Unidad 1 Operaciones con Números Reales y Complejos

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1 UNIDAD : Opeacioes co Númeos Reales Uidad Opeacioes co Númeos Reales y Complejos Itoducció Los distitos cojutos de úmeos eales que se utiliza se deduce a pati de sucesivas ampliacioes del cojuto de úmeos atuales. Símbolos: N = Númeos Natuales Z = Númeos Eteos Q = Númeos Racioales I = Iacioales R = Númeos Reales C = Complejos ) Númeos Natuales Se epeseta co los símbolos: N,,,,,... Popiedades: - El cojuto de los úmeos atuales es ifiito - Tiee pime elemeto. No tiee último elemeto. - Todo úmeo atual tiee u suceso. U úmeo atual y su suceso se dice cosecutivos Ej. m N sig m / sig N - Ete dos úmeos atuales existe siempe u úmeo fiito de úmeos atuales. Cojuto disceto. Repesetació geomética Opeacioes e N. Popiedades de la suma a) Es ua opeació ceada, es deci: a + b N, a, b N b) Comutativa: a + b = b + a, a, b N c) Asociativa: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c, a, b, c N d) Cacelativa: a + b = a + c b = c, a, b, c N

2 UNIDAD : Opeacioes co Númeos Reales. Popiedades de la difeecia a) No es ua opeació ceada: 7 / N La difeecia ete dos úmeos atuales existe sí y sólo sí el miuedo es mayo que el sustaedo, es deci: SI a, b N, a b = úmeo N, a > b b) No se veifica la popiedad comutativa: 7 7 c) No es asociativa: 7 ( ) (7 ) d) Cacelativa: a b = c b a = c. Reglas de supesió de paétesis a) a + (b c) = a + b c b) a ( b + c) = a b c c) a (b c) = a b + c. Popiedades del poducto a) Es ua opeació ceada: a, b N, a. b N b) Comutativa: a. b = b. a a, b N c) Asociativa: a. (b. c) = (a. b). c, a, b, c N d) Cacelativa: (a. b = a. c b = c ) a, b, c N e) Existecia del elemeto euto: N / a. =. a = a, a N f) Popiedad distibutiva del poducto co especto a la suma y la difeecia: a. ( b + c ) = a. b + a. c a. ( b c ) = a. b a. c Como cosecuecia de la popiedad comutativa del poducto, se obtiee las popiedades siguietes: ( b + c ). a = b. a + c. a ( b - c ). a = b. a - c. a. Popiedades del cociete a) No es ua opeació ceada: 7 : N El cociete ete dos úmeos atuales existe e el caso que el dividedo es múltiplo del diviso. b) No es comutativo: 6 : : 6 c) No es asociativa: 8 : ( : ) (8 : ) : d) Cacelativa: a : b = c : b a = c e) Distibutiva del cociete especto a la suma y difeecia esta popiedad es válida sólo a la deecha: Obsevació: E N, co la opeació suma se puede platea poblemas que o siempe tiee solució, como es el siguiete: Sea, m N co m. Halla x N de maea que + x = m Po ejemplo: Existe x N / 6 + x =? La espuesta es egativa, o se puede ecota x úmeo atual que lo veifique. Si, e cambio, se cosidea este poblema e el cojuto de Númeos Eteos la espuesta al plateo ateio es afimativa, al existi x = - úmeo eteo que solucioa el poblema, pues: 6 + (-) =. Luego, es ecesaio cosidea este cojuto de úmeos eteos.

