Universidad Nacional De Trujillo

Transcripción

1 CINEMÁTICA Mecánica Definición.- La mecánica es una parte de la física que se encarga de estudiar el moimiento de los cuerpos así como la fuerza y la energía. Clasificación De La Mecánica La mecánica de clasifica en tres partes: ) La cinemática.- Parte de la mecánica que se encarga de estudiar el moimiento de los cuerpos sin considerar las causas que lo generen. ) La dinámica.- Parte de la mecánica que se encarga de estudiar las fuerzas que generan el moimiento de un cuerpo. 3) La estática.- Estudia a los cuerpos permanentemente en reposo o equilibrio, la estática es un caso particular de la dinámica. Moimiento El moimiento es un fenómeno físico que se define como el cambio de posición que experimenta un cuerpo en cada instante con respecto a un sistema de referencia, ariando la distancia de dicho cuerpo respecto al sistema de referencia, describiendo así una trayectoria. Clasificación Del Moimiento El moimiento podemos clasificarlo según se muea un punto o un sólido, y lo hacemos de la siguiente manera: ) Según la trayectoria del punto ) Moimiento rectilíneo.- La trayectoria que describe el punto es una línea recta. ) Moimiento curilíneo.- El punto describe una cura cambiando su dirección a medida que se desplaza. Casos particulares del moimiento curilíneo son: El moimiento circular.- Que es un moimiento en el que se describe un círculo en torno a un punto fijo, así como Las trayectorias elípticas y las parabólicas.

2 ) Según la trayectoria del solido ) Moimiento de traslación.- En este moimiento todos los puntos del solido describen trayectorias iguales, no necesariamente rectas. ) Moimiento de rotación.- Todos los puntos del solido describen trayectorias circulares concéntricas. 3) Según la dirección del moimiento ) Moimiento alternatio.- El moimiento descrito se llama alternatio si es sobre una trayectoria rectilínea o pendular. ) Moimiento pendular.- El moimiento descrito se llama pendular si es sobre una trayectoria circular o sobre un arco de circunferencia. 4) Según la elocidad ) Moimiento uniforme.- Se llama así cuando la elocidad se mantiene constante. ) Moimiento uniformemente ariado.- Se llama así cuando la aceleración se mantiene constante como el caso de los cuerpos en caída libre sometidos a la aceleración de la graedad. Esquematicemos todos los moimientos fundamentales cerca a la superficie terrestre en el siguiente plano. z G Plano ertical a la superficie terrestre F H I V V F A V G V B A C E B D x Plano horizontal a la superficie terrestre y V C V D

3 En este esquema que hemos planteado emos que: En el plano horizontal a la superficie: El moimiento AB es rectilíneo uniforme porque la elocidad es constante. El moimiento CD es rectilíneo ariado porque la elocidad no es constante. El moimiento EE es circular. En el plano ertical a la superficie: Móil El moimiento FG es rectilíneo ariado; este mas es conocido como moimiento ertical (ya sea de subida o bajada). El moimiento HI es parabólico. Definición.- Un móil es aquel cuerpo que realiza un moimiento. Clasificación De Un Móil Dependiendo del tamaño del móil este puede ser considerado como: Un punto material o partícula.- Un móil es llamado punto material, cuando sus dimensiones no interesan en el estudio de su moimiento. Un cuerpo extenso.- Un móil es considerado como un cuerpo extenso, cuando su dimensión si interesa en el estudio de su moimiento. Ejemplo. Lima Trujillo En este caso se está considerando al móil como una partícula

4 Ejemplo. Sistema De Referencia Inercial (S.R.I) Definición.- Se llama así a un obserador O que no está acelerado y que está dotado de un sistema de ejes y de un cronometro de forma que puede determinar la posición de un cuerpo en cualquier instante de tiempo. Trayectoria Definición.- La trayectoria es la cura que describe el móil durante su moimiento. Intuitio trayectoria B A Obseración: Generalmente la trayectoria se suele denotar por: Espacio Recorrido r(t) ( x(t), y(t), z(t) ) x(t) i y(t) j z(t) k Definición.- El espacio recorrido es la longitud de la trayectoria descrita por el móil.

