TEMA 4 CAMPO MAGNÉTICO EN EL VACÍO

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1 Física II TEMA 4.- CAMPO MAGNÉTICO EN EL VACÍO \ 1 TEMA 4 CAMPO MAGNÉTICO EN EL VACÍO 1.- Fenómenos magnéticos Aproximaamente ese el año 800 a.c. los griegos ya conocían el fenómeno el magnetismo a través e la magnetita (piera proceente e Magnesia, región el Asia Menor). Descubrieron que icha piera imán tenía la curiosa propiea e atraer a pequeños trozos e hierro. En 1269 Pierre e Maricourt construyó, usano un imán esférico natural, un mapa e las irecciones tomaas por una aguja al colocarla en iversos puntos e la esfera: encontró que ichas irecciones formaban líneas que roeaban la esfera pasano a través e os puntos opuestos e la misma (e igual forma que los meriianos terrestres roean la Tierra). Por la analogía con los meriianos terrestres, llamó polos el imán a ichos puntos, escubrieno que en ellos la fuerza magnética es más intensa, así como el hecho e que polos el mismo nombre se repelen y los e istinto nombre se atraen. En 1600, William Gilbert escubrió la razón e que la aguja e una brújula se oriente por sí misma en una irección efinia: la Tierra es un inmenso imán permanente. En 1750, John Michell estuió cuantitativamente la atracción y repulsión e polos magnéticos, emostrano, meiante una balanza e torsión, que la atracción y repulsión e los polos e os imanes son e igual intensia y varían en razón inversa con el cuarao e la istancia que los separa. La ley e la fuerza entre polos magnéticos es semejante a la que existe entre cargas eléctricas, pero con una iferencia importante: las líneas que ibujó Maricourt mueren en la misma fuente que las originan, es ecir, es imposible aislar un polo magnético. La conexión entre la electricia y el magnetismo no se conoció hasta el siglo XIX, cuano Oerste, realizano una experiencia e cátera ante sus alumnos, escubrió que una corriente eléctrica que circulaba por un conuctor esviaba la aguja e una brújula situaa en sus proximiaes. Ampère propuso la teoría e que las corrientes eléctricas son las fuentes e toos los fenómenos magnéticos y con ello sentó las bases e la moerna teoría electromagnética. Entre 1820 y 1830 Michael Faraay y Joseph Henry emostraron, en forma inepeniente, más relaciones entre la electricia y el magnetismo: Un campo magnético variable crea un campo eléctrico no conservativo. Años más tare, el trabajo teórico esarrollao por Maxwell emostró que un campo eléctrico variable a lugar a un campo magnético. Las interacciones eléctrica y magnética están íntimamente relacionaas, sieno en realia os aspectos iferentes e una misma propiea e la materia: su carga eléctrica. Por ello, las interacciones eléctrica y magnética eben consierarse conjuntamente bajo la esignación más general e interacción electromagnética. La interacción básica es la que existe entre os cargas en movimiento y la fuerza magnética que ejerce una carga móvil sobre otra carga móvil se transmite meiante un tercer agente: el campo magnético. Una carga en movimiento crea un campo magnético y es este campo el que ejerce la fuerza sobre otra carga en movimiento. Puesto que una carga móvil es una corriente eléctrica, la

