Ejercicios de Estadística y Probabilidad (2/3)

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1 Ejercicios de Estadística y Probabilidad (2/3) Profr. Fausto Cervantes Ortiz Distribuciones de probabilidad 1. Determine el valor c de modo que cada una de las siguientes funciones sirva como distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X: a) f(x) = c(x 2 + 4), para x = 0, 1, 2, 3; R: 1/30 ( ) ( ) 2 3 b) f(x) = c, para x = 0, 1, 2. R: 1/10 x 3 x 2. La vida útil, en días, para frascos de cierta medicina de prescripción es una variable aleatoria que tiene la función de densidad f(x) = { (x+100) 3 x > 0 0, en cualquier otro caso. (1) Encuentre la probabilidad de que un frasco de esta medicina tenga una vida útil de a) al menos 200 días; R: 1/9 b) cualquier lapso entre 80 a 120 días. R: 1000/ El número total de horas, medidas en unidades de 100 horas, que una familia utiliza una aspiradora en un periodo de un año es una variable aleatoria continua X que tiene la función de densidad x 0 < x < 1, f(x) = 2 x 1 x < 2, 0, en cualquier otro caso. Encuentre la probabilidad de que en un periodo de un año, una familia utilice su aspiradora a) menos de 120 horas; R: 0.68 b) entre 50 y 100 horas. R: La proporción de personas que responden a cierta encuesta enviada por correo es una variable aleatoria continua X que tiene la función de densidad (2) f(x) = { 2(x+2) 5, 0 < x < 1, 0, en cualquier otro caso. (3) a) Muestre que P (0 < X < 1) = 1. R: b) Encuentre la probabilidad de que más de 1/4 pero menos de 1/2 de las personas contactadas respondan a este tipo de encuesta. R: Un embarque de 7 televisores contiene 2 unidades defectuosas. Un hotel realiza una compra azar de 3 de los televisores. Si x es el número unidades defectuosas que compra el hotel, encuentre la distribución de probabilidad de X. Exprese los resultados de forma gráfica como un histograma de probabilidad. R: (0,2/7), (1,4/7), (2,1/7) 1

2 6. Encuentre la función de distribución acumulada de la variable aleatoria X que represente el número de unidades defectuosas en el ejercicio Con F (x), encuentre a) P (X = 1); R: 4/7 b) P (0 < X < 2). R: 5/7 F (x) = 0, x < 0, 2 7, 0 x < 1, 6 7, 1 x < 2, 1, x Una firma de inversiones ofrece a sus clientes bonos municipales que vencen después de varios años. Dado que la función de distribución acumulada de T, el número de años de vencimiento para un bono que se elige al azar, es encontrar f(x) = 0, t < 1, 1 4, 1 t < 3, 1 2, 3 t < 5, 3 4, 5 t < 7, 1, t 7. a) P (T = 5); R: 3/4 b) P (T > 3); R: 3/4 c) P (1.4 < T < 6). R: 1/2 8. La distribución de probabilidad de X, el número de imperfecciones por 10 metros de una tela sintética en rollos continuos de ancho uniforme, está dada por x f(x) Construya la función de distribución acumulada de X. R: 0.41, 0.78, 0.94, 0.99, El tiempo de espera, en horas, entre conductores sucesivos que exceden los límites de velocidad detectados por un radar es una variable aleatoria continua con distribución acumulada { F (x) = 0, x < 0, 1 e 8x, x 0. Encuentre la probabilidad de esperar menos de 12 minutos entre conductores sucesivos que exceden los límites de velocidad a) usando la función de distribución acumulada de X; R: 1 e 96 b) utilizando la función de densidad de probabilidad de X. R: 1 e Una variable aleatoria continua X que puede tomar valores entre x = 1 y x = 3 tiene una función de densidad dada por f(x) = 1/2. a) Mostrar que el área bajo la curva es igual a 1. R: b) Encuentre P (2 < X < 2,5). R: 1/4 c) Encuentre P (X < 1.6). R: 0.3 (4) (5) 2

