1. El movimiento de un coche puede representarse mediante la siguientee gráfica.

Transcripción

1 CINEMÁTICA. 4ºESO.. El mvimient de un cche puede repreentare mediante la iguientee gráfica. a) Raznar el tip de mvimient en cada tram. b) Deducir la ecuacine del mvimient el móvil para cada un de l tram. c) Calcular el epaci recrrid pr el móvil en cada un de l tram y explica el trayect eguid pr el cche. a) Pdem repnder a la primera pregunta de d manera: () Pr la imple bervación de la gráfica, bien, () Obteniend la ecuacine crrepndiente a cada tram y cmparándla cn la que ya cncem, que e l que harem en el apartad b). En el primer tram (t=0 a t=4) pdem ver cm a medida que aumenta el tiemp va aumentand linealmente el epaci recrrid, e decir que recrre epaci iguale en tiemp iguale la velcidad e cntante el tram crrepnde a un mvimient unifrme. Ademá pdem ver cm en el mment t=0, =0, e decir que inicialmente etá en el rigen y que al final del tram t=4 ha recrrid m. En el egund tram (t=4 a t=8) pdem ver que el móvil iempre etá en la mima pición (a m) pr tant e encuentra en rep. En el tercer tram (t=8 a t=0) vem cm inicialmente etá en la pición =m y que a medida que paa el tiemp la ditancia al rigen e hace cada vez má pequeña hacere nula la velcidadd e cntante, per ahra e mueve en dirección pueta el tram crrepnde a un mvimient unifrme. b) La ecuación general de una recta e y = mx + n, dnde n repreenta la rdenada en el rigen (punt de crte cn el eje Y). La m repreenta la pendiente de la recta (tangente del ángul que frma cn el eje X ). En ete ca la recta tienen de ecuación v = mt + n La recta crta al eje de rdenada en el punt 0 n=0 La pendiente e btiene a partir de un triángul rectángul cualquiera, pr ejempl el que etá en naranja, dividiend el catet puet al ángul entre el catet cntigu: m= /4 =3 La ecuación de la recta e: = 3 t

2 Cmparand la ecuación btenida cn la ecuación general del epaci de un mvimient unifrme: = +v t pdem cncluir que en ete tram =0 y que v = 3 m/. Cn et, la ecuacine durante el primer tram n: a = 0 v = 3 = 3 t En el egund tram la recta e una paralela al eje, que l crta en =, que pr tant e u ecuación. Puet que la pición durante ete tram n depende del tiemp el móvil etá en rep. En el tercer tram la recta crta al eje de rdenada en el punt, pr tant n=. La pendiente de la recta e m = /( ) = 6 La ecuación de la recta e: = 6 t Cmparand la ecuación btenida cn la ecuación general del epaci de un mvimient unifrme: = +v t pdem cncluir que en ete tram =m y que v = 6 m/. Cn et la ecuacine durante el tercer tram n: a = 0 v = 6 = 6 t c) El epaci recrrid en cada un de l tram puede leere directamente en el eje de rdenada de la gráfica, que crrepnde al epaci puede calculare cn la ecuacine: Tram = 3 t = 3 4 = t = 4 m Tram Tram 3 rep = 6 t (*) = 6 = m t= (*) Para calcular el epaci recrrid en un tram cncret e uprime el epaci inicial, prque de l cntrari btendríam la pición repect al cmienz del mvimient. El ign men que e btienee indica que ha recrrid metr hacia la izquierda. El epaci ttal recrrid e la uma de l valre ablut: Ttal = = 4 m Sumand cn l ign btendríam la pición final.

3 Explicación del trayect eguid: El móvil inicialmente e mueve hacia la derecha cn velcidad cntante de 3 m/ y recrre m. A cntinuación etá parad durante 4 egund Pr últim e mueve en entid cntrari cn velcidad de 6 m/ y recrre tr metr en entid puet, pr l que finalmente el móvil termina en el punt de partida.. Para etudiar el mvimient de un móvil e ha medid el tiemp que, partiend del rep, tarda en recrrer diferente epaci, recgiénde l reultad en la iguiente tabla: epaci tiemp 0 m 0,00 m,5 m,63 3 m,00 4 m,3 5 m,58 a) Repreentar gráficamente el epaci en función del tiemp y a partir de la gráfica btenida raznar el tip de mvimient que tiene el móvil. b) A partir de l dat btenid ecribe la ecuacine del mvimient del móvil. c) Calcula la velcidad que tendría depué de 5 egund. d) Calcula el epaci que recrrería en 5 egund. a) La curva btenida crrepnde a una parábla, l que quiere decir que el epaci e una función del tiemp al cuadrad el mvimient e acelerad A la mima cncluión llegam bervad l dat, dnde pdem ver que cada vez tarda men tiemp en recrrer el iguiente metr la velcidad e cada vez mayr el mvimient e acelerad. b) Al tratare de un mvimient acelerad pdem ecribir la iguiente ecuacine generale: a = cte v = v + a t = + v t + ½ a t Teniend en cuenta que nuetr móvil parte del rep (prque n l dice el enunciad) y que el epaci inicial e cer (prque en l dat para t=0, =0), pdem ecribir que: a = cte v = a t = ½ a t

