Aplicación de los modelos de regresión tobit en la modelización de variables epidemiológicas censuradas

Transcripción

1 Aplicación de los modelos de regresión tobit en la modelización de variables epidemiológicas censuradas Gaceta Sanitaria ;16(): MªJosé Bleda 1, & Aurelio Tobías 1. Unidad de Investigación en Tuberculosis, Centro Nacional de Epidemiología, Instituto de Salud Carlos III, Ministerio de Sanidad y Consumo, Madrid.. Departamento de Estadística y Econometría, Universidad Carlos III de Madrid. Introducción Variables epidemiológicas corresponden a medidas continuas, obtenidas mediante aparatos de medición... con determinados límites de detección. Aunque la variable tenga una determinada distribución, los valores observados pueden no ser representativos.

2 Truncamiento o censura? 1. Truncamiento Característica intrínseca de la distribución de la variable. Parte de la distribución de la variable que se encuentra por encima/debajo del punto de truncamiento contiene la información relevante que se desea estudiar. Ejemplo: Estudiar pacientes con niveles de hemoglobina inferiores a 8 g/dl.

3 Truncamiento o censura?. Censura No es una característica intrínseca de la distribución de la variable. Defecto de los datos de la muestra. Si no hubiese censura, la variable constituiría una muestra representativa de la población no censurada. Ejemplo: Tiempo de supervivencia.

4 Truncamiento o censura? 3. Modelos de regresión Para variables con truncamiento y/o censura MCO proporciona estimaciones sesgadas e inconsistentes. Variable truncada: modelo de regresión truncado. Variable censurada: modelo Tobit. Varios puntos de truncamiento y/o censura respectivas generalizaciones. Estudio incineradora Mataró 1. Diseño Estudio sobre los efectos para la salud de las emisiones de una incineradora de residuos sólidos urbanos en la población de Mataró (Barcelona). Bleda, Gac Sanit 1996;1(supl):56. González, Arch Environ Health ;55: n = 1. Dieta, tabaco, alcohol, muestras de sangre y orina. Niveles de mercurio en orina corregidos por concentración de creatinina (µg/gr CR).

5 Estudio incineradora Mataró. Censura Muestra n (%) No censurada 135 (68,) Censurada 63 (31,8) en:,1,,3,4,5,6,7,9 1, (3,8) (5,4) (15,9) (7,9) (1,7) (3,) (4,7) (3,) (3,) Total 198 Modelo Tobit 1. Formulación (I) Modelo regresión lineal para variables censuradas. Tobin, Econometrica 1958;6:4-36. Sea y, variable censurada con punto de censura inferior a. Sea y*, variable aleatoria original subyacente. Entonces: y = a cuando y* a y = y* cuando y* > a

6 Modelo Tobit 1. Formulación (II) y* ~ N(µ,σ ) Probabilidad censura: P(y* a) = Φ{(a-µ)/σ} P(y*>a) = 1 - P(y* a) = 1 - Φ{(a-µ)/σ} = Φ{(µ-a)/σ} Función de densidad de y: P(y=a) = P (y* a) = Φ{(a-µ)/σ} cuando y* a y* ~ N(µ,σ ) cuando y* > a Modelo Tobit. Estimación (I) Formulación del modelo: E[y i * x i ] = X β Pero... valores de y* desconocidos. Sólo se conocen valores de y censurada. Modelizar E[y i x i ] en función de E[y i * x i ]: E[y i x i ] = E[y i* x i ] P(y i* >a x i )+a P(y i * a x i )

7 Modelo Tobit. Estimación (II) Estimación por máxima verosimilitud eficiente y consistente. Función de verosimilitud: lnl( β, σ ) = y ' ( y i x i β) ' 1 > <= a x i β ln(π) + ln( σ ) + + ln Φ σ a y a σ i i Generalizable para y* con varios puntos de censura. Modelo Tobit 3. Interpretación Estudio de x asociada con y*: Estimación (β) modelo Tobit representa directamente efecto marginal de x sobre y*. Estudio de x asociada con y: Ponderar estimaciones (β) por P(y* a): βˆ x βˆ a i * Φ σˆ

