SANTA LUCIA PROYECTO DE FORTALECIMIENTO A MATEMÁTICA 2015 INSTITUTO NACIONAL DE LA COLONIA UNIDAD DE INFORMÁTICA EDUCATIVA

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1 INSTITUTO NACIONAL DE LA COLONIA SANTA LUCIA UNIDAD DE INFORMÁTICA EDUCATIVA 2015 PROYECTO DE FORTALECIMIENTO A MATEMÁTICA 2015 LIC. JUAN CARLOS RIVAS CANTOR Coordinador de Aula Informática 04/09/2015

2 SOLUCIÓN A PRUEBA DE DIAGNOSTICO 1. Una empresa realizó una encuesta a 275 personas del municipio de San Salvador para conocer sobre el medio donde suelen ver los anuncios publicitarios. Si el 60% dice que los ve en televisión, qué cantidad de personas lo hace a través de otros medios? A. 215 B. 165 C. 110 D. 40 Resolviendo: Para encontrar la respuesta al ítem se debe tener la capacidad de relacionar porcentajes con números decimales. Si se designa p es otro medio, se tiene que el 40% de personas lo hace por otro medio esto está dado por 40 p = p 100 Por lo tanto para saber cuál es la cantidad de personas que utilizan otro medio para la publicidad se debe hacer p = p = 110 personas. 2. Un agricultor cercó un terreno que tiene forma de triángulo rectángulo. Si el lado más largo del terreno mide 37 m y otro de sus lados mide 12 m, qué cantidad de alambre necesitó para cercarlo con 3 líneas de alambre? Resolviendo: Se debe analizar el ejercicio para tener un resultado aceptable de la siguiente manera: Lado más largo (c): 37 m Lado (a): 12 m. Lado (b): 35 m Aplicando un corolario del teorema de Pitágoras para tener el valor del otro lado: b = c 2 a 2 b = b = b = 1225 b = 35 m

3 Cantidad de metros de alambre: Observe que le están pidiendo trazar 3 líneas de alambre por lo tanto deberá hacer el proceso siguiente para tener la cantidad total de metros de alambre necesarios, de la siguiente forma: Total de alambre = 3(a + b + c ) Talambre = 3 ( ) Talambre = 3 84 Talambre = 252 m 3. Qué altura tiene un edificio que proyecta una sombra de 49 m en el mismo momento que una estaca de 2 m proyecta una sombra de 1.25 m de longitud? A m B m C m D m La proporcionalidad que se aplicara es de grande a pequeño: Altura del edificio(x) 2 m = Altura = 78.4 m 49 m 49 2m 98 Despejando x = Altura(x) = 1.25 m 1.25 m Una compañía reporta sus pérdidas y ganancias desde el 2006 hasta el 2011, mostrando el siguiente comportamiento: Según el gráfico, los dos años consecutivos donde se da la mayor variación en la compañía son: A y 2010 B y 2011 C y 2011 D y 2009 Solución: Se debe analizar en pares ya que debes reflejar los resultados de (Pérdida y Ganancia). En economía una pérdida es cuando la cifra está por debajo de cero y la

4 ganancia es aquella que está por encima de cero. El cero se tomaría como un punto de equilibrio o sea que no perdiste y no ganaste (Egresos = Ingresos). Respuestas: Tiene Perdida en el año Tiene ganancia en el año 2010 Atención: Los años 2009 y 2010 es en donde se tiene la mayor variación ya que se sale de una pérdida y se coloca sobre una ganancia de al menos 2 millones de dorales. 5. Un estudiante ha realizado seis evaluaciones en matemática y su media es 6.8. Si en otras dos pruebas obtiene 6.4 y 9.6, el nuevo valor de la media será: A. 7.1 B. 7.4 C. 7.6 D. 8.0 Solución: X = A una fiesta asistieron 46 personas distribuidas según edades, de la siguiente forma: Cantidad de personas Edad x i f i La media aritmética de la edad de las personas asistentes al evento es A B. 16 C. 14 D X = = Una puerta de forma rectangular tiene como área la expresión 6x 2 7x 3. Si se sabe que la longitud de la base está dada por 2x 3, cuál de las siguientes expresiones algebraicas representa la longitud de la altura? A. 6x 9x B. 6x 5x 6 C. 12x 6x + 15x + 9 D. 3x + 1 SOLUCIÓN: Aplicar el caso 7 de factoreo ax 2 + bx + c

