Cálculo integral. Parcial 3 - Guías 12 14

Transcripción

1 Cálculo integral Parcial - Guías 4 Farith Briceño -

2 Cálculo integral - Guía Regla de L Hospital Ojetivos a curir Código : MAT-CI. Límites con indeterminaciones de la forma, e. Ejercicios resueltos Ejemplo 8 : Calcular el siguiente límite, si eiste,. Solución : Al sustituir otenemos una inderteminación de la forma, para levantar la indeterminación aplicamos las funciones eponencial y logaritmo natural, entonces eln e ln como la función eponencial es continua, tenemos calculamos el límite, e ln = e ln ln el cual, presenta una indeterminación de la forma, para remover esta nueva indeterminación escriimos el límite como ln ln = Indeterminado. Aplicamos la regla de L Hospital ln L H ln =, luego, = e. Ejemplo 8 : Calcular el siguiente límite, si eiste, Solución : Al sustituir se tiene + e /. + e / = + e / = Indeterminado. Para levantar la indeterminación aplicamos eponencial y logaritmo natural como la función eponencial es continua, entonces + e / / eln+e e ln+e e ln+e = e ln+e, Última actualizacón: Julio Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com

3 Cálculo integral - Guía. Regla de L Hospital 5 calculamos el límite ln + e, al sustituir ln + e aplicamos la regla de L Hospital ln + e = ln + e = Indeterminado, ln + e L H ln + e + e + e + e + e, oservemos que la indeterminación, se mantiene, así, que aplicamos, de nuevo, la regla de L Hospital ln + e + e + e L H + e + e e + e, la indeterminación, se mantiene, que aplicamos, de nuevo, la regla de L Hospital ln + e e L H + e e + e e e =, luego, + e / = e. Ejemplo 8 : Calcular el siguiente límite, si eiste, / ln. Solución : Puesto que, ln, cuando, tenemos que el límite presenta una indeterminación de la forma, para levantar la indeterminación aplicamos las funciones eponencial natural y logaritmo natural / ln eln / ln e ln ln e = e, por lo tanto, / ln = e. Ejemplo 8 : Calcular el siguiente límite, si eiste Solución : Oservemos que la epresión 5, si, entonces = Indeterminado, 5 + para levantar la indeterminación aplicamos las funciones eponencial natural y logaritmo natural 5 eln 5+ ln e 5+, 5 + puesto que, la función eponencial natural es continua, entonces ln e 5+ ln = e 5+ Última actualizacón: Julio Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com

4 Cálculo integral - Guía. Regla de L Hospital 5 resolvemos el último límite escriimos como y se convierte en una indeterminación 5 ln, que presenta una indeterminación de la forma, el cual ln ln 5 +, y aplicamos la regla de L Hospital 5 ln 5 + L H 5 ln = 5, con lo que, es decir, 5 = e ln 5+ = e /5, = e / Ejemplo 84 : Calcule el siguiente límite, si eiste, Solución : Hacemos la sustitución ingenua cos θ /θ. θ cos θ/θ = θ Indeterminado, para levantar la indeterminación aplicamos eponencial y logaritmo natural, entonces, cos θ/θ e lncosθ/θ ep ln cos θ, θ θ θ θ puesto que, la función eponencial es una función continua, entonces cos θ/θ ep ln cos θ = ep θ θ θ θ resolvemos el límite, al sustituir aplicamos la regla de L Hospital, ln cos θ θ θ L H θ ln cos θ θ θ = sen θ cos θ θ Indeterminado, ln cos θ θ, tan θ L H sec θ =, θ θ θ Última actualizacón: Julio Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com

5 Cálculo integral - Guía. Regla de L Hospital 5 luego, cos θ/θ = e. θ Ejemplo 85 : Calcular el siguiente límite, si eiste, + sen. Solución : Oservemos que el límite presenta una indeterminación de la forma, para levantar la indeterminación aplicamos las funciones eponencial y logaritmo natural, entonces sen eln sen + + como la función eponencial es continua, entonces calculamos el límite, ln esen + e sen ln = e sen ln + + sen ln + el cual es de la forma indeterminada, lo escriimos como sen ln + + Aplicamos la regla de L Hospital ln sen ln + csc = Indeterminado. + ln sen L H ln + csc + csc cot + csc cot + sen sen cos cos sen sen? sen sen = = =, + + cos + luego, sen = e =. + Ejemplo 86 : Calcular el siguiente límite, si eiste,. + 5 Solución : Oservemos que cuando tiende a infinito, entonces,, por lo tanto, + 5 = Indeterminado, + 5 para levantar la indeterminación aplicamos las funciones eponencial natural y logaritmo natural eln +5 ln e +5, + 5 como la función eponencial natural es continua, entonces, ln e +5 ln = e +5, Última actualizacón: Julio Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com

