T, z,, ) lim ( z T ) lim ( z, T ) [ ] ( ) T T T L ovrgi iform rsl dl Lm, ps si llmo α z y α z, por l Lm l ovrgi s iform pr α δ >, lgo l ovrgi s iform pr z δ > y z δ > pr δ rirrim pqño. Aordrmos, hor, l dmosrió dl Torm ). i q: y i i R () d i fo pso q: s s s [ ( z ) ] [ ( z ) ] i i ( z ) i( z ) i ( z ) i( z ) i [ ( z ) ] s[ ( z ) ] iz i iz i iz i i i i s [ ( z ) ] s[ ( z ) ] iz i iz i i iz i i i iz i i i iz ( z)d i (.) iz iz i i iz i i ( ) ( ) i i i i iz i i ( ) ( ) i i 4

41 s [ ( z ) ] s ( z ) [ ] iz i i iz i i ( ) ( ) R i iz R i Lgo si igrmos mos mimros s [ ( z ) ] s[ ( z ) ] iz i i ( ) i i i ( ) i ( ) ( ) z R ( z) i i i iz ( ) R ( z) i ( ) ( i i ) iz R z R iz i Así si igrmos vm y mliplimos por i () ( i i ) i i [ ( z ) ] s[ ( z ) ] i i s R () d ( z)d i Hs hor hmos prodo q lgrim (.) vl. Por or pr, pso q y so pos d oiidd, s i, sgú l Lm ( ) F( ) ( z, ) ( z) F, Pr dmosrr i i F( ) F( ) R () d i Bs pror, por osigi, q s posil mir l ord d igrió ls igrls l sgdo mimro d (.). L difild s q l igrl s [ ( z ) ] s[ ( z ) ] d, q rprs ( z, ), o s solm ovrg. Pro rzó dl Lm, smos q ( T, z,, ) ( z,, ) id iformm ro sor od l r rl o lsió d los irvlos 4

42 δ < z < δ y δ < z < δ, dod δ s úmro posiivo rirrim pqño. Admás, sos irvlos (,, ) T, z. Pso q y so pos d oiidd d F ( ), s i ( T, z,, ) ( z) ( z,, ) ( z) F( ) F( ) Por or pr lim. T (, z,, ) ( z) T T T T T s [ ( z ) ] s[ ( z ) ] [ ( z ) ] s[ ( z ) ] d s ( z) ( z) d (.4) Aqí s pd irmir l ord d igrió, porq l igrdo s solm igrl l domiio < z <, < T. i s ps l lími hido dr T l Torm. ) Rsl d (.4) rzó d lo srio riorm. i y so slos d F ( ) s r modifido ligrm l dmosrió F ( ) F( ) F( ) F( ) R () i F( ) s solm oi, l dsidd f ( ) F' ( ) mié fió d () f ( ) i i i d pd, rlm, prsrs. Limiémoos l so q l igrl ()d is. l so ( h) F( h) s( h) i i lim [ () ( ) ]d F lim h h h 4 h Pso q F ( h) F( h) () ( h) i( h) ( ) () ( ) ( h) i( h) i ih ih i ih ih () ( ) ( ) ( ) s i i i ih i i i () s( h) ( ) s( h) ( h) i i [ () ( ) ]d i ih i i i i ih i i d i d ih d d 4

43 ivido mos mimros h F ( h) F( h) s( h) i i [ () ( ) ]d h 4 h Tomo lími pr h dido ( h) F( h) s( h) i i lim [ () ( ) ]d F lim h h h 4 h Pso q ()d is y s h ( h) i i [ () ( ) ] () y q i [ ] i i i i i i () ( ) () ( ) ( ) ( ) R ( ) s h ( h) R i s [ () ] ( h) h () R h i i ( () ) () () pd, vird dl Torm d Lsg (o Torm d l Covrgi omid), irmir los sigos d lími igrió y os s oi f h i ( ) () d od l igrl dl sgdo mimro s fió oi d. fo: ( ) f ( ) ) >, δ > :, domf ( < δ f <, dom f, <, < T f i i i i ( ) f ( ) () d () d ()( ) i i () d Promos q vl q i ( ) i Pr llo osrvmos lo sigi: i os( ) ( ) is i os( ) ( ) is i os( ) ( ) os( ) ( ) i is is [ os ( ) ( ) ] i[ s( ) s( )] os i d 4

