Universidad Autónoma de San Luis Potosí, S.L.P. Facultad de Ciencias

Transcripción

1 Universidad Autónoma de San Luis Potosí, S.L.P. Facultad de Ciencias Recursos Educativos Abiertos y Diseños Didácticos Situación didáctica: Arcos, ángulos centrales y cuerdas de una circunferencia Soraida Zuñiga Anaid Díaz Villela 11 de noviembre de 2014.

2 Tipo de problema Esta actividad está diseñada para que los alumnos se introduzcan en los temas de arcos, ángulos centrales y cuerdas de una circunferencia con un eje temático de forma, espacio y medida. Para introducirse a los temas de forma, espacio y medida se puede hacer uso de diferentes ramas de la matemática como el álgebra, cálculo o física. La actividad se apoya de la geometría y trigonometría para alcanzar los objetivos de aprendizaje deseados. Objetivos de la actividad Que los alumnos logren identificar los sectores circulares de una circunferencia y calcular su área. Que el alumno vaya construyendo y dando sentido a la idea de un sector circular, los elementos que conforman el sector y algunas de sus propiedades. Retomar las estrategias empleadas por los alumnos en las actividades anteriores y llevarlas a una generalización, para comprender las relaciones entre el arco de una circunferencia y la medida del área del sector circular que le corresponde. Por último, se plantean dos ejercicios a modo de retroalimentación del trabajo realizado. Saber matemático en juego Conocimientos previos de los estudiantes: Una de las aplicaciones de la mediatriz Proporcionalidad Despeje de fórmulas Expresiones algebraicas Elementos de la circunferencia Conocimientos requeridos para abordar la situación: Trazo de la mediatriz Fórmulas de área y perímetro de una circunferencia Regla de tres

3 Contenidos matemáticos involucrados: Manejo de operaciones con fracciones y proporcionalidad Ubicar el centro de la circunferencia Utilizar adecuadamente el transportador Ecuaciones: despeje e igualación de expresiones algebraicas Conceptos de perímetro, radio y área de un círculo División de la circunferencia en grados El concepto de ángulo central, proporcionalidad, arco y cuerda Manejo algebraico Procedimientos que el alumno puede utilizar Se reunirán en equipos que ya estaban estructurados (4 integrantes por cada uno). En este aspecto, las características de los equipos es diversa de acuerdo a la personalidad y el interés por la materia de sus integrantes. Se propone por parte del profesor desde un inicio, que las actividades se dividieran en dos sesiones, En general se ocupan 4 sesiones para poder desarrollar todas las actividades. Se les informa que trabajaran una sesión que consiste en que deben encontrar medidas de ángulos en una circunferencia, con anticipación se les pide su material indispensable. Se hace un breve recordatorio en cuanto a las rectas en una circunferencia además de explicar en la pizarra cómo se maneja el transportador (medir ángulos) todo esto con la finalidad de activar conocimientos previos y adentrarse al tema. Variables didácticas Juegos geométricos (no necesariamente completos, sólo es necesario el compás, transportador y una regla), calculadora y fotocopias de la actividad. Descripción de la actividad Inicio El objetivo de la misma es identificar los sectores circulares de una circunferencia y calcular su área. Esta situación está compuesta por 8 actividades. Las primeras 5 actividades buscan que el alumno vaya construyendo y dando sentido a la idea de un sector circular, los elementos que conforman el sector y algunas de sus propiedades. Lo cual se logra mediante la resolución de actividades de estimación de medidas de arcos y ángulos centrales, y las relaciones que estos elementos de la circunferencia guardan entre sí. Las últimas tres actividades, buscan retomar las estrategias empleadas por los alumnos en las actividades anteriores y llevarlas a