4 Únicamente n falta calcular el valr de la aceleración para particularizar la ecuacine al ca de nuetr móvil. Para e n tenem má que fijarn en un punt cualquiera de la gráfica, preferiblemente que tenga valre cncid en l eje, cm e el ca del punt en rj, para el que =3m tiene t=. Sutituyend en la ecuación del epaci: = ½ a t 3 = ½ a a = 6/4 =,5 m/.. Pr tant la ecuacine cncreta del móvil n: a =,5 v =,5 t = 0,75 t c) La velcidad para t=5 e: v =,5*5 = 7,5 m/ d) El epaci para t=5 e: = 0,75*5 = 8,75 m 3. Se lanza un cuerp verticalmente hacia abaj cn una velcidad inicial de 7 m/. a) Cuál erá u velcidad depué de haber decendid 3?. b) Qué ditancia habrá decendid en e 3?. c) Cuál erá u velcidad depué de haber decendid 4 m?. d) Si el cuerp e lanzó dede una altura de 00 m, en cuánt tiemp alcanzará el uel?. e) Cn qué velcidad l hará?. Siempre que en un mvimient exita aceleración cntante e trata de mvimient unifrmemente acelerad (MUA). N imprta i e mueve bre una trayectria recta una trayectria circular de cualquier tra frma. En ete ca, e trata de un mvimient rectilíne (prque cae en línea recta y u trayectria e rectilínea) y unifrmemente acelerad prque la aceleración e cntante. La de la gravedad, que vale 0 m/. Siempre la fórmula n la mima y l hay tre, únicamente 3, que n: a = cte # 0 v = v + a. t = + v t + a t Cn ea ecuacine e pueden relver td l ejercici que e pueden preentar, pr muy difícile que ean. Sin embarg, dependiend de l dat, alguna vece e má encill utilizar tra ecuación, que n e una ecuación nueva, in que e una cmbinación lineal de eta que e btiene eliminand el tiemp entre ella.: v = v + a Eta ecuación, cm ya hem dich, n e necearia per a vece ayuda a que la peracine ean má encilla.

5 El iguiente pa, muy imprtante, elegir un itema de referencia (el que quiera). L má encill iempre e tmar el centr del itema de referencia en el lugar dnde cmienza el mvimient y cn un de l eje en la dirección del mvimient. En ee ca el centr del itema de referencia erá arriba de ea trre de ee acantilad dede dnde e tiró la piedra: Fíjate en d ca muy imprtante, y en la que a menud nunca repara: Hem cread un itema de referencia centrad en el lugar del dipar prque de ea frma el epaci inicial e cer. Hem aignad entid pitiv al entid en que e va a mver la piedra. (pdría habere elegid de tra frma y e n cambia la lucine del prblema.) En ee itema de referencia l que va hacia abaj l tmarem cm pitiv y l que va hacia arriba negativ, aí que la velcidad inicial erá +7 m/ y la aceleración +0 m/. La ecuacine de un mvimient unifrmemente acelerad n: v = v + a. t v = 7 + 0*t v = 7 +0*t = v t + a t Eta n la ecuacine de td l mvimient unifrmemente acelerad = 7 t + 0 t = 7 t + 5 t Eta n la ecuacine de ete mvimient en cncret. Si le dam un valr al tiemp btiene l que vale la velcidad y el epaci en ee intante. Y al cntrari, i le dam un valr a la velcidad al epaci pdrem depejar el tiemp que neceita para tener ea velcidad recrrer ee epaci. Vuelve a fíjate que tant la ecuación de la velcidad cm la del epaci n dicen l que valen en cada mment. N hay má que darle un valr a t para aber u velcidad en ee mment y el epaci recrrid en ee tiemp.

6 Y al cntrari, i le dam un valr a la velcidad al epaci pdrem deducir el tiemp que tarda en alcanzar ea velcidad el que tarda en etar en ea pición. a) Si e lanza una piedra cn una velcidad inicial de 7 m/, Cuál erá u velcidad depué de haber decendid 3?. Cm ya hem dich, una vez que abem la ecuación de la velcidad bata cn dar un valr al tiemp para cncer la velcidad en ee intante: v = 7 +0*t v = 7 +0*3 = 37 m/ b) Y l mim para cncer el epaci recrrid en un tiemp dad: = 7 t + 5 t = = 66 m Vam a relver el mim ejercici per dede tr itema de referencia y verá cm l reultad n l mim. Ahra vam a elegir un SR centrad en el lugar del dipar (que e l nrmal) per el valr pitiv va a er hacia arriba, cm e nrmal en l eje carteian: de acuerd a ee SR la velcidad inicial erá 7 m/ y la aceleración 0 m/. La ecuacine de un mvimient unifrmemente acelerad n: v = v + a. t v = 7 0*t v = 7 0*t = v t + a t = 7 t + ( 0) t = 7 t 5 t y la velcidad y el epaci a l 3 egund ería: v = 7 0*t v = 7 0*3 = 37 m/ = 7 t 5 t = = 66 m Quiere decir que la velcidad vale 37 m/ y el ign men n indica que de acuerd al SR elegid va hacia abaj. Que el epaci reulta 66m quiere decir que trancurrid 3 egund el móvil ha recrrid 66m, y etá en la pición (0, 66) del SR