6 Cálculo integral - Guía. Regla de L Hospital 5 calculamos el límite, ln + 5 el cual es de la forma indeterminada, lo escriimos como ln ln Aplicamos la regla de L Hospital ln + 5 L H ln = = 5 L H = + 5 Indeterminado = 5 = 5, con lo que, luego, = e ln +5 = e 5/, + 5 = e 5/. + 5 Ejemplo 87 : Calcular el siguiente límite, si eiste, + e t4 t + / dt + e. Solución : Oservemos que el límite presenta una indeterminación de la forma, ya que + e t4 t + / dt + e = e t4 t + / + dt + e = + e / + = para levantar la indeterminación aplicamos las funciones eponencial natural y logaritmo natural / / e t4 + t dt + e + ep e ln t4 + t dt + e + + ep ln como la función eponencial natural es continua, entonces ep + ln e t4 t dt + e = ep + + ln e t4 t + e t4 t + dt + e dt + e, calculamos el límite + ln e t4 t + dt + e, Última actualizacón: Julio Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com

7 Cálculo integral - Guía. Regla de L Hospital 54 el cual tiene presenta una indeterminación de la forma, ya que + ln e t4 t + aplicamos la regla de L Hospital + ln e t4 t + Luego, dt + e + L H + dt + e ln ln = e t4 t + + = e t4 t e t4 t + e t4 t + e t4 t + e t4 t dt + e + dt + e dt + e dt + e dt + e e t4 t + Ejemplo 88 : Calcular el siguiente límite, si eiste, dt + e dt + e e t4 t + = dt + e e e e e / = e = e. Solución : Como la función f = arctan es continua, se tiene cos t cot t t = arctan cos t t + arctan Calculamos el límite interno, t + cos t cot t ln + =, = =. arctan cos t cot t t +. t + cos t t + cos t cot t t cos t t + cos tcot t t + t cos t t cos t, siempre y cuando los límites eistan, donde t cos tcot es t + una indeterminación de la forma, así, como la función eponencial es continua, entonces cos t cot t cot t lncos t e e cot t lncos t, t + t + t + e cot t lncos t = e cot t lncos t t + t + Última actualizacón: Julio Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com

8 Cálculo integral - Guía. Regla de L Hospital 55 calculamos el límite del eponente, el cual es una indeterminación de la forma, escriimos el límite como ln cos t cot t ln cos t t + t + tan t Indeterminado, aplicamos la regla de L Hospital ln cos t L H ln cos t tan t t + tan t t + tan t t + sec =, t luego, Por otra parte, t + t + cos tcot t = e = t es indeterminado de la forma, aplicamos la regla de L Hospital cos t t + t L H t cos t t + cos t cos t t + t sen t t sen t cos t t + cos t t + t cos t t + sen t t + sen t t + t donde, la última igualdad será cierta siempre y cuando los límites eistan, entonces, mientras que, = y sen t =, t + t + t cos t cos t cos t = t + t t + t = t + t,, cos t t + t sen t t la última igualdad se cumple, ya que la función f = es continua a la derecha del cero, entonces, cos t t + t L H cos t sen t t + t =, t + t por lo tanto, luego, así, cos t = =, t + t t + t cos t =, arctan cos t cot t t = arctan = t + cos t 4 π. Ejemplo 89 : Calcular el siguiente límite, si eiste, + ln. + Solución : Oservemos que el límite presenta una indeterminación de la forma, para levantar la indeterminación aplicamos las funciones eponencial y logaritmo natural, entonces + ln e ln + ln ln ln e Última actualizacón: Julio Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com

9 Cálculo integral - Guía. Regla de L Hospital 56 como la función eponencial es continua, entonces ln + ln eln + = e + ln + calculamos el límite del eponente, el cual es una indeterminación de la forma, escriimos el límite como + ln Indeterminado, ln aplicamos la regla de L Hospital ln + L H ln ln + ln + ln ln ln = + = + + +, es conocido que f f g = g, siempre y cuando los límites eistan y el límite del denominador sea diferente de cero, así, donde mientras que, oservemos que ln + + = ln + +, + + =, + ln ln ln, ln presenta una indeterminación de la forma, escriimos el límite como + ln ln + + aplicamos la regla de L Hospital entonces y por lo tanto, de aquí, luego, ln L H ln ln = = Indeterminado, = + = =, + ln + + = ln + + = =, + ln ln + ln + L H ln = =. ln + ln = e =. + Última actualizacón: Julio Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com