44 s( z) dz os( z) [ os( ) ( )] os os( z) dz s( z) s( ) s( ) Por lo o i i s os z ( z) dz i os ( z) dz i ( z) dz i s( z) dz i dz Tomdo vlor solo mos mimros i ( ) i z z i dz dz dz Por lo o i ( ) f ( ) i i f () d δ < T T d T < Torm.: Ls fios d disriió F ( ),,, ovrg hi fió d disriió F ( ) si y solm si ls Fios Crrísis ( ) d ls ( ) fió () oi pr. s so ( ) s l Fió Crrísi d ( ) ovrg iformm hi ( ) odo irvlo fiio. ls () F ovrg pr F y mosrió: mosrrmos primro q l odiió s sri. Hy q dmosrr q si lim ( ) F( ) odo po d oiidd d F ( ), s sig q ( ) ( ) F i () ( ) > lim (.5) o, sido (.5) l ovrgi odo l irvlo fiio. limos úmro > l q 8 F ( ) < y F ( ) > 8 y s pos d oiidd d ( ) F ls q 44

45 i os ( ) > i > <, fo 4 i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) > > Alimos l igrl idfiid ( ) f ( ) d F( ) Cllmos hor ( ) F( ) F( ) F( ) l mism mr llmos ( ) F( ) F() F( ) Lgo > i ( ) lim ( ) lim ( ) lim[ F( ) F( ) ] lim[ F() F( ) ] ( ) F( ) F( ) F( ) F( ) F( ) F < Y pr, l o dpdr d, d más q d, s i 8 F ( ) < y F ( ) Lgo > > 8 i ( ) < pr. 4 Por osigi, pr i () () d[ F ( ) F( ) ] (.6) fo: 45

46 i i () () ( ) ( ) i i i i i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i < > i i i i i i i ( ) ( ) ( ) ( ) i i i ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] d [ F ( ) F( ) ] 4 4 > > > Igrdo por prs omos, pr T, i d [ F ( ) F( ) ] F ( ) F( ) F ( ) F( ) T F ( ) F( )d fo: Llmo i dv d [ F ( ) F( ) ] v F ( ) F( ) (.7) d i i d i d i { } i F ( ) F( ) i [ F ( ) F( ) ] [ F ( ) F( ) ] i [ ] i i [ F ( ) F( ) ] [ F ( ) F( ) ] i F ( ) F( ) Tomdo vlor solo mos mimros i d d [ ]d i i i [ F ( ) F( ) ] [ F ( ) F( ) ] [ F ( ) F( ) ] i [ F ( ) F( ) ] i i Como i i i F i i ( ) F( ) F ( ) F( ) i F ( ) F( )d d 46

47 i d [ F ( ) F( ) ] F ( ) F( ) F ( ) F( ) F ( ) F( ) F ( ) F( ) F ( ) F( ) F ( ) F( )d d Como T i d [ F ( ) F( ) ] F ( ) F( ) F ( ) F( ) T F ( ) F( )d Pso q ( ) F( ) F l Torm d Lsg os prmi irmir l ord d igrió y dl pso l lími y l sgdo mimro d (.7) y, por osigi sgú (.6); mié () () s dir id iformm ro pr T. () () F ( ) F( ) F ( ) F( ) T F ( ) F( ) Por ovrgi podmos: () () < d rmos hor id d l dmosrió d q l odiió s sfii, s dir q lim o () lim F. ( ) ( ) oi pr odo rsl ( ) ( ) F gú orm ooido d Hlly, s pd rr d l ssió { ( ) } { ( ) } q ovrg hi fió moóo o dri ( ) F oiidd d s. F sssió F odo po d mosrrmos hor q s fió F ( ) s fió d disriió. Bs dmosrr q F ( ), F ( ) y F ( ) s oi por l izqird. s úlim odiió pd rlizrs simpr por modifiió ovi d F ( ) ss pos d oiidd. Pso q F ( ) s lími d fios d disriió s i simpr q F ( ). Bs, os, dmosrr q ( ) F( ) F. mosrrmos, primro l fórml sigi pr >. [ F ( y) F( y) ] fo dy os ( ) () d (.8) 47

48 I () Y q ( ) ( ) os os () d os F ( y) F ( y) R R R iy iy ( )( ) () () s s i ( y) ( y) d d ( y) d ( y) d Igrdo mos mimros r y Como s ( y) [ F ( y) F ( y) ] dy R () dy s ( y) os dy R () ( y) s s ( y) ( y) dyd d dy [ os( ) os( ) ] os ( ) os( ) Así [ F ( y) F ( y) ] dy R () Como iy os ( y) is( y) R R iy os [ F ( y) F ( y) ] dy os( y) ( y) ( ) os iy os ( ) ( ) os d ( ) ( ) d d d ( y) ( y) ido igrl s q os ( ) y ( ), s pd mir l ord d ls igrios. 48