7 c) Cuál erá u velcidad depué de haber decendid 4 m?. E cai igual. Simplemente ahra primer calculam el tiemp que tarda en recrrer 4m y lueg, igual que ante, calculam el valr de la velcidad en ee intante: = 7 t + 5 t 4 = 7 t + 5 t t =,4 eg El tr valr del tiemp n vale prque e negativ. Ahra que abe l que tarda en recrrer e 3 metr, pdem calcular la velcidad que tendrá utituyend en la primera ecuación: v = 7 + 0*t v = 7 + 0*,4 = 8,4 m/ Fíjate cm hem reuelt el apartad cn la d única fórmula de iempre, per para e ha id neceari relver un itema de ecuacine. Cuand te curra e, i n quiere hacerl acuérdate entnce de ea tercera fórmula que te dije, que auque cm ve n e imprecindible, per í que te ayuda a hacerl má fácil. Verá: v = v + a = ,4 m/ = d) Se lanza un cuerp verticalmente hacia abaj cn una velcidad inicial de 7 m/ dede una altura de 00 m, en cuánt tiemp alcanzará el uel?. Pue exactamente igual, prque e trata de aber qué tiemp tarda en recrrer 00m: = 7 t + 5 t 00 = 7 t + 5 t t = 5,663 eg e) Cn que velcidad llega al uel?. E cm decir que velcidad tiene depué de recrrer 00m, que ya abem que para ell tarda 5,663 eg, aí que de la primera ecuación: v = t v = ,663 = 63,63 m/ También pdía haberl hech cn ea tercera fórmula: v = v + a = ,63 m/ = y ahra que abe la velcidad cn que llega al uel pdría calcular el tiemp que tarda en caer aplicand la primera ecuación: v = t 63,63 = ,63 7 t t = = 5, 663eg 0

8 4. Se lanza una pelta dede l alt de una trre de 0 m de altura cn una velcidad hacia arriba de 5 m/. Calcular: a) Qué velcidad tendrá al cab de eg? Y al cab de 3 eg? b) Qué epaci habrá recrrid al cab de eg? Y al cab de 3 eg? c) La altura máxima que alcanza y el intante en que curre d) El tiemp que tarda en llegar al uel e) La velcidad cn que llega al uel. Ya abe que l primer e elegir el itema de referencia y que puede elegir el que quiera, per iempre el má encill e un que tenga el centr en el lugar del dipar y que tenga un de l eje en la dirección del mvimient, pr ejempl cm el iguiente: en ee itema de referencia l que va hacia arriba l tmarem cm pitiv y l que va hacia abaj negativ, aí que la velcidad inicial erá v = +5m/ y la aceleración a= 0m/. La ecuacine de un mvimient unifrmemente acelerad n: v = v + a. t v = 5 0*t v = 5 0 t = v t + a t Ecuacine del MUA = 5* t + *(-0)* t = 5 t 5 t Ecuacine de ete mvimient cncret a) Para calcular el valr de la velcidad en un mment determinad n hay má que utituir t pr u valr en la ecuación de la velcidad: v t = 5 0 = 5 m/ = = = 5 m/ v t = 3 Oberva que para t= la velcidad e +5m/, e quiere decir que en ee mment vale 5m/ y que va hacia arriba. En el mment t=3 la velcidad vale 5m/ y ee ign men de acuerd a nuetr RS quiere decir va hacia abaj. Fíjate bien en la ecuación de la velcidad de ete mvimient cncret v = 5 0*t

9 Cm puede ver, i le dam valre pequeñit al tiemp, la velcidad reulta pitiva. E quiere decir que etá ubiend (recuerda que en el itema de referencia e pitiv l que va hacia arriba). E l que hace la piedra al principi: ubir. Hay un valr del tiemp, para el que la velcidad e hace cer. Ee valr crrepnde al mment en que ha alcanzad la altura máxima y ahí etá parad. Si le dam un valr al tiemp mayr, entnce la velcidad e hace negativa y el ign men indica que ahra etá bajand b) Para calcular el valr del epaci recrrid en un mment determinad n hay má que utituir t pr u valr en la ecuación del epaci: = 5 5 = 0m t = = m = t = 3 Oberva que el epaci cincide cn la crdenada Y del SR, e decir que n da u pición en ee mment. En el mment t= a 0m y en el mment t= etá tra vez en la pición de partida. c) La altura máxima que alcanza y el intante en que curre. Para calcularla recuerda que la velcidad v = 5 0*t e va haciend cada vez menr hata llegar a cer y lueg cmienza a tmar valre negativ indicand que va hacia abaj. Obviamente la altura máxima la alcanzará jut en el mment en que v=0, pr tant: v = 5 0 t = 0 t =,5 eg para ee valr del tiemp, el epaci recrrid, que erá la altura máxima repect de nuetr SR, erá: t=,5 = 5,5 5,5 =,5m d) El tiemp que tarda en llegar al uel e el tiemp neceari para que el epaci ea = 0m, ya que i berva el dibuj en nuetr SR el uel tiene crdenada Y= 0. = 5 t 5 t = 0 t = 4 eg e) La velcidad cn que llega al uel e la velcidad que tendrá para t=4 v t = 4 = = 5 m/ El ign men indica que en el mment de llegar al uel e mvía hacia abaj. Obvi.

10 5. Se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil cn una velcidad de 40m/eg. a) Hallar qué velcidad lleva a l tre egund. b) Cuánt tardaría la piedra en llegar al punt má alt y cuant vale la altura máxima que alcanza? a) Ya abe que l primer e elegir el itema de referencia y que puede elegir el que quiera, per iempre el má encill e un que tenga el centr en el lugar del dipar y que tenga un de l eje en la dirección del mvimient, pr ejempl cm el iguiente: en ee itema de referencia l que va hacia arriba l tmarem cm pitiv y l que va hacia abaj negativ, aí que la velcidad inicial erá +40m/ y la aceleración 9,8m/. La ecuacine de un mvimient unifrmemente acelerad n: v = v + a. t v = 40 9,8*t v = 40 9,8*t = v t + a t = 40* t + *(-9,8)* t = 40* t 4,9* t * A l tre egund, e decir en el mment t=3eg, pue n tiene ma que utituir ee valr del tiemp en la ecuacine y btendrá el valr de la velcidad y el epaci que habrá recrrid en ee tiemp: v = 40 9,8*t = 40* t 4,9* t v = 40 9,8*3 = 0,6 m/ = 40*3 4,9*3 = 75,9 m

