Calculo del tiempo de vida con datos de degradación MC. Manuel Jesús Reyes Méndez (ITCJ) 1, Dr. Manuel A. Rodríguez Medina (ITCJ)

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1 Calculo del tiempo de vida con datos de degradación MC. Manuel Jesús Reyes Méndez (ITCJ) 1, Dr. Manuel A. Rodríguez Medina (ITCJ) Resumen En los productos de alta calidad es difícil de obtener suficientes datos de tiempo de falla para estimar la vida del producto. Un enfoque alternativo es usar datos de degradación a niveles altos de estrés. En este artículo se presentan los modelos básicos de degradación y se realiza el análisis del tiempo de vida de LEDs sometidos a tres temperaturas. Mediante la definición del valor de umbral se encuentran el tiempo de falla estimado y finalmente mediante las técnicas de máxima verosimilitud MLE y del modelo lineal generalizado glm se comprueba el valor de los parámetros Palabras clave Degradación, LEDs, MLE, glm. Introducción La predicción de los tiempos de vida en condiciones de uso normal depende de la identificación de una relación adecuada entre la variable de aceleración y la distribución de los tiempos de falla. La utilización de los datos de tiempo de vida para evaluar la confiabilidad de los productos de alta confiabilidad es problemático, ya que en la realización de una prueba de vida, a menudo ocurre pocas o ninguna falla. En la década de 1990 los analistas comenzaron a emplear los datos de degradación para evaluación la confiabilidad. Algunas ventajas de este método son que no se tiene que esperar a que las fallas se produzcan y a la vez se utiliza menos aceleración para obtener los datos de degradación, así los datos sobre degradación pueden proporcionar una alternativa a los datos altamente censurados que proporcionan poca información, o a los datos acelerados para los que la identificación de una relación de aceleración puede ser difícil. El uso de datos de degradación para la evaluación de la confiabilidad es relativamente nuevo. Lu y Meeker (1993) escribieron un documento inicial importante de este tema. Considerando la importancia de las covariables, Boulanger y Escobar (1994) y Meeker et al. (1998) discutieron el análisis de datos de la degradación acelerada. Tseng et al. (1995) y Chiao y Hamada (1996) consideraron realizar experimentos para mejorar la confiabilidad a partir de datos de degradación. Nelson (1981) es un documento inicial en el estudio de los datos de degradación destructiva. Teniendo en cuenta las alternativas a los modelos paramétricos, Whitmore (1995) presentó el proceso de Wiener para los datos de degradación de modelado con el error de medición. Otra alternativa para el modelado paramétrico de curvas de degradación es el uso de regresión no paramétrico, ya que de esta forma no tiene que ser especificadas las curvas de degradación. Esta es una alternativa atractiva cuando un modelo paramétrico no es obvio a partir de los datos, ni impulsado por la ciencia / ingeniería del problema, Horng-Shiau y Lin (1999) también consideran este tema. Excelentes referencias generales sobre la regresión no paramétrica son Ramsay y Silverman (1997) y Green y Silverman (1994). Hamada realizo un compendio de técnicas de confiabilidad donde destaca la degradación Bayesiana (Hamada M. et al. 2008). Modelado de los datos de degradación El modelado de los datos de degradación toma en cuenta, en un inicio, que existe una curva de degradación lineal que comienza en cero, de tal forma que para la i-ésima unidad la degradación en el tiempo t es: D i = D(t, θ i ) = ( 1 θ i ) t (1) Donde el intercepto es cero, la pendiente es 1/θi y θi es el parámetro de una unidad específica. Cuando la degradación de la unidad alcanza un umbral crítico D f, se declara que la unidad tiene una falla. Por consiguiente, el tiempo de vida t i de la i-ésima unidad es D f θ i. Ver la Figura 1. 1 Autor Corresponsal reyesmjesus@yahoo.com 641