5 Ejemplo En esta figura podemos apreciar que " x i " es la posición inicial en la que se encuentra el móil, o posición a partir de cual se empieza a tener en cuenta su moimiento, " x " representa la posición final y " x" es el espacio recorrido, f cuya longitud en el S.I es el metro (m). Desplazamiento ( d ) Y Distancia ( d ) El ector que se dirige desde la posición donde se inicia el moimiento hasta donde termina el moimiento, independiente de la trayectoria es llamado ector desplazamiento y el módulo de este ector se llama distancia. Interpretación z A AB : d B y x En la representación geométrica que estamos haciendo destacamos los siguientes elementos: AB : Representa al ector distancia o también llamado desplazamiento. AB : Es lo que definimos como la distancia recorrida por el móil. Vector Posición Definición.- Llamaremos ector posición a aquel ector que une el origen O del S.R.I con la posición del móil en cada instante (t).

6 Interpretación z r r 3 4 r r r y x En esta interpretación que estamos haciendo destacamos lo siguiente: r : r t : Representa al ector posición del móil en el instante n n Velocidad Media Asumamos que en un S.R.I un móil en moimiento se encuentra en una posición P en el instante t y se encuentra en la posición P en el instante t, de esta manera según lo que se ha definido anteriormente los ectores posición serán: r t r t OP OP t. Definimos entonces a la elocidad media en el interalo t, t como: V m () r t r t rt : : t t t rt () t V :, t t, t m n

7 Interpretación z P r(t) r(t ) P r(t ) y Velocidad Instantánea x La elocidad instantánea o simplemente elocidad la definimos como: rt () V : lim t t () V : dr t dt V : dr dt OBSERVACIÓN Al módulo de la elocidad se le suele denominar rapidez.

8 IMPORTANTE Hay que destacar que la elocidad media se calcula entre dos puntos y la elocidad instantánea es en el punto. Aceleración Media Si una partícula tiene una elocidad instantánea en el instante t, es decir ( t), y posee una elocidad una elocidad instantánea en el instante t, es decir ( t ) ; entonces definimos la aceleración media como el cociente entre la ariación de la elocidad,, y la ariación del tiempo, t t t, para todo, Caracterización t t t. a m : t t Aceleración Instantánea t a, t t, t m De manera similar en que definimos la elocidad instantánea, la aceleración instantánea la definimos por: a : lim t t a : : : dt dt dt dt d d dr d r d a : : dt dt d r

9 Análisis Básico Del Moimiento Rectilíneo Uniforme Problema básico Consideremos que un móil empieza a moerse con M.R.U a partir de la posición x con una elocidad constante de metros por segundo. Cuál es la posición del móil en cada instante t? Interpretación preia Modelación Básica dx dt... x() x Solución ) Recordemos la siguiente equialencia. dy f(t,y) dt y(t ) y t t y(t) y f(u,y(u))du ) Usando en tenemos: t x(t) x du

10 Sabemos que es una constante t x(t) x du t x(t) x u x(t) x (t ) x(t) x t x(t) t x... Donde la ecuación es conocida como la ecuación del moimiento rectilíneo uniforme. Análisis geométrico de La ecuación representa a una recta que corta al eje x en x y cuya pendiente es, es decir: x x(t) tg( ) x t Grafica posición Vs tiempo ( X Vs T ) En base al problema básico y a lo mencionado en el análisis geométrico, eamos las siguientes aplicaciones básicas.

11 Conclusión dx dt x() x x(t) t x a Aplicación básica Un ciclista está corriendo con una elocidad constante c metros por segundo a lo largo de la recta (er figura) al pasar por es isto por un canino (perro) que se encuentra en A, que decide interceptarlo en el punto B corriendo con una elocidad constante de p metros por segundo. Cuál debe ser la elocidad del ciclista para no ser alcanzado por el canino? A p m/s 8m B 6m x Solución Para dar solución a este problema debemos realizar dos análisis, uno para la persona y otro para el canino, eamos: Modelo básico para el ciclista

12 dx c dt x() x(t) ct x(t) ct Ahora digamos que en esos t segundos el ciclista se encuentra ya en B, esto querría decir que: Modelo básico para el canino 6 t... c Para poder realizar nuestra modelación para el canino debemos establecer un sistema de referencia que nos ayude a analizar el moimiento que este tenga, eamos: De acuerdo a este diagrama nuestro modelo para el canino sería: dx dt x() x(t) t x(t) t... quiere decir que en t segundos el canino se encontrara ya en B, esto querría decir que: L t... 3

13 Ahora del esquema que nos dan en el problema tenemos: A 8m L B 6m x Usando el teorema de Pitágoras tendremos: L 8 6 ( 4) ( 3) 4 3 (4 3 ) (5) 5 L... 4 Ahora utilizando 4 en 3 tenemos: Usando 5 en tendremos: t t c c m/s Rpta: El ciclista para no ser alcanzado por el canino deberá iajar a una elocidad mayor a m/s.