11 b) Cuánt tardaría la piedra en llegar al punt má alt y cuant vale la altura máxima que alcanza? Pue cm hem quedad, en el punt má alt la velcidad vale cer, aí que: 40 v = 40 9,8*t 0 = 40 9,8*t t = = 4,08eg 9,8 y ahra utituyend ee valr de tiemp en la ecuación del epaci btendrem el epaci que ha recrrid que n e má que la altura ubida = 40* t 4,9 * t = 40 * 4,08 4,9 * 4,08 = 8,63 m

12 6. Dede un acantilad de 00m de altura e lanza verticalmente y hacia arriba un bjet cn una velcidad de 40m/eg. Hallar cuánt tarda en llegar al uel dede el mment del lanzamient. Tmam un itema de referencia centrad en el lugar dede dnde e dipara, cm el de la figura: Fíjate que en ee itema de referencia el punt del uel tiene crdenada Y = 00 m, aí que lamente tiene que ecribir la ecuacine del mvimient para ea piedra y te acuerda? i le dam un valr al tiemp n dan la velcidad y el epaci para ee tiemp. Y l mim, i le dam una valr la velcidad al epaci, n dan el tiemp que tarda en adquirir ea velcidad recrrer ee epaci. v = v + a. t v = 40 9,8*t v = 40 9,8*t = v t + a t = 40* t + *(-9,8)* t = 40* t 4,9* t Ahra e trata de calcular el tiemp neceari para que el epaci ea = 00 m. ( el ign men e cnecuencia del itema de referencia, de que etá pr debaj del punt del dipar.) Aí que: 40* t 4,9* t = 00 = 40* t 4,9* t y de ahí e depeja el valr del tiemp, que reulta t = 0,7 eg. (hay tr valr t= eg que n vale y crrepndería al ca de que en lugar de lanzar la piedra hacia arriba la hubiéem tirad hacia abaj)

13 7. Lanzam hacia arriba un bjet cn una velcidad de 0 m/. a) Calcular el tiemp que tarda en encntrare a 5 metr bre la pición inicial. b) Interpreta el reultad btenid. Dat: g= 0 m/ a) Elegim un SR centrad en el lugar del dipar. En ee SR la ecuacine del bjet, que tiene un mvimient unifrmemente acelerad pr etar metid a la aceleración de la gravedad, n: v = v + a. t v = 0 0*t v = 0 0*t = v t + a t = 0* t + *(-0)* t = 0* t 5* t Sutituyend en la ecuación del epaci =5 pdem btener el tiemp que tarda en alcanzar ea pición: = 0 t 5 t 5 = 0 t 5 t Relviend ea ecuación de egund grad 5t 0t + 5 = 0 cn la fórmula: b ± b 4a c 0 ± ( 0) ± ( 0) t = = = a 5 5 Obtenem d valre para el tiemp: t=0,7 y t=3,73 0 ± 7,3 = 0 b) Interpretación: L d valre btenid para el tiemp n crrect y amb crrepnden al tiemp neceari para que el bjet eté a 5m de altura bre el lugar del dipar: El valr má pequeñ e el tiemp que tarda en llegar y el mayr crrepnde al tiemp que tarda en vlver a etar en la mima pición, depué de que haya alcanzad la altura máxima.

14 8. Un cche lleva una velcidad de 0 m/. De repente frena cn una aceleración de 4 m/, calcular: a) El tiemp que tarda en parare. b) El epaci que el cche recrre ante de detenere. Elegim un SR centrad en el lugar dnde cmienza a frenar, cm el de la figura, dnde hem dibujad la aceleración en entid cntrari a la velcidad pr tratare de un mvimient de frenad. En ee itema de referencia el punt en que e detiene el cche crrepnde cn el epaci que ha recrrid durante el frenad, e decir que en el mment en que v=0 el epaci recrrid para ee tiemp e igual al epaci de frenad. La ecuacine del mvimient del cche n: v = v + a. t v = 0 4*t v = 0 4*t = v t + a t = 0* t + *(-4)* t = 0* t * t. Ahra e trata de calcular el tiemp neceari para que el que la velcidad e hace cer: v = 0 4*t 0 = 0 4*t t = 5. Ahra n hay má que utituir ee tiemp en la ecuación del epaci para aber el epaci que recrre hata parare: = 0* t * t = 0*5 * 5 = t= 5,56 50 m Oberva el epaci tan grande que neceita un cche para detenere, pr l que e muy imprtante mantener la ditancia de eguridad que acneja la DGT. En realidad la ditancia de frenad e aún mayr, ya que en ete ca n hem tenid en cuenta el tiemp de reacción del cnductr que uele etar entre 0,5 y egund. (En egund un cche a 0 m/, bviamente, recrre 0 m que habría que umar a l 50m calculad.)