2 Física II TEMA 4.- CAMPO MAGNÉTICO EN EL VACÍO \ 2 interacción magnética puee consierarse como una interacción entre corrientes. 2.- Fuerza magnética sobre una carga puntual en movimiento. El vector inucción magnética El fenómeno magnético puee estuiarse inepenientemente e las causas que lo proucen (las fuentes el campo magnético, que estuiamos en el tema siguiente) introucieno el concepto e campo magnético y estuiano las interacciones entre el campo magnético y la materia. En la región el espacio en la que son observables fenómenos magnéticos ecimos que existe un campo magnético, cuya intensia viene aa por la función matemática B (vectorial), que se enomina inucción magnética o vector campo magnético. El vector B, como el vector E, tiene la propiea e ser tangente a las líneas e campo en caa punto. comprobánose experimentalmente que ichas líneas son cerraas. Definiremos el vector B meiante una efinición operacional. Se observa experimentalmente que cuano una carga puntual q se mueve con una velocia v en las proximiaes e un imán (o e una corriente eléctrica), se ejerce sobre ella una fuerza aicional que epene e su carga y el valor y irección e su velocia: icha fuerza puee cuantificarse miieno la que actúa cuano la carga está en reposo y sustrayénola e la que actúa cuano está en movimiento (es ecir, vamos a pensar momentáneamente, que el campo eléctrico es nulo en la región en la que se mueve la carga). Las experiencias emuestran que: 1.- La magnitu e la fuerza que actúa es proporcional a la carga q 2.- La magnitu e la fuerza también es proporcional al móulo e la velocia 3.- El móulo, la irección y el sentio e la fuerza epenen e la irección y el sentio e la velocia. 4.- Existe una irección tal que, si la partícula se mueve por ella, la fuerza que recibe es nula. 5.- Si la irección e v no es la que acabamos e mencionar, la fuerza es perpenicular a esa irección y a la propia v. 6.- La magnitu e la fuerza es proporcional al seno el ángulo que forman la irección e fuerza nula con la irección e la velocia e la partícula. 7.- La fuerza que se ejerce sobre una carga positiva es e sentio opuesto a la que se ejerce sobre una carga negativa. Toas estas observaciones experimentales nos llevan a efinir el vector inucción magnética como aquél que, tenieno por irección la e la fuerza magnética nula, verifica la relación 1 : F = qv B [4.1] m Esta efinición lleva implícito el hecho e que la fuerza magnética es perpenicular a la velocia y a la inucción magnética (Punto 5); si v y B son paralelos, entonces F = 0 (Punto 4); F = q vb sen ( v, B) (Puntos 1, 2, 3, 6). 1 La expresión [4.1] inica la fuerza magnética que el campo magnético ejerce sobre una carga puntual que se mueva en su interior.

3 Física II TEMA 4.- CAMPO MAGNÉTICO EN EL VACÍO \ 3 Tomano móulos en la Ecuación [4.1] y espejano el móulo e la intensia e campo tenemos: F B = q vsen, ( v B) La ecuación [4.2] nos permite efinir la unia e inucción magnética en el sistema CGS-electromagnético (Gauss) y en el S.I. (Tesla). Un Gauss es la intensia e un campo magnético uniforme en el que una unia electromagnética e carga (10 C) que se mueve con 1 cm/s e velocia, perpenicularmente al campo, se halla sometia a una fuerza e 1 ina. ina s 1 G = 1 uemq cm Un Tesla es la intensia e un campo magnético uniforme en el que una carga e 1 C, que se mueve con 1 m/s e velocia perpenicularmente al campo, se halla sometia a una fuerza e 1 newton. N s C m 4 1 T = 1 = 10 G [4.2] razón por la cual se enominaba Miriagauss lo que hoy llamamos Tesla. El Tesla es una unia muy grane. Para ar una iea e órenes e magnitu, iremos que el campo magnético terrestre tiene una intensia e 0,5 G (5A10!5 T) y que los imanes permanentes (según forma, tamaño y material) tienen intensiaes comprenias entre 100 G (10!2 T) y 5000 G (0,5 T). Terminaremos este epígrafe icieno que una forma cómoa e manejar las irecciones y sentios e los vectores que intervienen en la ecuación [4.1] es usar la regla e la mano erecha (Figura 1): El pulgar inica el sentio el proucto vectorial v B cuano el resto e eos se sitúan en el sentio que lleva al primer vector (velocia v ) hacia el seguno (vector campo magnético B ) por el camino más corto. Así, la fuerza magnética tenrá ese mismo sentio si la carga es positiva, o sentio contrario si es negativa. 