Una revisión de la inversa core EP D.E. FERREYRA, F.E. LEVIS, N. THOME
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- Veronica Herrero Fidalgo
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1 Una revisión de la inversa core EP D.E. FERREYRA, F.E. LEVIS, N. THOME 1
2 Índice I Introducción Resumen Notaciones y Definiciones Motivación Antecedentes del Problema Una nueva caracterización de la inversa core EP Resultado Principal Propiedades de la inversa core EP Reprentación y cálculo de la inversa core EP Forma canónica de la inversa core EP Más propiedades de la inversa core EP 2
3 Introducción 3
4 Resumen En este trabajo: 4
5 Resumen En este trabajo: Se da una nueva caracterización y representación de la inversa core EP usando la descomposición core EP. 4
6 Resumen En este trabajo: Se da una nueva caracterización y representación de la inversa core EP usando la descomposición core EP. Se dan nuevas propiedades de la inversa core EP y su conexión con las inversas BT y DMP. 4
7 Resumen En este trabajo: Se da una nueva caracterización y representación de la inversa core EP usando la descomposición core EP. Se dan nuevas propiedades de la inversa core EP y su conexión con las inversas BT y DMP. Se da una forma canónica de la inversa core EP a partir de la descomposición de Hartwig-Spindelböck que provee una manera sencilla de calcularla. 4
8 Notaciones y Definiciones Para A C n n, los símbolos A, A 1, R(A), N (A) y rk(a), denotarán la transpuesta conjugada, la inversa, el espacio columna, el núcleo y el rango de A, respectivamente. 5
9 Notaciones y Definiciones Para A C n n, los símbolos A, A 1, R(A), N (A) y rk(a), denotarán la transpuesta conjugada, la inversa, el espacio columna, el núcleo y el rango de A, respectivamente. Una matriz X C n n que satisface la igualdad AXA = A es llamada una inversa interior de A. La clase de todas las inversas de A es denotada por A{1}. 5
10 Notaciones y Definiciones Para A C n n, los símbolos A, A 1, R(A), N (A) y rk(a), denotarán la transpuesta conjugada, la inversa, el espacio columna, el núcleo y el rango de A, respectivamente. Una matriz X C n n que satisface la igualdad AXA = A es llamada una inversa interior de A. La clase de todas las inversas de A es denotada por A{1}. Sea A C n n, el índice de A, denotado por Ind(A), es el menor de los enteros no negativos k tal que R(A k ) = R(A k+1 ). 5
11 Notaciones y Definiciones Para A C n n, los símbolos A, A 1, R(A), N (A) y rk(a), denotarán la transpuesta conjugada, la inversa, el espacio columna, el núcleo y el rango de A, respectivamente. Una matriz X C n n que satisface la igualdad AXA = A es llamada una inversa interior de A. La clase de todas las inversas de A es denotada por A{1}. Sea A C n n, el índice de A, denotado por Ind(A), es el menor de los enteros no negativos k tal que R(A k ) = R(A k+1 ). Se dice que A C n n es una matriz EP si R(A) = R(A ). 5
12 Notaciones y Definiciones Definición Sea A C n n. La única matriz X C n n satisfaciendo AXA = A, XAX = X, (AX) = AX y (XA) = XA, es llamada la inversa de Moore-Penrose de A y es denotada por A. 6
13 Notaciones y Definiciones Definición Sea A C n n. La única matriz X C n n satisfaciendo AXA = A, XAX = X, (AX) = AX y (XA) = XA, es llamada la inversa de Moore-Penrose de A y es denotada por A. Definición Sea A C n n. La única matriz X C n n satisfaciendo XAX = X, AX = XA y A k+1 X = A k, donde k = Ind(A), es llamada la inversa de Drazin de A y es denotada por A d. 6