15 9. Un cche lleva una velcidad de 0 m/ (7km/h) cuand frena brucamente. Si depué de frenar recrre 50 ante de parare, calcular: a) El tiemp de frenad. b) La aceleración cn que ha frenad. Obviamente e trata del mim ejercici que hem reuelt anterirmente, l que en ete ca cncem el epaci que recrre hata parare y decncem el valr de la aceleración. Elegim el mim SR y aunque hem dibujad la aceleración en entid cntrari a la velcidad, pr tratare de un frenad, má adelante cnfirmarem ea upición al btener para la aceleración un valr negativ. La ecuacine del mvimient del cche n: v = v + a. t = vt + a t v = 0 + a*t = 0* t + *a * t En ete ca, pr l prnt, n pdem terminar de cncretar la ecuacine del mvimient, in embarg cncer la velcidad y el epaci en un mment cncret n va a permitir calcular el valr de la aceleración y pder ecribir la ecuacine del mvimient: Teniend en cuenta que en el mment en que v=0 el epaci recrrid e =50m, pdem pner: 0 = 0 + a t 50 = 0 t + a t Tenem un itema de d ecuacine cn d incógnita, cuya lucine n a= 4m/ y t=5 Para relver el itema de ecuacine depejam la aceleración de la primera ecuación (a= 0/t) y ahra utituim en la egunda ecuación: 0 t = (- ) t implificand 50 0t 0t 50 0 t + = 50 = 0t t=5 eg 0 0 Sutituyend el valr del tiemp en la expreión de la aceleración: a = = = 4 m/ t 5

16 0. Se lanza verticalmente y hacia arriba un bjet cn una velcidad de 50m/eg. Hallar el tiemp que trancurre dede el lanzamient hata caer bre un edifici de 30m de altura. Harem cm iempre. Depué de elegir un itema de referencia centrad en el lugar del dipar ecribim la ecuacine de ee mvimient: v = v + a. t v = 50 9,8*t v = 50 9,8*t = v t + a t = 50* t + *(-9,8)* t = 50*t 4,9*t Ahra fíjate que cuand caiga bre el edifici el epaci, en ete itema de referencia, vale = +30 m. Aí que n hay má que igualar la ecuación del epaci a 30 y calcular el valr de tiemp. (Pr ciert que ahra btendrem d valre buen para el tiemp abe el ignificad de cada un? Piena que pr ee punt paa d vece.) 50* t 4,9* t = 30 = 50* t 4,9 * t y de ahí e depeja el valr del tiemp, que reulta t = 9,56 y t = 0,63 El primer valr crrepnde al tiemp que la piedra tarda en ubir y etar a una altura de 30m y el egund valr (que e mayr) e el tiemp que tarda en etar de nuev en la mima pición, per depué de haber ubid hata l má alt y vuelt. Fíjate bien en la palabra: Si te preguntaen Cuánt tiemp tarda en alcanzar una altura de 30m? la repueta ería 0,63eg. Per l que te preguntan e cuant tiemp tarda en caer bre el edifici, aí que e entiende que primer ube y lueg cae a la vuelta y pr tant la lución que debe dar e: t=9,56 eg.

17 . Un tractr e mueve cn velcidad cntante y la rueda traera, que tienen m de diámetr, dan 9 vuelta cada minut. a) Calcular la velcidad angular de la rueda traera en unidade internacinale. b) Calcular la velcidad lineal del tractr. c) Imagina que en una rueda traera e ha incrutad una piedra y el cnductr ecucha el ruid que hace al glpear el uel cada vez que la rueda da una vuelta. Cuánt glpe ecucharía en 0 egund? d) Cuál erá la velcidad lineal y la velcidad angular de la rueda delantera, abiend que tienen 60 cm de diámetr. vuelta π rad a) ω = 9 = 9 = 0rad / eg min. 60 eg b) v = ω R v = 0*0,5 = 0 m/ c) La frecuencia e el númer de vuelta que da en egund. Pr tant l glpe (vuelta) que dará en 0 egund erá igual a 0 vece la frecuencia. π ω = = π f 0 = *π*f f = 3,8 Hz T La vuelta que la rueda dará en 0 eg (glpe que ecuchará en 0 eg) = 3,8 glpe d) La rueda delantera y la rueda traera tienen la mima velcidad lineal, ya que amba recrren el mim epaci en el mim tiemp (a men que e dearme el tractr), pr tant: v r.traera = v r.delantera = 0 m/ Sin embarg, la rueda delantera al tener ditint radi tendrá ditinta velcidad angular: v = ω R 0 = ω r.delantera *0,3 ω r.delantera = 33,3 rad/

18 AMPLIACIÓN. Un bervadr ituad a 40 m de altura ve paar un cuerp hacia arriba cn una cierta velcidad y al cab de 0 l ve paar hacia abaj, cn una velcidad igual en módul per de ditint entid. a) Cuál fue la velcidad inicial del móvil?. b) Cuál fue la altura máxima alcanzada?. a) Tmam el SR centrad en el lugar del dipar. E cm i el bervadr etuviee en el uel y lanzara el cuerp hacia arriba cn una velcidad inicial de v y depué t egund ha ubid 40 m y tiene una velcidad +v B. Depué de llegar al punt má alt vuelve a bajar y 0 egund má tarde paa pr el mim punt cn una velcidad vb (men prque ahra va para abaj). Aplicand la ecuacine del mvimient cuand etá a 40 metr de altura tendrem: Para t=t etá ubiend v B = v 0 t 40 Para t=t+0 etá bajand v = v 0 (t 0) = vt 0t t=0,7446; v =57,44m/; v B =50m/ B + b) La altura máxima e el epaci recrrid en el mment en que v=0, pr tant: 0 = 57,44 t h.máx =5,744 h.máx =57,44*5,774 5(5,744) =65m 0t h.máx Otra frma alternativa de raznarl: Igual que ante, tmam el SR centrad en el lugar del dipar. También, igual que ante, llamarem a la velcidad v =v A, a la velcidad que tiene depué de ubir 40 m la llamarem v B Puet que n hem cambiad de SR la ecuacine del mvimient n mima: v = v 0*t = v t 5 t

