APUNTES PARA LA MATERIA DE MATEMÁTICAS DISCRETAS

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1 UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA CENTRO UNIVERSITARIO DE CIENCIAS EXACTAS E INGENIERÍAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS APUNTES PARA LA MATERIA DE MATEMÁTICAS DISCRETAS P R E S E N T A M.S.I. JOSÉ FRANCISCO VILLALPANDO BECERRA

2 ÍNDICE ÍNDICE... RELACIONES... DEFINICIÓN Y SU REPRESENTACIÓN... OPERACIONES CON RELACIONES... 5 COMPOSICIÓN DE RELACIONES... 8 PROPIEDADES DE LAS RELACIONES... 9 RELACIONES DE EQUIVALENCIA... ORDENES PARCIALES...5 INDUCCIÓN MATEMÁTICA...7 EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS...7 CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS NUMERABLES...9 FÓRMULAS INDUCTIVAS Y GENERALIZACIÓN... PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA...4 RELACIONES DE RECURRENCIA...8 PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS...8 SUCESIONES RECURRENTES Y ECUACIÓN DE RECURRENCIA...3 SOLUCIONES HOMOGÉNEAS...36 SOLUCIONES PARTICULARES...39 SOLUCIONES TOTALES...4 PRINCIPIOS DE CONTEO...44 REGLAS DE LA SUMA Y EL PRODUCTO...44 RECURSOS DE CONTEO: LISTAS Y ÁRBOLES...47 PERMUTACIONES Y COMBINACIONES...49 PERMUTACIONES Y COMBINACIONES GENERALIZADAS...53 PRINCIPIOS...57 PRINCIPIO DE EXCLUSIÓN-INCLUSIÓN...57 PRINCIPIO DE DIRICHLET...60 APLICACIONES (IDENTIDADES BÁSICAS Y TEOREMA DEL BINOMIO)...6 GRAFOS...65 DEFINICIONES BÁSICAS Y SU REPRESENTACIÓN...65 GRAFOS DIRIGIDOS Y NO DIRIGIDOS...66 MULTIGRAFOS Y GRAFOS PESADOS (GRAFOS PONDERADOS)...7 PASEOS (CAMINOS) Y CIRCUITOS (CICLOS)...7 PASEOS Y CIRCUITOS DE EULERIANOS (DE EULER)...73 PASEOS Y CIRCUITOS HAMILTONIANOS...76 REPRESENTACIONES MATRICIALES...77 ISOMORFISMO DE GRAFOS...79 GRAFOS APLANABLES...8 ÁRBOLES Y CONJUNTOS DE CORTE...84 ÁRBOLES...84 ÁRBOLES CON TERMINAL (ENRAIZADOS)...85 LONGITUD DE PASEO EN ÁRBOLES ENRAIZADOS...89 PREFIJOS CODIFICADOS...90 ÁRBOLES DE BÚSQUEDA BINARIA...9 ÁRBOLES GENERADORES Y CONJUNTOS DE CORTE...94 ÁRBOLES GENERADORES MÍNIMOS

3 RELACIONES DEFINICIÓN Y SU REPRESENTACIÓN La foma más diecta de expesa ua elació ete elemetos de dos cojutos es usado paes odeados, po lo que de maea abstacta se puede defii ua elació es como u cojuto de paes odeados. E este cotexto se cosideaá que el pime elemeto del pa odeado está elacioado co el segudo elemeto del pa odeado. Defiició: Si A y B so dos cojutos o vacíos, el poducto catesiao A B seá el cojuto de paes odeados (a, b), dode a A y b B, es deci: A B = {(a, b) a A y b B} Se usa la otació a R b paa deota que (a, b) R y a b paa deota que (a, b) R. Sea A = {,, 3} y B = {, s} etoces: A B = {(, ), (, s), (, ), (, s), (3, ), (3, s)} B A = {(, ), (, ), (, 3), (s, ), (s, ), (s, 3)} Se puede ve que A B es difeete de B A Defiició: Ua elació biaia, o simplemete elació, R de u cojuto A e u cojuto B es u subcojuto del poducto catesiao A B. Si (a, b) R se escibe a R b y sigifica que a esta e elació co b. Si A = B se dice que R es ua elació biaia sobe A. Sea A = {,, 3, 4} y sea R = {(a, b) a divide a b}. Cuales paes odeados está e dicha elació? Nota: La divisió debe se etea. R = {(, ), (, ), (, 3), (, 4), (, ),(, 4), (3, 3), (4, 4)}, e ese caso R es ua elació biaia sobe A. Defiició: Si R (A B) es ua elació de A e B, el domiio de R, que se escibe Dom(R), y es el cojuto de los elemetos de A que está elacioados co B, es deci: Dom(R) = {a A (a, b) R, paa algú b B} Sea A = {,, 3, 4}, B = {, s}y R = {(, ), (, s), (, s), (3, s)}, etoces Dom(R) = {,, 3} --

