Matrices y Determinantes. Un ejemplo: mezcla de fertilizantes

Transcripción

1 Matrices y Determinantes Las matrices y los determinantes son objetos matemáticos que permiten simplificar la notación convencional para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Por otra parte estos objetos matemáticos tienen múltiples usos en las ciencias sociales, experimentales y también, en la Matemática. Para introducirnos al estudio de matrices se resuelve un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, en dos formas diferentes. La primera, utilizando el método de reducción. En la segunda forma, sin escribir los símbolos para las incógnitas, se hace una analogía con la método de resolución por eliminación. Es necesario recordar que si se multiplican los términos de cada miembro de una ecuación, por número distinto de cero, se obtiene una ecuación equivalente; es decir, una ecuación que tiene las mismas soluciones que la ecuación inicial. Además, pueden sumarse, término a término, los miembros de dos ecuaciones de un sistema y se obtiene, nuevamente, otra ecuación equivalente. Un ejemplo: mezcla de fertilizantes Un proveedor de jardinería vende tres tipos de fertilizante G, G 2 y G 3. Contienen 30%, 20% y 5% de nitrógeno, respectivamente. El proveedor debe mezclarlos para obtener 600kg de fertilizante conteniendo la mezcla 25% de nitrógeno. La mezcla contiene 00kg más del tipo G 3 que del tipo G 2, cuánto kilogramos de cada tipo de fertilizante debe utilizar? Solución: Para resolver este problema se debe plantear y resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 0.3G + 0.2G G 3 = (0.25)(600) G + G 2 + G 3 = 600 G 3 = 00 + G 2 Para resolver el sistema de ecuaciones debemos transformar el sistema de ecuaciones de tal forma que en cada una de las ecuaciones contenga una sola de las incógnitas, para ello eliminaremos de cada ecuación las dos incógnitas adicionales de acuerdo a la ecuación:

2 = = = = = = = = = = = = = = = = =900 = = =60 3 = = =60 3 =60 La notación de la izquierda puede prescindir de los símbolos para las incógnitas y de los signos de igualdad, como se ve a la derecha. Para evitar utilizar decimales multiplicamos por 20 ambos miembros de la primera ecuación. Para eliminar G 3 de la primera ecuación se multiplica la tercera ecuación por 3 y se resta de la primera. Para eliminar G de la segunda ecuación se resta, de la primera, el producto de 6 por la segunda ecuación. Para eliminar G 2 de la tercera ecuación, de ésta se resta la segunda. Para obtener G 3 dividimos por -5 ambos miembros de la tercera ecuación. Para eliminar la variable G 3 de la segunda ecuación del producto de 6 por la tercera ecuación se resta la segunda. Para encontrar el valor de G 2 se multiplican por - ambos miembros la segunda ecuación

3 6 = =60 3 =60 =380 2 =60 3 =60 Para eliminar G 2 de la primera ecuación de ésta se resta el producto de 7 por la primera ecuación. Finalmente, para encontrar el valor de G dividimos por 6 ambos miembros de la primera ecuación En el proceso anterior se puede ver que simplificar la notación es de utilidad para realizar el mismo proceso que utilizamos cuando usamos símbolos para las incógnitas, vemos que la notación tanto de la derecha como a la izquierda es equivalente y vemos que: G + 0 G + 0 G = G + 0 G + 0 G = G + G + 60 G = A continuación se presentan algunos conceptos relacionados con estudio de matrices que son necesarios para afrontar la resolución de sistemas de ecuaciones lineales por métodos. Definición. Una matriz A de orden n m es un conjunto rectangular de elementos a ij dispuestos en n filas horizontales (filas) y m verticales (columnas) de la forma: A a a a a a a a a a 2 m m = n n2 nm Abreviadamente se expresa como sigue: A = (a ij ), con i =,2,..., n, j =,2,...,m. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a 25 será el elemento de la fila 2 y columna 5. Al número de renglones y columnas ( ) se le llama la dimensión de la matriz. La definición anterior nos permite observar que los arreglos de números que escribimos a la derecha cuando resolvimos el sistema de ecuaciones son simplemente matrices que ayudan de forma más simplificada a resolver el sistema de ecuaciones. 3