14 Notaciones y Definiciones Definición Sea A C n n. La única matriz X C n n satisfaciendo AXA = A, XAX = X, (AX) = AX y (XA) = XA, es llamada la inversa de Moore-Penrose de A y es denotada por A. Definición Sea A C n n. La única matriz X C n n satisfaciendo XAX = X, AX = XA y A k+1 X = A k, donde k = Ind(A), es llamada la inversa de Drazin de A y es denotada por A d. Si Ind(A) 1, entonces la inversa de Drazin de A es llamada la inversa de grupo de A y es denotada por A #. 6
15 La inversa core O. Baksalary, G. Trenkler, Core inverse of matrices, Linear and Multilinear Algebra, 58 (6) (2010) En el trabajo anterior, los autores introdujeron una nueva inversa generalizada de la siguiente manera 7
16 La inversa core O. Baksalary, G. Trenkler, Core inverse of matrices, Linear and Multilinear Algebra, 58 (6) (2010) En el trabajo anterior, los autores introdujeron una nueva inversa generalizada de la siguiente manera Definición Sea A C n n. Una matriz X C n n satisfaciendo AX = P A y R(X) R(A), es llamada la inversa core de A y es denotada por A #, donde P A es el proyector ortogonal sobre el rango de A, es decir, P A = AA. 7
17 La inversa core O. Baksalary, G. Trenkler, Core inverse of matrices, Linear and Multilinear Algebra, 58 (6) (2010) En el trabajo anterior, los autores introdujeron una nueva inversa generalizada de la siguiente manera Definición Sea A C n n. Una matriz X C n n satisfaciendo AX = P A y R(X) R(A), es llamada la inversa core de A y es denotada por A #, donde P A es el proyector ortogonal sobre el rango de A, es decir, P A = AA. Una condición necesaria y suficiente para que A C n n sea core invertible es que Ind(A) 1. 7
18 La inversa core O. Baksalary, G. Trenkler, Core inverse of matrices, Linear and Multilinear Algebra, 58 (6) (2010) En el trabajo anterior, los autores introdujeron una nueva inversa generalizada de la siguiente manera Definición Sea A C n n. Una matriz X C n n satisfaciendo AX = P A y R(X) R(A), es llamada la inversa core de A y es denotada por A #, donde P A es el proyector ortogonal sobre el rango de A, es decir, P A = AA. Una condición necesaria y suficiente para que A C n n sea core invertible es que Ind(A) 1. 7
19 Las inversas core EP, BT y DMP Tres generalizaciones de la inversa core fueron introducidas y estudiadas recientemente para matrices cuadradas de índice arbitrario. 8
20 Las inversas core EP, BT y DMP Tres generalizaciones de la inversa core fueron introducidas y estudiadas recientemente para matrices cuadradas de índice arbitrario. La única matriz X C n n tal que XAX = X y R(X) = R(X ) = R(A k ), es llamada la inversa core EP de A y es denotada por A. 8
21 Las inversas core EP, BT y DMP Tres generalizaciones de la inversa core fueron introducidas y estudiadas recientemente para matrices cuadradas de índice arbitrario. La única matriz X C n n tal que XAX = X y R(X) = R(X ) = R(A k ), es llamada la inversa core EP de A y es denotada por A. La matriz A := (AP A) es llamada la inversa BT de A. 8
22 Las inversas core EP, BT y DMP Tres generalizaciones de la inversa core fueron introducidas y estudiadas recientemente para matrices cuadradas de índice arbitrario. La única matriz X C n n tal que XAX = X y R(X) = R(X ) = R(A k ), es llamada la inversa core EP de A y es denotada por A. La matriz A := (AP A) es llamada la inversa BT de A. La única matriz X C n n satisfaciendo XAX = X, XA = A d A y A k X = A k A, es llamada la inversa DMP de A y es denotada por A d,. 8
23 Motivación de este trabajo O.Baksalary, G. Trenkler, Core inverse of matrices, Linear and Multilinear Algebra, 58 (6) (2010)
24 Motivación de este trabajo O.Baksalary, G. Trenkler, Core inverse of matrices, Linear and Multilinear Algebra, 58 (6) (2010) La inversa core de A C n n es la única matriz X C n n satisfaciendo AX = P A = AA y R(X) R(A). 9