3.- Movimiento e una carga puntual en un campo magnético Figura 1 Como hemos icho, cualquier partícula que se mueva en un campo magnético recibe la acción e la fuerza magnética aa por la ecuación [4.1] y, por tanto, aquirirá una aceleración e la misma irección y sentio que icha fuerza, e acuero con la seguna ley e Newton. Puesto que icha fuerza es perpenicular a la velocia y ésta es tangente a la trayectoria en caa punto, la aceleración que aquiere la carga será perpenicular a la trayectoria en caa punto, es ecir, aquirirá una aceleración centrípeta. Esto es

4 Física II TEMA 4.- CAMPO MAGNÉTICO EN EL VACÍO \ 4 absolutamente lógico si pensamos que el trabajo realizao por la fuerza magnética es nulo 2 y, por tanto, no cambiará la energía cinética e la carga, según el teorema e las fuerzas vivas, sieno pues nula la aceleración tangencial. Supongamos que una carga puntual q entra en un campo magnético uniforme e intensia B con una velocia v. Si escomponemos v en os componentes, una paralela al campo ( v 11 ) y otra perpenicular al mismo ( v, la ecuación [4.1] se transforma en: 1) F = q( v B) = q( v11 + v1 ) B = qv11 B + qv1 B = qv1 B El móulo e icha fuerza, tenieno en cuenta que sen v, B = 1, será: F = q v 1 B ( 1 ) y será constante puesto que lo son v 1 y B. Tenieno en cuenta que, según hemos icho, icha fuerza comunica a la carga una aceleración normal, la aplicación e la seguna ley e Newton lleva a: Así pues, el raio e curvatura e la proyección e la trayectoria sobre el plano perpenicular a B es constante, lo que quiere ecir que icha proyección es una circunferencia. Supongamos, en primer lugar que v = v 1, es ecir, que la velocia con que entró la carga era perpenicular al campo. La ecuación [4.3] sigue sieno vália con v 1 = v, y ahora la trayectoria en sí (y no sólo la proyección) es una circunferencia, con lo que la carga escribe un movimiento circular uniforme cuya frecuencia angular (velocia angular T) poemos calcular, así como el períoo T: La frecuencia angular aa por la ecua ción [4.4] se enomina frecuencia ciclotrón: epene, exclusivamente, e la relación entre la carga y la masa e la partícula (q/m) y el campo magnético (no epenieno ni e la velocia ni el raio e la trayectoria). 2 v1 mv1 q v1 B = m R = [4.3] R q B v q B 2π 2π m ω = = [4.4] * T = = [4.5] R m ω q B Si la velocia con que la carga entra en el campo tiene una componente paralela al campo ( v11 0), entonces, en el mismo tiempo en el que la carga escribe una vuelta completa en el plano perpenicular a B (períoo) avanza en la irección e B una istancia aa por Figura 2: (a) Esquema e la composición e los os movimientos: v 1 gira en torno al punto O, en tanto que v 11 hace que la carga avance en la irección e B. (b) Trayectoria seguia por una carga positiva. 2 Téngase en cuenta que δ W = F r = F v t = 0, por ser F perpenicular a v

5 Física II TEMA 4.- CAMPO MAGNÉTICO EN EL VACÍO \ 5 2π mv = v11t = q B 11 [4.6] El resultao e la composición e ambos movimientos es una hélice e raio R (ao por la ecuación [4.3]) y paso e hélice (ao por la ecuación [4.6]), tal como se muestra en la figura 2. Si el campo magnético en el que entra la carga no es uniforme, la trayectoria seguia por v 1 no sería cerraa ya que el raio e curvatura e la misma no sería constante (ecuación [4.3]). Finalmente, si en la misma región el espacio en la que existe el campo B existe también un campo eléctrico efinio por E, entonces cualquier carga q, que se mueva con una velocia v no paralela a B, recibirá una fuerza magnética (aa por la ecuación [4.1]) y una fuerza eléctrica igual a qe, por lo que la fuerza total sobre la partícula cargaa será: F = q E + v B ( ) [4.7] que se enomina fuerza e Lorentz. Curiosamente, la fuerza e Lorentz puee ser nula sin que lo sean ni la eléctrica ni la magnética: basta con que sean e igual móulo, e igual irección (para lo cual y han e E B ser perpeniculares) y e sentio opuesto. 