4 Defiició: Si R (A B) es ua elació de A e B, el codomiio (ago, image o ecoido) de R, se escibe Cod(R) o Ra(R) y es el cojuto de los elemetos de B, que está elacioados co algú elemeto de A, es deci: Cod(R) = {b B (a, b) R, paa algú a A} Sea A = {,, 3, 4} y B = {, s} además sea R = {(, ),(, s),(3, )}, etoces Cod(R) = {, s} OTRAS REPRESENTACIONES DE LAS RELACIONES Las elacioes además de se epesetadas como cojutos de paes odeados, se puede epeseta de las siguietes maeas: a) Tablas b) Diagamas c) Matiz de Relació d) Po medio de Gafos Diigidos (dígafos). Sea A = {,, 3} y B = {, s} y sea R = {(, ), (, s), (, ), (3, s)} a) b) c) R = 0 0 La epesetació po medio de gafos diigidos, se utiliza cuado R es elació biaia sobe A. Sea R la elació sobe A = {,, 3, 4} defiida como sigue: (x, y) R si x y dode x, y A Po lo que R = {(, ), (, ), (, 3), (, 4), (, ), (, 3), (, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)} y su epesetació como dígafo es: -3-

5 Este tipo de epesetacioes se aalizaá co más detalle e la uidad dedicada a gafos. Los putos so llamados vétices y epeseta los elemetos de A. Las flechas so llamadas aistas diigidas de x a y y epeseta que el elemeto (x, y) esta elacioado. Las flechas que epeseta elemetos de la foma (x, x) se llama lazos. Ejecicio: Sea las siguietes elacioes e el cojutos de los úmeos eteos: R = {(a, b) a b} ó (a, b) R si a b R = {(a, b) a > b} ó (a, b) R si a > b R3 = {(a, b) a = b ó a = -b} ó (a, b) R si a = b ó a = -b R4 = {(a, b) a = b} ó (a, b) R si a = b R5 = {(a, b) a = b } ó (a, b) R si a = b R6 = {(a, b) a b 3} ó (a, b) R si a b 3 Cuáles de las elacioes ateioes cotiee a los siguietes paes odeados?: Respuesta: (, ) R, R3, R4 y R6 (, ) R y R6 (, ) R, R5 y R6 (, -) R, R3 y R6 (, ) R, R3 y R4 (, ), (, ), (, ), (, -) y (, ) -4-

6 OPERACIONES CON RELACIONES Puesto que las elacioes biaias so cojutos de paes odeados, las ocioes de itesecció, difeecia simética, uió y difeecia de dos elacioes, se obtiee de maea simila a las coespodietes paa cojutos. Etoces pimeamete es ecesaio ecoda dichas ocioes paa cojutos. a) La uió de dos cojutos A y B, deotada po A B, es el cojuto cuyos elemetos so exactamete los elemetos A ó B, ó de ambos. Ejemplos: ) Si A = {a, b}, B = {c, d}, etoces A B = {a, b, c, d} ) Si A = {a, b}, B = {a, c}, etoces A B = {a, b, c} 3) Si A = {a, b}, B = {}, etoces A B = {a, b} 4) Si A = {a, b}, B = {c, {a, b}}, etoces A B = {a, b, c, {a, b}} b) La itesecció de dos cojutos A y B, deotada po A B, es el cojuto cuyos elemetos so exactamete los elemetos que está tato e A como e B. Ejemplos: ) {a, b} {a, c} = {a} ) {a, b} {c, d} = 3) {a, b} = c) La difeecia de dos cojutos A y B, deotada po A B, es el cojuto que cotiee exactamete aquellos elemetos de A que o está e B. Ejemplos: ) {a, b, c} {a} = {b, c} ) {a, b, c} {a, d} = {b, c} 3) {a, b, c} {d, e} = {a, b, c} d) La difeecia simética de dos cojutos A y B, deotada po A B, es el cojuto que cotiee todos los elemetos que está e A o e B peo o e ambos, es deci: Ejemplos: ) {a, b} {a, c}={b, c} ) {a, b} = {a, b} 3) {a, b} {a, b}= A B = (A B) (A B) Gáficamete se puede epeseta estas opeacioes co cojutos como sigue: -5-

7 Cojuto A Cojuto B A B A B A B A B Aplicado los coceptos ateioes a elacioes biaias, teemos que si R y S so dos elacioes biaias de A e B etoces: R S, R S, R S, R S so tambié elacioes biaias de A e B. Sea R y S dos elacioes de X a Y y de U a V espectivamete. Además teemos que Ecota R S, R S, R S, R S. R S = {(a, A), (a, B), (b, C)} R S = {(a, B), (b, C)} R S = {(a, A)} R S = {(a, A)} R = {(a, A), (a, B), (b, C)} y S = {(a, B), (b, C)} Defiició: Puede defiise el complemeto de ua elació R como el cojuto de todos los paes odeados del poducto catesiao A B que o está e R, y se epeseta como R ó ~R. Sea R y S dos elacioes de X a Y y de U a V espectivamete. Además teemos que X = {a, b, c}, Y = {A, B, C}, U = {a,b} y V = {B,C} y sea R = {(a, A), (a, B), (b, C)} y S = {(a, B), (b, C)} Etoces X Y = {(a, A), (a, B), (a, C), (b, A), (b, B), (b, C), (c, A), (c, B), (c, C)} Po lo tato R = {(a, C), (b, A), (b, B), (c, A), (c, B), (c, C)} Y paa U V = {(a, B), (a, C), (b, B), (b, C)} se tiee que S = {(a, C), (b, B)}. Gáficamete se epeseta: -6-