10 Cálculo integral - Guía. Regla de L Hospital 57 Ejercicios Calcular los siguientes límites, si eisten a 5 a a + 9. e /. + e + ln. cos / 8. + / + t. cos tcot t +. t π/ sen tcos t 4. t + t + e t/ /t 7. t ln t t 8. cos θ/θ θ /t 5. ln / e 6. e + + / ln 9. + e /. + sen /. a t + t /t. csc 5 4. t 5. t + cos t csct ln a t ln + a earctan+ ln / ln cos t dt e t ln t + + cos csc arctan cos t cot t t t + cos t e t4 t + dt + e / tan t. + t + dt sen + π / 4. arctan cos t cot t t + t + cos t Respuestas: Ejercicios.. e;.. e ;.. e ;.4. e a ;.5. e /5 ;.6. e 5/ ;.7. e /a ;.8. e;.9. e ;.. ;.. e / ;.. ;.. ;.4. e ;.5. e /e ;.6. e;.7. ;.8. e ;.9. e ;.. ;.. ;.. a;.. ;.4. ;.5. e / ;.6. ;.7. e π/4 ;.8. ;.9. ;.. π 4 ;.. e;.. e;.. ; 4. arctan ; Biliografía. Purcell, E. - Varerg, D. - Rigdon, S.: Cálculo. Novena Edición. PEARSON Prentice Hall.. Stewart, J.: Cálculo. Grupo Editorial Ieroamericano. Este material ha sido revisado recientemente, pero esto no garantiza que esté lire de errores, por esa razón se agradece reportar cualquier error que usted encuentre en este material enviando un mensaje al correo electrónico farith.math@gmail.com indicando donde se encuentran dichos errores. MUCHAS GRACIAS. Última actualizacón: Julio Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com

11 Cálculo integral - Guía. Regla de L Hospital 58 Última actualizacón: Julio Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com

12 Cálculo integral - Guía Integrales impropias Ojetivos a curir Integrales impropias: Límites de integración infinitos. Integrales impropias: Integrandos infinitos. Criterio de comparación. Ejemplo 9 : Determine la convergencia o divergencia de la siguiente integral Solución : Se tiene que ln ln ln ln ln ln. Resolvemos la integral indefinida por medio del camio de variale Código : MAT-CI. Ejercicios resueltos ln ln ln y otenemos, así, luego, Por lo tanto, u = ln ln ; du = ln, du ln ln ln = = ln u + C = ln ln ln u + C, u ln ln ln = ln ln ln ln ln ln ln ln ln = ln ln ln ln ln ln, ln ln ln ln ln ln es divergente =. Ejemplo 9 : Determine la convergencia o divergencia de la siguiente integral Solución : Se tiene que e cos a a e cos. Resolvemos la integral indefinida usando integración por partes, hacemos e cos La integral se transforma en u = e dv = cos Al derivar Al integrar e cos = e sen + du = e v = sen, e sen. Para la nueva integral, integramos por partes, de nuevo, con u = e dv = sen Al derivar Al integrar du = e v = cos, Última actualizacón: Julio Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com

13 Cálculo integral - Guía. Integrales impropias 6 y otenemos e sen = e cos cos e = e cos e cos, Así, [ e cos = e sen + e cos ] e cos = e sen e cos e cos, es decir, e cos = e sen e cos e cos, de aquí, e cos = e sen e cos + C. la familia de primitivas es e cos = e sen e cos + C, Entonces, a e cos = e sen e cos = [ e a sen a e a cos a e sen e cos ] = [ ] e a sen a e a cos a +, a luego, Calculamos [ e cos a a e a sen a, es conocido que e a sen a e a cos a + sen a, ]. si dividimos por e a, la desigualdad no camia, ya que, e a es siempre positiva sen a ea e a e a = e a e a sen a e a, si tomamos el límite cuando a tiende a infinito, se tiene por el Teorema del emparedado, a e a a e a =, a e a sen a =. De manera similar, se demuestra que a e a cos a =. Por lo tanto, [ e cos a e a sen a e a cos a + ] =, Última actualizacón: Julio Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com