4.- Fuerza magnética sobre una corriente eléctrica Si un campo magnético ejerce una fuerza sobre una carga que se mueva en su seno, obviamente ejercerá una fuerza sobre un conuctor recorrio por una corriente eléctrica, ya que ésta, como sabemos, no es más que un flujo e cargas. Supongamos un conuctor cilínrico e área e la sección recta igual a S por el que circula una corriente constante e intensia I (Figura 3). Supongamos que un trozo e icho conuctor, e longitu R, se encuentra inmerso en un campo magnético B. Si la corriente circula hacia la erecha, los portaores e carga se moverán hacia la erecha si son positivos y hacia la izquiera si son negativos. La velocia con que se mueven los portaores e carga viene aa por la ecuación [4.8] (véase tema e corriente continua), es ecir Figura 3 Si elegimos un vector unitario, ecuación [4.8] poemos eucir: v I = ns q [4.8] u l, cuya irección y sentio sean los e la corriente, a partir e la I qv = u l ns [4.9] u l En efecto, si los portaores son positivos, se mueven en el sentio e I y qv tiene el mismo sentio e. Si son negativos, v tiene sentio contrario a, pero al ser q < 0, qv tiene el mismo sentio que. u l u l

6 Física II TEMA 4.- CAMPO MAGNÉTICO EN EL VACÍO \ 6 Luego la ecuación [4.9] es correcta. Sobre caa portaor, actúa una fuerza aa por la ecuación [4.1], es ecir I Fp = qv B = u l B ns [4.10] Si la ensia cúbica e portaores es n, el número total e portaores que existen en el trozo e conuctor e longitu R es: N = n h = n S R, y la fuerza total sobre icho trozo e conuctor será: I F = N Fp = nsl ul B = Ilul B ns y si le amos a la longitu el conuctor carácter vectorial (móulo = R, y irección y sentio, los e la corriente, es ecir, l = lu ), entonces l F = Il B [4.11] La ecuación [4.11] sólo es vália para conuctores rectilíneos inmersos en campos magnéticos uniformes. Si el conuctor no es rectilíneo, u l no es constante en irección y entonces es preciso tomar elementos e conuctor ( l) lo suficientemente pequeños como para consierarlos rectilíneos. La fuerza elemental que recibe tal elemento e corriente será: F = I l B [4.12] y la fuerza total se obtenrá integrano la ecuación [4.12] a lo largo el conuctor. 5.- Efecto Hall Como hemos visto, la fuerza que un campo magnético ejerce sobre una corriente eléctrica la ejerce, en realia, sobre los portaores e carga. Supongamos que introucimos una cinta conuctora e espesor y en un campo magnético uniforme e intensia B (Figura 4), e forma que B sea perpenicular a la corriente que haremos circular por el conuctor ebio a un campo eléctrico externo E x (supongamos, pues, que B tiene la irección el eje Y). En la figura 4a, one suponemos que los portaores e carga son positivos, se muestra cómo la fuerza magnética que el campo B ejerce sobre ellos (aa por la ecuación [4.1]) está irigia hacia arriba, lo que provoca una acumulación e carga positiva en la parte superior e la cinta y, consecuentemente, la aparición e un campo eléctrico, E z, irigio en la irección e las Z negativas. Dicho campo eléctrico ejerce sobre los portaores una fuerza eléctrica, qe z, irigia hacia abajo que tiene a Figura 4: (a) portaores positivos. (b) portaores negativos

