Cap. 6 Distribuciones de Probabilidad Normal SPSS & Excel

Transcripción

1 Cap. 6 Distribuciones de robabilidad Normal SSS & Excel 6.1 Distribución de probabilidad normal 6.2 Distribución normal estándar 6.3 Aplicaciones de las distribuciones normales 6.4 Notación

2 Variable aleatoria (x) Es la variable que asume un valor numérico único para cada uno de los resultados que aparecen en el espacio muestral de un experimento de probabilidad. El espacio muestral S es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Ese espacio muestral puede ser representado: lista, un diagrama de árbol, un sistema de rejilla, tablas, entre otras. La variable aleatoria es un valor funcional definido sobre un espacio muestral que puede ser discreto o continuo. ara S de algún experimento, una variable aleatoria es cualquier asociación con cada resultado en S. Variable aleatoria continua (medición) Variable aleatoria discreta (conteo)

3 Distribución Normal La más importante de las distribuciones teóricas es la Distribución Normal, conocida como Curva Normal y Curva de Gauss. De Moivre publicó en 1773 su trabajo sobre la Curva Normal. Gauss y Laplace, contemporáneos de De Moivre, la dedujeron independientemente. En sus orígenes, la Curva Normal se aplicó para estudiar la distribución de los errores (desviaciones) con respecto al promedio, de ahí que también se le conoce como Curva Normal de Error. En la Distribución Binomial, la variable x es de naturalea discreta, es decir, sus valores son resultado de un conteo, por ello este tipo de distribuciones se conocen con el nombre de distribuciones de variable discreta. Sin embargo, muchos de los datos que se analian están indicados en magnitudes que varían continuamente (por ejemplo estaturas, IQ, salarios, mediciones antropométricas en fósiles, indicadores económicos, entre otros). Las distribuciones que se tratan con este tipo de datos se conocen con el nombre de Distribuciones de Variable Continua.

4 Ejemplo: Fórmula del Cociente de Inteligencia (CI o IQ) Escala de Inteligencia de Alfred Binet CI = edad mental 100 edad cronológica Distribución de robabilidad Normal La distribución de probabilidad normal tiene una variable aleatoria continua y utilia dos funciones: una función para para determinar las ordenadas (valores de y=f(x)) de la gráfica que muestra la distribución y una segunda función para determinar las probabilidades (x).

5 Función de distribución de probabilidad normal y = f ( ) x = e 1 2 σ x 2 x µ σ x 2π para todo x R(reales) observar que x µ σ x = Calcularlaprobabilidad ( x b) f( x)dx a b = a ( ) área Media poblacional µ Desviaciónestándar (DS) σ x

6 Función de distribución de probabilidad normal estándar y = f ( ) x = e ( ) ( ) 2 2π y = f ( ) = e 2 2 2π observar que µ = 0, σx = 1

7 Distribución Normal Estándar La Distribución Normal Estándar es una distribución de probabilidad normal que tiene una media de 0 ( = 0.00) y una DS igual a 1. La mayor aplicación de la Distribución Normal se hace a partir de las áreas bajo la Curva Normal. El área total bajo la Curva Normal es igual a uno. Como las distribuciones teóricas se emplean con cierta frecuencia como modelos, que permiten establecer la media y la DS de la población.

8 Normal es sólo el título tradicional para este tipo específico de distribución. Aunque hay otros tipos de distribuciones continuas (rectangulares, triangulares, sesgadas, entre otras). ropiedades de la Distribución Normal Estándar El área bajo la curva normal es igual a 1. El área bajo la curva normal es igual a 1. La curva tiene forma de campana y es simétrica, se extiende indefinidamente en ambas direcciones La distribución tiene una media 0 y una desviación estándar de 1. La media divide el área a la mitad, 0.50 a cada lado. Casi todo el área está entre =-3.00 y =+3.00.