14 Cálculo integral - Guía. Integrales impropias 6 es decir, e cos = es convergente. Ejemplo 9 : Determine la convergencia o divergencia de la siguiente integral Solución : Utilizando el criterio de comparación, es conocido que sen 4 sen dividimos entre, como [,, se tiene que >, así, que no camia la desigualdad sen elevamos a la potencia cuarta, deemos tener presente que la epresión 4, camia la desigualdad si los valores son negativos y la mantiene si los valores son positivos, entonces de aquí, es decir, 4 entonces, para [,, tenemos sen sen 4 4, y sen y sen 4 4,, sen 4 4 4, como, Determinamos la convergencia de la integral 4 4 sen , es convergente = 4 + = sen 4 es convergente = converge, Ejemplo 9 : Estudie la convergencia o divergencia de la siguiente integral Solución : Como, multiplicamos por, la desigualdad no camia, ya que es positivo = e multiplicamos por, la desigualdad camia, ya que estamos multiplicando por un número negativo = = Última actualizacón: Julio Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com

15 Cálculo integral - Guía. Integrales impropias 6 aplicamos eponencial, por ser una funciń creciente, no camia la desigualdad comparamos, entonces, con la función g = e = = e e, así, por lo tanto, e e e e converge = e e e + e = e, e converge Ejemplo 94 : Determine la convergencia o divergencia de la siguiente integral Solución : Oservemos que la función f = integral impropia en el límite superior, por lo tanto, luego, arcsen no está definida para =, por lo que es una es convergente Ejemplo 95 : Determine la convergencia o divergencia de la siguiente integral arcsen arcsen = π, Solución : Oservemos que el dominio de la función f = es R {, }, así, la función no 4 + está definida para = y =, por lo que se nos presenta dole discontinuidad infinita dentro del intervalo de integración, por lo tanto, denotemos por = , I = 4 +, I = 4 + y I = Encontremos la familia de primitivas de la función f, para ello usemos el método de descomposición en fracciones simples, factorizamos el denominador escriimos las fracciones simples asociadas 4 + =, 4 + = A + B = A + B = 4 + = = A +B, Última actualizacón: Julio Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com

16 Cálculo integral - Guía. Integrales impropias 6 Si =, tenemos = A + B de aquí B = Si =, tenemos = A + B de aquí A = Entonces / / 4 + = +. Para otener la familia de primitivas de la primera integral del lado derecho de la igualdad, hacemos el camio de variale z = ; dz = la integral queda / = dz z = ln z + C = ln + C para calcular la segunda integral del lado derecho de la igualdad, hacemos el camio w = ; dw = la integral queda / = dw w = ln w + C = ln + C, luego, la integral indefinida queda 4 + = ln + ln + C = ln + C. Estudiamos la convergencia o divergencia de I I = con lo que concluimos que I es divergente, luego ln = ln ln = es divergente Ejemplo 96 : Determine la convergencia o divergencia de la siguiente integral + Solución : Oservemos que la función f = no está definida para =, por lo que se nos + presenta una integral impropia en el límite superior y en el límite inferior, por lo tanto, + = denotemos por I = y I = + + En primer lugar, encontremos la familia de primitivas de la función f, para ello, hacemos el camio de variale u = = = u, du = = du = Última actualizacón: Julio Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com

17 Cálculo integral - Guía. Integrales impropias 64 la integral inde.nida queda = + du u + = arctan u + C = arctan + C. Estudiemos la convergencia o divergencia de I I = + a + a + a + = a + arctan arctan arctan a a = π 4 = π. Estudiemos la convergencia o divergencia de I I = + + = arctan arctan arctan π = π = π 4, así, Por lo tanto, + = π + π = π. + = π es convergente. Ejemplo 97 : Encuentre, tal que, ln =. Solución : Oservemos que la función f = ln no está definida para =, por lo que es una integral impropia en el límite inferior, por lo tanto, ln a + a ln, la integral de y = ln se otiene por integración por partes, hacemos La integral se transforma en ln = ln u = ln dv = Al derivar = ln du = Al integrar v =. = ln + C = ln + C, entonces, ln a + a ln a + ln = ln a + a a + a ln a ln a ln a, Última actualizacón: Julio Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com

18 Cálculo integral - Guía. Integrales impropias 65 calculamos el límite cuando a tiende a + así, es decir, ln a a ln a a + a + a ln = = L H ln a a + a + a ln = ln, =. Lo cual no puede ser. a a ln = = ln = = = e. = a + a =, Por lo tanto, Ejemplo 98 : Demuestre que así, e ln = es convergente. p diverge si < p y converge si p >. Demostración : Calculamos la integral indefinida, para el caso p. p = p = p p + C, p p p p entonces, si p >, se tiene que, p >, con lo que p p p por lo tanto, p = p si p <, entonces, p >, con lo que p p p p =, es convergente si p >, p p =, p p p por lo tanto, Si p =, entonces, por lo tanto, p = p p = p ln es divergente si p <. ln ln es divergente si p =. =, Última actualizacón: Julio Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com

