Ejercicios de Análisis Matemático Números, desigualdades y funciones elementales

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1 Ejercicios de Análisis Matemático Números, desigualdades y funciones elementales. Qué quiere decir que un número no es racional? Demuestra que p no es racional. Solución. Que un número no es racional quiere decir que no puede escribirse como cociente de números enteros. Para probar que un número es irracional suele razonarse por contradicción: se supone que el número en cuestión es racional y se llega a una situación contradictoria. Una prueba clásica de que p es irracional es como sigue. Supongamos que p fuera racional. Entonces eistirán números naturales m y n sin factores comunes, en particular m y n no podrán ser ambos pares, tales que p D m n, esto es, n D m. La igualdad n D m nos dice que m es par lo cual implica que también tiene que serlo m. Así podemos escribir m D p. Sustituyendo en la igualdad anterior y simplificando tenemos que n D p, y de aquí se sigue, al igual que antes, que n tiene que ser par y ésta es la contradicción anunciada.. Calcula para qué valores de se verifica que 3 C < 3. Solución. Claro está, (recuerda, no se puede dividir por 0). Como al multiplicar una desigualdad por un número positivo la desigualdad se conserva, deducimos que si >, la desigualdad dada equivale a 6 9 < C, es decir, < =5. Luego para < < =5 la desigualdad es cierta. Veamos ahora qué pasa si <. En tal caso, al multiplicar por C < 0 la desigualdad equivale a 6 9 > C, es decir, > =5 condición que no puede darse si C < 0. En resumen, la desigualdad es cierta para < < =5. Otra forma de proceder consiste en utilizar el hecho de que una desigualdad es equivalente a la obtenida al multiplicarla por una cantidad positiva. Multiplicando la desigualdad dada por. C / obtenemos que dicha desigualdad equivale a la siguiente. 3/. C / <. C / 3 Haciendo las operaciones indicadas obtenemos que esta desigualdad es lo mismo que 5 < 0. Las soluciones de la ecuación 5 D 0 son a D y b D =5. Por tanto, 5 D 5. C /. =5/. Resulta así que la desigualdad dada equivale a. C /. =5/ < 0. Teniendo en cuenta que para que un producto de dos números sea negativo dichos números deben ser uno positivo y otro negativo, concluimos que debe ser C > 0 y =5 < 0, es decir < < =5 (la otra posibilidad C < 0 y =5 > 0 no puede darse). 3. Calcula para qué valores de se verifica que 3. a/a < 3 a 3 < 3. a/ Solución. La desigualdad del enunciado equivale a las siguientes dos desigualdades: 3 a 3 3. a/a > 0I 3 a 3 3. a/ < 0 Teniendo en cuenta que 3 a 3 D. a/. C a C a /, resulta 3 a 3 3. a/a D. a/. C a a / D. a/. C a/ 3 a 3 3. a/ D. a/. C a C a / D. a/. C a=/ Deducimos que la desigualdad del enunciado se verifica si, y sólo si, a, C a > 0, y C a= > 0. Si a > 0 entonces C a > C a= y la desigualdad se cumple si, y sólo si, > a= y a. Si a < 0 entonces C a= > C a y la desigualdad se cumple si, y sólo si, > a.