3 UNIDAD : Opeacioes co Númeos Reales ) Númeos Eteos Se epeseta co los símbolos: Z =...,,,0,,,,... O bie: Z Z 0 Z Popiedades:. El cojuto de Númeos Eteos (Z) es ifiito.. No tiee pime i último elemeto.. Todo úmeo eteo tiee suceso.. Dos úmeos, u eteo y su suceso, se dice cosecutivos.. Todo úmeo eteo tiee u ateceso. 6. Ete dos úmeos eteos existe siempe u úmeo fiito de úmeos eteos. Cojuto disceto. Repesetació geomética: Volviedo a la peguta ateio peo fomulada de ota maea: Existe x Z tal que, + x = m? La espuesta etoces es afimativa, existe u úico x Z defiido po: x = m que satisface la ecuació dada. Opeacioes e Z. Popiedades de la suma Se veifica las popiedades. de la suma de úmeos atuales. Además: f) Existecia del elemeto iveso aditivo (opuesto): a Z, -a Z/ a + (-a) = (-a) + a = 0. Popiedades de la difeecia Se veifica las popiedades. de la difeecia de Númeos atuales, excepto la popiedad. a). Es deci: La difeecia de úmeos eteos es ua opeació ceada, pues: a b Z, a, b Z.. Reglas de supesió de paétesis So válidas las mismas eglas citadas e el puto.. Popiedades del poducto Se veifica las mismas popiedades. del poducto de úmeos atuales.. Popiedades del cociete Se veifica las mismas popiedades. del cociete de úmeos atuales.

4 UNIDAD : Opeacioes co Númeos Reales.6 Reglas de sigos paa el poducto y el cociete: a. b > 0 si (a > 0 y b > 0) ó (a < 0 y b < 0) a. b < 0 si (a > 0 y b < 0) ó (a < 0 y b > 0) a : b > 0 si (a > 0 y b > 0) ó (a < 0 y b < 0) a : b < 0 si (a > 0 y b < 0) ó (a < 0 y b > 0) E sítesis... (+).(-) = - (+).(+) = + (-).(+) = - (-):(-) = + (+):(-) = - (+):(+) = + (-):(+) = - (-):(-) = + Peo, tambié e Z hay poblemas que o siempe tiee solució. Po ejemplo, paa la opeació poducto: si, m a Z co 0 y m u úmeo que o es múltiplo de. Existe x a Z tal que:.x = m? Po ejemplo: Qué úmeo x veifica que.x =? Nigú úmeo eteo lo veifica, peo sí el úmeo faccioaio x = ya que. = Po lo tato es ecesaio cosidea ua ampliació del cojuto de los úmeos eteos. Paa ello cosideamos el cojuto de los úmeos acioales (faccioaios) paa esolve poblemas como el plateado ateiomete. ) Númeos acioales So úmeos acioales los de la foma: m co, m Z y 0, dode m: es el umeado y : es el deomiado. Popiedades: El cojuto de úmeos acioales es ifiito. No tiee i pime i último elemeto. Ete dos úmeos acioales existe siempe u úmeo ifiito de úmeos acioales. Cojuto deso. Repesetació geomética

5 UNIDAD : Opeacioes co Númeos Reales Opeacioes e Q. Defiició de suma y difeecia p p.s.q Suma: q s q.s Difeecia: p q p.s.q s q.s Comú deomiado El comú deomiado es el mcm (míimo comú múltiplo) ete los dos deomiadoes.. Popiedades de la suma y de la difeecia La suma y la difeecia de úmeos acioales goza de las mismas popiedades que la suma y la difeecia de úmeos eteos popiedades ya citadas e los putos. y.. Tambié so válidas las eglas de supesió de paétesis mecioadas e el puto... Defiició de poducto y cociete Poducto: Cociete: p q p q s s p q s p q s p s q. Popiedades del poducto Se veifica las popiedades. y además existe el elemeto iveso, es deci: p q p q Q y p 0, Q / q p q p. Popiedades de la divisió Se veifica las popiedades., salvo..a, es deci, la divisió e Q es ua opeació ceada: q p Q, Q, Q p s q s.6 Ode e Q: Si b > 0 y d > 0, etoces se defie el siguiete ode: a b c d a d c b Etoces hasta aquí se cosideao tes cojutos de úmeos: N, Z, Q que guada la siguiete elació: N Z Q La peguta simple que uo puede platease es: Existe otos úmeos que o sea úmeos acioales? Sí existe. Paa cofima esta afimació veamos el siguiete poblema.