19 a) Cuand la piedra paa delante del bervadr lleva una velcidad + v B. Cm tarda 0eg en vlver a paar delante de él quiere decir, i n hay rzamient, que ha tardad 5 egund en llegar al punt má alt y tr 5 en vlver. Pdem calcular la velcidad del cuerp al paar pr el bervadr (punt B) teniend en cuenta que ería exactamente igual que i e lanzara una piedra dede el punt B cn una cierta velcidad inicial v B y etuviee ubiend 5 eg hata parare, pr tant: v = v 0. t 0 = v B 0*5 v B = 0*5 = 50 m/ b) El epaci que ha recrrid en e 5 egund, que e la altura medida dede el punt B e: = vt 5t = = 5m Si mira en la figura verá que en nuetr SR la altura alcanzada pr la piedra ería: h = 5m + 40m = 65 metr Per aun n hem terminad, prque en el apartad a) l que preguntan n e cn qué velcidad ve paar el bervadr la piedra (ea ería 50 m/) in l que preguntan e cn qué velcidad inicial e lanzó la piedra. La piedra e lanzó dede el uel (punt A). Sabem que cuand va pr el punt B (e decir depué de ubir 40m) tiene una velcidad v B = 50 m/, aí e que aplicand la ecuación de la velcidad entre el punt A y el B (recuerda que la velcidad en el punt A e la velcidad inicial v y la del punt B e 50 m/) tendrem que: v = v 0. t 50 = v 0*t AB = v t 5 t 40 = 0 t 5 AB t AB depejand el tiemp de la egunda ecuación y utituyend en la primera puede calculare la velcidad inicial cn que e tiró la piedra (la que tenía en el punt A). Per i te acuerda, para evitar relver el itema de ecuacine pdem utilizar ea tercera ecuación, aí que ería má fácil: v = v + a 50 = v + ( 0) 40 v = 3300 = 57,44m / ea e la velcidad inicial cn que debe lanzare la piedra para que depué de ubir 40m pae delante del bervadr cn una velcidad de 50 m/ y tdavía cntinúe ubiend durante 5 egund má hata parare y vuelva para abaj.

20 3. Para averiguar la prfundidad de un pz, dejam caer una piedra y ím el ruid del impact cntra el agua,06 egund depué. Qué prfundidad tiene el pz, i e upne para el nid una velcidad de prpagación de 330 m/? g = 0 m. El tiemp que tardarem en ír el ruid erá el que la piedra tarda en caer pr efect de la gravedad (t ) (mvimient unifrmemente acelerad) má el que el nid tarde en ubir (t ) (mvimient unifrme): = gt = v t t = t = g v utituyend: de dnde reulta que =0 metr teniend en cuenta que el tiemp dede que dejam caer la piedra hata que ecucham el nid e,06 eg: + t, =,06 t = 4. D cuerp A y B eparad una ditancia de Km, alen imultáneamente y e mueven en la mima dirección, amb cn mvimient rectilíne unifrmemente variad, iend la aceleración de B (el má lent) de 0,3 m/.el encuentr e realiza a 3 05 Km del punt de partida de B. Se pide: a) tiemp invertid pr amb móvile b) aceleración de A c) la velcidad de amb en el mment del encuentr. a) En el SR de la figura amb cche parten del rep y deben recrrer cn MRUA exactamente el mim epaci ( m) en el mim tiemp hata encntrare, l que paa e que el cche B en el mment inicial ya tiene recrrid un epaci inicial 0B =000m

21 Ecuacine del cche A v = A a At A = a At Ecuacine del cche B v B = a Bt B = a Bt a) En el mment en que e encuentren A = B =505 m. Sutituyend en la ecuación del epaci de cualquiera de l cche pdem btener el tiemp. L harem al cche B prque de él abem la aceleración: + a B = 000 B t = 0,3t t = 37,5 eg b) Ahra que abem el tiemp en encntrare, utituim en la ecuación del epaci del cche A: A = a At 505 = a A (37,5) a A = 0,53 m/ c) v A = a. A t = = m/ v B = a. B t = = 44 m/ 5. Dede l alt de una trre e dejan caer libremente d pequeña piedra cn un interval de 3. Se mantendrá cntante la ditancia entre ella durante la caída? Llamam A a la piedra que lanzam primer y B a la que lanzam 3eg depué. A erá el epaci que recrre la piedra A durante el tiemp que ete cayend: t A =t+3. B e el epaci que recrre la piedra B durante el tiemp que eté cayend: t B = t d = A B = + B = g t A = g (t 3) g (t + 3) g t = g (3 t + 4 5) N e mantiene la ditancia, puet que depende del tiemp: d = f (t). Ademá, cm puede ver, la ditancia que epara la piedra e hace cada vez mayr.

22 6. Un cuerp que e mueve en caída libre recrre en el últim egund de u caída la mitad del camin ttal. Calcula: a) la duración ttal de la caída. b) la altura h dede la que cayó Vam a dividir la caída en d tram iguale. Cm en recrrer la egunda mitad tarda eg., en la primera mitad tardará el tiemp ttal men eg, e decir que t =t Pr tr lad, fíjate que la velcidad inicial del primer tram e cer, mientra que la velcidad inicial del egund tram e igual a la final del primer tram, e decir = gt = g(t ) v = g(t ) = v t + g t = g(t ) + g = g t g + g = (gt g) m cm y n iguale: g(t g 5.t 0 t + 5 = 0 t 5 ) =.t g de dnde tenem que 5 t 0 t + 0 = 0 y la lución e t = 3 4 eg (0 586 n vale) b) Para calcular la altura n hay má que tener en cuenta que en recrrer h tarda 3,4 eg: h = g t = 9 8 m/.3 4 = 58 m aunque también e pdría utituir en el epaci de cualquiera de l tram en l que habíam dividid el mvimient: h = h =. g(t ) = g(t + t) = 58, m h = ( gt g) = g t g =. 9,8. 3,4 9,8 = 58, m