8 Ota opeació que a meudo se utiliza es el iveso de ua elació, la cual se defie de la siguiete maea: Defiició: Sea R ua elació de A e B, el iveso de R, que se deota como R - ó R ~, y es la elació de B e A defiida fomalmete como: R - = {(b, a) (a, b) R} Sea A = {, 3, 4} y B = {3, 4, 5, 6, 7}, además defiimos R como sigue: (a, b) R si a divide a b (divisió etea) etoces R = {(, 4), (, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4)}, po lo que R - = {(4, ), (6, ), (3, 3), (6, 3), (4, 4)} De lo ateio se deduce que a R b b R - a. Alguos autoes le llama al iveso opuesto. Como ua elació es u cojuto, podemos obtee el úmeo de elemetos de dicho cojuto, es deci: Defiició: La cadialidad es el úmeo de elemetos de u cojuto. Paa ua elació R de A e B, la cadialidad se epeseta # R y el úmeo de paes odeados que costituye la elació. Ejemplos: Si A = {,,3,4}etoces #A = 4 Si R = {(, 4), (, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4)} etoces # R = 5 Defiició: Sea R ua elació de A e B, el cojuto potecia de R, deotado como P(R), es el cojuto que cotiee a todos los subcojutos de R, es deci: Si #R =, etoces #P(R) = P(R) = {S S R} Sea R = {(, ), (, ), (, 3)}, etoces #R = 3 y #P(R) = 3 = 8 Esto sigifica que el cojuto potecia de R tiee 8 subcojutos, los cuales so: P(R) = {, {(, )}, {(, )}, {(, 3)}, {(, ), (, )}, {(, ), (, 3)}, {(, ), (, 3)}, {(, ), (, ), (, 3)}} -7-

9 COMPOSICIÓN DE RELACIONES Sea R ua elació de A e B y S ua elació de B e C. La composició de R y S es ua elació cosistete de los paes odeados (a, c), dode a A y c C y paa los cuales existe u b B tal que (a, b) R y (b, c) S, es deci a R b y b S c. La composició se deota po S R, si R y S so elacioes. Ejemplos: a) Sea A = {,, 3}, B = {,, 3, 4} y C = {0,, } y sea R = {(, ), (, 4), (, 3), (3, ), (3, 4)} S = {(,0),(, 0), (3, ), (3, ), (4, )} Etoces S R ={(, 0), (, ), (, ), (, ), (3, 0), (3, )} b) Sea A = {,, 3}, B = {, 4, 6, 8} y C = {s, t, u} y sea R = {(, ), (, 6), (, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8)} S = {(, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)} Etoces S R ={(, u), (, t), (, s), (, t), (3, s), (3, t), (3, u)} c) Sea A = {a, b, c, d}, B = {s, t, u, v} y C = {,, 3, 4, 5} y sea R = {(a, s), (a, t), (c, v), (d, u)} S = {(s, ), (t, ), (t, 4), (u, 3)} Etoces S R = {(a, ), (a, ), (a, 4), (d, 3)} y gáficamete se puede epeseta como NOTA: S R R S Geealizado: Sea R ua elació de A e B, S ua elació de B e C y T ua elació de C e D. La composició de R, S y T es ua elació cosistete de los paes odeados (a, d), dode a A y d D y paa los cuales existe u b B y u c C tal que (a, b) R, (b, c) S y (c, d) T, es deci a R b, b S c y c T d. Lo ateio se puede deota como T (S R), si R, S y T so elacioes. Además se tiee que: T (S R) = (T S) R -8-

10 PROPIEDADES DE LAS RELACIONES Defiició: Ua elació R sobe u cojuto A es llamada eflexiva si (a, a) R a A, es deci: R es eflexiva a (a R a) Pimeamete defiamos alguas elacioes que os seá útiles a lo lago de este tema. Sea A = {,, 3, 4} y sea las siguietes elacioes sobe A: R = {(, ), (, ), (, ), (, ), (3, 4), (4, ), (4, 4)} R = {(, ), (, ), (, )} R3 = {(, ), (, ), (, 4), (, ), (, ), (3, 3), (4, ), (4, 4)} R4 = {(, ), (3, ), (3, ), (4, ), (4, ), (4, 3)} R5 = {(, ), (, ), (, 3), (, 4), (, ), (, 3), (, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)} R6 = {(3, 4)} Cuáles elacioes so eflexivas? R3 y R5 Defiició: Ua elació R sobe u cojuto A es llamada o eflexiva (o ieflexiva) si el pa odeado (a, a) R, a A, es deci: R es o eflexiva a (a a) Cuáles de las elacioes descitas so o eflexivas? R4 y R6 Mietas que R y R so elacioes que o so i eflexiva i o eflexivas. Po medio de tablas podemos mosta este tipo de elacioes. Defiició: Ua elació R e u cojuto A es llamada simética si (a, b) R implica que (b, a) R, es deci: R es simética a b (a R b b R a) Cuáles de las ateioes elacioes epeseta ua elació simética? R y R3-9-