6 UNIDAD : Opeacioes co Númeos Reales Cuáto mide la hipoteusa de u tiágulo ectágulo, isósceles cuyos lados iguales tiee ua logitud uitaia (igual a )? Si aplicamos el Teoema de Pitágoas, vemos que la logitud de la hipoteusa es. Se puede demosta que este úmeo o peteece a Q. Cocluimos que existe úmeos que o so acioales, a estos los llamamos iacioales. ) Númeos Iacioales So úmeos iacioales po ejemplo:,,,, e, etc. Este cojuto de úmeos iacioales juto co el cojuto de los úmeos acioales detemia el cojuto de los úmeos eales. R = Númeos Reales Q: Númeos Racioales I: Númeos Iacioales ) Númeos Reales Se simboliza: R =...,,...,... / 7,...0,...,...,...7/,... Popiedades: El cojuto de R cumple co todas las popiedades del cojuto de los úmeos acioales: Es ifiito. No tiee pime i último elemeto. Ete dos úmeos eales, existe ifiitos úmeos eales. Cojuto deso. Nigú úmeo eal tiee suceso i ateceso. El cojuto R es u cojuto totalmete odeado po la elació de meo o igual. Repesetació geomética: Recta Real: R- 0 R+ A todo úmeo eal le coespode u puto de la ecta y a todo puto de la ecta le coespode u úmeo eal. La epesetació geomética coespode a la ecta uméica o eje uméico. 6

7 UNIDAD : Opeacioes co Númeos Reales Opeacioes e R Todas las opeacioes cumple las mismas popiedades que los úmeos acioales. Reales Iacioales Racioales Eteos Natuales 6) Poteciació Sea a R, etoces se defie: a 0 = si a 0 a a a a.a.a...a paa N y > La defiició se amplía paa expoete eteo egativo: z Si z = - co N a (a ),a 0 a 6. Popiedades de la poteciació m m a) a a a b) c) d) e) ( a b) a b m ( a ) a.m a a b b a m a m a co b 0 7

8 UNIDAD : Opeacioes co Númeos Reales Notació Cietífica Los expoetes eteos co fecuecia se utiliza paa escibi úmeos muy gades o muy pequeños de ua foma coveiete. Cualquie úmeo eal positivo puede escibise e la foma: a x 0 dode a 0 y es u eteo. Decimos que u úmeo escito así está e otació cietífica. Po ejemplo: = x = 9, x 0-8 La mayoía de las calculadoas coviete automáticamete u úmeo e otació cietífica cuado éste es muy gade o muy pequeño como paa se expesado e foma decimal. Po ejemplo, el úmeo,789 x 0 equiee 6 dígitos paa su foma decimal peo, ya que pocas calculadoas puede expesa más de diez dígitos, el sigo de multiplicació y la base o se muesta. Etoces, el úmeo:,789 x 0 apaece como:,789 y el úmeo:,0 x 0 - apaece como:,0 - Dígitos sigificativos La mayoía de las aplicacioes de las matemáticas e el mudo eal, icluye medidas que está sujetas a eo y, e cosecuecia, se cosidea apoximacioes. Podemos descibi la exactitud de ua apoximació estableciedo cuátos dígitos sigificativos tiee. Supogamos que el esultado de ua medida se expese e otació cietífica: x = a x 0, dode a 0 y se sabe que los dígitos e a so exactos (excepto, posiblemete, el último dígito, el cual puede se apoximado si el úmeo fue edodeado). Si a cotiee k lugaes decimales (es deci, k dígitos a la deecha del puto decimal), etoces se dice que x tiee k + dígitos sigificativos. Segú esta coveció:,69 x 0 tiee cico dígitos sigificativos y 7,60 x 0-0 tiee tes dígitos sigificativos. 8