23 7. En una bicicleta, que tiene una rueda de 30 cm de radi, la cadena etá en el plat de 0 cm y en el piñón de 4 cm de radi. El ciclita pedalea dand 0,8 vuelta de pedal cada egund. Calcular: a) La velcidad angular del plat en unidade internacinale. b) La velcidad lineal de l diente del plat. c) La velcidad angular de l diente del piñón. d) La velcidad de la bicicleta. Obervacine: En la bicicleta l pedale n lidari al plat y, pr tant, amb giran cn la mima velcidad angular. La cadena arratra imultáneamente al plat y al piñón, haciend que l diente de amb recrran el mim epaci en el mim tiemp, pr tant, l diente de amb dic tienen la mima velcidad lineal. El piñón e lidari cn la rueda traera y, pr tant, amb giran cn la mima velcidad angular. vuelta π rad a) ω Plat = ωpedale = 0,8 = 0,8 = 5 rad / eg eg eg b) v Plat = ω Plat R Plat v Plat = 5*0,0 = 0,5 m/ c) Cm l diente del plat y del piñón tienen la mima velcidad lineal. v Piñón = v Plat = 0,5 m/ v Piñón = ω Piñón R Piñón 0,5 = ω Piñón *0,04 ω Piñón = 0,5/0,04 =,5 rad/ d) Cm la rueda e lidaria al piñón, amb tienen la mima velcidad angular: ω Rueda = ω Piñón =,5 rad/ v Rueda = ω Rueda R Rueda v Rueda =,5*0,30 = 3,75 m/ (3,5 Km/h)

24 Un tren que va a 50 Km/h debe reducir u velcidad a 5 Km/h ante de paar pr un puente. Si realiza la peración en 4 egund, Qué epaci ha recrrid en ee tiemp? Cuánt tardará en cruzar el puente, que tiene una lngitud de 00m? Primer iempre hay que pner tda la unidade en el itema internacinal, e decir, la velcidade hay que exprearla en m/: v = 50 Km/h = 3,89 m/; v f = 5 Km/h = 6,96 m/ Segund hay que leer bien el enunciad y lueg e vuelve a leer y aí hata cmprenderl. Te dará cuenta de que el tren frena durante 4 egund para aminrar u velcidad (quiere decir que durante 4 egund tiene un MRUA). Lueg cntinúa cn la velcidad de 5 Km/h (e decir, que depué de e 4 tiene un MRU) y cn ea velcidad e cn la que cruza el puente. Ahra hay que elegir un itema de referencia, aignar l ign y antar en él la magnitude que intervienen. Oberva que la aceleración la hem dibujad en entid cntrari a la velcidad, cm crrepnde a un frenad (Quiere decir que cuand btengam u valr debería alirn negativ.) a) Durante el primer tram, al tratare de un MRUA, utilizam la ecuacine: v = v + a t 6,94 = 3,89 + a*4 a =,74 m/ = v t + ½ a t = 3,89*4 + ½ (,74)*4 = 4,67 m b) El puente l cruza cn velcidad cntante. Utilizarem la ecuacine del MRU: = v.t 00 = 6,94*t t = 4,4

25 CINEMÁTICA. REPASO. Ejercici imilare emireuelt cn lucine. Un cche tiene una velcidad de 90 km/h, cuand ve a l lej a un tractr que marcha a 36 km/h y al que n puede adelantar. a) Calcular el tiemp que debe accinar el fren para circular a la mima velcidad que el tractr, abiend que la aceleración de frenad e de 3 m/. b) Calcular el epaci que neceita para realizar ea frenada (ería la ditancia mínima a la que debería accinar el fren para n chcar cn el tractr). v = 90 Km/h = 5 m/; v final = 36 Km/h = 0 m/ a) v = v + a t 0 = 5 3 * t t = 5 eg. b) = + v t + ½ a t = 5 * 5 3 * 5 = 50 m En l accidente de tráfic la guardia civil determina la velcidad que llevaba el cche en el mment del accidente a partir de la huella de frenad y teniend en cuenta la aceleración de frenad que e etima, cn la ayuda de una tabla, a partir del etad del afalt y de l neumátic. a) Calcular la velcidad que tenía un cche en el mment de frenar abiend que la huella que dejó en el afalt tienen 50 metr y que la aceleración de frenad etimada e de 6,5 m/. b) Calcular el tiemp que ha tardad en frenar. v = v + a t 0 = v 6,5 * t = + v t + ½ a t 50 = v * t 3,5 * t Relviend el itema de ecuacine (*) btenem la lucine v = 5 m/ y t = 4 eg. (*)Depejam v de la primera ecuación: v = 6,5 * t Sutituim v en la egunda ecuación: 50 = (6,5 * t )*t 3,5 * t perand: 50 = 6,5 * t 3,5 * t 50 = 3,5 * t t = 4 t = 4 eg. Un hmbre cnduce a una velcidad de 36 km/h. De prnt acelera cn una aceleración de 6 m/ durante 57 metr. a) Calcular el tiemp que tardará en recrrer e 57 m. a) Calcular la velcidad máxima que alcanzará.