5 6x 7x 3 Operando (6x) 6(7x) 6(2) Descomponiendo 6 (6x 9)(6x + 2) Factores (2x 3)(3x + 1) Cuál es la solución de la ecuación = 2x 3 A) -2 B) 1 3 Resolviendo: C) 1 D) = 2x 3 Despejando denominador 5x 4 = 2(2x 3) Quitandoparentesis 5x 4 = 4x 6 Despejando incógnita 5x 4x = Resolviendo x = 2 Ejercicio de aplicación: En una fiesta de San Valentín llegaron a una discoteca 700 estudiantes entre señoritas y caballeros. Cada señorita pagó $2 y cada caballero $4 y se recaudaron $1800, cuántas señoritas y cuántos caballeros llegaron a la discoteca? X = Señoritas Y = Caballeros x + y = 700 Resolviendo: 2x + 4y = 1800 Multiplicando por (-2): ( 2)(x + y = 700) 2x 2y = 1400 Eliminando datos: 2x 2y = x + 4y = y = 400 y = y = 200 Sustituyendo: x + y = 700 x = 700 Despejando x = x = 500 Ejercicio de aplicación: Para la ecuación 5x + 3x = 2, las soluciones son: A. {x = y x = 1.131} B. x = y x = 2 C. x = y x = 1 D. x = y x =

6 SOLUCIÓN: 5x + 3x = 2 Ordenando 3x + 5x = 2 Igualando 3x + 5x 2 = 0 () () = 0 ()() 2 3x 1 = 0 3x = 1 x = = 0 (x + 2)(3x 1) = 0 x + 2 = 0 x = 9. La media aritmética de dos números enteros consecutivos es 8.5. El sucesor del mayor de los dos números enteros es A. 8 B. 9 C. 10 D. 18 Solución: Los dos números sumados son 8 y 9 ya que al dividir la suma de dichos números entre dos da 8.5. Comprobación = 17 Dividiendo por 2 = 8.5 Se pide el sucesor del mayor de los dos números enteros el cual es (el que está a la derecha del número mayor); por lo tanto es En una fiesta de San Valentín llegaron a una discoteca 700 estudiantes entre señoritas y caballeros. Cada señorita pagó $2 y cada caballero $4 y se recaudaron $1800, cuántas señoritas y cuántos caballeros llegaron a la discoteca? Respuesta: 500 señoritas y 200 caballeros. X = Señoritas Y = Caballeros x + y = 700 Resolviendo: 2x + 4y = 1800 Multiplicando por (-2): ( 2)(x + y = 700) 2x 2y = 1400 Eliminando datos: 2x 2y = x + 4y = y = 400 y = y = 200 Sustituyendo: x + y = 700 x = 700 Despejando x = x = 500

7 11. Para la ecuación 5x + 3x = 2, las soluciones son: B. {x = y x = 1.131} B. x 1 = 1 3 y x 2 = 2 C. x = y x = 1 D. x = y x = SOLUCIÓN: 2 = 0 () () 5x + 3x = 2 Ordenando 3x + 5x = 2 Igualando 3x + 5x = 0 ()() 2 3x 1 = 0 3x = 1 x = Cuál es el conjunto solución de la desigualdad 2x + 3 3x + 7 = 0 (x + 2)(3x 1) = 0 x + 2 = 0 x = A. {x R/x 4} B. x R 4 C. {x R/x 4} D. x R x 4 SOLUCIÓN: 2x + 3 3x + 7 2x 3x 7 3 x 4 multiplicando por ( 1) ( 1) x 4 x 4 NOTA: Recordar que ninguna incógnita en las desigualdades puede tener signo negativo. Por lo tanto se multiplica por (-1) los dos lados de la desigualdad cambiando el signo de desigualdad Si es al cambiar de signo pasa a o viceversa 13. Para la desigualdad x 4x 12 0, su conjunto solución es: A. ]. 3]U[4, + [ B. ], 4[U]3, + [ C. ], 3[U]4, + [ D. ], 2]U[6, + [ SOLUCIÓN: x 4x 12 0 Descomponiendo (x 6)(x + 2) 0 Igualando x 6 = 0 x = 6 x + 2 = 0 x = 2 Conjunto solución ], 2]U[6, + [