19 Cálculo integral - Guía. Integrales impropias 66 Ejemplo 99 : Demostrar que la integral p ln q. es convergente si p > y q.. es convergente si p = y q >.. es divergente si p = y q. Demostración :. Si p > y q, usemos el criterio de comparación para determinar la convergencia o divergencia de la integral, es conocido que > ln, para todo > así, q > ln q, para todo > ; q. de aquí, q < ln q, para todo > ; q, como >, tenemos que, p >, si dividimos entre p no camia la desigualdad p+q < p ln q, para todo > ; q, estudiemos la convergencia o divergencia de la integral p q p+q p+q p q del hecho que p > se tiene, p <. Como con lo que,, tenemos p+q p q p q p q p q q = p + q p = p + q p = p + q p < puesto que, la integral converge, se concluye que p q p+q p q p q = p q p q p q, p ln q es convergente si p > y q.. Si p = y q >, tenemos, ln q ln q calculamos la integral indefinida haciendo el camio de variale u = ln, du = y nos queda du ln q = u q = u q ln q + C = + C, q q entonces, ln q ln q ln q ln q q q ln q q ln q q ln q. q Última actualizacón: Julio Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com

20 Cálculo integral - Guía. Integrales impropias 67 Si q >, se tiene que, q <, con lo que ln q q por lo tanto,. Si p = y q, tenemos ln q ln q = q q ln q =, es convergente si q >. a Si p = y q <, se tiene ln q ln q, calculamos la integral indefinida haciendo el camio de variale u = ln, du = y nos queda du ln q = u q = u q ln q + C = + C, q q entonces, ln q ln q ln q q como q <, entonces, q >, con lo que ln q q ln q q =, ln q q ln q q ln q. q Por lo tanto, ln q es divergente si q <. Si q =, entonces ln ln, calculamos la integral indefinida haciendo el camio de variale u = ln, du = y nos queda entonces, ln du ln = = ln u + C = ln ln + C, u ln ln ln ln ln ln ln =, Por lo tanto, ln q es divergente si q =. Última actualizacón: Julio Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com

21 Cálculo integral - Guía. Integrales impropias 68 Ejercicios. Estudie la convergencia o divergencia de las siguientes integrales. e / e. ln. 4 e. π/4 tan e 8. e /... ln ln 7. ln 8. 4 / / +. /. + 4/ ln / 5. π/ csc / / e sen e Encuentre tal que. Demuestre que 4. Demostrar que la integral ln =. p diverge si < p y converge si p >. p ln q a es convergente si p > y q. es convergente si p = y q >. c es divergente si p = y q. d es divergente para todo q si p <. Última actualizacón: Julio Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com

22 Cálculo integral - Guía. Integrales impropias Evalúe 4 ó demuestre que diverge. 6. Encuentre el área de la región comprendida entre las curvas y = y y = + 7. Encuentre el área de la región ajo la curva y = 4 a la derecha de =. para <. 8. Encuentre el área de la región comprendida entre las curvas y = 8 / y y = para < Sea R la región del primer cuadrante ajo la curva y = / y a la izquierda de =. Demuestre que el área de R es finita y encuentre su valor.. Use una pruea de comparación para decidir si convergen o divergen las siguientes integrales ln. e π/ sen ln 6. e sen 9.. ln e. + sen Respuestas: Ejercicios.. Div.;.. Div.;.. Conv.;.4. π Conv.; Conv.;.6. Conv.;.7. Div.;.8. Div.;.9. Conv.;.. Div.;.. e 6 Conv.;.. Div.;.. Div.;.4. 6 Conv.;.5. Conv.;.6. 4 Conv.;.7. Conv.;.8. Conv.;.9. Conv.;.. Div.;.. Conv.;.. Div.;.. 4 Conv.;.4. π Conv.;.5. Div.;.6. Div.;.7. ln Conv.;.8. 6 Conv.;.9. Div.;.. 4 Conv.;.. Conv.;.. Div.;.. Div.;.4. Div.;.5. Div.;.6. Div.;.7. Div.;.8. 6 Conv.;.9. Conv.;.4. 4 Conv.;.4. Conv.;.4. π 4 Conv.;.4. Div.;.44. Conv.;.45. π Conv.;.46. e Conv.;.47. Div.; Conv.;. e; 5. Div.; 6. ln ; 7. ln ; 8. 6; 9. ;.. Conv.;.. Conv.;.. Div.;.4. Div.;.5. Div.;.6. Conv.;.7. Conv.;.8. Conv.;.9. Conv.;.. Conv.;.. Conv.;.. Conv.;.. Conv.;.4. Conv.;.5. Div.; Biliografía. Purcell, E. - Varerg, D. - Rigdon, S.: Cálculo. Novena Edición. PEARSON Prentice Hall.. Stewart, J.: Cálculo. Grupo Editorial Ieroamericano. Este material ha sido revisado recientemente, pero esto no garantiza que esté lire de errores, por esa razón se agradece reportar cualquier error que usted encuentre en este material enviando un mensaje al correo electrónico farith.math@gmail.com indicando donde se encuentran dichos errores. MUCHAS GRACIAS. Última actualizacón: Julio Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com