11 Defiició: Ua elació R e u cojuto A es llamada atisimética si (a, b) R y (b, a) R, etoces a = b, a, b A, es deci: R es atisimética a b (a R b b R a a = b) Ota foma de expesalo es diciedo que cuado a b se tiee que, a b ó b a. Cuáles de las ateioes elacioes so atisiméticas? R4, R5 y R6, ya que o hay paes de elemetos a y b co a b tales que (a, b) y (b, a) R. Po medio de tablas podemos mosta este tipo de elacioes. Defiició: Ua elació R e u cojuto A es llamada tasitiva si a, b, c A, (a, b) R y (b, c) R etoces (a, c) R, esto es: R es tasitiva a b c (a R b b R c a R c) Cuáles de las ateioes elacioes epeseta ua elació tasitiva? R4, R5 y R6. Po medio de ua tabla seia: Ya que se tiee que: (3, ) y (, ) R (3, ) R (4, ) y (, ) R (4, ) R (4, 3) y (3, ) R (4, ) R (4, 3) y (3, ) R (4, ) R U gafo diigido de ua elació tasitiva tiee la popiedad que si existe aistas diigidas de x a y y de y a z, tambié existe ua aista diigida de x a z. Como lo muesta el siguiete gafo: -0-

12 NOTA: Si a = b y (a, b) y (b, c) R, etoces (a, c) = (b, c) R, po lo que o hay que veifica de maea explícita toda la codició. Paa compoba la codició de tasitividad se elimia los casos a = b y b = c y sólo hay que veifica los estates paes odeados. Defiició: Sea R ua elació biaia sobe A. La extesió tasitiva de R, deotada po R, es la elació biaia sobe A tal que R cotiee a R y además si (a, b) y (b, c) R etoces (a, c) R. Sea A = {a, b, c, d} y R = {(a, b), (b, c), (c, b), (c, d)}, etoces R = {(a, b), (a, c), (b, b), (b, c), (b, d), (c, b), (c, c), (c, d)} Si R es ua elació tasitiva etoces R es igual a R. Si R deota la extesió tasitiva de R, y e geeal R i deota la extesió tasitiva de R i, defiimos la ceadua tasitiva de R, deotada po R *, como el cojuto uió de R, R, R,..., etoces, e del ejemplo ateio R * = {(a, b), (a, c), (a, d), (b, b), (b, c), (b, d), (c, b), ( c, c), (c, d)} Lo que po medio de dígafos se puede epeseta como: --

13 RELACIONES DE EQUIVALENCIA Defiició: Ua patició de u cojuto S es ua colecció de subcojutos disjutos o vacíos de S que tiee a S como su uió, e otas palabas, la colecció de subcojutos A i, i I (dode I es u ídice del cojuto) foma ua patició si y solo si: A i, i I, A i A j = cuado i j y A Tambié estos subcojutos so llamados bloques de la patició. i I i = S Lo ateio sigifica que S = {A, A,..., A k } Sea S ={a, b, c, d,, z} y sea W = {a, e, i, o, u} W = {w, c} W 3 = {b, f, g, h, j, k, l} W 4 = {m,, ñ, p, q} W 5 = {, s, t, v} W 6 = {x, y} W 7 = {d, z} S = W W W 3 W 4 W 5 W 6 W 7 o bie S ={{a, e, i, o, u}, {w, c}, {b, f, g, h, j, k, l}, {m,, ñ, p, q}, {, s, t, v}, {x, y}, {d, z}} Si S ={a, b, c, d, e, f, g} etoces {{a}, {b, c, d}, {e, f}, {g}} es ua patició de S y tambié se puede epeseta como { a, bcd, ef, g}, e dode se coloca ua baa sobe los elemetos del mismo bloque. TEOREMA Sea S ua patició sobe u cojuto X. Decimos que x R y si paa algú A e S x, y A. Etoces R es eflexiva, simética y tasitiva. Sea X = {,, 3, 4, 5, 6} y sea S ={{, 3, 5},{, 6},{4}} ua patició de X. La elació R defiida po el teoema ateio es: R ={(,), (, 3), (, 5), (3, ), (3, 3), (3, 5), (5, ), (5, 3), (5, 5), (, ), (, 6), (6, ), (6, 6), (4, 4)} Defiició: Ua elació R que es eflexiva, simética y tasitiva, sobe u cojuto X, se cooce como ua elació de equivalecia sobe X. Ejemplos: a) Sea X = {,, 3, 4, 5, 6} y sea S = {{, 3, 5},{, 6},{4}} ua patició de X. La elació R defiida po el teoema ateio es: --