2 Figura 1. Degradación lineal sobre el tiempo t para una unidad Además de la forma de la curva de degradación, un modelo de datos debe tener en cuenta el error de medición. Denotando la degradación de la i-ésima unidad en el j-ésimo tiempo t ij como D i t ij y denotando el error de medición como ε ij, tenemos el siguiente modelo para la degradación observada y ij : Y ij = D i (t ij ) + ε ij (2) Donde la medida de los errores ε ij siguen una distribución Normal (0, σ ε 2 ) y σ ε 2 es la varianza del error de medición. La unidad específica θ i tiene una distribución determinada de modo que el modelo de datos degradación en la ecuación (2) es un modelo de efectos aleatorios. Ver la Figura 2. Figura 2. Degradación lineal de una unidad observada con error de medición. Una expresión para una curva de degradación más compleja es: D i = D(t, θ i, ν) (3) Donde D ( ) es alguna función de t, mientras que θ i es un vector de efectos aleatorios, y ν es un vector de parámetros comunes a todas las unidades. Supongamos que g(θ i ) es una transformación de θ i que sigue una distribución normal multivariante con parámetros (μ, Σ). Una descripción más general es: g(θ i )~H(η) (4) Donde H tiene parámetros η. Si Y ij es la degradación observada para la i-esima unidad al j-ésimo tiempo t ij, un posible modelo para los datos de degradación es: Y ij = D(t ij, θ i, ν) + ε ij (5) La Función de confiabilidad Para el modelo de datos de degradación (5) la función de confiabilidad al tiempo t para el tiempo de vida T toma la forma R(t) = P(T t) = P θ [D(t, θ, ν) D f ν, η] (6) La función de confiabilidad depende de la verdadera degradación y no implica la distribución del error de medición. Por otra parte, ν y la distribución de probabilidad asumida de θ determinan el enunciado de probabilidad de la ecuación (6); la distribución de probabilidad de θ depende de η a través de la ecuación (4). Incorporando covariables En las pruebas de degradación se acelera la degradación a través de los factores de aceleración. En esta situación, la curva de degradación generalizada es D (t, x, θ, ν) que incorpora las covariables x, así, podemos generalizar el modelo de datos de degradación de la ecuación (5) como Y ijk = D[t ijk, x i, θ ij, ν] + ε ijk (7) 642

3 Donde y ijk es la degradación observada asociada a la j-ésima unidad al i-ésimo valor x i del vector de los factores de aceleración y al k-ésimo tiempo t ijk. Ver a Hamada M. et al. (2008) Materiales y Métodos Un led es un tipo especial de diodo semiconductor. Consiste de un chip de material semiconductor, impregnado con impurezas para crear una estructura llamada unión p-n. La Investigación de los LEDs para cualquier uso está progresando rápidamente. Para el proyecto se consideró la degradación de la luminosidad relativa (porcentaje de luminosidad inicial) de los RGB LEDs TI-3/4 RGB 5mm, estos tiene una temperatura de funcionamiento de 20 y la falla ocurre cuando la luminosidad relativa se reduce al 50% de la luminosidad inicial. Se probaran 18 unidades a 35, 50 y 65. La tabla del Anexo presenta los datos de luminosidad a cada temperatura y su gráfica. El modelo de datos de degradación de los LED sigue la forma dada en la ecuación (7), donde una expresión para la verdadera degradación de la luminosidad en el tiempo t y la temperatura T (en grados Celsius) es D(t, T) = 1 {1 + β 1 [AF(T, T U, β 3 )t] β 2} (8) El factor de aceleración AF(T, T U, β 3 ) es exp {β 3 [ T U ]} (9) T T U es la temperatura de uso normal de 20. Eso es, la verdadera degradación sigue una relación de Arrhenius. El factor de aceleración excede a uno para T>T U, por lo que la ecuación (8) significa que el aumento de las temperaturas de uso normal aceleraran la verdadera degradación. Por lo tanto, podemos expresar el modelo para los datos de degradación luminosidad como Y ijk = D(t ijk, T i ) + ε ijk (10) Para el k-ésimo tiempo t ijk de la j-esima unidad a la i-esima temperatura. Es decir, se observa que la verdadera degradación D(t ijk, T i ) tiene el error de medición ε ijk distribuido como Normal (0, σ 2 ε ). Se observa que θ 1 = log(β 1 ) y θ 2 = log(β 2 ) modelan la curva de degradación poblacional de los LED, asumiendo distribuciones para ellos. Además, el modelado de los logaritmos de β 1 y β 2 asegura que estos son positivos. Se asume que θ ij (= (θ 1ij, θ 2ij) ) se distribuyen como θ ij ~Normal multivariable(μ, Σ) (11) En la ecuación (8) el único parámetro adicional es ν = log(β 3 ). Por consiguiente, el modelo de datos degradación de los LED tiene la forma de la ecuación (7) en la cual θ consiste de dos parámetros mientras que ν tiene uno. Resultados Para efectos de análisis estadístico los datos de tiempo de vida se calculan en R estimando los parámetros de regresión simple: Tabla 1. Datos de tiempo de falla presentados en R 643