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24 Cálculo integral - Guía 4 Volumen de un sólido Ojetivos a curir Volumen de un sólido : Secciones transversales. Volumen de un sólido de revolución : Método del disco. Método de la arándela. Volumen de un sólido de revolución : Método de los cascarones. Código : MAT-CI.4 Ejercicios resueltos Ejemplo : Sea S un sólido con ase circular de radio. Las secciones transversales paralelas, perpendiculares a la ase, son triángulos equiláteros. Encuentre el volumen del sólido. Solución : Consideremos que el círculo está centrado en el origen de coordenadas, es decir, tiene ecuación + y =. Círculo de centro, y radio. + y = Sean A, y y B, y puntos del círculo, así, y = ±, con lo cual la ase del triángulo ABC, es AB =, es decir, AB = Es conocido que el área de un triángulo equilátero de lado L viene dada por A = 4 L, así, dado que la sección transversal es un triángulo es equilátero, el área de dicha sección transversal es A = A ABC = 4 ase = 4 = y el volumen del sólido es V = A = = 4. Última actualizacón: Julio Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com

25 Cálculo integral - Guía 4. Volumen de un sólido 7 Ejemplo : Determinar el volumen de una cuña, cortada por un cilindro circular por un plano, que pasando por el diámetro de la ase está inclinado respecto a ella formando un ángulo α. El radio de la ase es igual a R. Solución : Tomamos el eje como el diámetro de la ase, por el que pasa el plano de corte y el eje y, perpendicular al anterior. La ecuación de la circunferencia de la ase será + y = R. Se puede verificar por triángulos semejantes que la sección transversal, ABC, de la cuña perpendicular al diámetro que se encuentra a la distancia del origen de coordenada es un triángulo rectángulo isósceles. Si denotamos por y a la ase y altura de este triángulo, entonces el área de la sección transversal, ABC, será igual a A = A ABC = AB BC = y y tan α = y tan α. Por lo tanto, Despejando de + y = R par, otenemos V = R V = R R A = R R y tan α la epresión y, se tiene que y = ± R, y puesto que y es una función R A = R y tan α = tan α R R = tan α. Ejemplo : Los ejes de dos cilindros horizontales, amos de radio a, se intersecan en ángulo recto. Encuentre el volumen de su sólido de intersección. Solución : Tenemos Cilindros horizontales que se intersectan perpendicularmente Sólido intersección entre los cilindros Oservemos que cada sección transversal es un cuadrado, cuyo lado se etiende a lo largo de los dos círculos que generan los cilindros. Última actualizacón: Julio Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com

26 Cálculo integral - Guía 4. Volumen de un sólido 7 Puesto que, amos cilindros tienen radio a, entonces, los círculos que los generan tienen ecuación +y = a, sin pérdida de generalidad, consideramos los círculos centrado en el origen de coordenadas, por lo tanto, Sean A, y y B, y puntos del círculo, así, y = ± a, con lo cual la ase del triángulo ABC, es AB = a a, es decir, Lado = AB = a Luego, V = a a a = 4 a a a = 6a. Ejemplo : Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región itada por las curvas y = + + +, = y los ejes coordenados alrededor de la recta vertical =. Solución : Otenemos la grafica de la región en el intervalo [, ]. Así Si = entonces y = = Si = entonces y = = 5 además, la función y = es creciente en [, ], ya que por lo que, y = = + + >, Región itada por las curvas y = ; = ; eje y eje y Oserve que el comportamiento de la función fuera del intervalo [, ] no es de interés para la otención del volumen del sólido. Última actualizacón: Julio Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com