14 R = {(,), (, 3), (, 5), (3, ), (3, 3), (3, 5), (5, ), (5, 3), (5, 5), (, ), (, 6), (6, ), (6, 6), (4, 4)} la cual, po la defiició ateio es ua elació de equivalecia. Si se epeseta po medio de dígafos teemos que: R es eflexiva puesto que (, ), (, ), (3, 3), (4, 4), (5, 5) R R es simética ya que siempe que si (x, y) R tambié (y, x) R R es tasitiva puesto que siempe que si (x, y) y (y, z) R tambié (x, z) R Como R es eflexiva, simética y tasitiva, etoces R es ua elació de equivalecia sobe X. b) Sea R = {(, ), (, ), (, 3), (, 4), (, ), (, 3), (, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}, y sea X = {,, 3, 4} R es eflexiva ya que (, ), (, ), (3, 3), (4, 4) R R o es simética ya que (, ), (3, ), (4, ), (3, ), (4, 3), (4, ) R R es tasitiva puesto que siempe que si (x, y) y (y, z) R tambié (x, z) R Po lo que como R o es simética, po lo tato o es ua elació de equivalecia. Defiició: Sea R ua elació de equivalecia sobe u cojuto A. El cojuto de todos los elemetos que está elacioados a u elemeto de A es llamado clase de equivalecia de A y se deota po [a], e otas palabas: [a] = {x A x R a} además se tiee S = {[a] a A} es ua patició de A Ejemplos: a) Sea A = {,,3,4,5,6} y sea R = {(, ), (, 3), (, 5), (3, ), (3, 3), (3, 5),(5, ), (5, 3), (5, 5), (, ), (, 6), (6, ), (6, 6), (4, 4)} ua elació de equivalecia sobe A, etoces teemos que: [] = {, 3, 5} [] = {, 6} [3] = {, 3, 5} [4] = {4} [5] = {, 3, 5} [6] = {,6}; -3-

15 dode se obseva que [] = [3] = [5] = {,3,5} [] = [6] = {, 6} [4] = {4}, Además S = {{, 3, 5}, {, 6}, {4}} es ua patició de A b) Sea A = {,, 3, 4} y sea R = {(, ), (, ), (, ), (, ), (3, 3), (3, 4), (4, 3), (4, 4)}ua elació de equivalecia sobe A, dode se tiee que [] = {, } [] = {, } [3] = {3, 4} [4] = {3, 4} po lo que [] = [] = {, } [3] = [4] = {3, 4} dode S ={{,},{3,4}} es ua patició de A. De los ejemplos ateioes se cocluye que: a) Si a R b etoces [a] = [b] b) Si [a] = [b] etoces [a] [b] c) Si [a] [b] etoces a R b E esume dos clases de equivalecia de dos elemetos de A so idéticas o disjutas. -4-

16 ORDENES PARCIALES Defiició: Se dice que ua elació R sobe u cojuto A es ua elació de ode pacial si esta es eflexiva, atisimética y tasitiva. Si R es ua elació de ode pacial (o simplemete ode pacial) sobe A, se utiliza la otació a b paa idica que (a, b) R. Esta otació sugiee que estamos itepetado la elació como ode sobe los elemetos. Sea A = {a, b, c, d, e} y sea R ua elació sobe A defiida como sigue: R = {(a, a), (a, b), (a, c), (a, d), (a, e), (b, b), (b, c), (b, e), (c, c), (c, e), (d, d), (d, e), (e, e)} Repesetada e la siguiete tabla: como R es eflexiva, atisimética y tasitiva po lo tato es ua elació de ode pacial. U cojuto A juto co u ode pacial R sobe A, es llamado u cojuto pacialmete odeado y se deota po (A, R). U cojuto pacialmete odeado es coocido como POSET (del iglés: Patially Odeed SET). Sea A el cojuto de igual a ceo). y sea R ua elació sobe A, tal que (a, b) R si a divide a b (co esiduo Etoces como cualquie eteo se divide a si mismo, R es ua elació eflexiva. Si a divide a b sigifica que b o divide a a, a meos que sea a = b, po lo que R es atisimética, y puesto que si a divide a b y b divide a c etoces a divide a c, po lo que R es tasitiva. E cosecuecia R es u ode pacial. E ealidad u cojuto pacialmete odeado es deotado como (A, ). Defiició: Si R es u ode pacial sobe A y si x, y A y x y y x, se dice que x y y so compaables. Y si x, y A y x y y x, se dice que x y y so icompaables. -5-

17 Defiició: Si cada pa de elemetos de A so compaables se dice que R es u ode total, es deci, u ode pacial R es u ode total, (ode lieal) si y solo si x, y, x R y ó y R x es siempe vedadeo. E este caso (A, R) es u cojuto totalmete odeado ó tambié llamado cadea (chai). Los úmeos atuales co la elació (, ) y los úmeos eteos co la elació (, ) so ambos cadeas. Tambié el cojuto de las palabas del idioma español co el ode lexicogáfico es ua cadea. Defiició: La logitud de ua cadea es la catidad de elemetos de la misma. Defiició: Si todos los elemetos de u cojuto A so o compaables, etoces R se dice que es ua aticadea, es deci, u ode pacial R es ua aticadea si x, y A, x y y x. E este caso (A, R) es ua aticadea, es deci, o hay dos elemetos distitos que esté elacioados. Sea A = {a, b, f, d, e} y sea R u ode pacial. Repesetemos a R po medio de ua tabla. Etoces (A, R) es u cojuto pacialmete odeado dode: {a, b, c, e} {a, b, c} {a, d, e} {a} {b, d} {c, d} {a, c, d} es ua cadea es ua cadea es ua cadea es ua cadea y ua aticadea es ua aticadea es ua aticadea o es i cadea i aticadea -6-