14 Aplicación básica Un motociclista situado en la ciudad de Lima y otro en situado en Chepén en el kilómetro 6 de la panamericana norte, parten a las 6: am el primero hacia Chepén y el segundo hacia Lima. Asumamos que el desplazamiento de cada uno de ellos esta descrito en las siguientes gráficas, A qué hora y a qué distancia de Chepén en kilómetros se encontraran? 6 x(km) Chepén 6 x(km) 6 8 t(h) Lima t(h) Solución Antes de dar solución al problema mismo, analicemos el siguiente: Problema básico Asumamos que dos móiles A y B se encuentran separados a una distancia de E kilómetros entre sí, digamos también que ambos móiles parten simultáneamente uno al encuentro del otro con elocidades constantes de km/h y B km/h respectiamente, entonces luego de que tiempo podrán ambos móiles encontrarse. Interpretación preia A

15 Modelo básico para el móil A Uniersidad Nacional De Trujillo dx dt x() A x (t) At x... (t) A t Modelo básico para el móil B dx dt x() E B x (t) t E... B Ya tenemos la descripción de los moimientos de los móiles A y B, ahora decir que existe un tiempo de encuentro entre ambos móiles, quiere decir que en algún instante t ambos móiles encontraran ubicados en la misma posición; es decir: x (t ) x (t ) t E t B A t t E A B t E A B E t A B Demos solución ya al problema básico Veamos ambos gráficos en un solo esquema: x(km) Chepén 6 x (t) x (t) Lima t(h)

16 Como podemos apreciar geométricamente ambas rectas se están cortando en un punto, esto quiere decir que en algún instante se está produciendo un encuentro entre ambos motociclistas, entonces para dar solución a este problema podemos hacer un análisis similar al que acabamos de hacer preiamente, eamos: Interpretación preia Modelación básica para el motociclista L dx dt x () L x... (t) L t Modelación básica para el motociclista C H dx CH dt x () 6 x (t) t 6... CH Ahora haciendo uso de lo antes mencionado tendremos que: V m V m CH X L X 6 V 6 6 CH L V VCH 6 VL x (t) t x (t) 6t 6 Para el instante de equilibrio, por lo explicado anteriormente tenemos: 6t 6 t 6 t 6

17 t hora t 3h 45min Ahora demos respuesta a lo que se nos pregunto ) Los motociclistas dado que salieron a las 6 am y se encuentran al cabo de 3h 45 min, quiere decir que se hallaron a las 9:45 am. ) La distancia de Chepén a la que se hallaron es: La distancia de lima a la que se encontraron es: 5 x (t) 375km 4 dch km Por lo tanto, ambos se encontraron a 5 km de Chepén. Aplicación básica 3 Un carpintero desea cortar un tablón de 3. metros de largo, para lo cual utiliza una sierra eléctrica de. metros de radio; asumiendo que el carpintero hace pasar dicho tablón por la sierra eléctrica con una elocidad constante de 6 metros por segundo, determine la ecuación del moimiento de dicho tablón en cada instante t, y señale también luego de que tiempo el carpintero logrará cortar completamente el tablón. Solución Interpretación 3. m.4 m S.R.I

18 Recordemos que: 3 m 6cm 5 Análisis: dx 6 dt x () x x(t) 6t x Para el S.R.I que estamos tomando, x x(t) 6t Ahora para que el tablón sea cortado completamente emos que: x(t) 3.4m t 5 t 6segundos