8 14. Cuál de los siguientes pares ordenados corresponde al punto de intersección de f(x) = 3 y g(x) = 2x 1 A. (3, -1) B. (3, 1) C. (3, 5) D. (2, 3) x g(x) = 2x 1 y (x, y) 2 g(x) = 2(2) 1 3 (2, 3) 1 g(x) = 2(1) 1 1 (1, 1) 0 g(x) = 2(0) 1-1 (0, -1) -1 g(x) = 2( 1) 1-3 (-1, -3) -2 g(x) = 2( 2) 1-5 (-2, -5) La función f(x) = 3 es constante por lo tanto el valor de x serán todos los Reales. Respuesta: El par ordenado de intersección es (2, 3) 15. En la siguiente figura, cuál es el área de la región sombreada? A cm C cm B cm 2 D cm Solución: cm

9 16. De cuál de los triángulos mostrados se obtiene que la secθ =? Solución: Secante de un ángulo es: secθ = secθ =. Respuesta correcta es el triangulo mostrado en el literal A. 17. Encontrar el valor del ángulo θ del triángulo mostrado: A.- 25 B C D Solución: Sacando hipotenusa c = a + b c = c = c = 25 c = 25 c = 5 Aplicando razón trigonométrica: sinθ = Lado opuesto hipotenusa sinθ =

10 Aplicando inversa para obtener ángulo: sin θ = Nota: Este proceso se deberá hacer en una calculadora para obtener el ángulo que se está buscando. 18. Un hombre de 1.75 m de estatura observa la parte alta de un poste de m de altura, con un ángulo de elevación de 30. La distancia horizontal que hay entre el hombre y el poste es A m C m B m D m Solución: La razón a aplicar es la Tangente. Esto debido a que necesitamos tener uno de los lados. Obteniendo la altura desde la horizontal: 18.25m 1.75m = 16.50m Obteniendo la distancia: tan 30 =. Despejando x =. x =.. x = 28.58m 19. A partir del siguiente gráfico, cuál es el dominio y el recorrido de la función f(x)? Dominio: [3, + ) Recorrido: (, 2]

11 20. En cuál figura están ubicados correctamente los puntos A(-2,0), B(3,0) y C(2,-3)? Respuesta correcta: Literal B. 21. Si f(x) = x 3 y h(x) = x + 4, Cuál es el valor de 3f( 1) + 5h(2)? A. 24 B. 30 C. 36 D. 6 Solución: 3f( 1) + 5h(2) 3( 1 3) + 5(2 + 4) 3( 2) + 5(6)

12 22. Observa la siguiente gráfica que representa una situación que le ocurrió a Luisa, una estudiante de primer año de bachillerato, en el recorrido de su casa al instituto. A cuál de las siguientes historias corresponde el gráfico? A. Salí corriendo de la casa y luego empecé a caminar, posteriormente a correr. B. Salí corriendo de la casa y luego me detuve. C. Salí corriendo de la casa porque era tarde, corrí todo el tiempo. D. Salí corriendo de la casa; me detuve un momento y continué corriendo. Solución: Si aplicamos la teoría de funciones se tendría que analizar la grafica con los siguientes parámetros: Corriendo = Ascendente Detenerse = Constante (Horizontal) Por lo tanto la historia correcta es: Salí corriendo de la casa; me detuve un momento y continué corriendo. (Literal D). 23. Una empresa ofrece el siguiente plan para teléfonos: Pagar $0.08 por cada uno de los primeros 30 minutos y $0.05 por cada minuto adicional. La ecuación que permite determinar la cantidad a pagar por una persona que gasta más de 30 minutos es: A. C(x) = 0.08 (30) (x - 30). B. C(x) = 0.08 (30) (30-x). C. C(x) = 0.08 (30) (x). D. C(x) = (x). Solución: Como lo que están pidiendo es la ecuación para determinar la cantidad total de dinero a pagar se deberá considerar lo siguiente: A. Los primeros treinta minutos se pagaran según la ecuación: Pago fijo = $2.40 B. Minutos adicionales después de los 30 minutos iníciales, estos se pagaran según la ecuación: Pago adicional = 0.05 (x 30) $ Pago adicional.