2 Ejercicios de Análisis Matemático 4. Sabiendo que a C b > c C d; a > b; c > d; se verifica necesariamente alguna de las desigualdades: a > c; a > d; b > c o b > d? Dar una prueba o un contraejemplo en cada caso. Solución. Que las letras no te despisten: lo que te están diciendo es que si la suma de dos números distintos entre sí es mayor que la suma de otros dos números distintos entre sí, es cierto, por ejemplo, que el mayor del primer par es más grande que el mayor del segundo par? Está claro que no tiene por qué ser así: los otros sumandos pueden compensar la diferencia. Por ejemplo 5C50 > 500C. Concluimos que no tiene por qué ser cierto que a > c ni tampoco b > c. El ejemplo 500 C > 5 C 50 prueba que tampoco tiene por qué ser b > d. Intenta ahora buscar un ejemplo en el que no se cumpla que a > d (pero no le dediques más de cinco minutos). Ya? No lo habrás encontrado porque, si lo piensas un poco, verás que tiene que ser necesariamente a > d. Intenta demostrarlo (aunque tengas que dedicarle más de cinco minutos). Lo primero que se le ocurre a uno es escribir a >.c b/ C d. Si c b fuera siempre positivo habríamos acabado (y también habríamos demostrado más de lo que queremos), pero no tiene por qué ser así, por ejemplo 9 C 8 > C. La demostración directa no parece viable. En estos casos tenemos que intentar un camino indirecto. Probemos que no puede ocurrir que a 6 d. Eso es fácil. Fíjate: si fuera a 6 d, como nos dicen que b < a y d < c, también sería b < d y a < c; pero entonces a C b < c C d lo que es contrario a la hipótesis hecha. Luego concluimos que a > d. 5. Supuesto que 0 < a < < b, prueba que se verifica la siguiente desigualdad. C a C b < a C b Solución. En este ejercicio no parece, en principio, cosa fácil deducir la desigualdad pedida de las hipótesis que nos dan. En estos casos puede intentarse trabajar para atrás, es decir, ir convirtiendo la desigualdad que nos piden probar en otras equivalentes a ella y más sencillas, hasta llegar a una que seamos capaces de deducir de la hipótesis que nos dan. Haciendo las operaciones indicadas, podemos escribir la desigualdad en la forma a C b.a C b / < a C b a b y, como los denominadores son positivos, esto es lo mismo que.a C b/a b <.a C b/.a C b / Como a C b > 0 esta desigualdad equivale a ab <.a C b /, es decir: 0 < a C b ab D. a/.b / Pero esta última desigualdad es consecuencia de que la hipótesis hecha, 0 < a < < b, la cual implica que 0 < a y 0 < b. Y por tanto. a/.b / > 0. Con esto podemos considerar que hemos acabado, pero es una buena costumbre dar ahora la vuelta al razonamiento que hemos seguido, es decir, deshacer el camino recorrido para obtener una prueba directa. 6. Discutir la validez de las igualdades: a) j C y C zj D j C yj C jzj b) j 5j < j C j Solución. a) En virtud de la desigualdad triangular, la igualdad del enunciado j C y C zj D j. C y/ C zj D j C yj C jzj, se da si, y sólo si,. C y/z > 0.

3 Ejercicios de Análisis Matemático 3 b) Por ser números positivos, la desigualdad j 5j < jcj equivale a la desigualdad j 5j < j C j, es decir, 0 C 5 < C C o sea, 4 <, esto es, >. Esto también puedes comprobarlo representando los números en una recta en la que fijas un origen y una unidad: se trata de ver cuándo está más cerca de 5 que de. 7. Supuesto que s t resultado. < u v < y donde t; v; y RC, prueba que s t < s C u C t C v C y <. Generaliza este y Solución. Lo que sigue es la generalización propuesta. Sean a ; a ; : : : ; a n números reales cualesquiera y b ; b : : : ; b n números reales positivos. Sean m y M el menor y el mayor respectivamente de los números Entonces, para j D ; ; : : : ; n, se verifica que: y sumando estas desigualdades: de donde se sigue que: a b ; a b ; ; a n b n : m 6 a j b j 6 M; es decir; mb j 6 a j 6 M b j m nx b j 6 jd nx a j 6 M jd nx b j ; jd m 6 a C a C C a n b C b C C b n 6 M: 8. Prueba cada una de las siguientes desigualdades y estudia, en cada caso, cuándo se da la igualdad. i) y 6 C y : ii) 4y 6. C y/ : iii) C y C y > 0: iv).a C a C /.b C b C /.c C c C / > 7abc donde a > 0; b > 0; c > 0. v) abc 6 donde a > 0; b > 0; c > 0 verifican. C a /. C b /. C c / D 8. Sugerencia: para probar i) considérese. i). Solución. y/. Las demás desigualdades pueden deducirse de i) y ii) Siguiendo la sugerencia, que para eso nos la dan, tenemos que. y/ D C y y > 0 de donde se deduce que y 6 C y, y la igualdad ocurre si, y sólo si, D y. Si sumas y a ambos lados de la desigualdad y 6 C y, obtienes que 4 y 6. C y/, y la igualdad ocurre si, y sólo si, D y. iii) Cambiando por en y 6 C y resulta y >. C y /. Por tanto C y C y >. C y / De donde se deduce que C y C y > 0 y la igualdad se da si, y sólo si, D y D 0.