7 Física II TEMA 4.- CAMPO MAGNÉTICO EN EL VACÍO \ 7 anular la fuerza magnética: el movimiento e portaores hacia la parte superior e la cinta cesará cuano la fuerza e Lorentz sobre los portaores sea nula, es ecir: y por tanto q E + v B = E = v B ( ) 0 z y z y E z = v B sen 90 = v B y [4.13] Si la intensia e corriente es constante, v será constante y, por tanto, E z es un campo eléctrico uniforme. La..p. que se crea entre la parte superior y la inferior e la cinta valrá: V H = E z z = v B y z [4.14] llamaa tensión Hall o fem Hall, en honor e E.H. Hall ( ) quién fue el primero en etectarla. Según la ecuación [4.8], v = I ns q, y como {S = y z} y para q > 0 se cumple que *q* = q tenremos: v I = nq y z por lo que la ecuación [4.14] se escribirá como: I I By VH = v By z = By z VH = nq y z nq y [4.15] La aparición e una tensión V H en irección perpenicular a la corriente en un conuctor e anchura y se enomina efecto Hall. La ecuación [4.15] ha sio eucia suponieno que los portaores e carga son positivos. Si son negativos (Figura 4b), se acumulan también en la parte superior e la cinta, con lo que el campo eléctrico creao tiene sentio contrario al anterior ( E z apunta a las Z positivas). Al ser contrario E z y contrario el signo e la carga, qe z volverá a tener sentio hacia las Z negativas, con lo que el equilibrio se alcanza igualmente. Cuano q < 0, la ecuación [4.15] proporciona una V H < 0, lo que inica que la parte superior e la cinta se encuentra a un potencial más bajo que la parte inferior y esto nos proporciona un métoo útil y operativo para eterminar el signo e los portaores e carga en materiales esconocios: si la tensión Hall, meia en las coniciones escritas en la Figura 4, es positiva, los portaores e carga son positivos; si es negativa, inica que los portaores e carga son negativos. El efecto Hall permite os aplicaciones prácticas más. Si conocemos la carga e los portaores (por ejemplo, en los metales son electrones, salvo en algunos alcalinos), la ecuación [4.15] nos permite conocer la ensia cúbica e portaores sin más que meir la tensión Hall proucia cuano una muestra e imensiones conocias se introuce recorria por una corriente conocia, en un campo uniforme B y también conocio. La seguna aplicación consiste en calibrar una cinta (el calibrao consiste en calcular, meiante la ecuación [4.15], el proucto nq) y utilizarla para meir campos magnéticos esconocios.

8 Física II TEMA 4.- CAMPO MAGNÉTICO EN EL VACÍO \ Espira e corriente en el interior e un Campo Magnético. Momento ipolar magnético En el epígrafe 4 hemos visto la fuerza que un campo magnético ejerce sobre un conuctor recorrio por una corriente, pero Qué ocurrirá si cerramos el conuctor sobre sí mismo formano una espira e corriente? Para simplificar, consieremos una espira rectangular e laos a y b inmersa en un campo magnético uniforme en la irección el eje e las Y (Figura 5a), sieno I la corriente que circula por la espira. La fuerza total sobre la espira será: F = F + F + F + F MN NP PQ QM one caa una e estas cuatro fuerzas es la fuerza ejercia por un campo uniforme sobre un conuctor rectilíneo recorrio por una corriente estacionaria, es ecir, caa una e ellas se obtiene aplicano la ecuación [4.11]. Puesto que: MN = PQ * NP = QM F = F * F = F MN PQ NP QM la fuerza neta que se ejerce sobre la espira es nula. Este resultao es absolutamente general e inepeniente e la forma e la espira. En Figura 5: (a) Espira e corriente en un campo magnético uniforme. (b) Vista e la espira ese el eje Z. efecto, si la espira tiene una forma cualquiera y el campo magnético es uniforme, la fuerza total sobre la espira se obtiene integrano la ecuación [4.12], es ecir: F = I ( l B ) ya que la espira constituye una línea cerraa. Puesto que I y B son constantes, tenremos: I ( B) I l = B pero, por lo