8 Modelo Tobit 4. Limitaciones Falta de normalidad: Estimaciones inconsistentes. Chesher, J Econometrics 1987;34: Muestra censurada (y* a) y no censurada (y>a) diferente estructura en la relación con x. Modelo en etapas de Heckman. Heckman, Annals Economic Social Measurement 1976:5; Ejemplo Simulación distribución normal bivariante: n= y * 1 ~ N, x Punto de censura en a=-1 para y * : y = -1 cuando y * -1 y = y * cuando y * > -1

9 3 1 Y* X 3 1 Y X

10 Muestra original n= Muestra con censura en a=-1 n= (31) Y* Y X y= x Muestra no censurada n= X y= x TOBIT n= Y Y X y= x X y= x Estudio incineradora Mataró 3. Análisis Modelo lineal (MCO): Muestra no censurada. Modelo lineal censurado (Tobit). Con un único punto de censura: a=,1 µg/gr CR. Con varios puntos de censura. Stata, versión 6.: regress, tobit, cnreg

11 Diferentes puntos de censura Unico punto de censura 15 1 nivel mercurio si censura no si censura no Diferentes puntos de censura Unico punto de censura 4 4 log(nivel mercurio) log(nivel mercurio) - - si censura no si censura no Estudio incineradora Mataró 4. Resultados Regresión Lineal (MCO) con la muestra no censurada (n=135) βˆ (ee) t p edad,19 (,7),67,8 sexo,566 (,186),93,4 verduras crudas -,69 (,39) -1,78,77 ahumados,49 (,477) 1,3,34 Modelo Tobit con un único punto de censura (n=198) (ee) t p edad,5 βˆ (,13),4,968 sexo,699 (,346),,45 verduras crudas -,15 (,66) -,31, ahumados 1,631 (,984) 1,66,99 Modelo con varios puntos de censura (n=198) (ee) t p edad,7 βˆ (,1),64,53 sexo,687 (,8),44,16 verduras crudas -,96 (,54) -1,77,79 ahumados 1,314 (,797) 1,65,11

12 Estudio incineradora Mararó 5. Conclusiones Sólo se explica una pequeña parte de la variabilidad de niveles de mercurio. Sexo y edad: proxys de otras fuentes de exposición. Resultados similares observados en otras poblaciones (Santor, IARC Sci Publ 199;118:11-6). Consumo de verduras crudas y ahumados: (?). Mercurio en orina asociado con el consumo de pescado. (Svensson, Sci Tot Environ 199;16:61-74; Salonen, Circulation 1995;91:645-55). Aunque... estudios previos no utilizaron modelos que tengan en cuenta la censura. Discusión (I) Muchas variables epidemiológicas que no miden tiempo de supervivencia presentan distribuciones con censura. Regresión lineal MCO proporciona estimaciones sesgadas e inconsistentes. Ignorar censura: distribución muestral poblacional. Utilizar modelos adecuados a la naturaleza de la variable de estudio: truncamiento/censura.

13 Discusión (II) Modelos de regresión censurados (Tobit): No cambia la dirección del efecto estimado. Diferencias en: estimación efecto y su variabilidad. En epidemiología cuantificar efecto tan importante como significación estadística. Métodos estadísticos desarrollados en otros campos (economía, industria, psicología, etc.) también útiles en epidemiología. James Tobin (1918-) "! # $ % &' ( ) * +-,". / 1 43"5" :<; = 9 : ABACA D EFG Ḧ I D Ḧ KFEFL;NM O P Q"R4SP T4S U VXWY"ZLW[V \4]"^"_ ` a b"cd4e"f"g e h ï d<jnk