UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA UNI- NORTE - SEDE REGIONAL ESTELÍ

Transcripción

1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA UNI- NORTE - SEDE REGIONAL ESTELÍ Objetivos Itoduci coceptos de Coelació y Regesió Lieal. Explica la foma de cálculo. Realiza las puebas de hipótesis asociadas

2 Coteido Aálisis de Coelació... Regesió... 3 Ecuació de Regesió Lieal... 4 Aálisis de Regesió Múltiple... 0 Coeficietes de Coelació Pacial y Múltiple... Puebas de Hipótesis de Coelació y Regesió... 7 Refeecias... 0 Aálisis de Coelació Es fecuete que estudiemos sobe ua misma població los valoes de dos o más vaiables estadísticas distitas, co el fi de ve si existe algua elació ete ellas, es deci, si los cambios e ua o vaias de ellas ifluye e los valoes de la vaiable depediete. Si ocue esto decimos que las vaiables está coelacioadas o bie que hay coelació ete ellas. Este tipo de aálisis fucioe bie cuado las vaiables estudiadas so cotiuas, o es adecuado usa esta pueba co vaiables del tipo omial. El aálisis de coelació es el cojuto de técicas estadísticas empleado paa medi la itesidad de la asociació ete dos vaiables. El picipal objetivo del aálisis de coelació cosiste e detemia que ta itesa es la elació ete dos vaiables, estas puede se. Vaiable Depediete.- es la vaiable que se pedice o calcula. Cuya epesetació es "Y" Vaiable Idepediete.- es la o las vaiables que popocioa las bases paa el calculo. Cuya epesetació es: X. Esta o estas vaiables suele ocui ates e el tiempo que la vaiable depediete. Coeficiete de Coelació. El coeficiete de coelació más utilizado es el de Peaso, este es u ídice estadístico que mide la elació lieal ete dos vaiables cuatitativas, es ua foma de medi la itesidad de la elació lieal

3 ete dos vaiables. El valo del coeficiete de coelació puede toma valoes desde meos uo hasta uo, - < <, idicado que mietas más cecao a uo sea el valo del coeficiete de coelació, e cualquie diecció, más fuete seá la asociació lieal ete las dos vaiables. El coeficiete de coelació de cálculo es u estimado muestal del coeficiete poblacioal Rho,. Mietas más cecao a ceo sea el coeficiete de coelació, este idicaá que más débil es la asociació ete ambas vaiables. Si es igual a ceo se cocluiá que o existe elació lieal algua ete ambas vaiables. Hay vaias maeas de equivaletes de calcula, a cotiuació se muesta tes fomas. Coeficiete Coelació Fómula po Covaiazas y Desviacioes Típicas XY X Y Siedo: σ XY la covaiaza de (X,Y) y σ X, σ Y las desviacioes típicas de las distibucioes de las vaiables idepediete y depediete espectivamete. Coeficiete Coelació Fómula Clásica. Poco usada paa cálculo. X X Y Y X X Y Y Coeficiete Coelació, Fómula po suma de cuadados. Se usa cuado se dispoe de calculadoas de mao que hace sumas de cuadados y o coelació.

4 3 X XY X Y Y X Y Gáfico de Dispesió de putos. Es u diagama de dispesió de puto X Y, el cual es ua epesetació gáfica de la elació ete dos vaiables, muy utilizada e las fases de compobació de teoías e idetificació de causas aíz y e el diseño de solucioes y mateimieto de los esultados obteidos. Tes coceptos especialmete so destacables: que el descubimieto de las vedadeas elacioes de causa-efecto es la clave de la esolució eficaz de u poblema, que las elacioes de causa-efecto casi siempe muesta vaiacioes, y que es más fácil ve la elació e u diagama de dispesió que e ua simple tabla de úmeos. Segú sea la dispesió de los datos (ube de putos) e el plao catesiao, puede dase algua de las siguietes elacioes, Lieal, Logaítmica, Expoecial, Cuadática, ete otas. Estas ubes de putos puede geea polígoos a pati de ecuacioes de egesió que pemita pedeci el compotamieto de la vaiable depediete. Regesió La egesió estadística o egesió a la media es la tedecia de ua medició extema a pesetase más cecaa a la media e ua seguda medició. La egesió se utiliza paa pedeci ua medida basádoos e el coocimieto de ota. El témio egesió fue itoducido po Facis Galto e su libo Natual iheitace (889), patiedo de los aálisis estadísticos de Kal Peaso. Su tabajo se cetó e la descipció de los asgos físicos de los descedietes a pati de los de sus pades. Estudiado la altua de pades e hijos 3

