Soluciones. Abril de 2010

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1 FACULTAD CS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE MA Introducción al Cálculo Semestre Profesor: Jorge San Martín Auxiliares: Natalia Ruiz - Alfredo Torrico Soluciones Abril de 010 P1 Dado el punto P de coordenadas (a, b) y la recta L de ecuación y = mx, determinar la ecuación de la recta que pasa por P y tal que el trazo que queda determinado por la intersección de ella con los ejes, queda dimidiado por L Figura 1: Representación gráca del problema 1 Sea λ la pendiente de L, como (a, b) L, se tiene que (y b) = λ(x a) Calculemos ahora las coordenadas de Q y de R (i) x = 0 y = b λa Q = (0, b λa) (ii) y = 0 x = a b λ R = (a b λ, 0) Ahora si L dimidia a QR, necesariamente S será el punto medio de QR entonces luego S = 1 Q + R = S (a bλ, b λa ) además S L, entonces si S = (x S, y S ) se tiene que y S = mx S, es decir: b λa = m(a b λ ) la cual es una ecuación cuadrática en λ cuyas soluciones son, λ 1 = m y λ = b a así nalmente L : (y b) = m(x a) 1

2 ó L : (y b) = b (x a) a P Un triángulo ABC isósceles (AC = BC) y rectángulo en C, varía de tal manera que su vértice A permanece jo en el origen del sistema de coordenadas y su vértice B se mueve sobre la recta de ecuación x = a Determinar la ecuación del lugar geométrico que recorre el punto C y reconocer la gura que describe Consideremos los puntos A = (0, 0), B = (a, y b ), C = (x c, y c ) Como el triángulo es isósceles se tiene que AC = BC, luego (x c 0) + (y c 0) = (x c a) + (y c y b ) (1) Por otro lado AC BC, entonces si m AC y m BC son las pendientes de las rectas que pasan por AC y BC respectivamente, debe tenerse que m AC m BC = 1 y m AC = y c 0 x c 0 = y c x c m BC = y c y b x c a por lo tanto y c (y c y b ) x c (x c a) elevando () al cuadrado y reemplazando en (1) se obtiene = 1 () y así x c + yc = (x c a) + x c yc (x c a) yc = (x c a) y c = (x c a) y c = (x c a) es decir el lugar geométrico que recorre el punto C, son dos rectas perpendiculares P Dados el punto P = (a, b) y la recta L : y = mx, se trazan P H perpendicular a OX y P K perpendicular a L Si D es el punto medio de OP y M es el punto medio de HK Probar que DM es perpendicular a HK y DK = DH Sea K = (x 0, mx 0 ), por hipótesis tenemos que:

3 Probemos que DM HK: P = (a, b) H = (a, 0) D = ( a, b ) M = ( a+x0, mx0 ) como P K L se tiene que m P K = mx 0 b x 0 a por otro lado y entonces m DM = m (mx 0 b) x 0 a m HK = mx 0 x 0 a mx 0 b a+x 0 a m HK m DM = mx 0 b mx 0 x 0 x 0 a = 1 () = mx 0 a x 0 = m(mx 0 b) x 0 = 1 por () por lo tanto HK DM Probemos ahora que DM = DH: d DH = ( a a) + ( b 0) y = a + b d DK = ( a x 0) + ( b mx 0) = a ax 0 + x 0 + b bmx 0 + m x 0 = a + b + x 0 ax 0 bmx 0 + m x 0

4 pero por () m(mx 0 b) = x 0 + a, entonces por lo tanto DK = DH d DK = a + b + x 0(x 0 a) + x 0 m(mx 0 b) = a + b + x 0 (m(mx 0 b) + x 0 a) }{{} = 0 = a + b = d DH P Dos rectas variables L 1 y L que pasan, respectivamente por dos puntos jos A y B se cortan perpendicularmente en el punto P Determinar el lugar geométrico de P Sean A = (a, b), B = (c, d), luego (i) si x = a, entonces P = (a, b) (ii) si x = c, entonces P = (c, d) L 1 : y b = m 1 (x a) L : y d = m (x c) (iii) si x a y x c; m 1 = y b x a m = y d x c como L 1 L se cumple que m 1 m = 1, es decir desarrollando esta ecuación se obtiene (y (b + d) ) + (x que corresponde a una circunferencia de centro y radio (y b)(y d) = 1 () (x a)(x c) (a + c) ) (b d) = + C = ( a + c, b + d ) (b d) r = + (a c) Observación: Notar que C es el punto medio entre A y B, y r = d AB (a c)