9 UNIDAD : Opeacioes co Númeos Reales 7) Radicació Se defie como aíz eésima de u eal a, al eal cuya potecia eésima es a, es deci: b a b a, N Dode, a : Radical : Ídice a : Radicado : Sigo adical Se puede detemia el sigo de la aíz segú que el ídice sea pa o impa, y el adicado positivo o egativo. Ejemplos: a) 8 pues 8 b) 8 pues ( ) 8 c) 6 pues 6 y ( ) 6 d) 6 o es posible calculala e R, pues igú úmeo eal elevado a expoete pa da po esultado u úmeo egativo. 7. Popiedades de la Radicació Sea m y eteos positivos, a y b úmeos eales. Etoces: a) ( a ) a b) ( a ) a, si es impa a, si es pa c) a b a d) e) b m a a b m. a. b a siempe y cuado los adicales epesete úmeos eales. Obsevació: Tato la poteciació como la adicació o so distibutivas co especto a la suma y a la difeecia. Ej. ( ) pues Así como se amplió el cojuto de úmeo atuales el cojuto de úmeos eales tambié puede se ampliado a u uevo cojuto de úmeos el cojuto de úmeo complejos C. E cosecuecia e C, se podá esolve poblemas como el siguiete: Halla x R / x + = 0 que e R o tiee solució. 9

10 UNIDAD : Opeacioes co Númeos Reales Expoetes Racioales El cocepto de aíz eésima de u úmeo os capacita paa amplia la defiició de x de expoetes acioales y como veemos, co fecuecia es más fácil tabaja co expoetes acioales que co adicales. Paa cualquie úmeo eal x y paa cualquie eteo positivo, defiimos: x x dado que x es u úmeo eal. Además defiimos m x (x paa cualquie eteo m tal que m/ sea la míima expesió. Paa x > 0, se puede demosta que: m ) m m ( x ) (x ) x Si embago, paa x <0 y cietas opcioes de m y, x o es u úmeo eal y, m e cosecuecia, ( x ) o está defiida, auque la expesió ( x m ) podía esta defiida. Popiedades de los expoetes faccioaios: m Sea x e y úmeos eales, y s úmeos acioales. Etoces: s s a) x.x x s.s s b) c) d) e) ( x ) x (x ( x.y) x x y x y x s x s x.y ) patiedo de que todas las expesioes epeseta úmeos eales. 0

11 UNIDAD : Opeacioes co Númeos Reales ) Resolve Ejecitació a ) ( 6)( 7)( 8) (8 )(8 9)(8 ) b ) 6 ( ) 9 ( ) c ) d ) ( ) ( 8) : ( ) ( ) : : ( ) e ) 7: 8 0 ( ) f ) ( 90) : ( 6) 8 : ( 6) ( 00) : ( 8) : ( 6) g ) ( ) : ( 00) : 60 : ( 7) : 6 ) Resolve 8 ( 8) 7 a ) 7 6 a) ) Resolve 7 7 b ) ) 9 a 7 b ) 8 6 c ) : d ) : ) Resolve 8 a ) 9 6 b ) c ) :

12 UNIDAD : Opeacioes co Númeos Reales 9 8 : ) ( ) d 8 : e) ) f ) Resolve ) a ) b 8 9 ) c 6) Resolve ) ( : 6 ) a ) b : 9 8 : ) c RESPUESTAS EJERCITACIÓN ) a) - b) -6 c) d) 0 e) - f) g) ) a) 0 b) / ) a) / b) c) / d) -0/9 ) a) 9/ b) /0 c) /8 d) / e) -/ f) / ) a) 9/6 b) c) 6) a) 0 b) /7 c) /9 d) 7/80