19 Introducción Uniersidad Nacional De Trujillo Análisis Básico Del Moimiento Rectilíneo Uniforme Variado Un cuerpo o partícula tiene M.R.U.V si al desplazarse lo hace describiendo una trayectoria recta, de modo que su elocidad aumenta o disminuye en cantidades iguales durante interalos de tiempo también iguales; esto quiere decir que las distancias recorridas en tiempos iguales serán distintas. Obseración Como podemos er en la figura mostrada el móil recorriendo espacios iguales con elocidades distintas, es mas podemos obserar que el móil esta aumentado su elocidad a razón de 4 m/s en cada segundo; este hecho matemáticamente se expresa de la siguiente manera: Recordemos: 4 m/s 4m/s s ) Sea r el ector posición definido anteriormente ) Si trabajamos solamente en una dirección; por decir el eje x tendremos 3) Deriando respecto al tiempo, obtenemos 4) Si llamamos a la componente en x de se tiene: 5) Deriando 4 con respecto al tiempo obtenemos la aceleración escalar instantánea 6) La aceleración media a m es: a m r(t) : ( x(t), y(t), z(t)) r(t) x(t) dr dx(t) dt dt dx dt d a dt d x dt ariación de t ariación de t

20 Clasificación Del M.R.U.V El M.R.U.V puede ser: Uniersidad Nacional De Trujillo Moimiento acelerado.- Se dice que un móil posee un moimiento acelerado o uniformemente acelerado, si la elocidad aumenta progresiamente a medida que transcurre el tiempo. Obseración Conencionalmente diremos que un cuerpo que posee un moimiento uniformemente acelerado, tiene una aceleración positia; donde esta aceleración se representa por medio de un ector que tiene la misma dirección y sentido que el ector elocidad y al momento de realizar la interpretación se representa de la siguiente manera: Moimiento retardado.- Diremos que un móil posee un moimiento retardado o desacelerado, cuando la elocidad de dicho móil disminuye progresiamente a medida que transcurre el tiempo. Obseración Conencionalmente diremos que un móil que posee un moimiento retardado, tiene una aceleración negatia; donde esta aceleración se representa por medio de un ector que tiene dirección y sentido contrario a las del ector elocidad y al momento de realizar la interpretación se representa de la siguiente manera:

21 DEDUZCAMOS AHORA LAS ECUACIONES DEL M.R.U.V Problema Asumamos que un móil empieza a desplazarse en línea recta con una elocidad inicial, si dicho móil mantiene una aceleración constante durante todo su moimiento. ) Determine la elocidad del móil en cada instante t luego de haber empezado su moimiento. ) Determine la posición del móil en cada instante t luego de haber empezado su moimiento. 3) Determine si es posible alguna relación entre la elocidad inicial, la elocidad pedida en ) y la posición pedida en ). Interpretación preia Modelo básico d a dx ()... Recordemos que: dy f(x,y) dx y(x ) y x y(x) y f(u,y(u))du... x

22 Aplicando a nuestro modelo básico tendremos que: t t (t) adu t (t) adu t (t) a du (t) a(t ) (t) at // (t) : at Por lo tanto la elocidad en cada instante t luego de que el móil empezó su moimiento es: Analicemos ahora el siguiente modelo: (t) at dx a dt x'() x() x... 3 Recordemos que: dx dt : x'' x'' a x'' dt adt T.F.C x' at k

23 x'(t) at k Ahora usemos el hecho de que: x'() tenemos: x'() a() k k k Denotando: x'(t) : x' x'(t) at... 4 x' at x' dt (at )dt x' dt t dt dt T.F.C at x t k at x(t) t k Usando el hecho que: x() x a() x() () k x k at x(t) t x // x(t) : x at x x t

24 Por tanto la posición del móil en cada instante t luego de haber empezado su moimiento es: at x(t) x t Sabemos por definición que: d dx a dt dt a dx dt d dt a dx d Formemos entonces el siguiente modelo: dx a d () x() x... 5 Resoliendo: a dx d d adx d adx a x k (t) a x(t) k... 6

25 () a x() k a x k... 7 Ahora formemos el siguiente sistema de ecuaciones: ((t) : ) ( x(t) : x) a x k a x k Restando miembro a miembro en el sentido indicado tendremos: (a x k ) (a x k ) a x a x ax x ax x La relación que existe entonces entre la elocidad a cada instante y la posición a cada instante luego de haber iniciado el moimiento es: a x x