3 Media y varianza de una variable aleatoria 1. La distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X es f(x) = ( 3 x ) ( ) x ( ) 3 x 1 3, x = 0, 1, 2, Encuentre la media y la varianza de X. R: 3/4, 2. La distribución de probabilidad de X, el número de imperfecciones por cada 10 metros de una tela sintética, en rollos continuos de ancho uniforme, está dada como x f(x) Encuentre el número promedio de imperfecciones en 10 metros de esta tela, y la varianza. R: A un dependiente de un autolavado se le paga de acuerdo con el número de automóviles que lava. Suponga que las probabilidades son 1/12, 1/12, 1/4, 1/4, 1/6, y 1/6, respectivamente, de que el dependiente reciba $7, $9, $11, $13, $15 o $17 entre 4:00 p.m. y 5:00 p.m. en cualquier viernes soleado. Encuentre las ganancias que espera el dependiente para este periodo específico, así como la varianza. R: $ Al invertir en unas acciones particulares, en un año un individuo puede obtener una ganancia de $4000 con probabilidad de 0.3, o tener una pérdida de $1000 con probabilidad de 0.7. Cuál es la ganancia esperada por esta persona? Encuentre la varianza de la misma. R: $ Suponga que un distribuidor de joyería antigua se interesa en comprar un collar de oro, para el que las probabilidades son 0.22, 0.36, 0.28 y 0.14, respectivamente, de que pueda venderlo con una ganancia de $250, venderlo con una ganancia de $150, venderlo al costo o venderlo con una pérdida de $150. Cuál es su ganancia esperada? Cuál es la varianza? R: $88 6. Un piloto privado desea asegurar su avión por $200,000. La compañía de seguros estima que puede ocurrir una pérdida total con probabilidad de 0.002, una pérdida de 50 % con probabilidad de 0.01 y una pérdida de 25 % con probabilidad de 0.1. Si se ignoran todas las demás pérdidas parciales, qué prima debería cobrar cada año la compañía de seguros para tener una utilidad promedio de $500? Cuál es la varianza asociada? R: $ Si la ganancia de un distribuidor, en unidades de $5000, para un automóvil nuevo se puede ver como una variable aleatoria X que tiene la función de densidad f(x) = { 2(1 x) 0 < x01, 0, en cualquier otro caso. Encuentre la ganancia promedio por automóvil. Calcule la varianza. R: $ Sea X una variable aleatoria con la siguiente distribución de probabilidad: x f(x) Encuentre la media y la desviación estándar de X. R: La variable aleatoria X, que representa el número de errores por 100 líneas de código de programación, tiene la siguiente distribución de probabilidad: Encuentre la media y la varianza de X. R:

4 x f(x) Suponga que las probabilidades son 0.4, 0.3, 0.2 y 0.1, respectivamente, de que 0, 1, 2 ó 3 fallas de energía eléctrica afecten cierta subdivisión en cualquier año dado. Encuentre la media y la varianza de la variable aleatoria X que representa el número de fallas de energía que afectan esta subdivisión. R: 1.0 Teorema de Chebishev 1. Suponga que lanza 500 veces un dado balanceado de 10 lados (0, 1, 2,..., 9). Con el teorema de Chebyshev, calcule la probabilidad de que la media de la muestra, X, esté entre 4 y 5. R: Una variable aleatoria X tiene una media µ = 12, una varianza σ 2 = 9, y una distribución de probabilidad desconocida. Usando el teorema de Chebyshev, estime a) P (6 < X < 18); R: 3/4 b) P (3 < X < 21). R: 8/9 3. Una variable aleatoria X tiene una media µ = 10 y una varianzaσ 2 = 4. Utilizando el teorema de Chebyshev, encuentre a) P ( X 10 3); R: 4/9 b) P ( X 10 < 3); R: 5/9 c) P (5 < X < 15); R: 21/25 d) el valor de la constante c tal que P ( X 10 > c) R: Calcule P (µ 2σ < X < µ + 2σ) donde X tiene la función de densidad f(x) = { 6x(1 x), 0 < x < 1, 0, en cualquier otro caso. y compare con el resultado dado por el teorema de Chebyshev. R: , Considere una variable aleatoria X con función de densidad f(x) = { 1 5, 0 x 5, 0, en cualquier otro caso. a) Encuentre µ = E(X) y σ 2 = E[(X µ) 2 ]. R: 2.5, 2.08 b) Demuestre que el teorema de Chebyshev es válido para k = 2 y k = 3. Distribuciones discretas 1. Se elige a un empleado de un equipo de 10 para supervisar cierto proyecto, mediante la selección de una etiqueta al azar de una caja que contiene 10 etiquetas numeradas del 1 al 10. Encuentre la fórmula para la distribución de probabilidad de X que represente el número en la etiqueta que se saca. Cuál es la probabilidad de que el número que se extrae sea menor que 4? R: 3/10 2. Se dan dos altavoces idénticos a doce personas para que escuchen diferencias, si las hubiera. Suponga que estas personas responden sólo adivinando. Encuentre la probabilidad de que tres personas afirmen haber escuchado alguna diferencia entre los dos altavoces. R:

5 3. En cierto distrito de la ciudad la necesidad de dinero para comprar drogas se establece como la razón del 75 % de todos los robos. Encuentre la probabilidad de que entre los siguientes cinco casos de robo que se reporten en este distrito, a) exactamente 2 resulten de la necesidad de dinero para comprar drogas; R: b) al menos 3 resulten de la necesidad de dinero para comprar drogas. R: De acuerdo con Chemical Engineering Progress (noviembre de 1990), aproximadamente 30 % de todas las fallas de operación en las tuberías de plantas químicas son ocasionadas por errores del operador. a) Cuál es la probabilidad de que de las siguientes 20 fallas en las tuberías al menos 10 se deban a un error del operador? R: b) Cuál es la probabilidad de que no más de 4 de 20 fallas se deban al error del operador? R: c) Suponga, para una planta específica, que de la muestra aleatoria de 20 de tales fallas, exactamente 5 sean errores de operación. Considera que la cifra de 30 %. anterior se aplique a esta planta? Comente. R: De acuerdo con una investigación de la Administrative Management Society, la mitad de las compañías estadounidenses dan a sus empleados 4 semanas de vacaciones después de 15 años de servicio en la compañía. Encuentre la probabilidad de que entre 6 compañías encuestadas al azar, el número que da a sus empleados 4 semanas de vacaciones después de 15 años de servicio es a) cualquiera entre 2 y 5; R: b) menor que 3. R: Un prominente médico afirma que 70 % de las personas con cáncer pulmonar son fumadores empedernidos. Si su aseveración es correcta, a) encuentre la probabilidad de que de 10 de tales pacientes con ingreso reciente en un hospital, menos de la mitad sean fumadores empedernidos; R: b) encuentre la probabilidad de que de 20 de tales pacientes que recientemente hayan ingresado a un hospital, menos de la mitad sean fumadores empedernidos. R: De acuerdo con un estudio publicado por un grupo de sociólogos de la Universidad de Massachusetts, aproximadamente 60 % de los consumidores de Valium en el estado de Massachusetts tomaron Valium por primera vez a causa de problemas psicológicos. Encuentre la probabilidad de que entre los siguientes 8 consumidores entrevistados de este estado, a) exactamente 3 comenzarán a tomar Valium por problemas psicológicos; R: b) al menos 5 comenzarán a consumir Valium por problemas que no fueron psicológicos. R: Al probar cierta clase de neumático para camión en un terreno accidentado, se encuentra que 25 % de los camiones no completaban la prueba de recorrido sin ponchaduras. De los siguientes 15 camiones probados, encuentre la probabilidad de que a) de 3 a 6 tengan ponchaduras; R: b) menos de 4 tengan ponchaduras; R: c) más de 5 tengan ponchaduras. R: Según un reportaje publicado en la revista Parade, una encuesta a nivel nacional de la Universidad de Michigan a estudiantes universitarios de último año revela que casi 70 % desaprueban el consumo de mariguana. Si se seleccionan 12 estudiantes al azar y se les pide su opinión, encuentre la probabilidad de que el número de los que desaprueban fumar mariguana sea a) cualquier valor entre 7 y 9; R: b) a lo más 5; R: c) no menos de 8. R:

6 10. La probabilidad de que un paciente se recupere luego de una delicada operación de corazón es 0.9. Cuál es la probabilidad de que exactamente 5 de los siguientes 7 pacientes intervenidos sobrevivan? R: Un ingeniero de control de tráfico reporta que 75 % de los vehículos que pasan por un punto de verificación son de residentes del estado. Cuál es la probabilidad de que menos de 4 de los siguientes 9 vehículos sean de otro estado? R: Un estudio examinó las actitudes nacionales acerca de los antidepresivos. El estudio reveló que aproximadamente 70 % cree que los antidepresivos en realidad no curan nada, sólo disfrazan el problema real. De acuerdo con este estudio, cuál es la probabilidad de que al menos 3 de las siguientes 5 personas seleccionadas al azar tengan esta opinión? R: Se sabe que el porcentaje de victorias para que el equipo de baloncesto Toros de Chicago pasara a las finales en la temporada fue Redondee 87.7 a 90 con la finalidad de utilizar la tabla A. 1. a) Cuál es la probabilidad de que los Toros ganen los primeros 4 de los 7 de la serie final? R: b) Cuál es la probabilidad de que los Toros ganen toda la serie final? R: c) Qué suposición importante se realiza para contestar los incisos a) y b)? R: Se sabe que 60 % de los ratones inoculados con un suero quedan protegidos contra cierta enfermedad. Si se inoculan 5 ratones, encuentre la probabilidad de que a) ninguno contraiga la enfermedad; R: b) menos de 2 contraigan la enfermedad; R: c) más de 3 contraigan la enfermedad. R: Suponga que los motores de un avión operan de forma independiente y fallan con probabilidad igual a 0.4. Suponiendo que un avión tiene un vuelo seguro si funcionan al menos la mitad de sus motores, determine si un avión de 4 motores o uno de 2 tiene la probabilidad más alta de un vuelo exitoso. R: el de 2 motores 16. Si X representa el número de personas del ejercicio 5.13 que creen que los antidepresivos no curan sino que sólo disfrazan el problema real, encuentre la media y la varianza de X cuando se seleccionan al azar 5 personas y después utilice el teorema de Chebyshev para interpretar el intervalo µ ± 2σ. R: 3.5, a) En el ejercicio 5.9 cuántos de los 15 camiones esperaría que tuviera ponchaduras? R: 3.75 b) De acuerdo con el teorema de Chebyshev, hay una probabilidad de al menos 3/4 de que el número de camiones entre los siguientes 15 que tengan ponchaduras caiga en un intervalo? En cuál? R: [0.396,7.104] 18. Un estudiante que maneja hacia su escuela encuentra un semáforo. Este semáforo permanece verde por 35 segundos, ámbar cinco segundos, y rojo 60 segundos. Suponga que el estudiante va a la escuela toda la semana entre 8.00 y 8:30. Sea X 1 el número de veces que encuentra una luz verde, X 2 el número de veces que encuentra una luz ámbar y X 3 el número de veces que encuentra una luz roja. Encuentre la distribución conjunta de X 1, X 2 y X 3. R: 19. Según el periódico USA Today (18 de marzo de 1997) de 4 millones de trabajadores en la fuerza laboral, 5.8 % resultó positivo en una prueba de drogas. De quienes resultaron positivos, 22.5 % fueron usuarios de cocaína y 54.4 % de mariguana. a) Cuál es la probabilidad de que de 10 trabajadores que resultaron positivos, 2 sean usuarios de cocaína, 5 de mariguana y 3 de otras drogas? R: b) Cuál es la probabilidad de que de 10 trabajadores que resultaron positivos, todos sean usuarios de mariguana? R: c) Cuál es la probabilidad de que de 10 trabajadores que resultaron positivos, ninguno sea usuario de cocaína? R:

7 20. La superficie de un tablero circular para dardos tiene un pequeño círculo central llamado ojo de toro y 20 regiones en forma de rebanada de pastel numeradas del 1 al 20. Asimismo, cada una de estas regiones está dividida en tres partes, de manera que una persona que lanza un dardo que cae en un número específico obtiene una puntuación igual al valor del número, el doble del número o el triple de éste, según en cuál de las tres partes caiga el dardo. Si una persona atina al ojo de toro con probabilidad de 0.01, atina un doble con probabilidad de 0.10, un triple con probabilidad de 0.05 y no le atina al tablero con probabilidad de 0.02, cuál es la probabilidad de que 7 lanzamientos tengan como resultado ningún ojo de toro, ningún triple, un doble dos veces y dar fuera del tablero? R: De acuerdo con la teoría genética, cierta cruza de conejillos de Indias tendrá crías rojas, negras y blancas con la relación 8:4:4. Encuentre la probabilidad de que entre 8 crías 5 sean rojas, 2 negras y 1 blanca. R: 21/ Las probabilidades de que un delegado a cierta convención llegue por avión, autobús, automóvil o tren son, respectivamente, 0.4, 0.2, 0.3 y 0.1. Cuál es la probabilidad de que entre 9 delegados a esta convención seleccionados al azar, 3 lleguen por avión, 3 por autobús, 1 en automóvil y 2 en tren? R: Un ingeniero de seguridad afirma que sólo 40 % de todos los trabajadores utilizan cascos de seguridad cuando comen en el lugar de trabajo. Suponga que esta afirmación es cierta, y encuentre la probabilidad de que 4 de 6 trabajadores elegidos al azar utilicen sus cascos mientras comen en el lugar de trabajo. R: Suponga que para un embarque muy grande de chips de circuitos integrados, la probabilidad de falla para cualquier chip es Suponga que se cumplen las suposiciones en que se basan las distribuciones binomiales y encuentre la probabilidad de que a lo más 3 chips fallen en una muestra aleatoria de 20. R: Suponga que 6 de 10 accidentes automovilísticos se deben principalmente a que no se respeta el límite de velocidad, y encuentre la probabilidad de que entre 8 accidentes automovilísticos 6 se deban principalmente a no respetar el límite de velocidad a) mediante el uso de la fórmula para la distribución binomial; R: b) usando la tabla binomial. R: Si la probabilidad de que una luz fluorescente tenga una vida útil de al menos 800 horas es 0.9, encuentre las probabilidades de que entre 20 de tales luces a) exactamente 18 tengan una vida útil de al menos 800 horas; R: b) al menos 15 tengan una vida útil de al menos 800 horas; R: c) al menos 2 no tengan una vida útil de al menos 800 horas. R: Un fabricante sabe que, en promedio, 20 % de los tostadores eléctricos que fabrica requerirán reparaciones dentro de 1 año después de su venta. Cuando se seleccionan al azar 20 tostadores, encuentre los números x y y adecuados tales que a) la probabilidad de que al menos x de ellos requieran reparaciones sea menor que 0.5; R: 0.20 b) la probabilidad de que al menos y de ellos no requieran reparaciones sea mayor que R: La probabilidad de que una persona, que vive en cierta ciudad, tenga un perro se estima en 0.3. Encuentre la probabilidad de que la décima persona entrevistada al azar en esta ciudad sea la quinta que tiene un perro. R: Un científico inocula a varios ratones, uno a la vez, con el germen de una enfermedad hasta que encuentra a 2 que contraen la enfermedad. Si la probabilidad de contraer la enfermedad es 1/6, cuál es la probabilidad de que se requieran 8 ratones? R:

8 30. El estudio de un inventario determina que, en promedio, las demandas de un artículo particular en un almacén se realizan 5 veces al día. Cuál es la probabilidad de que en un día dado se pida este artículo a) más de 5 veces? R: b) ninguna vez? R: Encuentre la probabilidad de que una persona que lanza una moneda obtenga a) la tercera cara en el séptimo lanzamiento; R: b) la primera cara en el cuarto lanzamiento. R: 1/ Tres personas lanzan una moneda legal y el disparejo paga los cafés. Si todas las monedas tienen el mismo resultado, se lanzan de nuevo. Encuentre la probabilidad de que se necesiten menos de 4 lanzamientos. R: 63/ De acuerdo con un estudio publicado por un grupo de sociólogos de la Universidad de Massachusetts, en Estados Unidos cerca de dos tercios de los 20 millones de personas que consumen Valium son mujeres. Suponga que esta cifra es una estimación válida, y encuentre la probabilidad de que en un día dado la quinta prescripción de Valium que da un médico sea a) la primera que prescribe Valium para una mujer; R: 2/243 b) la tercera que prescribe Valium para una mujer. R: 16/ La probabilidad de que un estudiante para piloto apruebe el examen escrito para obtener una licencia de piloto privado es 0.7. Encuentre la probabilidad de que el estudiante aprobará el examen a) en el tercer intento; R: b) antes del cuarto intento. R: En promedio en cierto crucero ocurren tres accidentes de tránsito por mes. Cuál es la probabilidad de que para cualquier mes dado en este crucero a) ocurran exactamente 5 accidentes? R: b) ocurran menos de 3 accidentes? R: c) ocurran al menos 2 accidentes? R: Una secretaria comete dos errores por página, en promedio. Cuál es la probabilidad de que en la siguiente página cometa a) 4 o más errores? R: b) ningún error. R: Cierta área del este de Estados Unidos resulta, en promedio, afectada por 6 huracanes al año. Encuentre la probabilidad de que para cierto año esta área resulte afectada por a) menos de 4 huracanes; R: b) cualquier cantidad entre 6 a 8 huracanes. R: Suponga que la probabilidad de que una persona dada crea un rumor acerca de las transgresiones de cierta actriz famosa es 0.8. Cuál es la probabilidad de que a) la sexta persona en escuchar este rumor sea la cuarta en creerlo? R: b) la tercera persona en escuchar este rumor sea la primera en creerlo? R: El número promedio de ratas de campo por acre en un campo de 5 acres de trigo se estima en 12. Encuentre la probabilidad de que se encuentrean menos de 7 ratas de campo a) en un acre dado; R: b) en 2 de los siguientes 3 acres que se inspeccionen. R:

9 40. El chef de un restaurante prepara una ensalada revuelta que contiene, en promedio, 5 vegetales. Encuentre la probabilidad de que la ensalada contenga más de 5 vegetales a) en un día dado; R: b) en 3 de los siguientes 4 días; R: c) por primera vez en abril el día 5. R: La probabilidad de que una persona muera de cierta infección respiratoria es Encuentre la probabilidad de que mueran menos de 5 de los siguientes 2000 infectados de esta forma. R: Suponga que, en promedio, 1 persona en 1000 comete un error numérico al preparar su declaración de impuestos. Si se seleccionan 10,000 formas al azar y se examinan, encuentre la probabilidad de que 6, 7 u 8 de las formas contengan un error. R: Se sabe que la probabilidad de que un estudiante de una preparatoria local presente escoliosis (curvatura de la espina dorsal) es De los siguientes 1875 estudiantes que se revisen en búsqueda de escoliosis, encuentre la probabilidad de que a) menos de 5 presenten el problema; R: b) 8, 9 ó 10 presenten el problema. R: a) Encuentre la media y la varianza de la variable aleatoria X, que representa el número de personas entre 2000 que mueren de la infección respiratoria del ejercicio R: 4,4 b) De acuerdo con el teorema de Chebyshev, hay una probabilidad de al menos 3/4 de que el número de personas que morirán entre las 2000 infectadas caiga dentro de un intervalo? De cuál? R: 2,[0,8] 45. a) Encuentre la media y la varianza de la variable aleatoria X, que representa el número de personas entre 10,000 que cometen un error al preparar su declaración de impuestos del ejercicio R: 10,10 b) De acuerdo con el teorema de Chebyshev, hay una probabilidad de al menos 8/9 de que el número de personas que cometerán errores al preparar sus declaraciones de impuestos entre 10,000 esté dentro de un intervalo? De cuál? R: 3,[0.51,19.49] 46. Un fabricante de automóviles se preocupa por una falla en el mecanismo de freno de un modelo específico. La falla puede causar en raras ocasiones una catástrofe a alta velocidad. Suponga que la distribución del número de automóviles por año que experimentará la falla es una variable aleatoria de Poisson con λ = 5. a) Cuál es la probabilidad de que, a lo más, 3 automóviles por año sufran una catástrofe? R: b) Cuál es la probabilidad de que más de 1 automóvil por año experimente una catástrofe? R: Los cambios en los procedimientos de los aeropuertos requieren una planeación considerable. Los índices de llegadas de los aviones son factores importantes que deben tomarse en cuenta. Suponga que los aviones pequeños llegan a cierto aeropuerto, de acuerdo con un proceso de Poisson, con un índice de 6 por hora. De esta manera, el parámetro de Poisson para las llegadas en un periodo de horas es µ = 6t. a) Cuál es la probabilidad de que exactamente 4 aviones pequeños lleguen durante un periodo de 1 hora? R: b) Cuál es la probabilidad de que al menos 4 lleguen durante un periodo de 1 hora? R: c) Si definimos un día laboral como 12 horas, cuál es la probabilidad de que al menos 75 aviones pequeños lleguen durante un día? R: El número de clientes que llegan por hora a ciertas instalaciones de servicio automotriz se supone que sigue una distribución de Poisson con media λ = 7. a) Calcule la probabilidad de que más de 10 clientes lleguen en un periodo de 2 horas. R: b) Cuál es el número medio de llegadas durante un periodo de 2 horas? R: Considerar el ejercicio Cuál es el número medio de estudiantes que fallan en el examen? R: 7.5 9