5 4 llegó a la coclusió de que los pades muy altos teía ua tedecia a tee hijos que heedaba pate de esta altua, peo los datos evelaba tambié ua tedecia a egesa a la media. Los tipos de egesió más comues ete dos vaiables so las del tipo poliómico como la egesió: lieal, cuadática y cúbica. La pimea egesió geea ua ecta, las otas difeetes tipos de paábolas. Otos tipos de egesió que se puede usa co dos vaiables so la logaítmica y la expoecial, la egesió logaítmica pemite tasfoma ua cuva e ua líea ecta. Cuado hay más de ua vaiable idepediete x, la egesió más utilizada e la egesió múltiple. A cotiuació se expesa matemáticamete los difeetes modelos cometados: REGRESIÓN Lieal Logaítmica ECUACIÓN y = b 0 + b x y = b 0 + b L (x) Expoecial y = b 0 e (b x) Cuadática y = b 0 + b x +b x Cúbica y = b 0 + b x +b x +b 3 x 3 Lieal Múltiple y = b 0 + b x +b x +b x Ecuació de Regesió Lieal Es el tipo de egesió más utilizada y fácil de estima, esta es ua ecuació que defie la elació lieal ete dos vaiables. Ecuació de egesió lieal Yˆ = b 0 + b x Esta ecuació se calcula segú el picipio de Míimos Cuadados. La cual es la técica empleada paa obtee la ecuació de egesió, miimizado la suma de los cuadados de las distacias veticales ete los valoes vedadeos de "Y", los 4

6 5 obsevados y los valoes estimados "Yˆ ". Se debe ota que el valo obsevado meos el valo estimado geea u esiduo que llamaemos eo, este esiduo o eo, es la distacia que hay del valo obsevado a la ecta de egesió. Se deduce que el eo de paa cada dato se ecueta de la siguiete maea: yi yˆ i i A i se le llama eo aleatoio, es la difeecia ete el valo obsevado y i meos el valo estimado yˆ i, esta es ua distacia ete ambos valoes y esta puede se egativa o positiva y tiee la siguiete popiedad: E 0 i Los desvíos, se distibuye de maea Nomal. La pimea popiedad idica que e pomedio los eoes so iguales a ceo, al igual que la sumatoia de los mismos. Lo segudo que los eoes se distibuye de maea omal co pomedio de 0. La ecuació que miimiza la desviacioes de los valoes de Y especto a la ecuació de la ecta, cuado b 0 = 0, es: Yˆ XY X X X Y X ˆ b X Y Po lo tato la Expesió del coeficiete de egesió, b, queda así: X Y XY b X X 5

7 6 Como podemos escibi: Yˆ Y b X X Que puede eplatease como: Y b X b X Yˆ De tal maea que la odeada al oige, cuado X vale 0, b 0, queda defiida de la siguiete maea: Yˆ b0 Y b X Ejemplo de egesió coelació lieal: Se tiee las otas de u exame pacial de diez alumos de las asigatuas de matemáticas y español Matemáticas Español Se supoe que los alumos co mejoes otas e matemáticas, vaiable idepediete X, tiee las mejoes otas e español, vaiable depediete Y. Esta peguta se puede espode co u aálisis de egesió coelació. Lo pimeo que se hace es costui u gáfico de dispesió de puto como el que se muesta a cotiuació 6

8 Español 7 0 Gáfico de Dispesió Gáfico de dispesió de putos de las otas de las asigatuas de matemáticas y español Matemáticas Datos geeados co ua calculadoa de mao: x 58, x 378, y 57, y 38, xy x 5.8, y 5.7, 375 Luego se calcula el coeficiete de coelació. (58) Este valo de de 0.99 os dice que hay ua alta coelació ete las otas de matemáticas y español. Paa hace la ecta de egesió debemos calcula: 375 (58) 57 b