4 A continuación se describen las transformaciones elementales que se pueden realizar sobre las filas de una matriz, y que explica de manera importante la forma de proceder que utilizamos. Transformaciones elementales entre los elementos de filas de matrices Dada una matriz de un sistema de ecuaciones lineales, resulta una matriz de un sistema equivalente si:. Se intercambian dos filas. 2. Se multiplica o divide una fila por una constante diferente de cero. 3. Un múltiplo constante de una fila se suma a otra. Las propiedades anteriores pueden ser denotadas con la notación de la siguiente tabla: Símbolo R i R j kr i R i kr i +R j R j Significado Intercambiar las filas i y j Multiplicar la fila i por k Sumar k veces la fila i a la j Lo operaciones anteriores las pudimos observar cuando obtuvimos la solución del problema planteado originalmente. Es necesario realizar algunas definiciones adicionales que surgieron durante el proceso de resolución del problema: Definiciones básicas de matrices Una Matriz cuadrada es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m=n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n. En el problema desarrollado podemos ver una matriz cuadrada en la matriz formada por todos los coeficientes de las variables Una Matriz diagonal es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son ceros. 4

5 Podemos ver que las matrices que se obtuvieron al final de la solución del sistema de ecuaciones son matrices diagonales. Una Matriz unidad o identidad es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a Al final podemos ver que cuando se soluciona el sistema de ecuaciones la matriz relacionada con los coeficientes de las incógnitas es una matriz identidad. Una Matriz Triangular es una matriz cuadrada que tiene ceros todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos: Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos cero. Es decir, a ij = 0, i < j. Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la diagonal principal son todos ceros. Es decir, a ij = 0, j < i. Cuando se logra que la matriz asociada a un sistema de ecuaciones tenga una forma triangular la solución del sistema resulta ser muy sencilla, ya que esto representa que la primera o última incógnita se encuentre fácilmente. Y la forma triangular nos permite descubrir sin mayor problema el resto de las incógnitas. Matriz Transpuesta: Sea A una matriz con m filas y n columnas. La matriz traspuesta, denotada con A T está dada por ) =,, Vemos que la matriz transpuesta de una matriz se obtiene al intercambiar los renglones por las columnas por lo cual la matriz obtenida tiene n filas y m columnas. Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones La forma en que procedimos trabajando con las matrices en el problema de las mezclas se le conoce como el método de Gauss-Jordan que consiste en llevar a la matriz relacionada con las 5

6 variables a la forma de una matriz identidad. A continuación se describen dos métodos que utilizan las matrices relacionadas a los sistemas de ecuaciones para encontrar sus soluciones: Método de Gauss (por reducción) Dado un sistema de "m" ecuaciones con "n" incógnitas se trata de obtener un sistema equivalente cuya ª ecuación tenga n incógnitas, la segunda n-, la tercera n-2, y así sucesivamente hasta llegar a la última ecuación, que tendrá una sola incógnita. Hecho esto, resolvemos la última ecuación, a continuación la penúltima, y así hasta llegar a la primera. Es decir, el método de Gauss consiste en triangular la matriz de coeficientes. A continuación se muestra el resultado final del método de Gauss en el problema de las mezclas: = =00 = Por lo anterior podemos obtener la solución del sistema fácilmente por el método de sustitución, ya que la tercera variable se conoce directamente: =60 +60=00 =0060 = )+60= = = =360 Método de Gauss-Jordan Es una variante del método de Gauss, y resulta ser más simple al final del proceso (es el proceso que utilizamos para resolver el problema de las mezclas), ya que no es preciso despejar las variables pues la solución se obtiene directamente. Se basa en diagonalizar la matriz de coeficientes. En el caso de matrices cuadradas tenemos que este método consiste en llevar a la matriz de los coeficientes de las variables a la matriz identidad. Operaciones con matrices Es necesario definir algunas de las operaciones más importantes para operar con dos matrices: Suma de matrices: Para sumar dos matrices A y B de la misma dimensión y ello la podemos hacer como: (a ij )+(b ij )=( a ij +b ij ). 6