10 50. La probabilidad de que una persona muera cuando contrae una infección por virus es De los siguientes 4000 infectados con virus, cuál es el número medio que morirá? R: Una compañía compra lotes grandes de cierta clase de dispositivo electrónico. Se utiliza un método que rechaza un lote si se encuentran 2 o más unidades defectuosas en una muestra aleatoria de 100 unidades. a) Cuál es el número medio de unidades defectuosas que se encuentran en una muestra de 100 unidades si el lote tiene 1 % de defectuosas? R: 1 b) Cuál es la varianza? R: En el caso de cierto tipo de alambre de cobre, se sabe que, en promedio, ocurren 1.5 fallas por milímetro. Suponiendo que el número de fallas es una variable aleatoria de Poisson, cuál es la probabilidad de que no ocurran fallas en cierta porción de alambre con longitud de 5 milímetros? Cuál es el número medio de fallas en una porción de 5 milímetros de longitud? R: Los baches en ciertas carreteras pueden ser un problema grave y tener la necesidad constante de repararse. Con un tipo específico de terreno y mezcla de concreto, la experiencia sugiere que hay, en promedio, 2 baches por milla después de cierta cantidad de uso. Se supone que el proceso de Poisson se aplica a la variable aleatoria número de baches. a) Cuál es la probabilidad de que no más de un bache aparezca en un tramo de una milla? R: b) Cuál es la probabilidad de que no más de 4 baches ocurrirán en un tramo dado de 5 millas? R: En ciudades grandes los administradores de los hospitales se preocupan por la cuestión del tráfico de personas en las salas de urgencias de los nosocomios. Para un hospital específico en una ciudad grande, el personal disponible no puede alojar el tráfico de pacientes cuando hay más de 10 casos de emergencia en una hora dada. Se supone que la llegada del paciente sigue un proceso de Poisson y los datos históricos sugieren que, en promedio, llegan 5 emergencias cada hora. a) Cuál es la probabilidad de que en una hora dada el personal no pueda alojar más al tráfico? R: b) Cuál es la probabilidad de que más de 20 emergencias lleguen durante un turno de 3 horas del personal? R: En las revisiones de equipaje en el aeropuerto se sabe que 3 % de la gente inspeccionada lleva objetos cuestionables en su equipaje. Cuál es la probabilidad de que una serie de 15 personas cruce sin problemas antes de que se atrape a un individuo con un objeto cuestionable? Cuál es el número esperado en una fila que pasa antes de que se detenga a un individuo? R: La tecnología cibernética generó un ambiente donde los robots funcionan con el uso de microprocesadores. La probabilidad de que un robot falle durante cualquier turno de 6 horas es Cuál es la probabilidad de que un robot funcionará durante al menos 5 turnos antes de fallar? R: Se sabe que la tasa de rechazo en las encuestas telefónicas es de aproximadamente 20 %. Un reportaje del periódico indica que se encuestaron a 50 personas antes de que la primera rechazara. a) Comente acerca de la validez del reportaje. Utilice una probabilidad en su argumento. R: b) Cuál es el número esperado de personas encuestadas antes de un rechazo? R: 4 Distribuciones continuas 1. Dada una distribución normal estándar, encuentre el área bajo la curva que está a) a la izquierda de z = 1.43; R: b) a la derecha de z = 0.89; R: c) entre z = 2.16 y z = 0.65; R:

11 d) a la izquierda de z = 1.39; R: e) a la derecha de z = 1.96; R: f) entre z = 0.48 y z = R: Encuentre el valor de z si el área bajo una curva normal estándar a) a la derecha de z es ; R: 0.35 b) a la izquierda de z es ; R: 1.21 c) entre 0 y z, con z 0, es ; R: 2.14 d) entre z y z, con z > 0, es R: Dada una distribución normal estándar, encuentre el valor de k tal que a) P (Z < k) = ; R: 1.72 b) P (Z > k) = ; R: 0.54 c) P ( 0.93 < Z < k) = R: Dada una distribución normal con µ = 30 y σ = 6, encuentre a) el área de la curva normal a la derecha de x = 17; R: b) el área de la curva normal a la izquierda de x = 22; R: c) el área de la curva normal entre x = 32 y x = 41; R: d) el valor de x que tiene 80 % del área de la curva normal a la izquierda; R: e) los dos valores de x que contienen el 75 % central del área de la curva normal. R: Dada la variable X normalmente distribuida con media 18 y desviación estándar 2.5, encuentre a) P (X < 15); R: b) el valor de k tal que P (X < k) = ; R: 16.1 c) el valor de k tal que P (X > k) = ; R: d) P (17 < X < 21). R: De acuerdo con el teorema de Chebyshev, la probabilidad de que cualquier variable aleatoria tome un valor dentro de tres desviaciones estándar de la media es al menos 8/9. Si se sabe que la distribución de probabilidad de una variable aleatoria X es normal con media µ, y varianza σ 2, cuál es el valor exacto de P (µ 3σ < X < µ + 3σ)? R: Un investigador científico informa que unos ratones vivirán un promedio de 40 meses cuando sus dietas se restringen drásticamente y después se enriquecen con vitaminas y proteínas. Suponiendo que la vidas de tales ratones se distribuyen normalmente con una desviación estándar de 6.3 meses, encuentre la probabilidad de que un ratón dado vivirá a) más de 32 meses; R: b) menos de 28 meses; R: c) entre 37 y 49 meses. R: Las barras de pan de centeno que cierta panadería distribuye a las tiendas locales tienen una longitud promedio de 30 centímetros y una desviación estándar de 2 centímetros. Suponiendo que las longitudes están distribuidas normalmente, qué porcentaje de las barras son a) más largas que 31.7 centímetros? R: b) de entre 29.3 y 33.5 centímetros de longitud? R: c) más cortas que 25.5 centímetros? R:

12 9. Una máquina expendedora de bebidas gaseosas se regula para que sirva un promedio de 200 mililitros por vaso. Si la cantidad de bebida se distribuye normalmente con una desviación estándar igual a 15 mililitros, a) qué fracción de los vasos contendrá más de 224 mililitros? R: b) cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209 mililitros? R: c) cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 mililitros para las siguientes 1000 bebidas? R: 23 d) por debajo de qué valor obtendremos el 25 % más pequeño de las bebidas? R: ml 10. El diámetro interior del anillo de un pistón terminado se distribuye normalmente con una media de 10 centímetros y una desviación estándar de 0.03 centímetros. a) Qué proporción de anillos tendrán diámetros interiores que excedan centímetros? R: b) Cuál es la probabilidad de que el anillo de un pistón tenga un diámetro interior entre 9.97 y centímetros? R: c) Por debajo de qué valor del diámetro interior caerá 15 % de los anillos de pistón? R: cm 11. Un abogado viaja todos los días de su casa en los suburbios a su oficina en el centro de la ciudad. El tiempo promedio para un viaje sólo de ida es 24 minutos, con una desviación estándar de 3.8 minutos. Suponga que la distribución de los tiempos de viaje está distribuida normalmente. a) Cuál es la probabilidad de que un viaje tome al menos 1/2 hora? R: b) Si la oficina abre a las 9:00 a.m. y él sale diario de su casa a las 8:45 a.m., qué porcentaje de las veces llegará tarde al trabajo? R: % c) Si sale de su casa a las 8:35 a.m. y el café se sirve en la oficina de 8:50 a.m. a 9:00 a.m., cuál es la probabilidad de que se pierda el café? R: d) Encuentre la longitud de tiempo por arriba de la cual encontramos el 15 % de los viajes más lentos. R: minutos e) Encuentre la probabilidad de que 2 de los siguientes 3 viajes tomen al menos 1/2 hora. R: En el ejemplar de noviembre de 1990 de Chemical Engineering Progress, un estudio analiza el porcentaje de pureza del oxígeno de cierto proveedor. Suponga que la media fue con una desviación estándar de Suponga que la distribución del porcentaje de pureza fue aproximadamente normal. a) Qué porcentaje de los valores de pureza esperaría que estuvieran entre 99.5 y 99.7? R: b) Qué valor de pureza esperaría que excediera exactamente 5 % de la población? R: La vida promedio de cierto tipo de motor pequeño es de 10 años con una desviación estándar de 2 años. El fabricante reemplaza gratis todos los motores que fallen dentro del periodo de garantía. Si él está dispuesto a reemplazar sólo 3 % de los motores que fallan, cuánto tiempo de garantía debería ofrecer? Suponga que la duración de un motor sigue una distribución normal. R: 6.24 años 14. Las alturas de 1000 estudiantes se distribuyen normalmente con una media de centímetros yuna desviación estándar de 6.9 centímetros. Suponiendo que las alturas se registran al medio centímetro más cercano, cuántos de estos estudiantes esperaría que tuvieran alturas a) menores que centímetros? R: 16 b) de entre y centímetros inclusive? R: 549 c) iguales a centímetros? R: 28 d) mayores que o iguales a centímetros? R: Una compañía paga a sus empleados un salario promedio de $15.90 por hora con una desviación estándar de $1.50. Si los salarios se distribuyen aproximadamente de forma normal y se pagan al centavo más cercano, 12