13 UNIDAD : Opeacioes co Númeos Reales Poblemas de aplicació: NOTACIÓN CIENTÍFICA ) U aimal tiee litos de sage y apoximadamete glóbulos ojos e cada milímeto cúbico de ésta, calcula e otació cietífica su úmeo apoximado de glóbulos ojos. glóbulos. RTA.:,.0 ) Ua molécula de hidógeo pesa u gamo de hidógeo? RTA:.0 moléculas,.0 g. Cuátas moléculas hay e ) Calcula tu edad e segudos utilizado la otació cietífica. Cuál es el ode de magitud? 8 ) La velocidad de la luz es.0 m/s. a) Qué distacia ecoe la luz e u año? b) Cuáto tada la luz del Sol e llega a Plutó? Distacia del Sol- 6 Plutó es:,9.0 km. RTA: a) 9,.0 km b) 9,7 seg MAGNITUDES PROPORCIONALES Razoes y popocioes Se deomia azó ete dos úmeos a y b (b 0), al cociete de la divisió de a po b. El pime úmeo se deomia atecedete y el segudo cosecuete. E símbolos: a : b o bie a/b Po ejemplo, el pocetaje es ua azó ete u úmeo y 00. Se deomia popoció a la igualdad de dos azoes. Dados cuato úmeos a, b, c, d, distitos de ceo, e ese ode, foma ua popoció cuado la azó ete los dos pimeos es igual a la azó de los dos últimos. E símbolos: a c Se lee: a es a b como c es a d b d Se deomia extemos de la popoció a a y d, mietas que b y c se llama medios.

14 UNIDAD : Opeacioes co Númeos Reales Popiedad fudametal: e toda popoció el poducto de los extemos es igual al poducto de los medios. a b c d a. d b. c Cálculo de u elemeto de ua popoció Paa calcula u elemeto de ua popoció es suficiete aplica la popiedad fudametal. Cosideado que se desea calcula u extemo, simbólicamete: Magitudes popocioales Magitud es toda popiedad que se puede medi, po ejemplo el tiempo, el peso, la supeficie, el volume, la logitud, etc. Las magitudes puede se diecta o ivesamete popocioales. Magitudes diectamete popocioales Dos magitudes x y y, so diectamete popocioales cuado está elacioadas po la fució y = k. x, siedo k u úmeo distito de ceo que se deomia costate, facto o coeficiete de popocioalidad. El cociete ete paes de catidades coespodietes es siempe el mismo, y es costate, k x Popiedades. Dadas las magitudes diectamete popocioales, si se multiplica ua catidad de la pimea po u úmeo, la catidad coespodiete a la seguda magitud queda multiplicada po el mismo úmeo (es deci si aumeta o dismiuye la catidad de ua de las magitudes, la catidad coespodiete a la ota magitud aumeta o dismiuye e la misma popoció). Dadas las catidades de las magitudes x, y, si x aumeta veces, etoces y aumeta veces tambié, simbólicamete:.

15 UNIDAD : Opeacioes co Númeos Reales. Si dos magitudes so diectamete popocioales, la azó ete dos catidades de la pimea es igual a la azó ete las catidades coespodietes de la seguda. E leguaje simbólico: x y x y Repesetació gáfica de ua fució de popocioalidad diecta La fució y = k. x se epeseta mediate ua ecta que pasa po el oige de coodeadas. y y = k. x Po ejemplo, la tabla que sigue epeseta la catidad de cosevate e kg que se agega a distitas catidades de u poducto alimeticio. Poducto (t) Cosevate (kg) x El cociete ete el cosevate y la masa de poducto elaboado es siempe 0,, po lo tato las magitudes so diectamete popocioales. Si x es la masa del poducto e y la del cosevate, y= k.x, paa la pimea columa uméica: = k. 0 k= /0=0,, es deci la costate de popocioalidad es 0,. La fómula es y = 0,. x. Se puede obseva que si se duplica la catidad de poducto se duplica la catidad de cosevate que se debe agega. Magitudes ivesamete popocioales Dos magitudes x y y, so ivesamete popocioales cuado está k elacioadas po la fució y, siedo k u úmeo distito de ceo que x se deomia costate, facto o coeficiete de popocioalidad. El poducto ete paes de catidades coespodietes es siempe el mismo, es costate, y. x = k. Popiedades. Dadas las magitudes ivesamete popocioales, si se multiplica ua catidad de ua de ellas po u úmeo, la catidad coespodiete queda dividida po el mismo úmeo (es deci si aumeta o dismiuye la catidad de ua de las magitudes, la catidad coespodiete a la ota magitud dismiuye o aumeta e la misma popoció). Dadas las catidades de las magitudes x e y, si x aumeta veces, etoces y dismiuye veces tambié. Simbólicamete: x x y y