9 0.50 = 50% 0.50 = 50% 0.00 µ X 0

10 2 σ 1σ 1σ 2 σ 3 σ Media µ 3 σ Regla Empírica Las áreas comprendidas bajo la Curva Normal serán: 68 % a una desviación estándar con respecto a µ 95 %a dos desviaciones estándar con respecto µ 99.7% a tres desviaciones estándar con respectoµ

11 Z = frecuencia acumulada relativa µ x Encuentre el área (probabilid ad)bajo la Curva Normal a la iquierda de 1.00 o sea ( < 1.00)

12 Z = Encuentre el área (probabilid ad)bajo la a la derecha de 1.52 o sea ( > 1. 52) Curva Normal ( > 1.52 )

13 Z = Encuentre el área (probabilid ad)bajo la Curva Normal a la iquierda de 1.52 o sea ( < 1.52) = ( < 1. 52)

14 Z = Encuentre el área(probabilidad)bajolacurvanormal entre 0 y 1.96 o seala ( 0 < < 1.96) ( 0 < < 1. 96)

15 Ejemplo (Aplicación) Un uso clásico de la Distribución Normal se inspiró en una carta enviada a una consejera sentimental en la que una esposa aseguraba haber dado a lu días después de una breve visita de su esposo, que estaba sirviendo en la Armada de Estados Unidos. Los tiempos (duración) de los embaraos se comportan normalmente con una media poblacional de días y una DS poblacional igual a 15.0 días. Dada esa información, determine la probabilidad de que un embarao dure más de días. Qué sugiere el resultado? ~ N( 268.0, ) 2 2 µ = σ x = = X ( )

16 Z = µ = x ( ) ( ) x > días = > = x µ σ x = = ( ) ( ) x > días = > o sea =

17 Ejemplo (Aplicación) Las duraciones de los embaraos se comportan normalmente con una media poblacional de días y una DS poblacional igual a 15.0 días. Si estipulamos que un bebé es prematuro si nace al menos tres semanas antes de lo debido, entonces qué porcentaje de bebés nacen prematuramente? Esta información es importante para los administradores de los hospitales y aseguradoras, que necesitan asegurarse de que se cuente con el equipo efectivo para atender las necesidades especiales de los bebés prematuros y sus madres.

18 µ = x 0

19 Z = Encuentre el a la iquierda área (probabilid ad) bajo la Curva Normal de 1.96 o sea ( < 1. 96) ( < 1.96) =

20 Z = Encuentre el área (probabilid ad) bajo la Curva Normal a la derecha de ( > 1.96) = ( > 1. ) 1.96 o sea 96

21 Ejemplo (Aplicación) La vida útil de las baterías para una lámpara se comportan normalmente con una media poblacional de 35.6 horas y una DS poblacional de 5.4 horas. Se seleccionó aleatoriamente una de dichas baterías y así estimar su tiempo útil (o vida). Cuál es la probabilidad de que la batería seleccionada tenga un tiempo útil menor que 40.0 horas? ( x 40.0 horas) = ( < ) t < 1

22 Z = 35.6 X(t) ( x 40.0 horas) = ( < ) t < 1 Además calcular ( x 40.0 horas) = ( > ) t > 1

23 Z = Encuentre el área (probabilid ad)bajo la Curva Normal a la iquierda de ( < 1. 96) ( < 1. ) 1.96 o sea 96

24 Ejemplo (Aplicación) El dispositivo de apertura automática de un paracaídas de carga se diseño para que lo abriera a m sobre el suelo. Suponga que la altura de apertura en realidad se comporta normalmente con una altura de apertura media de m y DS de 30.0 m. La carga útil se dañará si el paracaídas se abre a una altura menor que m. Cuál es la probabilidad de que se dañe la carga útil de al menos uno de 5 paracaídas lanados en forma independiente? aso #1: ( x m) = ( < ) h < 1

25 µ = x 0

26 Z = 1.96 Z = Encuentre el área(probabilidad)bajo la CurvaNormal entre ( 1.96 < < 1. ) 1.96 y 1.96 o seala 96 ( 1.96 < < ) = 2( ) =

27 Z = 1.96 Z = Encuentre el área(probabilidad)bajo la CurvaNormal entre ( 1.96 < < 1.65) = ( 1.96 < < 1. ) 1.96 y 1.65 o seala 65

28 Z =1.96 Z = Encuentre el área(probabilidad)bajo la CurvaNormal entre 1.96 y 2.05 o seala ( < < 2. 05) = = 1.96 ( < < 2. 05) 1.96

29 Cómo encontrar la puntuación que acota un área o probabilidad? Qué valor de mínimo representa el 14% superior ( top ) de una Curva Normal?