4 Ejercicios de Análisis Matemático 4 iv) Probaremos ahora la desigualdad.a C a C /.b C b C /.c C c C / > 7abc donde se supone que a > 0; b > 0; c > 0. Lo primero que se observa es la completa simetría de la desigualdad propuesta. Puesto que lo único que sabemos de a, b y c es que son positivos, parece razonable pensar que si la desigualdad que nos dan es cierta es porque C C>3 cualquiera sea > 0, es decir, C>, o lo que es igual. / > 0; lo que es cierto (para todonúmero ) y la igualdad se da si, y solo si D. Sustituyendo ahora en C C > 3, D a, D b, D c y multiplicando miembro a miembro las tres desigualdades resultantes, obtenemos que.a C a C /.b C b C /.c C c C / > 7abc y la igualdad se da si, y sólo si, a D b D c D. Dónde hemos usado que los números a, b y c son positivos? v) La última desigualdad propuesta también llama la atención por su simetría. Usando otra vez que 0 6. /, se sigue que 6 C. Ahora sustituyes por a, b y c, multiplicas miembro a miembro las desigualdades obtenidas y has acabado. Fíjate cuánto partido hemos sacado de la desigualdad elemental. y/ > Prueba que el número p C p 3 es irracional. Solución. Para hacer este ejercicio hay que tener en cuenta que cuando se efectúan operaciones racionales (suma, producto y cociente) sobre uno o varios números racionales volvemos a obtener un número racional. En consecuencia, si realizando con un número real y con otros números racionales operaciones racionales obtenemos un número irracional, podemos afirmar que el número es irracional. Por ejemplo, D p C p 3 es irracional pues 5 D p Sean a, b números positivos distintos y n N. Utiliza la desigualdad de las medias para probar que: a C nb nc ab n < () n C Deduce que para todo número natural n se verifica que: C n n < C nc ; y n C Solución. La desigualdad () se deduce de la desigualdad de las medias C nc < C nc () n C n nc p a a a n a nc 6 a C a C C a n C a nc n C haciendo a D a D D a n D b, a nc D a y elevando a la potencia n C. Haciendo ahora a D y b D C en () se obtiene la primera desigualdad de (). Finalmente, n susstituyendo en () n por n C a D y b D, se obtiene la segunda desigualdad de (). n. Prueba que el cubo es el ortoedro de máimo volumen para una superficie lateral dada y de mínima superficie lateral para un volumen dado. Solución. El volumen de un ortoedro cuyas aristas tienen longitudes a; b; c viene dado por V D abc y su superficie lateral por S D.ab C bc C ca/. Puesto que p 3 ab C bc C ca.ab/.bc/.ca/ 6 3./

5 Ejercicios de Análisis Matemático 5 3p o, lo que es igual, V 6 S=6, deducimos que para un volumen dado, V, la superficie lateral S es mínima cuando tengamos que S=6 D 3p V, es decir que en./ se de la igualdad lo que ocurre si, y sólo si, a D b D c (el ortoedro es un cubo). Análogamente, para un valor dado de la superficie lateral, S, tendremos que V es máimo cuando 3p V D S=6, lo que, según acabamos de ver, sólo ocurre cuando el ortoedro es un cubo.. Calcula el rectángulo de mayor área inscrito en la elipse de ecuación a C y D, donde b a > 0; b > 0. Solución. Sean. ; ˇ/ las coordenadas del vértice del rectángulo situado en el cuadrante positivo del plano ( > 0; ˇ > 0). El área del rectángulo es igual a 4 ˇ. El problema, pues, consiste en hallar el máimo del producto ˇ cuando y ˇ verifican que ˇ a C b D./ Supuesto que y ˇ satisfacen./, en virtud de la desigualdad de las medias, tenemos que s q ˇ ˇ D ˇ D ab a b 6 ab./ ˇ ˇ La igualdad en./ se da si, y sólo si, a D, lo que junto con./ equivale a que b a D b D, es decir, D a p ; ˇ D b p. Por tanto el máimo valor del área de un rectángulo inscrito en la elipse es ab. 3. Calcula la distancia mínima del origen a la superficie en R 3 de ecuación yz D 7. En otras palabras, si E D f.; y; z/ R 3 W yz D 7g, lo que se pide es calcular el mínimo del conjunto de números reales C D p C y C z W.; y; z/ E. Solución. Para todo.; y; z/ E se verifica que C y C z > 3 3 q.yz/ D 3 3 q.7/ D 7 Puesto que.3; 3; 3/E y p 3 C 3 C 3 D p 7, deducimos que mkın.c / D p Calcula sabiendo que log.a/ D log b.a/ C log c.a/ C log d.a/ Solución. Pongamos y D log.a/. Por definición, tenemos que y D a, de donde se sigue que y log D log a. Hemos obtenido así que log.a/ D log a. Con ello, la igualdad del enunciado log puede escribirse como log log a D log b log a C log c log a C log d log a esto es log D log b C log c C log d, o lo que es igual, log D log.b c d/. Como la función logaritmo es inyectiva, deducimos que D b c d. 5. Prueba la igualdad arc cos C arc sen D 8 Œ ; Solución. Se trata de probar que arc sen D arc cos para todo Œ ;. Para ello, dado Œ ;, pongamos z D arc cos. Como, por definición, 0 6 arc cos 6, deducimos que 6 z 6. Además sen z D sen.= arc cos / D sen.=/ cos. arc cos / C cos.=/ sen. arc cos /D D cos. arc cos / D cos.arc cos / D Hemos probado así que sen z D, y z D arc sen. 6 z 6 lo que, por definición, quiere decir que