27 Cálculo integral - Guía 4. Volumen de un sólido 74 Como deemos girar alrededor de la recta = usamos el método de las capas tamién conocido como el método de las envolventes cilindrícas ó el método de los cascarones. Rectángulo representativo para el método de las capas Sólido de revolución generado Como es conocido, el volumen viene dado por V = π p R donde p : distancia del rectángulo representativo al eje de revolución y R : longitud del rectángulo representativo. Calculamos p. Hay varias manera de encontrar p, una de ellas es la siguiente Consideremos el rectángulo representativo colocado en el etremo izquierdo del intervalo, es decir, en =, la distancia de ese rectángulo al eje de revolución recta = es igual a, así, otenemos el punto,. Consideremos el rectángulo representativo colocado en el etremo derecho del intervalo, es decir, en =, la distancia de ese rectángulo al eje de revolución recta = es igual a, así, otenemos el punto,. Buscamos la recta que pasa por estos dos puntos, y,, la cual tiene como ecuación y = +, entonces, p = +. Última actualizacón: Julio Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com

28 Cálculo integral - Guía 4. Volumen de un sólido 75 Por otra parte, R = = + + +, es decir R = La integral que nos proporciona el volumen viene dada por por lo tanto, V = π , V = 7 π. Ejemplo 4 : Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región del ejemplo alrededor de y = 6. Solución : Es conocido que la región es Región itada por las curvas y = ; = ; eje y eje y Como deemos girar alrededor de la recta y = 6 usamos el método de las arandelas Rectángulo representativo para el método de las arándelas Sólido de revolución generado de aquí Radio mayor = 6 = 6 Radio menor = = 5 Última actualizacón: Julio Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com

29 Cálculo integral - Guía 4. Volumen de un sólido 76 El volumen es V = π 6 5 = π. Ejemplo 5 : Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región itada por las curvas = 8 y, = y, alrededor de y =. Solución : La representación gráfica de la región es Región itada por las curvas = 8 y, = y Buscamos los puntos de intersección entre las curvas 8 y = y = 8 = y = y = ±. Giramos la región alrededor de la recta y = podemos usar el método de las arándelas, pero nos llevaría a calcular dos integrales Por qué?, así que usaremos el método de los cascarones. Rectángulo representativo para el método de las capas Sólido de revolución generado Como es conocido, el volumen viene dado por V = π p y R y dy, donde p y : distancia del rectángulo representativo al eje de revolución Última actualizacón: Julio Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com

30 Cálculo integral - Guía 4. Volumen de un sólido 77 y R y : longitud del rectángulo representativo. Calculamos p y. Calculamos de otra manera a la realizada anteriormente ejemplo. Como p y representa una distancia, sea y la posición de un rectángulo representativo aritrario, así la distancia de ese rectángulo al eje de revolución es p y = y = y + Por otra parte, R y = 8 y y = 8 y. La integral que nos proporciona el volumen viene dada por V = π y + 8 y dy = V = 8π. Ejercicios. La ase de un sólido es un disco circular de radio. Calcule el volumen del sólido si las secciones transversales perpendiculares a la ase son triángulos rectángulos isósceles, cuya hipotenusa se encuentra sore la ase del sólido.. La ase de un sólido es la región itada por y = y y = 4. La sección transversal del sólido perpendicular al eje es un cuadrado. Encuentre el volumen del sólido.. Encuentre el volumen del casquete de una esfera con radio r y altura h. 4. La ase de un sólido es un círculo con un radio r unidades y todas las secciones planas perpendiculares a un diámetro fijo de la ase son triángulos rectos isósceles que tiene la hipotenusa en el plano de la ase. Encontrar el volumen del sólido. 5. La ase de un sólido es la región interior del círculo + y = 4. Encuentre el volumen del sólido si toda sección transversal mediante un plano perpendicular al eje es un cuadrado. 6. La ase de un sólido está itada por un arco de y = cos, π/ π/. Toda sección transversal perpendicular al eje es un cuadrado apoyado sore su ase. Encuentre el volumen del sólido. 7. Dos cilindros rectos circulares, cada uno con radio r unidades, tiene ejes que se intersectan en ángulos rectos. Encontrar el volumen del sólido común a los dos cilindros. 8. La ase de un sólido es la región R itada por y = y y =. Toda sección transversal perpendicular al eje es un semicírculo cuyo diámetro se etiende a lo largo de R. Encuentre el volumen del sólido. 9. Una cuña se corta de un sólido en forma de cilindro recto circular con un radio de r pul por un plano que pasa a través de un diámetro de la ase y forma un ángulo de 45 con el plano de la ase. Encontrar el volumen de la cuña.. La ase de un sólido es la región itada por las paráolas y = y y =. Otenga el volumen del sólido si las secciones transversales perpendiculares al eje son cuadrados con un lado a lo largo de la ase del sólido.. La altura de un monumento es de m. Una sección transversal horizontal que está a una distancia de metros de la parte superior es un triángulo equilátero cuyo lado mide /4 metros. Calcule el volumen del monumento.. a La ase de un sólido es un cuadrado con vértices en,,,,, y,. Cada sección transversal perpendicular al eje es un semicírculo. Otenga el volumen del sólido. Demuestre que cortando el sólido considerado en la parte a, se le puede reacomodar para formar un cono. Luego, calcule su volumen. Última actualizacón: Julio Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com