que. l = 0 l F = 0 El hecho e que la fuerza neta sea cero no quiere ecir que la espira ha e estar necesariamente en reposo. En efecto, supongamos que la espira puee girar alreeor e un eje que pasa por el lao MN y que, inicialmente, el plano e la espira forma un ángulo 2 con la irección el campo magnético: puesto que F NP y F QM tienen la misma línea e acción, tienen un momento nulo respecto al eje; también tiene momento nulo F MN por tener su punto e aplicación en el eje; pero F PQ ejerce sobre la espira un momento e torsión que tiene a situarla en el plano XZ (es ecir, la obligará a girar perpenicularmente al campo). El móulo e icho momento e torsión (Figura 5b) será: τ = NP F = F bsen β como F PQ = I a B; ab = S ; S, B nos queará: τ = IabBsen β = ISB sen S, B = I S B. PQ β = ( ) ( ) Es fácil comprobar que la anterior iguala en móulos también se verifica con los corresponientes vectores, es ecir: τ = IS B [4.16] PQ

9 Física II TEMA 4.- CAMPO MAGNÉTICO EN EL VACÍO \ 9 Aunque la ecuación [4.16] se ha eucio para el caso particular e una espira rectangular, tiene valiez general cualquiera que sea la forma e la espira que se introuce en un campo magnético uniforme. Observamos que el momento e torsión es máximo cuano el plano e la espira contiene al campo (es ecir, S perpenicular a B ) y nulo cuano icho plano es perpenicular al campo (es ecir S paralelo a B ). Si en lugar e una espira tenemos una bobina e N espiras, entonces caa una e ellas sufre un momento e torsión ao por la ecuación [4.16] y, si toas las espiras tienen la misma superficie, el momento e torsión e la bobina será: sieno S τ = INS B [4.17] el vector superficie e una e las espiras e la bobina. Por efinición, se enomina momento ipolar magnético (o, simplemente, momento magnético) e una espira al proucto IS : M = IS [4.18] con lo que la ecuación [4.16] puee escribirse como τ = M B [4.19] Si en lugar e una espira tenemos una bobina constituia por N vueltas caa una e área S, entonces llamamos momento ipolar magnético e una bobina al proucto INS : M = INS [4.22] con lo que la ecuación [4.17] se escribe igual que la [4.19]. Profunicemos un poco más en el comportamiento e una espira e corriente en un campo magnético uniforme. El par e torsión que actúa sobre ella tiene a alinear S con el campo e igual forma que la aguja imantaa e una brújula se alinea con el campo magnético terrestre: la espira e corriente se comporta exactamente igual que un imán en presencia e campos magnéticos. La cara Norte e la espira coincie con el sentio saliente el vector S (corriente circulano por la espira en sentio antihorario) y la cara Sur es aquella que coincie con el sentio entrante e S (corriente circulano por la espira en sentio horario). Cuano el momento e torsión se hace nulo, el vector B (externo) y el vector S coincien en irección y sentio: el campo B penetra en la espira por su polo Sur y sale por su polo Norte, igual que ocurriría con un pequeño imán. En el siguiente tema veremos que esta equivalencia entre imanes y espiras va más allá y emostraremos que una espira e corriente crea a su alreeor un campo magnético que, para puntos alejaos e la espira, es iéntico al e un pequeño imán. 7.- Imanes en el interior e campos magnéticos A lo largo el Tema se ha ao por supuesto que nos era familiar el comportamiento e un imán en un campo magnético, habia cuenta e que toos hemos tenio alguna vez un imán o una brújula en nuestras manos. Ciñénonos al caso concreto e la brújula, sabemos que si la abanonamos a sí misma en el campo magnético terrestre, tiene a orientarse siguieno las líneas el campo e moo que ichas líneas penetran por el polo sur e la aguja y salen por el norte.