26 Otras deducciones importantes: Se sabe por definición que: m : x t x x : t t m Sin embargo estamos partiendo de que: t Pero sabemos también que: Usando en tenemos: m x x... t at x x t... m at t t m at t t m at... 3 Pero sabemos también que: Usando ahora 4 en 3 tenemos: at at... 4 m m... 5

27 Ahora de se tiene: m x x t m x x t Consecuentemente por 5 tenemos: x x t Las ecuaciones demostradas han sido las siguientes: (t) at at x(t) x t a x x m x x t Los físicos definen a x x por y lo denominan espacio, es decir: x x e Al usar esta igualdad en las igualdades obtenidas tendremos: (t) at at e t ae

28 m e t Que son las propiedades que presentan los libros de física.

29 MOVIMIENTO CURVILINEO (MCUV) Sea f : D IR IR m donde mir caso particular m 3 entonces estaríamos hablando de una función f : D IR IR 3. Interpretación z A S r B r r' Y POSICIÓN: Consideremos una partícula o cualquier cuerpo que al salir del estado de reposo describe una trayectoria curilínea. En un tiempo t la partícula se encontrara en A, estando su posición dada por el ector r OA, r X i Y jz k,posteriormente en t la partícula se encontrara en B, con su ector posición, r OB, r X i Y jz k, la partícula se ha desplazado a lo largo del arco AB S. El desplazamiento esta dado por el ector r, notar que r r r, por consiguiente AB r r r ( X X ) i ( Y Y ) j( Z Z ) k o mas especifico queda de la siguiente manera AB r r r X i Y jz k. VELOCIDAD: la elocidad es el cambio de desplazamiento respecto al tiempo. VELOCIDAD MEDIA: la elocidad media también llamada elocidad promedio y r está dada por el ector V t, o r r r X Y Z V i j k t t t t t sabemos que la elocidad promedio está representada por un ector paralelo al desplazamiento X AB r.

30 VELOCIDAD INSTANTÁNEA: Aplicando el límite a la elocidad promedio tenemos cuando t y lo denotamos por: r lim V lim t t t Entonces también se podrá expresar de la siguiente manera: O también: dr dt dr dx dy dz i j k dt dt dt dt Entonces la elocidad (elocidad instantánea) nos queda de la siguiente manera: Luego como: Vx i Vy j Vz k V V V x y z r lim t t r s lim t t s r s lim t s t r s lim lim t t s t Podemos aeriguar qué pasa cuando: t y s con su elocidad Donde el: r s lim : ut lim : s s t t

31 Por lo tanto nos queda la formula de la elocidad expresada de la siguiente manera: ut En este caso suponiendo que la elocidad es constante el modelo que describe este moimiento seria de la siguiente manera. MODELO: Desarrollando este modelo tenemos las siguientes expresiones. Como la elocidad es constante entonces tenemos la siguiente expresión. Calculo de c drd Por o tanto el desplazamiento nos quedaría expresado de la siguiente manera. Esta ecuación describe el moimiento para el cual la elocidad es constante Ahora eremos si la elocidad ya no es constante, entonces aparece la aceleración. ACELERACIÓN: Haciendo el mismo análisis afirmamos que la aceleración es la razón de cambio de la elocidad respecto al tiempo. ACELERACIÓN MEDIA: la aceleración media de un móil se define como la ariación de su elocidad en el lapso de tiempo considerado.

32 a t ACELERACION INSTANTANEA: La aceleración instantánea es la aceleración media aplicada el limite cuando t. a lim t t O a d dt d r(t) a dt Donde esta aceleración es constante por lo tanto el modelo del moimiento es. MODELO: d r(t) a dt r() r ' r () Desarrollando esta ecuación diferencial tenemos las siguientes expresiones dr dz z a dz adt dt dt Calculo de C : ' z adt c z at c r (t) at c ' r () a c c Donde la elocidad es la deriada de la posición respecto al tiempo. dr(t) dt at Desarrollando esto no queda de la siguiente manera. Calculo de la constante C. a r(t) (at ) c r(t) t t c a r() c c r