7 Ejemplo. Si = 4 3 y = 2 encontrar A+B Solución: + = = 7 7 Producto por un número real: Si R y A es una matriz de entonces = ). Ejemplo 2. Si = 4 encontrar -5 A. 2 3 Solución: 5 = = Multiplicación de matrices: La multiplicación de matrices es necesaria para interpretar de otra forma un sistema de ecuaciones. A continuación se hace la definición de multiplicación de Matrices: Si tenemos dos matrices A y B en donde el número de columnas de la primera matriz es igual al número de renglones, es decir la dimensión de la matriz A es y la matriz B tiene una dimensión de. El resultado del producto de estas dos matrices resulta ser de una dimensión de. A continuación se describe el procedimiento para obtener el producto de las matrices A y B. Si C=A B entonces el elemento c ij se puede encontrar con las reglas siguientes: a a a a a a a a a i m i ik im n nk nm b b j b b b b b b b k kj kr r mj mr r Para realizar la multiplicación y obtener la entrada c ij basta multiplicar el i-ésimo renglón con la j-ésima columna de la siguiente forma: i. Debemos multiplicar el primer elemento del renglón con el primer elemento de j- ésima columna, el segundo elemento del renglón con el segundo de la columna y así sucesivamente hasta llegar a los m-ésimos elementos tanto del renglón como de la columna. 7

8 ii. iii. Después de obtener todos estos productos ellos se deben sumar y de esta forma obtenemos el término c ij. Otra forma de ver la obtención de la entrada c ij del producto de dos matrices es utilizando la notación de suma: = La fórmula anterior facilita el producto de dos matrices (siempre y cuando el número de columnas en la primera matriz coincida con el número de columnas de la segunda). Ejemplo 3. Si = 2 3 y = encuentra el producto de A B Solución: = ) )+ 2) 5) ) 3)+ 2) 5) 3 = = ) )+ 3) 5) 3) 3)+ 3) 5) 8 6 Tenemos también que la definición anterior nos permite escribir un sistema de ecuaciones en forma matricial: x x2 x n X x X + x2 X x n X n x2 x22 x2n X 2 x2x + x22 X x2n X n = x x x X x X + x X + + x X n n2 nn n 2 2 n n Por lo anterior podemos ver que el sistema de ecuaciones planteado inicialmente: se puede escribir como sigue: = =600 + = = El sistema de ecuaciones escrito de esta forma recuerda una ecuación de primer grado de la forma a x=c donde a y c son números reales (a 0) y x la incógnita. Vale la pena recordar que la ecuación anterior se resuelve multiplicando en ambos lados de la ecuación por el inverso multiplicativo del número a (que es /a siempre y cuando a 0), al inverso multiplicativo de a 8

9 se le denota por a -. Recordemos que si dos números son inversos multiplicativos entonces se tiene la propiedad a(a - )= para todo a 0 y además es el número que se conoce como el neutro aditivo ya que tiene la propiedad = = para todo número a en los reales. En analogía a las propiedades de los números reales podemos observar propiedades similares para las matrices cuadradas. En primer lugar recordemos que existe una matriz identidad: 0 0 = Ella tiene la propiedad A I=I A=A para toda matriz cuadrada de dimensión 3 3. Además podemos definir la matriz inversa de A como sigue: Definición: La matriz inversa de una matriz cuadrada A de orden n, es una matriz A -, de orden n en donde se cumple que A A - = A - A=I. Donde I es la matriz identidad de orden n. Adicionalmente tenemos otras propiedades que tiene la matriz inversa de una matriz A (si existe) que se enumeran a continuación: i. Si existe, A - es única. ii. ) = iii. ) = Para encontrar la matriz inversa se puede proceder de dos formas, el primero de ellos es utilizando el método de Gauss-Jordan que es muy similar al método de Gauss Jordan para resolver un sistema de ecuaciones. Método de Gauss-Jordan para encontrar la inversa de una matriz Es posible usar la eliminación gaussiana para encontrar la inversa de matrices de orden n. Para ello se aumenta la matriz dada, digamos A con una matriz identidad escribiendo las filas de la identidad a continuación de las de nuestra matriz A. Por ello en el ejemplo de las mezclas tenemos que la matriz a la cual necesitamos encontrar una matriz inversa es: Ejemplo 4. Determinar la matriz inversa de A = 0 Solución. Debemos junto a la matriz A original escribir la matriz identidad para realizar operaciones elementales sobre ella, lo cual queda como sigue: 9