6 Ejercicios de Análisis Matemático 6 6. Prueba que tg.arc sen / D p para todo ; Œ. Solución. Como tg z D sen z, deducimos que tg.arc sen / D cos z cos.arc sen /, 8 ; Œ (hay que ecluir p los puntos porque arc sen. / D =). Bastará probar, por tanto, que cos.arc sen / D. Como cos z D sen z, deducimos que, cos.arc sen / D, esto es, p j cos.arc sen /j D Ahora, como 6 arc sen 6, se sigue que cos.arc sen / > 0, por lo que cos.arc sen / D j cos.arc sen /j y, por tanto, cos.arc sen / D p. 7. Dado un número 0, calcula un número t R tal que senh t D. Solución. Aquí el dato es el número 0. Puesto que senh t D et, tenemos que calcular un número t que verifique la igualdad D.e t e t /, esto es, e t e t D 0. Haciendo y D e t, tenemos que y y D 0, por lo que los dos posibles valores para y son C p p C C o Como debe ser y > 0 (porque el valor de una eponencial siempre es positivo), deducimos que 8 p log C! C ; si > 0 ˆ< t D log y D p ˆ: log! C ; si < 0 8. Se quiere amortizar una deuda de e el día 3 de diciembre de 003. Esta deuda ha sido contraída el día de enero de 000, y se incrementa cada trimestre al 6 por 00 anual. Para amortizarla se quiere pagar una cantidad fija el último día de cada mes, empezando el 3 de enero de 008 y terminando el 3 de diciembre de 003. Estas cantidades producen un interés anual del 3 por 00, que se acumula mensualmente. Qué cantidad hay que abonar cada mes? Solución. Como la deuda se incrementa a un interés compuesto (epresado en tanto por uno) del 006=4 cada trimestre, el 3 de diciembre de 03 la deuda más los intereses será igual a: C Llamemos P a la mensualidad que tendremos que pagar al final de cada mes. Dichas mensualidades se capitalizan a interés compuesto del 003= cada mes. La primera mensualidad permanece un total de 7 meses y la última, al pagarse el último día del mes no genera ningún interés. La cantidad total que tendremos el 3 de diciembre de 03 será igual a: P " C C C C C C 003 " D P C C # D # 003 D 400P e t " C #