33 Por lo tanto la ecuación del moimiento en función del tiempo es. MOVIMIENTO CIRCULAR: a r(t) t t r LONGUITU DE ARCO: La longitud de arco es directamente proporcional a su ángulo de giró, donde el ángulo para este caso por coneniencia debería de estar en radianes. s(t) R (t) MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU): El moimiento circular uniforme describe el moimiento de una partícula que describe una trayectoria en una circunferencia, con elocidad. Si la rapidez V es constante. VELOCIDAD LINEAL O TANGENCIAL: la elocidad lineal es la razón de cambio de la longitud de arco respecto al tiempo o mas dicho es tangente al moimiento y lo denotamos por V. ds(t) d (t) R dt dt Donde la ds(t) lo amos a denotar por V y la d (t) lo denotaremos por dt dt entonces establecemos nuestro modelo para la elocidad lineal V. MODELO: Solución ds(t) dt s() s s(t) dt c Como la elocidad es constante nos queda. s(t) t c Una ez obtenido esto calculamos la constante C s() c c s Por lo tanto la ecuación del moimiento en función del tiempo nos queda expresado de la siguiente manera.

34 s(t) t s VELOCIDAD ANGULAR CONSTANTE: es aquella que no cambia a traés del tiempo; y cuyo alor nos indica el desplazamiento angular que experimenta un móil en cada unidad de tiempo. ds(t) d (t) Como R, donde d (t) dt dt dt modelo para este moimiento será: es la elocidad angular tendremos que el MODELO: Desarrollando el modelo. Calculo de C rad En el sistema internacional se expresa por o también puede expresarse por seg re seg o re d( d rpm min ; teniendo en cuenta que reolución rad 36º. PERIODO Y FRECUENCIA: llamamos periodo (T) al tiempo que emplea un móil con moimiento circular uniforme para dar una uelta completa, y llamamos frecuencia (f) al número de ueltas que dicho móil da en cada unidad de tiempo, esto se determina así. Periodo:

35 Frecuencia: Relación de frecuencia y periodo: Unidades de frecuencia s - Hz MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMENTE VARIADO (MCUV) Como sabemos que en el mundo cotidiano no es constante, entonces es frecuente obserar las trayectorias curas que describen algunos cuerpos en su moimiento continuo. Cuando una partícula se muee según una trayectoria cura debe tener una componente de la aceleración perpendicular a dicha trayectoria, incluso si su rapidez es constante. Para una trayectoria circular existe una relación sencilla entre la componente normal de la aceleración, la rapidez de la partícula y el radio de la trayectoria ACELERACION: La aceleración refiere a la acción y efecto de acelerar, es decir, aumenta la elocidad. Aunque la palabra también nos permite referirnos a la magnitud ectorial que expresa dicho incremento de elocidad en una unidad de tiempo. En tanto la aceleración podrá ser negatia, entonces, en este caso, la magnitud expresará una disminución de elocidad en función del tiempo. En este caso existen distintos tipos de aceleración. ACELERACION TANGENCIAL: La aceleración es una magnitud ectorial que nos indica el ritmo o la tasa de cambio de la elocidad de un móil por unidad de tiempo. En otras palabras, cuanta rapidez adquiere un objeto durante el transcurso de su moimiento, según una cantidad definida de tiempo. ACELERACION NORMAL O CENTRIPETA: se llama aceleración centrípeta a la aceleración, o la componente de la aceleración que actúa sobre un objeto en moimiento sobre una trayectoria curilínea, y que está dirigida hacia el centro de curatura de la trayectoria. El termino centrípeta proiene de las palabras latinas centrum que significa centro petere que significa dirigirse hacia, y puede ser obtenida a partir de las leyes de newton. La aceleración centrípeta siempre actúa en forma perpendicular a la dirección del moimiento del cuerpo sobre el cual se aplica. En el caso de un objeto que se muee en trayectoria circular con elocidad cambiante, la

36 aceleración neta sobre el cuerpo puede ser descompuesta en una componente perpendicular que cambia la dirección del moimiento y uno tangencial, paralelo a la elocidad, que modifica el módulo de la elocidad. ACELERACION MEDIA: Se define la aceleración media como la relación entre la ariación o cambio de elocidad de un móil y el tiempo empleado en dicho cambio de elocidad. Por lo tanto expresamos el modelo de este moimiento. MODELO: Solución d s(t) a dt s() s ' s () Desarrollando esta ecuación tenemos que. d s(t) d(t) a a d(t) adt dt dt Siendo a constante integramos y tenemos. ' (t) adt c (t) at c s (t) at c Con las condiciones iniciales calculamos la constante de integración. Seguimos operando hasta despejar s(t). ' s () a c () a c c a ds(t) (at )dt c s(t) t t c Ahora calculamos la segunda constante de integración. a s() c c s Por lo tanto la expresión del moimiento nos queda expresado de la siguiente manera. a s(t) t t s La aceleración lo podemos expresar de la siguiente manera.

