Funciones primtivas recursivas y clases PRC (parte I)

Transcripción

1 Funciones primtivas recursivas y clases PRC (parte I) Hernán Czemerinski Miércoles 2 de febrero de 2011 Definición 1. Llamamos funciones iniciales a n(x) = 0 s(x) = x + 1 u n i (x 1,..., x n ) = x i con n 1 y 1 i n. Nótese que dado que hay infinitas funciones proyectoras u n i, también hay infinitas funciones iniciales. Definición 2. Sean f : N k N y g 1,..., g k : N n N. Sea h : N n N definida como h(x 1,..., x n ) = f(g 1 (x 1,..., x n ),..., g k (x 1,..., x n )). Decimos entonces que h es obtenida a partir de f y g 1,..., g k por composición. Definición 3. Sean f : N n N y g : N n+2 N. Sea h : N n+1 N definida como h(x 1,..., x n, 0) = f(x 1,..., x n ) h(x 1,..., x n, t + 1) = g(t, h(x 1,..., x n, t), x 1,..., x n ). Decimos entonces que h es obtenida a partir de f y g por recursión primitiva. En este contexto vamos considerar que una función 0-aria es una constante k. Si h : N N, entonces h(0) = k = s (k) (n(0)). Definición 4. Una clase de funciones se dice PRC si incluye a las funciones iniciales y está cerrada por composición y recursión primitiva. La clase de las funciones recursivas primitivas es la mínima clase PRC. Analicemos cómo están organizadas las funciones primitivas recursivas. A las funciones iniciales podemos pensarlas ubicadas en un nivel 0. Luego, en el nivel 1 estarían las que se pueden obtener mediante composición y recursión primitiva usando sólo las del nivel 0. En general, si h es una función definida por composición a partir de f, g 1,..., g k diremos que nivel(h) = max(nivel(f), nivel(g 1 ),..., nivel(g k )) + 1. Análogamente, si h se define por composición a partir de f y g, nivel(h) = max(nivel(f), nivel(g)) + 1. El siguiente diagrama muestra algunas funciones de los niveles 0 y 1. 1

2 s(n(x)) m(0) = n(n(x)) m(t + 1) = u 3 1 (t, m(x, t), x) u 1 1 (u1 1 (x)) n(x) u 1 1 (x) u 2 1 (x1, x2) s(x) n(s(x)) l(x, 0) = u 1 1 (n(x)) l(x, t + 1) = u 3 2 (t, l(x, t), x) Esto es a lo que llamamos la cebolla de las funciones primitivas recursivas. Esta estructura nos va a resultar muy útil para hacer demostraciones. Para probar que todas las funciones de una clase tienen una cierta propiedad p haremos inducción sobre estos niveles. Es decir, deberemos probar que vale para las funciones del nivel 0, y que de valer p en las funciones de los niveles 0,..., t, entonces también vale en las del nivel t + 1. Ejercicio 1. Sea C una clase PRC, y sean β una función de C. Mostrar que también lo son las siguientes funciones: 1. ϕ 1 (x, y, z) = β(z, y, x) 2. ϕ 2 (x) = β(x, x, x) 3. ϕ 3 (x, 0) = 2 ϕ 3 (x, y + 1) = ϕ 1 (x, x, x) y Resolución. Para mostrar que las funciones son de la clase C debemos escribirlas como funciones definidas por composición o recursión primitiva usando funciones de C. 1. Probemos que ϕ 1 puede definirse por composición de funciones de C. O sea, escribamos ϕ 1 como una función h ϕ1 tal que h ϕ1 (x, y, z) = f ϕ1 (g ϕ11 (x, y, z),..., g ϕ1k (x, y, z)) con f ϕ1, g ϕ11,... y g ϕ1k funciones de C. Veamos que si tomamos f ϕ1 = β, g ϕ11 = u 3 3, g ϕ12 = u 3 2 y g ϕ13 = u 3 1 obtenemos ϕ 1. h ϕ1 (x, y, z) = β(u 3 3(x, y, z), u 3 2(x, y, z), u 3 1(x, y, z)) h ϕ1 (x, y, z) = β(z, y, x) h ϕ1 (x, y, z) = ϕ 1 (x, y, z) Por lo tanto, también ϕ 1 es una función de C. 2. De manera muy similar podemos probar que ϕ 2 también es una función de C. En este caso tomemos f ϕ2 = β y g ϕ21 = g ϕ22 = g ϕ23 = u 1 1. Con lo que también ϕ 2 está en C. h ϕ2 (x) = β(u 1 1(x), u 1 1(x), u 1 1(x)) h ϕ2 (x) = β(x, x, x) h ϕ2 (x) = ϕ 2 (x) 2

