Trabajo Práctico N 3: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Transcripción

1 Álgera Geometría Analítica Traajo Práctico N : SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Ejercicio : Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales empleando cuando sea posile: i) método matricial ii) regla de Cramer Interprete gráficamente a) ), c), Ejercicio : Encuentre los valores de k para que el siguiente sistema sea compatile determinado, compatile indeterminado o incompatile. Interprete gráficamente. 8 k k Ejercicio : Determine, en cada caso, si los sistemas de ecuaciones lineales dados son equivalentes: a) v u v u ) c) Ejercicio : Dados los siguientes S.E.L. a) Analice el sistema aplicando el teorema de Rouche Froenius. ) Resuelva el sistema por el método de eliminación de Gauss. c) Resuelva el sistema usando el método de Gauss Jordan. i) ii) iii) 9

2 Álgera Geometría Analítica Ejercicio : En cada caso eprese el conjunto solución de los vectores columna X, tal que satisfaga la ecuación matricial A.XB. a) A ; 9 B ) A ; B c) A ; B d) 8 A ; B Ejercicio : Clasifique los sistemas lineales con las matrices ampliadas siguientes como compatile determinado, compatile indeterminado o incompatile, en función de los parámetros a. Cuando un caso no se pueda dar escria nunca". Cuando un caso se de siempre, independientemente del valor de a escria siempre". Para los casos en los que otengas varios valores de parámetros, únalos eplícitamente utiliando la conjugación pertinente " u o" (las comas no valen). Compatile determinado... a Compatile determinado... a a Compatile determinado...

3 Álgera Geometría Analítica Compatile determinado... a Compatile determinado... a Compatile determinado... Ejercicio 7: Dé ejemplos: a) De matri ampliada en forma escalonada que corresponda a un sistema lineal con solución única a una matri de coeficientes de. ) De matri ampliada escalonada reducida correspondiente a un sistema lineal con más ecuaciones que incógnitas pero con un número infinito de soluciones. Ejercicio 8: Resuelva analice por Rouche Froenius los sistemas homogéneos asociados a los ejercicio. Ejercicio 9: Encuentre los valores de λ para que el siguiente sistema homogéneo tenga infinitas soluciones calcule el conjunto solución. (A-λ I) X Siendo A

4 Álgera Geometría Analítica Ejercicio : Aplicando S.E.L., dada la matri tal que: a) AB O ) AB I A, encuentre una matri B de Ejercicio : Argumente la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones. ) Dado un sistema de ecuaciones lineales no homogéneo que tiene solución única, es posile agregar otra ecuación para que el nuevo sistema no tenga solución. ) Para A X B se puede encontrar una matri B para que el sistema tenga solución única. ) El sistema A X O tiene solución única, luego A es cuadrada. ) El sistema cuadrado A X B, tiene solución única si A es equivalente por filas a la matri identidad. ) Cualquier sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas tiene como máimo n soluciones. ) Si A B son equivalentes entonces los sistemas A X O B X O tienen el mismo conjunto solución. 7) En el sistema A X B ; X es solución X tamién lo es. Luego X X es solución del sistema. 8) En el sistema A X O ; X es solución X tamién lo es. Luego X X es solución del sistema. 9) Si un sistema A X B tiene dos grados de liertad se puede hallar una matri B para que el sistema no tenga solución. ) Un sistema homogéneo con matri de coeficientes cuadrada puede tener infinitas soluciones. ) Si en el sistema A X O, X es solución, entonces k X (k real) tamién es solución. ) Un sistema con más incógnitas que ecuaciones es indeterminado. Ejemplo : Cifrado matricial de un mensaje de teto A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z.,? Mensaje: ATAQUE AHORA A T A Q U E A H O R A 7 7 8

5 Álgera Geometría Analítica Matri clave K Proceso de cifrado Para poder descifrar el mensaje necesitamos que la matri clave sea inversile. Ejemplo : Una empresa tiene tres minas con menas de composiciones: Níquel (%) Core (%) Hierro (%) Mina A Mina B 7 Mina C Cuántas toneladas de cada mina deen utiliarse para otener 7 toneladas de níquel, 8 de core de hierro? nº de toneladas de la mina A. nº de toneladas de la mina B. nº de toneladas de la mina C. t t t Ejemplo : Un empresario tiene tres máquinas que son empleadas en la faricación de cuatro productos diferentes. Para utiliar plenamente las máquinas estas estarán en operación 8 horas diarias. El número de horas que cada máquina es usada en la producción de cada uno de los cuatro productos está dado por Producto Producto Producto Producto Máquina Máquina Máquina Por ejemplo, en la producción de una unidad del producto la máquina se usa hora, la máquina se usa horas la máquina se usa hora. Encuentre el número de unidades que se deen producir de cada uno de los productos un día de 8 horas completas.

6 Álgera Geometría Analítica Sea i el número de unidades que se deen producir del producto i que se farican durante las 8 horas con i,,. : Es la cantidad de horas diarias que es usada la máquina en la faricación del producto. : Es la cantidad de horas diarias que es usada la máquina en la faricación del producto. : Es la cantidad de horas diarias que es usada la máquina en la faricación del producto. : Es la cantidad de horas diarias que es usada la máquina en la faricación del producto. Como la máquina dee ser usada 8 horas diarias, entonces tenemos que procediendo de forma similar para las máquinas otenemos el sistemas de ecuaciones lineales siguiente Aplicando eliminación de Gauss-Jordan llegamos al sistema equivalente De donde, Cada i es no negativa por representar la cantidad de unidades faricadas del producto i cada día, por lo tanto i < no tiene sentido. Si asumimos que se produce un número completo de unidades, entonces i dee ser además un número entero para que todos los i, sean no negativos dee ser un entero menor o igual que, por lo tanto las posiles soluciones son Solución Solución Solución