10 R R R 3R3 R R2 R R R3 R2 R R3 / 5 R3 R2 6R3 R2 R + 7R2 R R2 R2 R / 6 R

11 De lo anterior se desprende que: A = Por lo que multiplicando el sistema original en ambos lados por la matriz inversa tenemos que: G G2 = G Realizando las operaciones entre matrices obtenemos que: 7 (8)(50) ( 600) + ( 00) 5 5 G G = ( 4)(50) + ( 600) ( 00) = ( 4)( 50) + ( 600) + ( 00) G 3 Lo anterior coincide con la solución obtenida por el primer método. Se debe mencionar la posibilidad de que un sistema de ecuaciones no tenga solución pero en el caso de que la matriz inversa exista para un sistema de ecuaciones ello implica que este tiene una única solución. A continuación describiremos otro concepto que tiene que ver con la existencia de soluciones para un sistema de ecuaciones. Y adicionalmente este concepto tiene que ver con otra forma de encontrar la matriz inversa. Determinante de una matriz Dada una matriz cuadrada de orden n de elementos a ij se llama determinante de A y se simboliza A al número real que se obtiene de la siguiente manera:

12 Si A es de orden es decir A=(a ) entonces A =a. Si A es de orden 2 es decir = entonces = Si A es de orden 3 es decir = entonces A se obtiene aplicando la regla de Sarrus que se describe a continuación: = +) 2 Las flechas denotan multiplicaciones entre los números que se encuentran sobre las ellas y el signo de la esquina la operación que se realizará con ellos. Por lo anterior tenemos que: = + + Esta regla puede ser fácilmente recordada si se escribe la matriz original con los dos primeros renglones agregados en la parte de abajo de la matriz, o en su defecto se pueden agregar las dos primeras columnas a la derecha de la matriz, como lo vemos a continuación: a a2 a3 a2 a22 a a a a a a A = a a a = a a a a a a a2 a3 a a a a a a a a Observando la forma de acomodar los números se puede ver que los productos realizados en los dos casos resultan equivalentes al primero planteamiento. Para hacer el cálculo del determinante basta ver que los productos obtenidos por flechas que van hacia abajo se suman, mientras que los productos sobre flechas que apuntan hacia arriba se restan para obtener el determinante. Si A es de orden 4 o mayor la forma de obtener el determinante es bastante más engorrosa pero puede ser obtenida definiendo lo que son los menores y cofactores de una matriz (de ) +

13 hecho este procedimiento puede ser utilizado para cualquier matriz con orden mayor o igual a dos). Menores y cofactores de una matriz de orden n Sea A una matriz de orden 2, definimos el menor M ij asociado al elemento a ij de A como el determinante de la matriz que se obtiene al eliminar la fila i y la columna j de la matriz A. El cofactor c ij asociado al elemento a ij de A esta dado por: = ). Determinante de una matriz de orden superior Si A es una matriz de orden 2, entonces el determinante de la matriz A es la suma de los elementos de la primera fila (o también se puede trabajar con la primera columna) de A multiplicados por sus respectivos cofactores. = = La definición anterior nos permite encontrar fácilmente el determinante de cualquier matriz cuadrada. A continuación obtenemos el determinante de la matriz asociada a nuestro problema inicial utilizando los dos métodos descritos anteriormente. Ejemplo 5. Encontrar el A si Solución. Método De Sarrus: A = 0 = 0 = =