25 Motivación de este trabajo O.Baksalary, G. Trenkler, Core inverse of matrices, Linear and Multilinear Algebra, 58 (6) (2010) La inversa core de A C n n es la única matriz X C n n satisfaciendo AX = P A = AA y R(X) R(A). K.M. Prasad, K.S. Mohana, Core EP inverse, Linear and Multilinear Algebra, 62 (3) (2014)
26 Motivación de este trabajo O.Baksalary, G. Trenkler, Core inverse of matrices, Linear and Multilinear Algebra, 58 (6) (2010) La inversa core de A C n n es la única matriz X C n n satisfaciendo AX = P A = AA y R(X) R(A). K.M. Prasad, K.S. Mohana, Core EP inverse, Linear and Multilinear Algebra, 62 (3) (2014) La inversa core EP de A es la única matriz X C n n tal que XAX = X y R(X) = R(X ) = R(A k ). 9
27 Motivación de este trabajo O.Baksalary, G. Trenkler, Core inverse of matrices, Linear and Multilinear Algebra, 58 (6) (2010) La inversa core de A C n n es la única matriz X C n n satisfaciendo AX = P A = AA y R(X) R(A). K.M. Prasad, K.S. Mohana, Core EP inverse, Linear and Multilinear Algebra, 62 (3) (2014) La inversa core EP de A es la única matriz X C n n tal que XAX = X y R(X) = R(X ) = R(A k ). Teorema Sea A C n n tal que Ind(A) = k. Entonces X C n n es la inversa core EP de A si y sólo si X satisface las condiciones XA k+1 = A k, XAX = X, (AX) = AX, y R(X) R(A k ). 9
28 Antecedentes del Problema X. Wang, Core-EP decomposition and its applications, Linear Algebra and its Applications, 508 (2016)
29 Antecedentes del Problema X. Wang, Core-EP decomposition and its applications, Linear Algebra and its Applications, 508 (2016) Teorema Toda matriz A C n n admite una única descomposición de la forma [ ] [ ] T S A = A 1 + A 2, A 1 = U U 0 0, A 2 = U U, N donde T es invertible con rk(t ) = rk(a k ), N es nilpotente con índice k y U es unitaria. Dicha representación es llamada la descomposición core EP de A. 10
30 Antecedentes del Problema X. Wang, Core-EP decomposition and its applications, Linear Algebra and its Applications, 508 (2016) Teorema Toda matriz A C n n admite una única descomposición de la forma [ ] [ ] T S A = A 1 + A 2, A 1 = U U 0 0, A 2 = U U, N donde T es invertible con rk(t ) = rk(a k ), N es nilpotente con índice k y U es unitaria. Dicha representación es llamada la descomposición core EP de A. Teorema Sea A = A 1 + A 2 la descomposición core EP de A tal que Ind(A) = k. Entonces A = A # 1. Más aún, [ ] A T 1 0 = U U
31 Una nueva caracterización de la inversa core EP 11
32 Resultado Principal D.E. Ferreyra, F.E. Levis, N. Thome, Revisiting the core EP and its extension to rectangular matrices, Quaestiones Mathematicae, to appear. A continuación, damos una condición necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada sea core EP invertible. 12
33 Resultado Principal D.E. Ferreyra, F.E. Levis, N. Thome, Revisiting the core EP and its extension to rectangular matrices, Quaestiones Mathematicae, to appear. A continuación, damos una condición necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada sea core EP invertible. Teorema Sea A C n n tal que Ind(A) = k. Entonces X C n n es la inversa core EP de A si y sólo si X satisface las condiciones AX = P A k y R(X) R(A k ). Más aún, X = (AP A k), donde P A k = A k (A k ). 12
34 Propiedades de la inversa core EP Es conocido que inversa core A # pertence a la clase A{1}. Es interesante preguntarse qué ocurre con la inversa core EP. 13
35 Propiedades de la inversa core EP Es conocido que inversa core A # pertence a la clase A{1}. Es interesante preguntarse qué ocurre con la inversa core EP. Teorema Sea A C n n. Las siguientes condiciones son equivalentes (i) A A{1}, (ii) Ind(A) 1, (iii) A A{1}. Más aún, en este caso, A = A = A #. 13