7 Ejercicios de Análisis Matemático 7 Donde hemos usado la epresión que da la suma de una progresión geométrica. En consecuencia, deberá ser: " P C # 400 D C Usando una calculadora se obtiene: P D donde hemos redondeado por eceso. Podemos también hacer el cálculo anterior teniendo en cuenta la aproimación para n grande C r n n Ñ e r de la siguiente forma: C D C " 7 D C # 400 7=400 Ñ e 7= En consecuencia: C D C 3 " 4 D C 3 # 00 4=00 Ñ e 7= P Ñ 50 e7=00 e 7=400 D 090 donde hemos redondeado por eceso. 9. Prueba las igualdades (a) arc cos C arc sen D (b) tan.arc sen / D 8 Œ ; p I sec.arc sen / D p 8 ; Œ Solución. (a) Puede comprobarse esta igualdad de muchas formas. Por ejemplo, si despejamos, podemos escribir la igualdad de la forma: arc sen D = arc cos : Puesto que = 6 = arc cos 6 = y en el intervalo Œ =; = la función seno es inyectiva, la igualdad anterior es equivalente a la siguiente: D sen.= arc cos / la cual es efectivamente cierta porque, para todo Œ ; es: sen.= arc cos / D sen.=/ cos.arc cos / cos.=/ sen.arc cos / D (b) Para todo ; Œ es: Ahora como: tan.arc sen / D sen.arc sen / cos.arc sen / D cos.arc sen / : cos.arc sen / D sen.arc sen / D ; y además cos.arc sen / > 0, se sigue que cos.arc sen / D p pedida. Análogamente, se tiene que: sec.arc sen / D lo que prueba la igualdad cos.arc sen / D por lo antes visto D p :

8 Ejercicios de Análisis Matemático 8 0. Prueba por inducción la igualdad: sen.sen C sen C C sen n/ D sen n sen n C Solución. La igualdad es evidentemente cierta para n D. Supongamos que es cierta para un número natural n y probemos que entonces lo es también para n C. Tenemos: sen.sen C C sen n C sen.n C // D sen n sen n C C sen sen.n C / En consecuencia, todo se reduce a probar que: sen n sen n C C sen.n C / sen.n C / D sen Usando que sen.a/ D sen a cos a y que sen a C sen b D sen a C b sen n sen n C C sen sen.n C /D D sen n sen n C C sen D sen n C D sen n C sen n C cos n C sen n C sen cos n C D sen n C sen n C n C sen D sen sen n C cos a b, tenemos: D.n C / sen n C como queríamos probar.. Sean a; b R tales que a C b D y a. Definamos Prueba que cos # D a, sen # D b. # D arc tg b a C Solución. Puesto que lo que conocemos es tg.#=/, la idea es relacionarla con sen # y con cos #. Teniendo en cuenta que cos D cos.=/ sen.=/, que sen D sen.=/ cos.=/ y que D sen.=/ C cos.=/, obtenemos: cos D cos.=/ sen.=/ sen.=/ C cos.=/ D tg.=/ C tg.=/ sen D sen.=/ cos.=/ sen.=/ C cos.=/ D tg.=/ C tg.=/ Teniendo en cuenta ahora que a Cb D y que tg.#=/d b, se comprueba fácilmente que: C a cos.#/ D tg.#=/ tg.#=/ D a; sen.#/ D C tg.#=/ C tg.#=/ D b. Sea f W R! R una función que verifica las propiedades: a) f. C y/ D f./ C f.y/ para todos ; y R. b) f.y/ D f./f.y/ para todo ; y R.

9 Ejercicios de Análisis Matemático 9 Demuestra que o bien f es f./ D 0 para todo R o bien es f./ D para todo R. Solución. Si una tal función f se anula en algún a 0, resulta que para todo R se tiene f./ D f a D f.a/f D 0 a a y f es la función idénticamente nula. Ecluido este caso, deberá ser f./ 0 para todo R. Dado > 0, tenemos que Si ahora es < y se tendrá que f./ D f p p D f p f p D f p > 0 f.y/ D f. C.y // D f./ C f.y / > f./ Hemos probado así que f es estrictamente creciente. Sean ahora m y n 0 números enteros y R. Por ser f aditiva se tiene que: m nf n D f n m m n D f.m/ D mf./ f n D m n f./ Deducimos que f.r/ D rf./ para todo número racional r Q y todo R. En particular, haciendo D y teniendo en cuenta que f./ D (consecuencia inmediata de b)), resulta que f.r/ D rf./ D r para todo r Q. Si para algún R se tuviera que < f./, entonces tomamos algún racional r tal que < r < f./ para obtener la contradicción 0 < f.r / D r f./ < 0: Análogamente, so puede ser > f./. Concluimos que ha de ser f./ D para todo R.