37 d d(t) dt d a t dt dt dt dt Por la regla de la cadena descomponemos. Denotando : (t) s(t) : s t dt dt d ds... I dt d ds dt De la longitud de arco tenemos: s(t) R (t), deriando esta ecuación se tiene: Donde dt :n d es el ector normal Reemplazando (II) en (I) tenemos: ds(t) d (t) R dt dt d (t) R ds(t)... II dt dt d ds n dt d ds dt R Donde n es el ector normal opuesto al de la cura que apunta al punto de giro por lo tanto la aceleración nos queda. d a n t a nacen ta R dt Por lo tanto el módulo de la aceleración es. ACELERACION ANGULAR: a a a cen tan Indudablemente la única razón para que la elocidad angular cambie es que exista un agente que lo produzca, a quien se ha conenido en denominar aceleración angular. Este tipo de aceleración angular tiene naturaleza ectorial, y su línea de tan

38 en cada unidad de tiempo t y ello lim lim t t t siendo constante. acción coincide con el de la elocidad angular, aunque no posee siempre la misma orientación. Cuando la aceleración angular es constante, su alor nos da el aumento o disminución de la elocidad angular determina que el moimiento sea uniformemente ariado. Cuando t entonces lo expresamos de la siguiente manera. O también d dt El modelo para este moimiento es. MODELO: Desarrollando el modelo. Calculo de C Pero Calculo de C. d dt (t) dt c (t) t t c dd

39 Una relación entre la elocidad tangencial y la elocidad angular. O mas dicho V R ds(t) d (t) R dt dt Relación de la aceleración lineal y la aceleración angular O mas dicho a R Sabemos que la aceleración centrípeta es. Entonces podemos expresarlo de la siguiente manera. DEFINICION DE FUERZA: Fuerza es todo agente capaz de modificar la cantidad de moimiento o la forma de los cuerpos materiales. No debe confundirse con los conceptos de esfuerzo o de energía, en el sistema internacional las unidades de la fuerza es el Newton. PRIMERA LEY DE NEWTÓN: Si la fuerza resultante de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es cero, entonces dicho cuerpo se encuentra en equilibrio. SEGUNDA LEY DE NEWTÓN: F Se dice que toda fuerza aplicada sobre un cuerpo es directamente proporcional a la aceleración donde la masa es la constante de proporcionalidad. F mad

40 Donde a es la aceleración y lo podemos expresar de la siguiente manera. Aplicación d x(t) d x(t) a F m dt dt Una cadena uniforme de longitud L, medida en pies, se mantiene erticalmente por lo que el extremo inferior apenas toca el piso. La cadena pesa Plb por pie. El extremo superior que está sujeto se libera desde el reposo en t= y la cadena cae al piso en línea recta. Si X(t) denota la longitud de la cadena en el piso al tiempo t, se desprecia la resistencia del aire y se determina que la dirección positia es hacia abajo, entonces a).- Encontrar la ecuación diferencial que describa el moimiento. b).- Encontrar el modelo. c).- Encontrar la elocidad en términos de X(t). d).- Encontrar la ecuación del moimiento. Solución a).- Peso total: Peso de la parte suspendida: Masa: lb wtotal Lpies.P wtotal LPlb pies lb w(t) (L X(t))pies.P w (L X(t))Plb pies La única fuerza que actúa es el peso: w(t) P m m (L X(t)) lb g g F w total Esto se puede expresar de la siguiente manera: d(m(t)) LP Reemplazando nos queda la siguiente expresión. d P P d(t) dx(t) ((L X(t)) (t)) LP dt g (L X(t)) (t) L P g dt dt