16 UNIDAD : Opeacioes co Númeos Reales. Si dos magitudes so ivesamete popocioales, la azó ete dos catidades de la pimea es igual a la azó ivesa ete las catidades coespodietes a la seguda. E x y leguaje simbólico: x y Repesetació gáfica de ua fució de popocioalidad ivesa La fució equilátea. k y se epeseta mediate ua hipébola x y Po ejemplo, la tabla que sigue epeseta la viscosidad de ua sustacia e fució de la tempeatua. x Tempeatua (ºC) Viscosidad (Pa.s) ,8 0,9 0,6 0, El poducto ete la viscosidad y la tempeatua es siempe 6, po lo tato las magitudes so ivesamete popocioales. Si x es la tempeatua e y la viscosidad, y= k / x, paa la pimea columa uméica:,8= k / 0 k=,8. 0=6, es deci la costate de popocioalidad es 6. La fómula de la fució de popocioalidad ivesa e este caso es: y= 6 / x Poblemas de egla de tes So poblemas e los que se ivoluca magitudes popocioales e los que coocido u pa de elemetos coespodietes y oto de ua de las magitudes, se debe calcula el elemeto que le coespode e la ota magitud. Si iteviee sólo dos magitudes, la egla de tes es simple. Si las magitudes so diectamete popocioales, la egla de tes es diecta y si so ivesamete popocioales la egla es ivesa. Paa esolve este tipo de poblemas se utiliza las defiicioes y popiedades de las magitudes popocioales. 6

17 UNIDAD : Opeacioes co Númeos Reales Poblemas de aplicació: REGLA DE TRES SIMPLE Y PORCENTAJE ) A qué distacia del pueblo se ecueta u agiculto que taspota aboo e u vehículo, si las uedas avaza.77 m e cada vuelta y al llega a la fica ha cotado 9 vueltas de las uedas? ) U poducto cosechó 8 quitales de alfalfa / ha e ua chaca de 80 m po 0 m. La alfalfa piede al secase /7 de su peso. Si el agiculto tiee 8 vacas y cada ua de ellas cosume kg de foaje seco/día, duate cuátos días podá alimetalas co la alfalfa? ) Los ¾ de u teeo tapezoidal (co B = 0 m, b = 80 m, h = / de B) fueo sembados co emolacha azucaea. El edimieto al cosecha es de 0 t/ha. a) Cuál es el peso de la emolacha cosechada? b) Cuátas t se había cosechado se hubiea sembado los /6 del teeo? c) Sabiedo que las emolachas da el % de su peso e azúca, cuál es, a $0 el quital, el valo del azúca obteido? ) Ua efieía de azúca fucioa 0 días po año. Po día ecibe 0 vagoes de 0 t de emolacha azucaea cada uo, la cual piede el % de su peso e el lavado y el % al se cotada. Si las emolachas cotadas popocioa el % de su peso e azúca, qué catidad de azúca podujo la efieía e el año? Qué extesió debe sembase co emolacha paa matee esta poducció? (Redimieto po ha: 0 t) ) U gajeo posee 6 toos, vacas, teeos y 6 caballos. U too pesa 80 kg, ua vaca 60 kg, u teeo 00 kg y u caballo 600 kg. Se calcula que u aimal da, e los meses de ivieo, 0 veces su peso e estiécol. a) Cuál seá el lago del motó de estiécol si mide 6 m de acho y. m de alto? ( dm de estiécol pesa 0.9 kg). b) El gajeo usó, a azó de 0 t/ha, los 6/ de ese motó, paa aboa u campo ectagula de 80 m de lago, qué acho tiee el campo? 6) Agetia tiee milloes de habitates y se cosume 0 kg de pa po habitate po año. Cada hectáea de tigo poduce, e pomedio, 6. qq. De cada 00 kg de tigo se obtiee 78 de haia y de cada 00 kg de haia se obtiee 0 de pa. Fija la supeficie de cultivo ecesaia paa que a igú agetio le falte el pa ecesaio pa su cosumo diaio, supoiedo que sólo se puede hace ua cosecha aual de este ceeal. 7) U gaadeo tiee 6 ovejas y alimeto paa ellas po el témio de 8 días. Co 0 ovejas más, si dismiui la ació diaia y si agega foaje duate cuátos días podá alimetalas?. 7