18 INDUCCIÓN MATEMÁTICA EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS El sistema de los úmeos atuales tiee u defecto maifiesto e que dados m,, la ecuació m x = puede o o tee solució, po ejemplo, la ecuació m x = m caece de solució, mietas que la ecuació m x = m* (siguiete) tiee la solució x =. Es sabido que esto se emedia añadiedo a los úmeos atuales el ceo y los úmeos eteos egativos paa foma el cojuto de los úmeos eteos Dicho símbolo poviee del alemá Zahl (úmeo). Etoces: = {,, 3,, } = {-,..., -3, -, -, 0,,, 3,..., } ALGUNAS PROPIEDADES DE ADICIÓN Ley de la clausua s,, s Ley comutativa s = s,, s 3 Ley Asociativa (s t) = ( s) t,, s, t 4 Ley de la cacelació Si t = s t etoces = s,, s, t 5 Neuto Aditivo u úico 0 tal que 0 = 0 =, 6 Simético Aditivo Paa cada u úico simético aditivo - tal que (-) = (-) = 0, MULTIPLICACIÓN Ley de la clausua s,, s Ley comutativa s = s,, s 3 Ley Asociativa (s t) = ( s) t,, s, t 4 Ley de la cacelació Si t = s t etoces = s,, s, t 5 Neuto Multiplicativo u úico tal que = =, LEYES DISTRIBUTIVAS (s t) = s t,, s, t (s t) = s t,, s, t DIVISORES U eteo a 0 se llama diviso (o facto) de u elemeto b (lo cual deota a b) si c tal que b = a c cuado a b se dice que b u múltiplo de a. -7-

19 Ejemplos: a) 6 ya que c = 3 tal que 6 = 3 b) -3 5 ya que c = -5 tal que 5 = (-3) (-5) c) a 0 ya que a, 0 = a 0 PRIMOS Como a = (-a) (-) = a, a, se dice que ± y ±a so divisoes de a. U eteo p 0 y p ± se dice que es pimo si y solo si sus úicos divisoes so ± y ±p. Ejemplos: a) es pimo ya que sus úicos divisoes so ±, ± b) -5 es pimo ya que sus úicos divisoes so ±5, ± c) 6 o es pimo ya que sus divisoes so ±6, ±3, ±, ± d) 39 o es pimo ya que sus divisoes so ±39, ±3, ±3, ± Esta clao que -p es pimo si y solamete si p lo es, po lo que solamete seá ecesaio efeise a los pimos positivos. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) Si a b y a c se dice que a es u diviso comú de b y c. Si además todo diviso comú de b y c tambié es de a, se dice que a es el máximo comú diviso de b y c. a) ±, ±, ±3, ±4, ±6, ±; so divisoes comues de 4 y 60 b) ± es el MCD de 4 y 60-8-

20 CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS NUMERABLES Defiició (ituitiva): El tamaño de u cojuto es la catidad de elemetos distitos del cojuto. Ejemplos: a) El tamaño del cojuto {a, b, c} es 3 b) El tamaño del cojuto {a,, d} es 3 c) El tamaño del cojuto {{a, b}} es d) El tamaño del cojuto es ceo Paa ecota el tamaño de dos cojutos de maea compaativa, se ecesita la siguiete Defiició: Dados dos cojutos P y Q se dice que existe ua coespodecia uo a uo (biuívoca) ete los elemetos de P y los de Q, si es posible apaea los elemetos de P y de Q de tal modo que todos los elemetos P esté apaeados co distitos elemetos de Q. Existe ua coespodecia biuívoca ete los elemetos de {a, b} y los de {c, d}, tambié existe ua coespodecia biuívoca ete los de {a, b, c} y los de {, a, b}, peo o existe ua coespodecia biuívoca ete los elemetos de {a, b, c} y los de {a, d}. Defiició: Se dice que u cojuto es fiito si existe ua coespodecia biuívoca ete los elemetos del cojuto y los elemetos de algú cojuto, y se dice que es la cadialidad del cojuto. La cadialidad de los cojutos {a, b, c}, {a,, d}, {,, 3}, {, { }, {, { }}} es 3 Defiició: Se dice que u cojuto es ifiito cotable (o ifiito umeable o que la cadialidad del cojuto es ifiita cotable), si existe ua coespodecia uo a uo ete los elemetos del cojuto y los elemetos de. Ejemplos: El cojuto de los úmeos atuales = {,, 3,... } es u cojuto ifiito cotable. El cojuto de todos los eteos paes o egativos {, 4, 6,...}es u cojuto ifiito cotable, pues existe ua coespodecia uo a uo ete los eteos paes o egativos y los úmeos atuales, a sabe el eteo i le coespode el úmeo atual i, paa i =,,..., es deci: De maea aáloga, el cojuto de todos múltiplos de 7 o egativos {7, 4,,... }es ifiitos umeable, es deci: -9-