4 Para efectos de este estudio se calcularon los parámetros por dos métodos: Modelo lineal generalizado (glm) y el de máxima verosimilitud (MLE): Tabla 2. Coeficientes estimados por glm() Los resultados nos dan una pista del valor de los parámetros estimados para aplicar el método de máxima verosimilitud: Tabla 3 Definición de los valores iniciales En seguida se procede a encontrar los valores de verosimilitud y de logaritmo de verosimilitud Tabla 4 Los primeros valores de verosimilitud La suma de verosimilitud se obtiene de: Tabla 5 Definición de rangos La búsqueda de los parámetros se lleva a cabo mediante las siguientes iteraciones: Finalmente después de 102,010 iteraciones el método de estimadores de máxima verosimilitud proporciona los valores estimados del intercepto y la pendiente tal y como se aprecia en la tabla

5 Tabla 6. La iteraciones y los parámetros estimados La grafica de los resultados se presenta a continuación: Tabla 7. Grafica comparativa de los métodos de estimación Conclusiones De la información presentada se desprende que la degradación es una técnica de análisis alternativa para evaluar la confiabilidad en productos de alta calidad. En los datos de degradación de LEDs obtenemos los siguientes estimadores: Método Intercepto Pendiente glm MLE Por estos resultados se nota que hay muy poca diferencia entre los estimadores. Aplicando estos resultados tenemos que la ecuación de regresión estimada es T = t. Para la temperatura de diseño 20 el tiempo de falla es: t = = Semanas = 6.92 años En este acercamiento inicial al análisis de datos de degradación se consideró un modelo lineal simple con el propósito de fijar la metodología y posteriormente utilizar el análisis multivariable. 645

6 Bibliografía Boulanger, M., & Escobar, L. A. (1994). Experimental desing for a class of accelerate degradation test. technometrics, 36, Chiao, C. H., & Hamada, M. (1996). Using degradation data from an experiment to achieve robust reliability for light emitting diodes. Quality and Reliability Engineering International, 12, 89 94,. Green, P. J., & Silverman, B. W. (1994). Nonparametric Regression and Generalized Linear Models: A Roughness Penalty Approach. New york: Chapman & Hall. Hamada M., W. A. (2008). Bayesian Reliability. New York: Spring Street. Horng-Shiau, J. J., & Lin, H. H. (1999). Analyzing accelerated degradation data by nonparametric regression. IEEE Transactions on Reliability, 48, Lu, C., & Meeker, W. Q. (1993). Using degradation measurements to estimate a time-to-failure distribution. Technometrics, 35, Meeker, W. Q., Escobar, L. A., & Lu, J. (1998). Accelerated degradation tests: modeling and analysis. Technometrics, 40, Nelson, W. (1981). Analysis of performance-degradation data from accelerated tests. IEEE Transactions on Reliability, R-30, Ramsay, J. O., & Silverman, B. W. (1997). Functional Data Analysis. new york: Springer-Verlag. Tseng, S. T., Hamada, M., & Chiao, C. H. (1995). Using degradation data from a factorial experiment to improve fluorescent lamp reliability. Journal of Quality Technology, 27, Whitmore, G. A. (1995). Estimating degradation by a Weiner diffusion process subject to measurement error. Lifetime Data Analysis, 1, 1: Anexo 1. Datos y Graficas de degradación 646