3 3. Para mostrar que ϕ 3 está en C la definiremos siguiendo el esquema de recursión primitiva. Es decir, queremos escribirla como una función h ϕ3 tal que h ϕ3 (x, 0) = f ϕ3 (x) h ϕ3 (x, t + 1) = g ϕ3 (t, h ϕ3 (x, t), x) con f ϕ3 y g ϕ3 en C. En primer lugar deberíamos probar que la función constante de una variable dos (que siempre da 2) está en C. Para esto usaremos composición, las funciones iniciales n y s y la función uno (función constante de una variable que siempre da 1), que también deberemos probar que está en C. Empecemos por definir uno por composición del siguiente modo: uno(x) = s(n(x)) uno(x) = s(0) uno(x) = uno(x) = 1 Ahora, sabiendo que uno está en C, definamos usando composición la función dos: dos(x) = s(uno(x)) dos(x) = s(1) dos(x) = dos(x) = 2 con lo que también dos está en C. De este modo, tomando f ϕ3 = dos queda resuelta la primera ecuación del esquema de recursión primitiva. El siguiente paso consiste en dar una función g ϕ3 que verifique la segunda ecuación del esquema de recursión primitiva. Empecemos por ver que prod(x, y) = x y es una operación que se encuentra en cualquer clase PRC. Definamos la función h prod : N 2 N del siguiente modo: h prod (x, 0) = 0 h prod (x, t + 1) = x + h prod (x, t) Ya se vio en la teórica que la suma es una función primitiva recursiva, con lo que puede verse que h prod también es primitiva recursiva tomando f prod (x) = n(x) g prod (x, y, z) = u 3 3(x, y, z) + u 3 2(x, y, z) Ahora deberíamos ver que prod = h prod. Esto lo podemos probar por inducción en t. Para el caso base tomamos t = 0. h prod (x, 0) = 0 = x 0 = prod(x, 0) Supongamos cierta la igualdad para t y veamos que entonces también es cierta para t + 1. h prod (x, t + 1) = x + h prod (x, t) = x + prod(x, t) = x + x t = x (t + 1) = prod(x, t + 1) O sea, prod está en todas las clases PRC. Definamos ahora la función γ : N 3 N como γ(x, y, z) = ϕ 1 (u 3 3(x, y, z), u 3 3(x, y, z), u 3 3(x, y, z)) Como sólo usamos funciones de C y seguimos el esquema de composición, también γ está en la clase. Ahora, nuevamente mediante composición, definamos g ϕ3 como g ϕ3 (x, y, z) = prod(γ(x, y, z), u 3 1(x, y, z)) 3

4 Por último, probemos que esta definición de g ϕ3 es adecuada para ϕ 3. h ϕ3 (x, y + 1) = g ϕ3 (y, h ϕ3 (x, y), x) h ϕ3 (x, y + 1) = prod(γ(y, h ϕ3 (x, y), x), u 3 1(y, h ϕ3 (x, y), x)) h ϕ3 (x, y + 1) = prod(ϕ 1 (x, x, x), y) h ϕ3 (x, y + 1) = ϕ 1 (x, x, x) y Con esto resolvimos la segunda ecuación del esquema de recursión primitiva. En consecuencia ϕ 3 también está en C. Ejercicio 2. Dada una función f : N N primitiva recursiva, probar que la función f n (x) que toma el parámetro x y aplica n veces la función f es primitiva recursiva (con f 0 (x) = x). Resolución. Estaría bien si hiceramos lo siguiente? f n (x) = f(...f(x)...) }{{} n Estaría bien si el n fuera fijo, pero en este caso no lo es. Si hacemos esto estaríamos probando que para cada n la función que aplica n veces f es primitiva recursiva. Por ejemplo: f 2 (x) = f(f(x)) f 3 (x) = f(f(f(x)))... En este caso nos están pidiendo que probemos que existe una función h que toma como parámetro la cantidad de veces que debe ser aplicada f y se encarga de aplicarla las veces necesarias. Llamamos f n (x) = h(x, n) y la definimos como siendo h(x, 0) = u 1 1(x) h(x, t + 1) = g(t, h(x, t), x) g(x, y, z) = f(u 3 2(x, y, z)) Probemos ahora por inducción que h se comporta como esperamos. Empecemos considerando el caso t = 0. h(x, 0) = u 1 1(x) = x = f 0 (x) Supongamos ahora que vale para t y probemos que entonces vale para t + 1. h(x, t + 1) = g(t, h(x, t), x) = f(u 3 2(t, h(x, t), x)) = f(h(x, t)) = f(f t (x)) = f t+1 (x) 4