41 d(t) dx(t) d X(t) dx(t) (L X(t)) (t) Lg (L X(t)) ( ) Lg dt dt dt dt Con estos datos establecemos el modelo b).- MODELO: c).- d X(t) dx(t) (L X(t)) ( ) Lg dt dt V() X() Desarrollando el modelo para hallar la elocidad en función de la posición. d X(t) dx(t) (L X(t)) ( ) Lg...() dt dt d X(t) d(t) d(t) dx(t) d(t) (t)...() dt dt dx(t) dt dx(t) Reemplazando () en (). d d (L X(t)) Lg (L X(t)) Lg dx dx (L X)d ( Lg)dX ( Lg)dX (X L)d La ecuación nos queda. ( Lg)dX (X L) d M M N M N X X Esta ecuación no es exacta por lo tanto hallamos el factor integrante u. M N ( x )dx ( )dx ( )dx N (X L) (XL) ln(xl) u e u e u e u e u X L (X L)( Lg)dX (X L)(X L)d N

42 (X L XLg L g)dx (X XL L )d M Por lo tanto el objetio es encontrar la función f(x,): Por lo tanto f f M X L XLg L g f (X L XLg L g)dx X X X X f XL Lg XL g s() f ' ' X XL s () X XL s () X XL L Esto en forma explicita En su forma implícita es Calculo de C : Por lo tanto la ecuación general es: ' L s () L s() L d c s() c X X L f XL Lg XL g c X X L XL Lg XL g c X XL X Lg XL g L c (X XL L ) X Lg XL gc (X L) X Lg XL gc () (X() L) X() Lg X()L gc ( L) Lg ()L gc c c (X L) X Lg XL g N

43 c).- Siguiendo desarrollando para obtener la elocidad: XL g X Lg (X L) XL g X Lg (X L) XL g X Lg X L dx XL g X Lg dt X L dx XL g X Lg dt X L XL g X Lg dx dt X L (X L)dX XL g X Lg dt XdX LdX XL g X Lg XL g X Lg dt XL g X Lg Lg XdX LdX dt c XL g X Lg XL g X Lg L g ( L dx LdX dt c g ) XL g X Lg XL g X Lg XL g X Lg LdX LdX dt c Lg XL g X Lg XL g X Lg XL g X Lg Lg t c XL g X Lg t c Lg

44 XL g X Lg (Lg) (Lg) t c X X g Lg X X g Lg t c t c X X g Lg ( t c ) XL X gl( t c ) X XL gl(t c ) X XL L L gl(t c ) (X L) L gl(t c ) X L L gl(t c ) X L gl(t c ) L X(t) L gl(t c ) L Calculando la constante de integración c : X() L gl( c ) L L glc L L L glc ( L) L glc glc c Por lo tanto la ecuación general del moimiento es: X(t) L gl(t ) L X(t) L glt L

45 Aplicación En un disco compacto (CD) de música se codifica en un patrón de hoyitos dispuestos en una pista que corre en espiral hacia el borde del disco. Al girar el disco dentro del reproductor, la pista es barrida con una elocidad lineal constante, dado que el radio de la pista aria al irse alejando del centro, la elocidad angular de la pista debe cambiar al reproducirse el CD, eamos qué aceleración angular se necesita para mantener constante. Si tomamos la dirección de rotación del CD como positia, para que el radio R aumente al girar el disco y aumentar el ángulo. a).- Expresar el ángulo en función de la elocidad y el tiempo t. b).- Encontrar el radio en función de la elocidad y del tiempo. c).- Hallar la elocidad angular y la aceleración angular. Interpretación (t) R( ) R A B S(t) Solución a).- A medida que crese el radio el ángulo también crese entonces cesen directamente proporcionales. Donde podemos establecer un modelo.

46 MODELO: Resoliendo este modelo. Calculo de c dr También la longitud de arco es igual al producto del radio por el ángulo. MODELO: s Entonces podemos establecer un modelo. Desarrollando esto. d Calculo de C. Como ya se io en el moimiento rectilíneo =t con su condición inicial.

47 Hallando las raíces de esta ecuación obtenemos. En este caso nos interesa en positio. b).- El radio esta expresado de la siguiente manera. Ealuamos en el ángulo que hemos encontrado. c).- La elocidad angular es la deriada del ángulo. Y la aceleración angular es la deriada de la elocidad angular.,