14 Método por menores: A = = 0.3( + ) 0.2( 0) + 0.5( 0) = = 0.25 Es necesario mencionar que la obtención del determinante de una matriz A nos da información importante sobre la misma y sobre cualquier sistema de ecuaciones relacionado con ella. Por lo que se enumeran algunas características de una matriz cuadrada A cuando A es diferente de cero: Para A existe una matriz inversa y ella es única. Si la matriz A es la matriz relacionada con las incógnitas en un sistema de ecuaciones entonces este sistema de ecuaciones tiene una solución única. A continuación describiremos un método adicional para determinar la solución de un sistema de ecuaciones y que depende de encontrar los determinantes de matrices cuadradas. Método de Cramer Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas n=m y el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. A continuación se enuncia la regla de Cramer: Si Ax=b es un sistema de ecuaciones. A es la matriz de coeficientes del sistema, x=(x,,x n ) es el vector columna de las incógnitas y b es la matriz columna de los términos independientes. Entonces las soluciones al sistema se pueden obtener de la siguiente forma: = Donde A j es la matriz que resulta de cambiar la j-ésima columna de A por la matriz columna b. Ejemplo 6. Resolvamos nuevamente el sistema de ecuaciones utilizando la regla de Cramer: = =600 + =00 4

15 Solución. Para resolver el problema de las mezclas utilizando el método de Cramer debemos calcular cuatro determinantes, el llamado determinante del sistema, así como el determinante relacionado con cada una de las variables: A = 0 = A = 00 = = A 2 A = 0 00 = = = 0 00 = = De donde podemos ver el valor de las tres incógnitas utilizando la regla de Cramer: A 95 A2 5 A3 40 G = = = 380, G2 = = = 60, G3 = = = 60 A 0.25 A 0.25 A 0.25 Finalmente aprovechando el conocimiento del manejo de los determinantes de una matriz podemos enunciar una segunda forma para obtener la matriz inversa. Para ello se necesita la obtención de la matriz de adjuntos de una matriz. 5

16 Obtención de la matriz inversa encontrando la matriz adjunta Definición. La matriz ) es la matriz de los cofactores, es decir )= donde es el cofactor asociado al término. Para encontrar la matriz inversa podemos utilizar la siguiente fórmula (con la condición de que el determinante de la matriz sea diferente de cero): = ) () Ejemplo 7. Obtener la matriz inversa de la matriz relacionada con el problema de mezclas. Solución. Para ello obtendremos los cofactores de cada entrada en la matriz A: = c = ( ) = 2, c2 = ( ) =, c3 = ( ) = c2 = ( ) = 0.35, c22 = ( ) = 0.3, c23 = ( ) = c3 = ( ) =.05, c32 = ( ) = 0.5, c33 = ( ) 0. = De donde tenemos que: 2 adj( A) = Por lo que aplicando la regla () tenemos que: A T = ( adj( A) ) = A 0.25 = Resultado que ya habíamos obtenido a través del método de eliminación gaussiana. A continuación se desarrolla un ejemplo que se resuelve utilizando un sistema de dos variables con dos incógnitas. 6

17 Ejemplo 8. En una granja se crían gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas, son 50, si las patas, son 34. Cuántos animales hay de cada clase? Solución. Es claro que para resolver el problema anterior hay que resolver el siguiente sistema de ecuaciones: + = = 34 Donde x = número de gallinas y y = número de conejos. Para resolver este problema podemos utilizar varios métodos de solución. Método de Gauss-Jordan: 50 R2 R2 2R R2 R2 / R R R De donde podemos ver que hay 33 gallinas y 7 conejos. Regla de Cramer: 50 A = = 4 2 = 2, A = = = 66, A = = = De donde tenemos que A 66 x = = = 33 y A 2 A2 34 y = = = 7. A 2 Encontrando la matriz inversa Método de Gauss-Jordan 0 R2 R2 2R R2 R2 /

18 R R R De donde podemos ver que 2 2 A = 2 Recordemos que el sistema original lo podemos escribir de la siguiente forma: x 50 = 2 4 y 34 Multiplicando en ambos lados de la igualdad por la matriz inversa tenemos que: De donde tenemos que: x 2 50 = 2 4 y (50)(2) (34) x = = = y (50)( ) Otra forma de encontrar la matriz inversa es encontrando la matriz adjunta de la matriz relacionada con las ecuaciones: Método de la matriz adjunta Para ello hay que definir los cofactores de la matriz original: c = 4, c = 2, c =, c = Con lo que podemos ver que: 4 2 adj( A) = 8