5 Ejercicio 3. Llamamos predicado a cualquier función p : N n {0, 1}. Probar que son primitivos recursivos 1. par(x) 2. dadas β y γ recursivas primitivas, { β(x) si x es par δ(x) = γ(x) si no Resolución. Para resolver este ejercicio haremos uso de la función { x y si x y x y = 0 si no cuya demostración como función primitiva recursiva queda pendiente siendo un ejercicio de la práctica. 1. Definamos una función h usando el esquema de recursión primitiva. siendo h(0) = 1 h(t + 1) = g(t, h(x)) g(x, y) = uno (x, y) u 2 2(x, y) Definimos uno (x, y) = uno(u 2 1(x, y)) = uno(x) = 1, donde la función uno es la del ejercicio 1. O sea, se trata de una función constante de dos variables que siempre da 1. Veamos, por último, que par = h. Esta prueba la hacemos por inducción en t. h(0) = 1 = par(0) Probemos ahora que vale para t + 1 suponiendo que vale para t. Tengamos en cuenta que un número es par si y sólo si su antecesor inmediato es impar (eureka!). h(t + 1) = g(t, h(t)) = uno (t, h(t)) u 2 2(t, h(t)) = 1 h(t) Si t es par, entonces por hipótesis inductiva h(t) = 1, con lo que 1 h(t) = 1 1 = 0 = par(t + 1) Si t es impar, entonces por hipótesis inductiva h(t) = 0, con lo que 1 h(t) = 1 0 = 1 = par(t + 1) Como pudimos ver, la función h se comporta como esperabamos. 2. Definamos usando composición las siguientes funciones auxiliares impar(x) = uno(x) par(x) g 1 (x) = β(x) par(x) g 2 (x) = γ(x) impar(x) Queda pendiente mostrar que el comportamiento de impar es el esperado. Ahora definamos h como h(x) = g 1 (x) + g 2 (x) Por último, veamos que δ = h. 5

6 h(x) = g 1 (x) + g 2 (x) = β(x) par(x) + γ(x) impar(x) Si x es par, se tiene que h(x) = β(x) par(x) = β(x) = δ(x) mientras que si es impar h(x) = γ(x) impar(x) = γ(x) = δ(x) Ejercicio 4. Sean g : N N y f : N N, y sea C 1 la mínima clase de funciones de una variable que contiene a f y a g y está cerrada por la suma. Es decir, si β y γ son dos funciones de C 1, entonces δ(x) = β(x) + γ(x) también está en C 1. Sea C 2 la clase de funciones h : N N tales que h(x) = k 1 f(x) + k 2 g(x) con k 1, k 2 N y k 1 > 0 o k 2 > 0 ( o no exclusivo). Demostrar que C 1 y C 2 son la misma clase. Resolución. Para demostrar que C 1 = C 2 probaremos que C 1 C 2 y C 2 C 1. (C 1 C 2 ). Para esta inclusión usaremos inducción en los niveles de la cebolla de la clase C 1. El caso base consiste en probar que tanto g como f se encuentran en C 2 : con lo que f se encuentra en C 2. Análogamente, por lo que g también está en C 2. f(x) = 1 f(x) = 1 f(x) + 0 g(x) g(x) = 1 g(x) = 0 f(x) + 1 g(x) Pasemos ahora al caso inductivo. Consideremos la función δ(x) = β(x) + γ(x) y probemos que si β y γ están en C 2, entonces también δ lo está. δ(x) = β(x) + γ(x) Usando la hipótesis inductiva en β, podemos reescribir δ como δ(x) = k 1 f(x) + k 2 g(x) + γ(x) con k 1 > 0 o k 2 > 0. Ahora, usando la hipótesis inductiva en γ reescribimos δ como con k 3 > 0 o k 4 > 0. Por lo tanto, δ(x) = k 1 f(x) + k 2 g(x) + k 3 f(x) + k 4 g(x) δ(x) = (k 1 + k 3 ) f(x) + (k 2 + k 4 ) g(x) Como (k 1 + k 3 ) > 0 o (k 2 + k 4 ) > 0, queda demostrado que δ(x) está en C 2. (C 2 C 1 ). Para demostrar esta inclusión probemos antes la siguiente propieded: prop1: para todo k 1, h(x) = k f(x) está en C 1. Esto puede demostrarse por inducción en k. Trivialmente vale el caso base con k = 1 h(x) = 1 f(x) = f(x) Supongamos que la propiedad vale para k y veamos que entonces también es cierta para k + 1. h(x) = (k + 1) f(x) = k f(x) + f(x) 6

7 Por definición f(x) está en C 1 y por hipótesis inductiva también lo está k f(x). Como C 1 está clausurada por suma resulta que también h está en la clase. Análogamente se puede probar una propiedad prop2: h(x) = k g(x) está en C 1. Consideremos ahora una función h de C 2. Por definición de la clase h(x) = k 1 f(x) + k 2 g(x) con k 1 > 0 o k 2 > 0. Por lo tanto sólo puede darse uno de los siguientes casos: 1. k 1 = 0. Luego, k 2 > 0 y h(x) = k 2 g(x) está en C 1 por prop2. 2. k 2 = 0. Luego, k 1 > 0 y h(x) = k 1 f(x) está en C 1 por prop1. 3. k 1, k 2 > 0. Luego, h(x) = k 1 f(x)+k 2 g(x) está en C 1 porque por prop1 y prop2 ambos términos están en C 1 y la clase está cerrada por suma. 7