18 UNIDAD : Opeacioes co Númeos Reales 8) Paa elaboa la ació paa egode de los aimales, se debe utiliza la siguiete fómula: - pellet de soja: 8% - afechillo de tigo: % - heo molido: 8% - pemezcla mieal: % - maíz olado: lo que esta. El poducto debe tee e cueta que e el poceso de olado piede u % del peso del maíz, e mema de maipuleo piede: % de pellet de soja, % de afechillo de tigo, 7% de heo molido. La mateia seca de la ació es del 88% de su peso. Sabiedo que cada aimal cosume po día el % de su peso vivo e mateia seca detemia la catidad de cada igediete que debe compa u poducto que tiee u feedlot de 700 ovillitos, de 0 Kg peso pomedio, paa elaboa el alimeto ecesaio paa días. 9) U apiculto tiee colmeas. Cada colmea poduce 0 Kg de miel y, Kg de cea po año. La miel se vede a $ 6 el kilo y la cea a $,60 los 00 g. Calcula: a) El edimieto buto pomedio del colmea b) Sabiedo que: los gastos de cosevació asciede al % de lo poducido e la veta de la miel y la cea. Debe agegase, además, los gastos especiales de alimetació duate el ivieo: po colmea, Kg azúca a $,0 el kilo. Qué gaacia aual obtiee al apiculto?. 0) E ua gaja hay caballos y 60 vacas. La alimetació de cada aimal exige diaiamete Kg de alfalfa seca, duate 6 meses paa las vacas y duate todo el año paa los caballos. La alfalfa vede piede, al secase, los / de su peso. Se estima, apoximadamete, que el ide de u campo de alfalfa es de 0 qq po hectáea de foaje vede al año. Qué supeficie se debe semba paa asegua la alimetació de todos los aimales e u año? ) U popietaio posee duazeos y 8 peales. Este año cosechó 8 Kg de duazos y 0 Kg de peas po ábol. Vedes los / de las peas a $,0 el Kg, y los / de los duazos a $,0 el Kg. a) Cuáto obtiee co la veta? b) Lleva el esto a ua fábica de cosevas, dode los duazos descaozados y pelados piede el % de su peso y las peas pepaadas piede el 0% esta futa es evasada e latas que tiee 00 g de capacidad cada ua. Cuáto obtedá, a azó de $,0 po lata, co la pepaació de sus cosevas? ) E u campo, eta 0000 kg de gao de maíz destiado a alimeta a 00 ovillos e feedlot. Como desecho se despedicia el % debido a pédidas e el almaceamieto y distibució del gao. Halla la catidad apovechada. ) El aálisis de ua muesta de g de mieal idica u total de 0,69 g de hieo. Halla el pocetaje de hieo e el mieal. ) E u tambo de 8 vacas, el 80,6% de los aimales se ecueta e odeñe, el esto so vacas secas. De éstos apoximadamete el 68 % coespode al lote de puta y el esto a vacas e el lote de cola. Qué catidad de vacas hay e cada categoía? 8

19 UNIDAD : Opeacioes co Númeos Reales RTAS. Poblemas de aplicació: REGLA DE TRES SIMPLE Y PORCENTAJE ).8,8 m ) 60 días ) a) 00,8 T b) T c) $6.6, ) a) 0.7,7 T b).87 ha ) 9 m 6) ,6 ha 7) 8 días. 8) Maíz: 6, Kg Heo: 7697,96 Kg Afechillo de tigo: 88, Kg pellet de soja: 780, Kg pemezcla mieal: 68,66 Kg. 9) a) $ 00 b) $ 8.7 0) 0, ha ) a) $ 060 po los duazos y $ 6 po las peas. b) $ 60 9