19 Por lo que ocupando la fórmula (), tenemos que: A 2 T 4 2 = [ adj( A) ] = = A Ejercicios. Encuentra la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de eliminación de Gauss-Jordan: a. b. x 2y 3z = 2 x + y + z = 6 x + 3y 2z = 3 4x y + 3 z = 6 8x + 3y 5z = 6 5x 4y = 9 5x + 2z = c. y 3z = 2 2x + y = 3 2. Resuelve los sistemas de ecuaciones planteados en el ejercicio anterior de las siguientes formas: a) encontrando la matriz inversa asociada al sistema de ecuaciones, y b) encuentra también su solución utilizando la regla de Cramer. 3. Tres soluciones contienen cierto ácido en diversos porcentajes: 0, 30 y 50 respectivamente. Un químico desea usar las tres a fin de producir una mezcla de 50 litros que contenga 32% de ácido. Si quiere utilizar el doble de la solución al 50% que de la de 30%, cuántos litros de cada solución ha de usar? Escribe el sistema de ecuaciones relacionado con el problema escribiendo el sistema en forma matricial en forma extendida y utiliza el método de eliminación gaussiana para encontrar las soluciones. 4. Una tienda se especializa en mezclas de café para exigentes. El dueño desea preparar bolsas de una libra que se vendan en $85 el kilo combinando granos de Colombia, Brasil y Kenia. El costo por kilo de estos cafés es de $00, $60 y $80, respectivamente. 9

20 El café de Colombia debe triplicar al de Brasil. Da la cantidad de cada tipo de café de la mezcla. Resuelve el sistema de ecuaciones que se plantea en este problema escribiendo el sistema en forma matricial y multiplicando en ambos lados de la igualdad por la matriz inversa de la matriz de coeficientes de las incógnitas. En los siguientes ejercicios se pide realizar operaciones con las siguientes matrices: A =, B 5 0 =, C = , D =, E = X x = x2 y Y y. = y2 y 3 5. Realiza las operaciones que se piden: a. A+B b. A B c. d. 6. Encuentra la matriz inversa de las matrices A, B y C utilizando el método de reducción gaussiana. 7. Encuentra la matriz inversa de las matrices A, B y C encontrando la matriz adjunta de cada una de ellas y utilizando la fórmula () planteada en la página Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de reducción gaussiana: a) A X=D, b) C Y=E. 9. Resuelve los sistemas de ecuaciones anteriores multiplicando por la izquierda en ambos lados por la matriz inversa de la primera matriz. 0. Resuelve los sistemas de ecuaciones anteriores utilizando el método de Cramer.. Determina la matriz inversa de A, B y C encontrando la matriz adjunta de cada una de ellas y utilizando la fórmula () de la página 5. 20

21 Bibliografía Friedberg Stephen, Insel Arnold, Spence Laurence, Álgebra Lineal Primera edición, Publicaciones Culturales, 982. Swokowski, Earl W. y Cole Jeffery A., Álgebra Trigonometría con Geometría Analítica. México, 0ª edición Thomson Learning, Páginas: Gómez Valencia Luis Hernando, Determinantes, en el curso Geometría Vectorial en la página de Internet en la Universidad de Antioquia, Colombia: consultada el 0 de abril del 200. Peña Iglesias Alfredo, Descartes 3D Matriz Adjunta en : consultada el 0 de abril del 200. Plaza Martínez Jesús, Estudio de Sistemas de Ecuaciones Lineales, en: consultada el 0 de abril del 200. Programa de estudios de la asignatura de: Matemáticas VI. Área III. ENP UNAM, 996, consultada en: el 0 de abril del 200. Unidad V Determinantes C.E.Te.C. Técnico superior en Análisis de Sistemas, Matemáticas I, en: consultada el 0 de abril del 200. Wikipedia, Matriz de adjuntos en: consultada el 0 de abril del 200. Wikipedia, Eliminación Gaussiana en: consultada el 0 de abril del 200. Wikipedia, Regla de Cramer en: consultada el 0 de abril del