10 Física II TEMA 4.- CAMPO MAGNÉTICO EN EL VACÍO \ 10 Con objeto e ar forma matemática a este fenómeno, se efine iealmente la intensia e polo magnético (o, simplemente, polo magnético) q * como el cociente entre la fuerza ejercia sobre el polo y el valor e la inucción magnética existente en el punto en que se encuentra el polo. Es ecir, q * = F B [4.21] La ventaja e efinir q * e esta forma estriba en el hecho e que permite una analogía armónica entre la electricia y el magnetismo. En efecto, la fuerza eléctrica que recibe una carga en un punto en el que existe un campo eléctrico E es *q*e. Según [4.21], la fuerza magnética que recibe un polo magnético en un punto en el que existe un campo magnético B es q * B. Para que la analogía sea total, se asigna signo positivo a q * si es un polo Norte y negativo si es un polo Sur. Según este convenio, la ecuación [4.21] puee escribirse en forma vectorial como: * F = q B [4.22] En el Sistema Internacional e uniaes, q * se mie en N/T. Como 1 T = 1 N/(A m), q * también se mie en (A m). Si introucimos un pequeño imán en un campo magnético uniforme, ao que * * qn = qs, la fuerza total resultante sobre el imán es nula, pero no así el momento e torsión (Figura 6). Llamano l al vector cuyo móulo es igual a la longitu el imán, cuya irección es la el imán (hablamos e barritas imantaas) y cuyo sentio es el polo Sur al polo Norte, el momento e torsión es: * τ = l FN = ql B [4.23] Figura 6 Definimos el momento ipolar magnético e un imán, M, como el proucto entre q * y l (obsérvese la analogía con el momento ipolar eléctrico e un ipolo) * = q M l [4.24] con lo que la ecuación [4.23] se escribiría igual que la expresión el momento e torsión que actúa sobre una espira e corriente (ecuación [4.19]), con la iferencia e que las efiniciones e M para una espira y un pequeño imán son istintas. En cualquiera e los os casos (imanes o espiras), una vez situaos en un campo magnético externo, es preciso realizar un trabajo para girarlos un ángulo 2, que estará meio ese la irección e M coinciente con la e B, ya que en ese punto el momento e torsión es nulo. Ese trabajo queará almacenao en forma e energía potencial en el ipolo magnético. ext ( θ θ θ2 2 ) τ θ θ sen θ θ ( cos θ cos θ ) M M W = = B = B = U U = U θ1 θ1 Tomano el origen e energía potencial en el punto en que 2 1 = 90 ( M perpenicular a B, par e torsión máximo). U = M B cos θ = M B [4.25]

11 Física II TEMA 4.- CAMPO MAGNÉTICO EN EL VACÍO \ 11 expresión formalmente iéntica a la energía potencial e un ipolo eléctrico (Ecuación [1.62]). La ecuación [4.25] nos inica que el valor mínimo e la energía potencial tiene lugar cuano M y B son paralelos (2 = 0 ). En tal posición, la espira no posee ninguna capacia para realizar trabajo y, para cambiar su posición, es preciso aplicar un momento e torsión externo. La posición e máxima energía correspone a M y B antiparalelos 3 (2 = 180 ): como sabemos, correspone a una posición e equilibrio inestable, ya que un pequeño giro hace que el ipolo gire sobre sí mismo hasta la posición e mínima energía potencial, alejánose, por tanto, e la posición e equilibrio original. Esa capacia e girar sobre sí mismo y perer energía potencial es la base el funcionamiento e los motores eléctricos, los cuales mantienen girano ipolos magnéticos, generalmente bobinas, e forma constante. Basta con que, meiante algún proceimiento, se moifique el sentio e M o el e B caa vez que se llega a la posición e equilibrio estable (mínima energía potencial, es ecir, 2 = 0 ) con lo que se consigue volver a situar los ipolos en el punto e equilibrio inestable (2 = 180 ). Generalmente, en los motores se invierte el sentio e M, invirtieno el sentio e la corriente que circula por la bobina meiante un sistema e escobillas. 3 Usualmente es utiliza el término antiparalelos para os vectores e la misma irección, pero e sentios contrarios.