4 una generalización, para comprender las relaciones entre el arco de una circunferencia y la medida del área del sector circular que le corresponde. Por último, se plantean dos ejercicios a modo de retroalimentación del trabajo realizado. Actividad 1. Desarrollo Los brazos de un columpio miden 1.8 m de largo. Cuánta distancia recorrería la trayectoria del asiento si pudiera dar un giro completo? En realidad sólo pueden describir como máximo un ángulo de 146. Calcula el espacio recorrido por el asiento del columpio cuando el ángulo descrito en su balanceo es el máximo. Actividad 2. El radar del aeropuerto de la Cd. de México, requiere de 20 segundos para realizar el barrido de su área de observación y control. 1. El siguiente círculo simula físicamente el radar: a) Señala con color rojo el área que barrería en 4 segundos. b) Con azul el área que barrería los siguientes 12 segundos. c) Señala con color verde el área que barrería los siguientes 3 segundos. 2. Cuánto mide el área: a) del sector rojo? b) del sector azul? c) del sector verde? d) del sector que no se ilumina?

5 Actividad 3. Realiza lo que se te indica en la circunferencia y llena la tabla que se te proporciona. a) Mide con tu regla la longitud de las cuerdas C1, C2 y C3 y escríbelo en la tabla. b) Traza el ángulo central correspondiente a cada cuerda y haciendo uso del transportador mide cada uno de dichos ángulos. c) Discute con tus compañeros la veracidad de la siguiente afirmación: en una misma circunferencia, a cuerdas de la misma longitud les corresponden ángulos centrales de la misma magnitud. Actividad 4. a) Traza una circunferencia y verifica las siguientes afirmaciones. b) Si se traza una cuerda en la circunferencia, siempre se tendrá un arco y un ángulo central asociados. Justifica tu respuesta. c) Si se traza un arco en la circunferencia, siempre se tendrá una cuerda y un ángulo central asociados. Justifica tu respuesta. d) Si se traza un ángulo central en la circunferencia se tendrá una cuerda y un arco asociados. e) b) Observa que la cuerda y el ángulo central se pueden medir directamente, pero para el arco no tenemos ningún instrumento ni hemos desarrollado algún criterio para medirlo. Cómo harías para medir un arco de circunferencia? Discute una estrategia para medirlo con tus compañeros, y anota tus conclusiones.

6 Actividad 5. a) Traza un ángulo central de 360 en la circunferencia de radio r. Marca con rojo el arco que le corresponde. Cuál es la longitud del arco? b) Ahora traza un arco que corresponda a una semicircunferencia, Cuál es la medida del ángulo central que le corresponde? Cuál es la medida del arco? c) Traza en una circunferencia de radio 3, un ángulo central de 30. Cuál es la longitud del arco que le corresponde? Actividad 6. a) Como has observado en las actividades anteriores, existe una estrecha correspondencia entre los arcos y los ángulos centrales que le corresponden. Si un ángulo central corresponde a la tercera parte de un ángulo de 360º, el arco que les corresponda en la circunferencia, será la tercera parte del perímetro de la misma? Discute con tus compañeros esa idea y escriban sus conclusiones. b) Completa y analiza los valores de la siguiente tabla para una circunferencia de radio r.

7 Actividad 7. a) De la tabla anterior se observa que hay que multiplicar por el mismo factor para obtener la vuelta total y el perímetro de la circunferencia. Es decir: si el factor es k, tenemos que: Kα = 360 kl=2πr Donde α es el ángulo central correspondiente al arco l. Construye una expresión que ponga en relación α y l. De esa relación obtén la expresión algebraica o fórmula para obtener la longitud del arco. Actividad 8. A una región como la que se señala en la figura se le denomina sector circular. Con un número k adecuado, al multiplicarlo por α, se puede obtener kα = 360.

8 Por cuánto crees que habrá que multiplicar el valor del área del sector circular, Sc para obtener el área total de лr2? Empleando las ideas anteriores, deduce la fórmula para calcular el área del sector circular. EJERCICIOS Anota las respuestas en tu cuaderno. Cierre 1. Determinar el área del sector circular de la figura siguiente si sabemos que la amplitud del ángulo es de Determinar la longitud de un arco de 25 cm de radio y 110 de amplitud.