13 a) qué porcentaje de los trabajadores reciben salarios entre $13.75 y $16.22 inclusive por hora? R: b) el 5 % más alto de los salarios por hora de los empleados es mayor a qué cantidad? R: Los pesos de un número grande de poodle (caniche) miniatura se distribuyen aproximadamente de forma normal con una media de 8 kilogramos y una desviación estándar de 0.9 kilogramos. Si las mediciones se registran al décimo de kilogramo más cercano, encuentre la fracción de estos poodle con pesos a) por arriba de 9.5 kilogramos; R: b) a lo más 8.6 kilogramos; R: c) entre 7.3 y 9.1 kilogramos inclusive. R: La resistencia a la tensión de cierto componente de metal se distribuye normalmente con una media de 10,000 kilogramos por centímetro cuadrado y una desviación estándar de 100 kilogramos por centímetro cuadrado. Las mediciones se registran a los 50 kilogramos por centímetro cuadrado más cercanos. a) Qué proporción de estos componentes excede 10,150 kilogramos por centímetro cuadrado de resistencia a la tensión? R: b) Si las especificaciones requieren que todos los componentes tengan resistencia a la tensión entre 9800 y 10,200 kilogramos por centímetro cuadrado inclusive, qué proporción de piezas esperaría que se descartara? R: Si un conjunto de observaciones se distribuye de manera normal, qué porcentaje de éstas difieren de la media en a) más de 1.3σ? R: b) menos de 0.52σ? R: Los CI de 600 aspirantes de cierta universidad se distribuyen aproximadamente de forma normal con una media de 115 y una desviación estándar de 12. Si la universidad requiere un ci de al menos 95, cuántos de estos estudiantes serán rechazados sobre esta base sin importar sus otras calificaciones? R: Dada una distribución continua uniforme, demuestre que a) µ = A+B 2, y b) σ 2 = (B A) La cantidad de café diaria, en litros, que sirve una máquina que se localiza en el vestíbulo de un aeropuerto es una variable aleatoria X que tiene una distribución continua uniforme con A = 7 y B = 10. Encuentre la probabilidad de que en un día dado la cantidad de café que sirve esta máquina sea a) a lo más 8.8 litros; R: 0.60 b) más de 7.4 litros, pero menos de 9.5 litros; R: 0.70 c) al menos 8.5 litros. R: Un autobús llega cada 10 minutos a una parada. Se supone que el tiempo de espera para un individuo en particular es una variable aleatoria con distribución continua uniforme. a) Cuál es la probabilidad de que el individuo espere más de 7 minutos? R: 0.3 b) Cuál es la probabilidad de que el individuo espere entre 2 y 7 minutos? R: La longitud de tiempo para que un individuo sea atendido en una cafetería es una variable aleatoria que tiene una distribución exponencial con una media de 4 minutos. Cuál es la probabilidad de que una persona sea atendida en menos de 3 minutos en, al menos. 4 de los siguientes 6 días? R: La vida, en años, de cierto interruptor eléctrico tiene una distribución exponencial con una vida promedio de β = 2. Si 100 de estos interruptores se instalan en diferentes sistemas, cuál es la probabilidad de que a lo más 30 fallen durante el primer año? R:

14 25. El tiempo de respuesta de una computadora es una aplicación importante de las distribuciones gamma y exponencial. Suponga que un estudio de cierto sistema de computadoras revela que el tiempo de respuesta, en segundos, tiene una distribución exponencial con una media de 3 segundos. a) Cuál es la probabilidad de que el tiempo de respuesta exceda 5 segundos? R: b) Cuál es la probabilidad de que el tiempo de respuesta exceda 10 segundos? R: El número de automóviles que llegan a cierta intersección por minuto tiene una distribución de Poisson con una media de 5. El interés se centra alrededor del tiempo que transcurre antes de que 10 automóviles aparezcan en la intersección. a) Cuál es la probabilidad de que más de 10 automóviles aparezcan en la intersección durante cualquier minuto dado? R: b) Cuál es la probabilidad de que se requieran más de 2 minutos antes de que lleguen 10 automóviles? R:

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