9 Español 8 b (.0673)(5.8) La ecta de egesió queda detemiada de la siguiete maea: Yˆ = X. A cotiuació se obseva los valoes estimados po la ecta de egesió de la asigatua de español, Yˆ, paa cada valo obsevado Y y el desvío o eo asociado a cada dato, Y -Yˆ,estos so: "Yˆ " Ε Se puede compoba que la suma de los desvíos es igual 0. El gáfico de egesió es el siguiete: 0 Regesió simple Matemáticas Gáfico de Regesió de la asigatua Matemática y Español. Se obseva la ecta de egesió y los datos obsevados e foma de líea discotiua. Veificació del modelo de egesió. Paa veifica si el modelo de egesió lieal es coecto paa se utilizado co los datos que se tiee, se puede hace co el pogama INFOSTAT u gáfico Q-Q plot de esiduos paa obseva si estos tiee u compotamieto omal. Este 8

10 Cuatiles obsevados(rduo_español) 9 gáfico se utiliza paa evalua el gado de ajuste de u cojuto de obsevacioes a ua distibució teóica..5 Gáfico QQ plot Cuatiles de ua Nomal Gáfico QQ plot de los esiduos de la egesió paa veifica omalidad. Sobe el ótulo del eje X se muesta los paámetos de la distibució teóica estimados a pati de la muesta. La omalidad se cumple si los putos geeados po esiduos se distibuye al aza ceca de la ecta de egesió omal. Tambié e el gáfico Q-Q plot se peseta el coeficiete de coelació lieal de la coelació ete los cuatiles obsevados vesus los cuatiles de la distibució teóica seleccioada, este valo debe se de al meos de 0.95 paa acepta la omalidad. Como el obsevado fue de 0.96, se acepta la omalidad. Ejecicios: a) Toma el peso y la altua de 0 pesoas, hace el gáfico de dispesió, calcula el coeficiete de coelació y la ecta de egesió de estos datos. b) Hay ua hipótesis de ivestigació que sugiee que el gasto e comida po familia, expesado e C$ po mes, está ifluido diectamete po el igeso familia mesual e C$. Haga estudio de egesió y coelació de las dos vaiables. Tabaje co calculadoa. 9

11 0 Tabla de datos Igeso obsevado po familia, e cietos C$ Gasto obsevados e alimetació, e cietos C$ Calcula el coeficiete de egesió Lieal,? Costuya la ecta de egesió, detemia los paámetos b 0 y b.? Detemie los gastos estimados ( y estimada) po la ecta de egesió, paa los igesos obsevados? Se quiee sabe si la coelació obteida co la muesta, es difeete de 0 e la població. Realice ua pueba de hipótesis paa el coeficiete de coelació. El valo t de tabla es.3? Comete bevemete sobe los coeficietes obteidos. Respoda la hipótesis de la ivestigació? Aálisis de Regesió Múltiple A meudo e ua ivestigació el objetivo es explica el compotamieto de ua vaiable e témios de más de ua vaiable, po ejemplo sea la vaiable Y, cuyo compotamieto explicaemos e témios de las vaiables X, X,,X k ; ahoa estudiaemos la situació dode el compotamieto de la vaiable Y (llamada depediete o espuesta) se explicaá mediate ua elació lieal e fució de 0

12 las vaiables X, X,,X k (llamadas idepedietes o tambié explicativas). La vaiable espuesta y las vaiables explicativas debe se cuatitativas. Modelo Sea Y ua vaiable espuesta y vaiables i X, X,,X k depedietes; deseamos descibi la elació que hay ete la vaiable espuesta y las vaiables explicativas, si ete ellas hay ua elació lieal se espea que: Y i = β 0 + β X i + β X i β k X ik Dode Y es la vaiable espuesta cuatitativa paa el i-ésimo objeto, este es u valo estimado. β k So los paámetos poblacioales (valoes costates fijas) llamados coeficietes. Siedo el úmeo de objetos u obsevacioes dode i = 0,,,...,. Se espea que la vaiable depediete vaíe liealmete co las vaiables idepedietes. Además cada valo obsevado y i se puede descompoe de la siguiete maea y i = β 0 + β X i + β X i β k X ik + ε ik Paa i=,,..., Dode ε ik es el desvío o eo de cada obsevació, este valo hace úico a cada dato. Resticcioes al modelo de Regesió Múltiple. El modelo de ua egesió múltiple sufe de esticcioes cuado sus valoes se quiee geealiza a ua població, estas so: Las x i so vaiables fijas, o aleatoias y el modelo solo se aplica a los cojutos de x i estudiados y o paa algú cojuto mayo de valoes de x i.