13 C. La ecuación a aplicar para determinar el monto total a pagar por los minutos acumulados será: C(x) = 0. 08(30) (x 30) 24. Una recta pasa por el punto (3,-1) y tiene pendiente 2. Marca en el plano otro punto por el que pase la recta. Además, escribe las coordenadas de dicho punto. Otro punto: (y y ) = m(x x ) (y ( 1)) = 2(x 3) y + 1 = 2x 6 y = 2x 6 1 y = 2x 7 Sustituyendo en ecuación x = 0 y = 2(0) 7 y = 7 Coordenadas: (0, -7) 25. De las siguientes gráficas, la que corresponde a f(x) = 2x 1 es

14 Solución: f(x) = 2x 1 y = 2(0) 1 y = 1 (0, 1) y = 2x 1 0 = 2x 1 2x = 1 x = 1 2 ( 1 2, 0) Resultado: Evaluando los dos puntos encontrados y asignándolo a la grafica la respuesta correcta seria el literal B. 26. La inversa de la función g(x) = 6x + 5 es A.- g(x) = 6x 5 B.- g(x) = x 11 C.- g(x) = 6(x 5) D.- g(x) 1 = (x5) 6 Solución: Despejando variable independiente: y = 6x + 5 y 5 = 6x x = Intercambiando g(x) = variables:x = y = Función inversa: g(x) 1 = (x5) El gerente de una empresa de alimentos desea saber qué tanto varían los pesos de las bolsas de cereal (en gramos), que empacan en una determinada presentación. Decide para ello tomar al azar una muestra de 5 bolsas y pesarlas. Las medidas obtenidas fueron las siguientes: {490, 500, 510, 515 y 520}. Cuál es el valor de la varianza muestral? Respuesta correcta: 145 gramos Solución: Calculando la media: X = X = X = 507

15 Calculando la diferencia y varianza: S = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) 5 S = S = S = En un concurso de comer pupusas participaron 11 personas, quienes comieron respectivamente, las siguientes cantidades: 18, 15, 75, 50, 25, 35, 52, 40, 30, 25, 32 Cuántas pupusas se come la persona que se ubica en el cuartil tres (Q )? A. 30 B. 50 C. 25 D. 75 Solución: Ordenando datos: 15, 18, 25, 25, 30, 32, 35, 40, 50, 52, 75 Lugar de cada cuartil: Q = = 3 Q = 25 Q = () = 6 Q = 32 Q = () = 9 Q = En el departamento de Ahuachapán se tomó el peso de 100 estudiantes de primer año de bachillerato y se asoció la escala percentilar para diferentes valores de la variable, tal como se muestra a continuación: Peso ( en libras) Percentil De las siguientes proposiciones, cuál es la correcta de acuerdo con la información presentada? A. El mayor peso fue de 165 libras. B. El menor peso de los estudiantes fue de 96 libras. C. El 10% de los estudiantes pesan 111 libras o menos. D. El 80% de los estudiantes pesan más de 140 libras. SUGERENCIA: Este ejercicio es de análisis ya que la información está calculada en percentiles por lo tanto se puede decir que al recordar la teoría sobre los percentiles estos sirven para calcular porcentajes.

16 Tomando como premisa esto se puede concluir que solo dos alternativas podrían ser las correctas (C o D). Por lo tanto la respuesta correcta es (C) El 10% de los estudiantes pesan 111 libras o menos. El literal D no podría ser debido a que solo un 20% de todos los estudiantes son los que pesan más de 140 libras.