30 Z = ( > ) En la columna 1 = ( columna ( a) ) ( columna ( b) ) ( columna ( c) ) = c(cola) enontramos

31 Cómo encontrar la puntuación asociado con un percentil? Cuál valor de es asociado con el percentil 75 de una Curva Normal? 75

32 0.7500= Z = En la columna 75 1 lo = vemos = 0.67 como ( < 1 ) = ( b) enontramos (mejor aprox. a 0.25) ( columna ( a) ) ( columna ( b) ) ( columna ( c) )

33 Cómo encontrar las puntuaciones acotan un área o probabilidad central de una Curva Normal? Qué valores de acotan el 95% medio de una Curva Normal?

34 Z = Z = 95% ( 1 < < 0) = , ( 0 < < 2 ) = ( b) enontramos = 1.96 ( columna ( a) ) ( columna ( b) ) ( columna ( c) ) En la columna i i = = ± 1.96 =

35 Ejemplo (Aplicación) Considere que los cocientes de inteligencia o IQ para los sujetos se comportan normalmente, con una media poblacional de y D.S. poblacional de Si un sujeto se selecciona aleatoriamente, cuál es la probabilidad de que su IQ esté entre y 115.0? (100.0<X(IQ)<115.0? Además calcular la probabilidad de que el sujeto seleccionado aleatoriamente tenga un IQ mayor que Qué porcentaje de los IQ están bajo 90? Calcular el percentil 33 correspondiente a un sujeto

36 Notación ( α), ( 1 α) Calcular las probabilidades asociadas: 1. (0.05) 2. (0.90) 3. (0.95) 4. (0.9750) 5. (0.01) 6. (0.025) 7. (0.005) 8. (0.001)

37 Aplicaciones 1. ara un grupo pacientes adultos del Hospital XYZ con una edad particular, la distribución de lecturas de colesterol (mg/dl) se distribuye normalmente con una media poblacional igual a 210 mg/dl y una DS poblacional igual a 15 mg/dl. Qué porcentaje de la población de esos pacientes tiene lecturas que exceden de mg/dl? Qué porcentaje de esa población de pacientes tiene lecturas inferiores a 150? µ = mg / dl 0 x

38 2. Un uso clásico de la Distribución Normal se inspiró en una carta enviada a una consejera sentimental (Dear Abby) en la que una esposa aseguraba haber dado a lu 308 días después de una breve visita de su esposo, que estaba sirviendo en la Armada de Estados Unidos. Los tiempos (duración) de los embaraos se comportan normalmente con una media de días y una DS igual a 15.0 días. Dada esa información, determine la probabilidad de que un embarao dure 308 días o más. Qué sugiere el resultado? µ = x 0

39 3. Las duraciones de los embaraos se comportan normalmente con una media de 268 días y una DS igual a 15 días. Si estipulamos que un bebé es prematuro si nace al menos tres semanas antes de lo debido, entonces qué porcentaje de bebés nacen prematuramente? Esta información es importante para los administradores de los hospitales y aseguradoras, que necesitan asegurarse de que se cuente con el equipo efectivo para atender las necesidades especiales de los bebés prematuros y sus madres. 4. Las puntuaciones de IQ están distribuidas normalmente con una media de y una DS igual a XYZ es una organiación para personas con cociente intelectual elevado, y sólo acepta personas con un IQ mayor que Si se selecciona aleatoriamente a una persona, entonces determine la probabilidad de que satisfaga el requisito de XYZ. En un ciudad representativa con habitantes, cuántos son elegibles para XYZ?