13 Hay ua sub població de y co distibució omal, paa cada cojuto de x i. Las vaiacias de estas subpoblacioes de y de cada X i so homocedásticas, lo que quiee deci que estima ua misma vaiaza poblacioal. Los valoes de y so idepedietes ete sí. Coeficietes de Coelació Pacial y Múltiple Coeficietes de coelació pacial La coelació ete dos vaiables cuado ua o más vaiables pemaece fijas a u ivel costate, se deomia coelació pacial, este coeficiete suele mejoa su valo especto al coeficiete de coelació simple. Tambié se utiliza paa ecota el coeficiete de coelació múltiple de maea geeal. E el caso de tes viables, la coelació pacial ete Y y X co u X fijo se deota.x, y se calcula a pati de las coelacioes simples de la siguiete maea:. x ( ( )( ) xx x x ) Aálogamete.x se calcula de igual foma. x ( ( )( ) xx x x )

14 3 Geealizado, siempe existe ua ecuació geeal que pemite calcula u coeficiete pacial de cualquie ode k coocemos tes coeficietes paciales de u ode ifeio dode. Coeficiete de coelació pacial de maea geeal. x x 3... x k (. x 3... xk (. x 3... x k. x 3... x k )( xx. x x x. x x... x k k ) ) Coeficiete de coelació múltiple y x x... x k El coeficiete de coelació múltiple mide la asociació ete vaias vaiables idepedietes y ua depediete. E el caso de egesió lieal simple coicide co el coeficiete de coelació de simple. El coeficiete de coelació múltiple se puede defii de maea geeal como la aíz cuadada de la suma de los cuadados explicados po la egesió sobe la suma de los cuadados totales. y. x x.. x k ( Y Y ) Este coeficiete tiee ua desvetaja, su valo se icemeta cuado se itoduce uevas vaiables idepedietes e el modelo, po tato esulta egañoso paa el aálisis. ( Yˆ Y) i i 3

15 4 De maea geeal es posible ecota ua ecuació geeal de coeficiete de coelació múltiple que icluye k vaiables idepedietes, esta se puede costui a pati de los coeficietes de coelació paciales: ( )( )( )...( y. xx x3... xk. x 3. xx k. x... xk ) Ejemplo de cómo calcula el coeficiete de coelació múltiple co tes vaiables Y, X y X a pati de coelacioes simples. De maea opeacioal u ejemplo de tes vaiables se esuelve como y. x x x x x x Se debe ota que e este ejemplo paa hace y.x.x es ecesaio calcula peviamete tes coelacioes simples de dos vaiables. Como calcula los coeficietes b y b de ua egesió múltiple co dos vaiables idepedietes x y x. Costucció del modelo: Se pate de la ecuació de egesió múltiple b0 b x b x yˆ Y se costuye u sistema de ecuacioes omales b 0 b x b x yˆ b 0 x b x b xx yˆx 4

16 5 b 0 x b xx b x yˆx Si se plate la ecuació e témios de desviacioes especto a la media x ( x) 0 x, como la suma de las desviacioes es 0, etoces x y 0. Esto implica que se aula el pime témio de las tes ecuacioes y la pimea ecuació, quedado el modelo de foma opeativa de la siguiete maea: Modelo de esolució x x b x x x x x x y y b x x x x b x x x x y y b Luego se debe despeja b y b, se puede usa el método de Gauss Jodá o educció, usado e álgeba lieal paa esolve sistemas de ecuacioes lieaes. Paa pode esolve ua egesió múltiple se puede usa ua calculadoa de mao que tega icopoada la fució de egesió y pemita calcula diectamete suma de cuadados y suma de poductos de los valoes de x y. Paa esto se debe utiliza las siguietes igualdades coocidas: ( x x x x ) x x y y xy x y Como todas las sumatoias se puede calcula, este sistema de ecuacioes se esuelve haciedo ceo a b ó b y luego despejado b 0 Ejecicio: Hay ua hipótesis que sugiee que el cosumo de u poducto dado, expesado e uidades compadas po pesoa e u año está ifluido po: el 5