36 Propiedades de la inversa core EP Es conocido que inversa core A # pertence a la clase A{1}. Es interesante preguntarse qué ocurre con la inversa core EP. Teorema Sea A C n n. Las siguientes condiciones son equivalentes (i) A A{1}, (ii) Ind(A) 1, (iii) A A{1}. Más aún, en este caso, A = A = A #. Sin embargo, el hecho que A = A no implica que A A{1}. 13
37 Propiedades de la inversa core EP Es conocido que si Ind(A) 1 entonces (A # ) # = AP A y A # es necesariamente EP. 14
38 Propiedades de la inversa core EP Es conocido que si Ind(A) 1 entonces (A # ) # = AP A y A # es necesariamente EP. A continuación veremos que la inversa core EP satisface las mismas propiedades. Teorema Sea A C n n tal que Ind(A) = k. Entonces las siguientes afirmaciones son verdaderas (i) A es EP; (ii) A(A ) 2 = A ; (iii) (A ) = AP A k; (iv) AP A k es EP. 14
39 Reprentación y cálculo de la inversa core EP 15
40 Forma canónica de la inversa core EP Toda matriz A C n n de rango r > 0 admite la descomposición de Hartwig-Spindelböck dada por 16
41 Forma canónica de la inversa core EP Toda matriz A C n n de rango r > 0 admite la descomposición de Hartwig-Spindelböck dada por A = U [ ΣK ΣL 0 0 ] U, donde U C n n es unitaria, Σ = diag(σ 1I r1, σ 2I r2, σ ti rt ), σ i son los valores singulares de A, σ 1 > σ 2 > > σ t > 0, r 1 + r r t = r y K C r r, L C r (n r) satisfacen KK + LL = I r. 16
42 Forma canónica de la inversa core EP Toda matriz A C n n de rango r > 0 admite la descomposición de Hartwig-Spindelböck dada por A = U [ ΣK ΣL 0 0 ] U, donde U C n n es unitaria, Σ = diag(σ 1I r1, σ 2I r2, σ ti rt ), σ i son los valores singulares de A, σ 1 > σ 2 > > σ t > 0, r 1 + r r t = r y K C r r, L C r (n r) satisfacen KK + LL = I r. Teorema Sea A C n n escrita en la forma de Hartwig-Spindelböck. Entonces [ ] A (ΣK) 0 = U U
43 Forma canónica de la inversa core EP En [2, Lemma 2] y [3, Theorem 2.5], se probó que 17
44 Forma canónica de la inversa core EP En [2, Lemma 2] y [3, Theorem 2.5], se probó que A = U [ (ΣK) ] U y A d, = U [ (ΣK) d ] U, respectivamente. 17
45 Forma canónica de la inversa core EP En [2, Lemma 2] y [3, Theorem 2.5], se probó que A = U [ (ΣK) ] U y A d, = U [ (ΣK) d ] U, respectivamente. Corolario Sea A C n n escrita en la forma de Hartwig-Spindelböck. Las siguientes condiciones son equivalentes (i) A = A ; (ii) A d, = A ; (iii) ΣK es EP. Más aún, en este caso, Ind(A) 2. 17
46 Más propiedades de la inversa core EP Teorema Sea A C n n tal que Ind(A) = k. Entonces (i) AA es un proyector ortogonal sobre R(A k ). (ii) A A es un proyector oblicuo sobre R(A k ) a lo largo de N ((A k+1 ) A). 18
47 Más propiedades de la inversa core EP Teorema Sea A C n n tal que Ind(A) = k. Entonces (i) AA es un proyector ortogonal sobre R(A k ). (ii) A A es un proyector oblicuo sobre R(A k ) a lo largo de N ((A k+1 ) A). Teorema Sea A C n n. Las siguientes condiciones son equivalentes (i) A es EP; (ii) (A ) = A; (iii) (A ) = A; (iv) (A ) = A; (v) AP A = A. Más aún, en este caso, AA = A A y (A ) = (A ). 18
48 O.M. Baksalary, G. Trenkler, Core inverse of matrices, Linear and Multilinear Algebra, 58 (6) (2010) O.M. Baksalary, G. Trenkler, On a generalized core inverse, Applied Mathematics & Compututation, 236 (2014) S.B. Malik, N. Thome, On a new generalized inverse for matrices of an arbitrary index, Applied Mathematics & Compututation, 226 (2014) K.M. Prasad, K.S. Mohana, Core EP inverse, Linear and Multilinear Algebra, 62 (3) (2014) X. Wang, Core-EP decomposition and its applications, Linear Algebra and its Applications, 508 (2016)
49 Gracias!!! 20
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