21 Cabe señala que u cojuto es ifiito cotable si, comezado co u cieto elemeto podemos lista sucesivamete, uo detás de oto todos los elemetos del cojuto, pues esa lista os pemite costui ua coespodecia uo a uo ete los elemetos del cojuto y los úmeos atuales. El cojuto de los eteos = {..., -3, -, -, 0,,, 3,... }, es u cojuto ifiito cotable, poque sus elemetos puede se listados como = { 0,, -,, -, 3, -3,...}, ya que se puede hace ua coespodecia uo a uo ete los elemetos del cojuto de los eteos y los úmeos atuales, es deci: La uió de u úmeo fiito cotable de cojutos ifiitamete cotable es u cojuto ifiito cotable. Lo mismo sucede co la uió de u úmeo ifiito cotable de cojutos ifiitos cotables. El cojuto de los úmeos acioales como sigue: es u cojuto ifiito umeable ya que puede se listado Además se puede obseva que se puede hace ua catidad ifiita umeable de sublistas, dode cada ua es a la vez u cojuto ifiito umeable, y la uió de todas ellas es el cojuto de los úmeos acioales. Fialmete se tiee que el cojuto de los úmeos eales auque o se demostaá. o es u cojuto ifiito umeable, -0-

22 FÓRMULAS INDUCTIVAS Y GENERALIZACIÓN Supogamos que ua seie de cubos umeados,, 3,... está e ua mesa ifiitamete laga y que los cubos está macados co ua "X", como se muesta a cotiuació: y supógase que: a) El pime cubo esta macado. b) Si todos los cubos ateioes al cubo ( ) está macados, etoces el cubo ( ) tambié lo esta. a) y b) implica que cada cubo esta macado, examiado los cubos uo po uo. La afimació a) establece de maea explícita que el cubo esta macado. Cosideado el cubo, todos los cubos ateioes al cubo está macados, o sea, el cubo y así de acuedo a b) el cubo tambié está macado. Cosideado el cubo 3, todos los cubos ateioes al cubo 3 está macados, o sea, los cuales y así de acuedo a b) el cubo 3 esta macado. Paa mosta que el cubo 5 está macado, se obseva que todos los cubos ateioes al cubo 5 está macados, de modo que po b), el cubo 5 tambié esta macado. Este ejemplo ilusta el picipio de iducció matemática. Paa mosta como se puede utiliza la iducció de maea más pofuda: Sea S la suma de los eteos positivos S = 3... Ahoa supogamos que alguie afima que: paa =,, 3,... S = ( ) Esto establece ua seie de afimacioes: --

23 Supogamos que cada ecuació vedadea tiee ua X juto a ella. Como la pimea ecuació es vedadea, ésta macada. Ahoa debemos demosta que si todas las ecuacioes ateioes a la ecuació ( ) so vedadeas, etoces la ecuació ( ) tambié lo es. Supoiedo que todas las ecuacioes ateioes a la ecuació ( ) so vedadeas, etoces la ecuació () es vedadea: ( ) S = Debemos demosta que la ecuació ( ) S ( )( ) = es vedadea. De acuedo a la defiició: S = 3... ( ) S esta coteida deto de S e el setido de que S = 3... ( ) = S ( ) De dode se obtiee que: S = 3... ( ) = ( ) ( ) = ( )( ) --

24 Oto ejemplo seia S = ( -) = ², paa =,, 3,... Es deci, la suma de los pimeos úmeos impaes es ². Dode teemos que: Dode se obseva que S es vedadea. S = ² = S = ² = 4 S 3 = 3² = 9... S - = ( - )² S = ² Supoiedo que S es vedadea, debemos demosta que la ecuació ( ), S = ( )², es vedadea. El -ésimo témio es ( - ), etoces el siguiete seia ( ). De acuedo a la defiició: Ejecicios: Poba que : S = ( -) ( ) = S ( ) = ² ( ) = ² = ( )² a) = ( ) b) (3 ) = ½ (3 ) c)... = ( ) ( ) -3-