17 6 igeso po pesoa que tabaja y el tamaño de habitates de la ciudad. Hace estudio de egesió u coelació paa espode a la suposició. Datos Milloes de habitates po ciudad x Igeso pe capita, e cietos C$ po habitate Cosumo del poducto, uidades año El coeficiete de egesió múltiple y.xx es igual a 0.049(0.574) y xx La egesió se platea como u sistema de ecuacioes omales, co los siguietes valoes obteidos a pati de las sumatoias ates defiidas. b b b 9.5 b Luego se despeja b y b, e este ejemplo los valoes so espectivamete -0.6 y 0.8. Luego se despeja b 0 sabiedo que b0 y b x b x b ( 0.6).95 (0.8)

18 7 Puebas de Hipótesis de Coelació y Regesió Pueba de Hipótesis del Coeficiete de coelació simple ó múltiple Pueba de hipótesis del coeficiete de coelació poblacioal Rho, (leta giega) se estima co y espode a la siguiete hipótesis: H 0 : 0 H : 0 El estadístico de Cotaste es ua pueba t dode el: " t calculado " Esta pueba se hace co - gados de libetad. Ejemplo co los datos del poblema de egesió y coelació co las asigatuas de matemáticas y español dode: " t calculado" El valo 6.59 es mayo que el valo t de tabla de.3, po lo tato se acepta como ea de espea la hipótesis alteativa, Rho es difeete de 0. E la egesió múltiple, se debe quita de la ecuació aquellos paámetos o sigificativos, juto co su vaiable asociada. Aálisis de Vaiacia, ANDEVA, paa la Regesió Simple ó Múltiple El ANDEVA e este caso espode a la peguta de hipótesis siguiete: H0 : 3... k 0 H : o _ todos _ los _ 0 Esta pueba se puede usa e casos de egesió simple o de egesió múltiple. 7

19 8 Tabla de Aálisis de Vaiacia, Adeva Fuete Vaiació Total Suma de Cuadados Gados de Cuadado F SC Libetad Medio Calculada GL CM i= Regesió Desviació, eo... Y Y y x x x k - (y y) Y Y ( )... y x x x k k SCR CM R GLRl CM El -k- SC E GLEl Dode k es el úmeo de vaiables idepedietes y el úmeo de idividuos a los cuales se les toma los datos. Se debe cosidea que: (y y) = y i i= i= i= y Se hizo co INFOSTAT el aálisis de vaiacia del ejecicio ateio y se obtuvo el siguiete cuado. Cuado de Aálisis de la Vaiaza F.V. SC GL CM F p-valo Total Regesió Eo Como el p-valo es mayo a 0.05 aceptamos la H 0, los coeficietes β tiee u valo de 0, po lo tato la egesió estimada o sive paa pedeci el cosumo. 8

20 9 Pueba de hipótesis paa los coeficietes Betas De maea paticula es posible hace ua pueba de hipótesis t paa cada coeficiete beta, dode. Dode: tcalculado bi S b i H0 : i 0 H : i 0 Co -k- gados de libetad Itevalos de Cofiaza de los coeficietes Betas Tambié se puede costui itevalos de cofiaza paa los difeetes coeficietes de egesió Betas, estos se haía de la siguiete maea: i t ( / ),( k) S b i Dode S CM eo b i x ( x ) / Ejecicio Se hizo u estudio coelació múltiple co 4 vaiables idepedietes, que se cee sive paa caacteiza el valo de veta de u poducto idustial. Las vaiables idepedietes so vida útil del poducto, Resistecia del poducto, apeciació visual de la calidad y pecio de costo del poducto. La vaiable depediete ea valo de veta, fijado po los compadoes. Se hizo la egesió y el aálisis de vaiacia de la egesió Aálisis de Vaiacia de la egesió Modelo Suma de Gados de Cuadado F Cuadados Libetad Medio Regesió Residual.0 0 Total Nota: el valo F de tabla es.87 9

21 0 Platee las hipótesis coespodietes del ANDEVA paa ua egesió múltiple, co 4 vaiables idepedietes? Complete la Tabla de ANDEVA. El valo F de tabla es.7? Itepete el valo F del ANDEVA y espoda a la pueba de hipótesis? Refeecias Sifuetes, V.00. Cuso Aálisis Multivaiate aplicado a la idustia pesquea. IMARPE. Daiel, W Bioestadística. Base paa el aálisis de las ciecias de la salud 4ta Edic. Edit Limusa Wiley. 94 p Little T y Hills, J Métodos estadísticos paa la ivestigació e la agicultua. Edit Tillas. 70 pp. Ross,S. 00. Pobabilidad y estadística paa igeieos. Ed Mc Gaw Hill. 585 pp. 0