49 os ( ) d Pso q si lizmos l igrl idfiid ( ) os( ) os( ) s( ) os d d d Cllmos l igrl r y os ( ) os( ) s( ) d os ( ) s( ) d d d (.9) Tomdo lími pr os ( ) os( ) s( ) d lim ( ) s ( ) d s i f () s pr rsl q ( ) s i f () s impr rsl q i > ( ) i < f ( ) Lgo s d ( ) s( ) d d s [ ( ) ] s( ) s( ) ( ) s f s ( ) [ ( ) ] s( ) s( ) d f f os d, > dod rsl pr y os( ) y pr y os( y) d y pr y pr y Lgo I ( ) ( y ) ( y) () () i s igr por prs l sgdo mimro, s oi l sgdo mimro d (.8). 49

50 Como F ( y) F ( y) F ( ) F ( ) s fió o dri d y, s oi: os Y q si omo y F ( ) ( ) F ( ) F ( y) F ( y) ()d Igrdo mos mimros r y [ F ( ) F ( ) ] dy F ( y) F ( y) [ ]dy (.) Como [ F ( ) F ( ) ] dy [ F ( ) F ( ) ] (.) s sig q [ F ( ) F ( ) ] Lgo os [ F ( ) F ( ) ] os ( ) ( ) ()d ()d Admás si llmo d d d, s pd ddir q y q d os ( ) os ( ) d os( ) () d Así qd prodo q F ( ) F ( ) os ( ) d ()d pogmos q y so dos pos d oiidd d F ( ) y q rorr l ssió { } Aplido simpr l Torm d Lsg sor irmio dl pso l lími y d l igrió, s pd sriir: F ( ) F( ) fo y vimos q: F ( ) F ( ) os ( ) os d ( ) ()d (.). 5

51 Tomdo lími mos mimros podmos sriir: lim [ F ( ) F ( ) ] os lim Por ldo limos lim ( ) ()d [ F ( ) F ( ) ] lim F ( ) lim F ( ) F( ) F( ) Admás ( ) ( ) os( ) os os lim () d d lim Co lo qd prod l firmió rior Como () s oi pr y ( ) pso q ( ) d s oi simpr gris l Torm d Lsg y ido (.9) q si omo lími pr i: lim [ F( ) F( ) ] i lizmos lim F F lim os ( ) d [ ( ) ( )] lim F( ) lim F( ) F( ) F( ) Por oro ldo lim s dir F os ( ) F( ) ( ) os( ) os( ) d lim d ( ) os ( ) d Como F ( ) F( ), mié F ( ) os F ( ) F( ) Así podmos olir q F ( ) F( ) d (.) s Por osigi F ( ) y F ( ) ; F ( ) s, si dd, fió d disriió. Qd ú por vr q () s l Fió Crrísi d F ( ) y q od ssió { F ( ) } ovrg hi F ( ) ; pr so, sgú l orm d Hlly, s dmosrr q o s pd rr d l ssió { F ( ) } ig sssió ovrg hi fió difr d 5

52 F ( ). Pro ss dos proposiios rsl imdim dl Torm. ) y d l pr dmosrd s dl Torm.. Lgo d l ssió d fios d disriió { ( ) } sssió q ovr hi F ( ) ; so spo q ( ) F( ) F,, o s pd rr ig F L ovrgi iform l rlió ( ) ( ) lim. lim pr T (T rirrim fido) rsl d l primr pr dl Torm. (odiió sri). l orm. qd, ps, dmosrdo omplm. 5

53 CCIÓN 4 Torms Límis s los orms d ls fios rrísis psos sios riors, podmos hor ordr los orms rlivos ls disriios límis. Los más impors r llos, llmdos Torms Crls dl Lími, prs l hho d q l disriió d l sm d úmro my grd d vrils loris idpdis, odiios grls, s proim disriió Norml. sos orms dvl ls rzos por ls ls, mhos mpos d pliió s r odo momo disriios Normls o si Normls. U mplo ípio d s hho s l so d los rrors d mdid, l rror ol s l rsldo d gr úmro d rrors pqños. Los orms rls dl lími sifi, d s modo, l hipósis d q los rrors d mdid sá Normlm disriidos; por so l disriió Norml s llm mié ly d rrors. l Torm Crl dl Lími, s form más simpl, s i sí: Torm 4.: Torm d Moivr_Lpl,,..., vrils loris mm idpdis idéim disriids, o disriió Brolli d prámro p, os i p i R lim P Φ( ) p( p) disriió Norml sádr. O i ( ) Φ( ) lim pr < < F dod Φ ( ) s l fió d disriió d l dod ( ) F s l fió d disriió mld d i i ( p) p p Ls vrils loris so spi my prilr: solm om los vlors y. l Torm Crl dl Lími, omo grlizió imdi dl Torm d Moivr-Lpl s i sí. 5

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