25 PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA La iducció matemática es u método de demostació que se utiliza cuado se tata de establece la veacidad de ua lista ifiita de poposicioes. El método es bastate atual paa usase e ua vaiedad de situacioes e la ciecia de la computació. Alguas aplicacioes tiee u sabo muy matemático, tal como veifica que todo eteo positivo satisface cieta fómula. Ota utilizació fecuete es la de demosta que u pogama de computació o que u algoitmo co ciclos fucioa como se espea. Pime picipio de iducció matemática Cosideemos ua lista de poposicioes p(), p(), p(3),... co ídices e los eteos positivos. Todas las poposicioes p() so vedadeas a codició que: (B) p() sea vedadea. (I) p( ) es vedadea siempe que p() lo sea. os efeimos a (B), es deci al hecho de p() es vedadea, como la base de la iducció y os efeimos a (I) como el paso iductivo. E la otació del cálculo poposicioal (I) equivale deci que: La implicació p() p( ) es vedadea. Demosta (3k ) = (3 ) k =. (Hipótesis de la iducció) Demostació: La -ésima poposició p() es vedadea, esto es k = Nótese que: p() = = /[3()² - )] de aquí que = p() = 4 = /[3()² - )] de aquí que 5 = 5 p(3) = 4 7 = /[3(3)² - 3)] de aquí que =... (3k ) = (3 ) E paticula, p() es vedadea po ispecció y esto establece la base de la iducció. Ahoa supógase que p() es vedadea paa algú, esto es: k = (3k ) = (3 ) ecesitamos demosta que p( ), (ya que e este paso = k ) -4-

26 k = (3k ) = [ 3( k ) ( k )] tal como lo establece el paso iductivo. Utilizado p() teemos que k = (3k ) = ( 3k ) [3(k ) - ]= /(3k² - k) (3k ) k = paa veifica p( ) ecesitamos compoba que: /(3k² - k) (3k ) = /[3(k )² - (k )] Esto ya es u poblema puamete algebaico, paa lo cual se tabajaa co el lado izquiedo de la igualdad, esto es: /(3k² - k) (3k ) = /(3k² - k 6k ) = /(3k² 5k ) = /(3k )( ) = /[3(k ) -](k ) = /[3(k )² - (k )] Etoces p( ) es vedadea siempe que p() lo sea. Po el pime picipio de iducció matemática se cocluye que p() es vedadea. No siempe es ecesaio el uso del símbolo de sumatoia paa aplica la iducció matemática, puede tambié utilizase pate del desaollo de la misma, como lo muesta el siguiete: Demosta po iducció que: 4... () = ( ) Demostació: Nuesta -ésima poposició p() es: 4... () = ( ) y ótese que: p() = = (), dode = p() = 4 = (3), dode 6 = 6 p(3) = 4 6 = 3(4), dode = p(4) = = 4(5), dode 0 = 0... Así p() asegua = ( ) y como es vedadea po ispecció tal como lo establece la base de la iducció matemática. Paa el paso iductivo, supogamos que p() es vedadea paa algú, esto es 4... () = ( ) es vedadea. Ahoa queemos poba que paa p( ) (y ya que e este paso = k ) -5-

27 4... (k) (k ) = (k )((k ) ) es deci 4... (k) (k ) = (k )(k ) tal como lo establece el paso iductivo. Como p() es vedadea po hipótesis, y tabajado co el lado izquiedo de la igualdad, teemos que: 4... (k) (k ) = [ 4... k] (k ) = k(k ) (k ) = k(k ) (k ) = (k )(k ) Etoces p( ) es vedadea siempe que p() lo sea. Po el pime picipio de iducció matemática se cocluye que p() es vedadea. No todas las demostacioes tiee que ve co sumas y sumatoias, tambié se puede aplica la iducció paa demosta desigualdades. La difeecia es que la base de la iducció cambia u poco e el setido que o ecesaiamete se debe cumpli p(), peo puede se cieto paa alguos valoes de p mayoes que cieto valo de. Demosta po iducció que 5(-) 5 Demostació: Nuesta -ésima poposició p() es: 5(-) 5 y ótese que: p() = 5 p() = E paticula, p() es vedadea po ispecció y esto establece la base de la iducció. Ahoa supógase que p() es vedadea paa algú, esto es: 5(-) 5 es vedadea. Ahoa queemos poba que paa p( ) (ya que e este paso = k ) 5((k ) ) 5(k ) simplificado 5k 5k 5, tal como lo establece el paso iductivo. Como p() es vedadea po hipótesis, y tabajado co el lado izquiedo de la desigualdad, teemos que: 5k 5 5 5k 5 5k 5k 5-6-

28 Etoces p( ) es vedadea siempe que p() lo sea. Po el pime picipio de iducció matemática se cocluye que p() es vedadea. Demosta po iducció que <! 4 (hipótesis iductiva) Demostació: Nuesta -ésima poposició p() es <! Nótese que p(), p() y p(3) o so vedadeas, y o ecesitamos que sea vedadeas. Ahoa bie p(4) = 4 = 6 < 4! = 4. así que p(4) es válido, como lo establece uesta base iductiva. Ahoa supógase que p() es vedadea paa algú, esto es: <! es vedadea. Ahoa queemos poba que paa p( ) (ya que e este paso = k ) k < (k )! tal como lo establece el paso iductivo. Utilizado p(), se multiplica ambos lados de la desigualdad po, paa obtee 4, ()( k ) = k < (k!) < ( )(!) ) ( )! Etoces p() es vedadea siempe que p() lo sea. Po el pime picipio de iducció matemática se cocluye que p() es vedadea 4. Ejecicios: a) (-) = b) k( k = c) k = k k ) = ( ) = d) = k( k ) k = e) 3... = f) (3 k = g) k k = 3 k ) = 3 ( ) = 4 ( )( ) 3 ( )( ) 6-7-