26 v = 36 Km/h = 0 m/ a) = + v t + ½ a t 57 = 0 * t + 3 * t t = 3 eg. b) v = v + a t v = * 3 = 8 m/ (00,8 Km/h) Se lanza verticalmente hacia arriba un móvil cn una velcidad de 50m/eg. Hallar el epaci recrrid a l egund. Sl: Debe btener que para t=eg, el epaci recrrid e =80,4m y la velcidad que tiene en ee intante e v=30,4 m/ Se lanza verticalmente hacia arriba un móvil cn una velcidad de 60m/eg. Hallar que velcidad lleva a l 0eg. Sl: (La velcidad a l 0 egund e 38 m/ y el ign men indica que va hacia abaj Se lanza verticalmente hacia arriba un móvil cn una velcidad de 80m/eg; hallar la ditancia recrrida a l 0eg. Sl: Debe btener que para t=0eg, el epaci recrrid e =30m y la velcidad que tiene en ee intante e v= 8 m/ Se lanza verticalmente hacia arriba un móvil cn una velcidad de 70m/eg; hallar a qué altura e encuentra del uel a l eg. Sl: Debe btener que para t=eg, el epaci recrrid e =34,4m y la velcidad que tiene en ee intante e v= 47,6 m/ Dede el uel e lanza verticalmente hacia arriba un móvil cn una velcidad de 80m/eg. Se deea aber qué velcidad lleva cuánd ha recrrid 300m. Sl: Cuand ube (t=5,836) v = 80 9,8*t v = 80 9,8*5,836 =,80 m/ Cuand baja (t=0,49) v = 80 9,8*t v = 80 9,8*0,49 =,80 m/ Se dipara verticalmente hacia arriba un bjet y a l eg va ubiend cn una velcidad de 80m/eg. Hallar: a) la altura máxima alcanzada. b) la velcidad que lleva a l 5eg. Sl: a) t h.máx = 0,6eg; h máx =506,3m b) v t=5 = 47,4 m/

27 Se lanza verticalmente hacia arriba un móvil que tarda 0 egund en llegar al punt de partida. Hallar: a) la altura máxima alcanzada. b) qué velcidad lleva a l 3eg. Sl: a) h máx =,5 m b) v=9,6m/ Se dipara verticalmente hacia arriba un bjet, de frma que a l egund lleva una velcidad de 60m/eg. Hallar: a) la velcidad cn la cual e diparó el bjet, b) a qué altura e encuentra a l egund. c) cuánt tiemp ha de trancurrir para que llegue a la parte uperir de la trayectria. Sl: a) v =79,6m/ b) =39,6m c) t=8,eg; h máx =33,7m Un cche lleva una velcidad cntante de 5 m/. Sabiend que l neumátic tienen un diámetr de 60 cm, calcular. a) La velcidad angular cn que giran u rueda. b) El ángul que giran la rueda en 0 egund. c) El tiemp que una rueda tarda en dar una vuelta. a) v = ω R 5 = ω 0,3 ω = 50 rad/ b) φ = φ + ω t φ = 50 0 = 500 rad ϕ π π c) ω = = 50 = T = π/50 = 0,6 eg. t T T Una lcmtra neceita 0. para alcanzar u velcidad de régimen que e 60 Km/h. Supniend que u mvimient e unifrmemente acelerad Qué aceleración e le ha cmunicad y qué epaci ha recrrid ante de alcanzar ea regular? a) v = v + a t 6,67 = a*0 a =,67 m/ b) = v t + ½ a t = ½,67*0 = 83,5 m

28 Sbre una bala de 0 kg, intrducida en un cañón, actúa la pólvra cn una fuerza de 05N. Halla: a) La aceleración. b) El tiemp que tarda en recrrer l m de lngitud del cañón y la velcidad de alida. a) La aceleración de la bala e debida a la fuerza que bre ella hacen l gae de la pólvra, pr tant, de acuerd cn la egunda ley de Newtn: F = m a 05 = 0*a a = 0,5 m/ b) Ahra e un imple ejercici de un cuerp que parte del rep y acelera cn una aceleración de 0,5 m/. Cuánt tarda en recrrer m y qué velcidad tiene? = v t + ½ a t = ½ 0,5*t t = 0,6 v = v + a t v = 0,5*0,6 = 6,48 m/ Para l iguiente móvile dibuja: (a) El vectr de pición. (b) El vectr velcidad. (c) La aceleración tangencial. (d) la aceleración nrmal. r El vectr de pición ( ) tiene u rigen en el SR y el extrem en el móvil El vectr velcidad e tangente a la trayectria El vectr aceleración tangencial ( a r t ) tiene la mima dirección de la velcidad y el mim entid i acelera el cntari i frena. Mide l cambi de la velcidad en módul. a r ) e nrmal (perpendicular) a la velcidad. Mide l cambi de la El vectr aceleración nrmal ( n velcidad en dirección.

29 Una bala de 50 g y velcidad 00 m/ penetra 0 cm en una pared. Supniend una deceleración unifrme. Halla: a) El tiemp que tarda en penetrar la pared b) La fuerza cntante que le pne la pared. Leyend el enunciad hata cmprenderl verá que la bala glpea en la pared a 00m/. A partir de ee mment la bala cmienza a perder velcidad hata parare depué de penetrar 0cm. Quiere decir que la bala tiene un MRUA. Se trata de un imple frenad de un móvil que tiene una velcidad inicial v = 00 m/ y que depué de recrrer 0,m tiene una velcidad final v = 0 a) v = v + a t 0 = 00 + a*t a = 0 5 m/ = v t + ½ a t 0, = 00*t + ½ a*t t = 0,00 b) De acuerd cn la egunda ley de Newtn, ea aceleración erá prvcada pr una fuerza, que e la repnable de que e frene: F = m a = 0,050*( 0 5 ) = 0 4 N El ign men indica, de acuerd cn el SR elegid, que la fuerza tiene entid cntari a la velcidad, tal cm habíam dibujad.