5 P5 Sean L 1 : x + y + = 0, L : x y 1 = 0 y L : x + y = 0, tres rectas que denen el triángulo ABC Determinar: a) Perímetro del triángulo ABC b) Área del triángulon ABC c) La ecuación de la circunferencia circunscrita Intersectando las rectas (sistema de ecuaciones) obtenemos los siguientes puntos: ( A =, 5 ) ( 18 B = 5, 1 ) C = (, ) 5 Luego los segmentos (distancia entre los vértices) están dados por: Opuesto al Vértice A: Opuesto al Vértice B: Opuesto al Vértice C: a) El perímetro P está dado por: a = BC = b = AC = 11 c = AB = 5 15 P = a + b + c = b) El área está dada por Area = bh b, por lo tanto para obtener h b (altura que pasa por el lado b) calculamos la distancia del punto B a la recta determinada por los puntos A y C, la cual es x y 1 = 0, dado esto el resultado es h b = 11 5 Luego se tiene que: Area = Tambíen podríamos haber calculado la recta perpendicular al trazo b, e intersectarla con él, para obtener el punto donde llega la altura h b ; a partir de eso se calcula la distancia entre ese punto y el vértice B para tener como resultado el largo de h b c) El radio de la circunferencia circunscrita (que tiene como centro la intersección de las mediatrices de los lados del triángulo) está dado por: R = a b c Area = 11 También se pueden obtener mediatrices (rectas perpendiculares que pasan por el punto medio de un trazo) e intersectarlas para obtener el centro, a partir de eso calcular su distancia a cualquier punto medio de un lado x; y la que Como se explico anteriormente obtenemos mediatrices: la que pasa por el lado AC, y = pasa por el lado BC es y = x Estas rectas se intersectan en el punto ( 8, 8) 9 Finalmente la ecuación de la circunsferencia circunscrita es: ( x + 8) ( + y 8) 9 = ( ) 11 P6 Se consideran tres puntos O,A,B situados sobre una recta y se construyen dos semicircunferencias de diámetros OA y OB, respectivamente Desde el punto medio M del trazo AB se levanta la perpendicular, cortando la circunferencia mayor en R y luego se traza la tangente MP a la circunferencia menor, siendo P el punto de tangencia Demuestre que O,P y R se encuantran sobre una misma recta Para simplicar nuestro trabajo ubicaremos los puntos O,A y B en el eje x del sistema cartesiano El punto medio del segmento OA será el origen del sistema que llamaremos O = (0, 0) Sean O = ( a, 0), A = (a, 0), B = (b, 0) donde a, b > 0 Luego, M = ( a+b, 0) 5

6 Determinaremos la ecuación de la recta que pasa por P y R, y comprobaremos que O = ( a, o) pertenece a esta recta (ie, O satisface la ecuación de la recta que pasa por P y R) Calcularemos las coordenadas de R Este punto satisface las siguientes ecuaciones, ( x b a ) + y = x = a + b ( b + a ) Al resolver este sistema obtenemos que: R = ( a + b, c ), donde c = b a + ab Ahora calcularemos las coordenadas del punto P La recta tangente a la semicircunferencia de diámetro OA que pasa por P = (α, β) es: αx + βy = a Como M pertenece a esta recta, satisface la última ecuación y así α = a a+b Además, dado que P pertenece a esta recta se tiene que α + β = a y así β = ac a+b Luego, P = ( ) a a + b, ac a + b La ecuación de la recta que pasa por P y R está dada por: y c = b a c ( x a + b ) Es fácil ver que O pertenece a esta recta; basta reemplazar (x, y) por O = ( a, 0) y comprobar que se verica la igualdad P7 La base de un triángulo está ja, siendo sus vértices A = (0, 0), B = (b, 0) El vértice está sobre la recta y = c, b > 0 y c > 0 Determinar el lugar geométrico correspondiente a la intersección de las tres alturas Sea C = (d, c) La altura correspondiente al segmento AB es la recta de ecuación: x = d; la altura del segmento BC es y = b d c x El punto de intersección de estas alturas, que llamaremos H, es H = (d, d + bd ) c c Luego, el lugar geométrico correspondiente a la intersección de las tres alturas es {(x, y) R : y = 1 c x + b c x} Notar que este lugar geométrico corresponde a una parábola 6

7 PExtra Se tiene una circunferencia cualquiera de radio r centrada en el origen, x + y = r Se trazan las rectas tangentes, x = r y x = r Luego de esto, se toma un punto cualquiera de la circunferencia P = (x 0, y 0 ), y a partir de eso se traza la tangente a la misma Con esto se obtienen los puntos de interseccion con las primeras dos tangentes, sean A y B Se pide demostrar que el trazo OA es perpendicular al trazo OB, donde O es el origen del sistema de coordenadas Sol: Se sabe por la primera parte de la guía de problemas de la Semana, que la ecuación de la recta tangente en el punto P = (x 0, y 0 ), está dada por xx 0 + yy 0 = r Entonces dado esto, obtenemos las coordenadas de los puntos A y B: Intersección recta tangente que pasa por P con la recta x = r, sale reemplazando esta última coordenada en la ecuación de la tangente dada anteriormente: ( ) A = r, r + rx 0 y 0 Intersección recta tangente que pasa por P con la recta x = r, sale reemplazando esta última coordenada en la ecuación de la tangente dada anteriormente: ( ) B = r, r rx 0 y 0 Calculados estos puntos, nos disponemos a obtener las pendientes de los trazos OA y OB: Pendiente del trazo OA: m 1 = r + rx 0 ry 0 = r + x 0 y 0 Pendiente del trazo OB: m = r rx 0 ry 0 = r x 0 y 0 Calculadas las pendientes debemos demostrar que m 1 m = 1 En efecto m 1 m = = r + x 0 r x 0 y 0 y 0 r x 0 y0 EcCircunferencia = y 0 y 0 = 1 Aquí pueden ver también el dibujo de lo que estamos calculando: 7

8 Figura : PExtra, en este caso es un ejemplo con r=1 8