31 Cálculo integral - Guía 4. Volumen de un sólido 78. Un servilletero se otiene practicando un agujero cilíndrico en una esfera de modo que el eje de aquél pase por el centro de ésta. Si la longitud del agujero es h, demostrar que el volumen del servilletero es πah, siendo a un número racional. 4. Un sólido tiene una ase de radio. Cada sección producida por un plano perpendicular a un diámetro fijo es un triángulo equilátero. Calcular el volumen del sólido. 5. Las secciones transversales de un sólido por planos perpendiculares al eje son cuadrados con centros en dicho eje. Si al cortar por el plano perpendicular en el punto de ascisa, se otiene un cuadrado cuyo lado es, se trata de hallar el volumen del sólido entre = y = a. 6. Hallar el volumen de un sólido cuya sección transversal por un plano perpendicular al eje tiene de área a + + c para cada del intervalo h. Epresar el volumen en función de las áreas B, M y B de las secciones transversales correspondientes a =, = h que resulta se conoce por fórmula del prismatoide. 7. Encuentre el volumen de un cono circular recto de altura h y radio de la ase r. y = h, respectivamente. La fórmula 8. Encuentre el volumen de un tronco de un cono circular recto con altura h, radio de la ase inferior R y radio superior r. 9. Encuentre el volumen del tronco de una pirámide con ase cuadrada de lado, cuadrado superior de lado a y altura h. Qué sucede se a =? Si a =?. Encuentre el volumen de una pirámide con altura h y ase rectangular con dimensiones y.. Encuentre el volumen de una pirámide con altura h y un triángulo equilátero con lado a un tetraedro como ase.. Encuentre el volumen de un tetraedro con tres caras perpendiculares entre sí y tres aristas perpendiculares entre sí con longitudes de cm, 4 cm y 5 cm.. Encuentre el volumen de S, si la ase de S es un disco circular con radio r. Las secciones transversales paralelas perpendiculares a la ase, son cuadrados. 4. Encuentre el volumen de S, si la ase de S es la región paraólica {, y / y }. Las secciones transversales perpendiculares al eje y son triángulos equiláteros. 5. Encuentre el volumen de S, si S tiene la misma ase que la del ejercicio 4, pero las secciones transversales perpendiculares al eje y son cuadrados. 6. Encuentre el volumen de S, si la ase de S es la región triangular con vértices,,, y,. Las secciones transversales perpendiculares al eje son semicírculos. 7. Encuentre el volumen de S, si S tiene la misma ase que la del ejercicio 6, pero las secciones transversales perpendiculares al eje son triángulos isósceles con altura igual a la ase. 8. a Enuncie una integral para otener el volumen de un toro sólido con radio r y R. Interprete la integral como un área y halle el volumen del toro. 9. Se recorta una cuña de un cilindro circular de radio 4 mediante dos planos. Uno de los planos es perpendicular al eje del cilindro. El otro se interseca con el primero en un ángulo de a lo largo de un diámetro del cilindro. Encuentre el volumen de la cuña.. Encuentre el volumen común a dos esferas cada una con radio r, si el centro de cada una se encuentra en la superficie de la otra.. La ase de un cierto sólido es un triángulo equilátero de lado a, con un vértice en el origen y una altura a lo largo del eje. Cada plano perpendicular al eje corta al sólido en una sección cuadrada con un lado en la ase del sólido. Hallar el volumen. Última actualizacón: Julio Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com

32 Cálculo integral - Guía 4. Volumen de un sólido 79. Cada plano perpendicular al eje corta a un cierto sólido en una sección circular cuyo diámetro está en el plano y y se etiende desde = 4y hasta y = 4. El sólido está entre los puntos de intersección de estas curvas. Hallar su volumen.. Si la ase de un sólido es un círculo con un radio de r unidades y si todas las secciones planas perpendiculares a un diámetro fijo de la ase son cuadradas, encontrar el volumen del sólido. 4. Se corta una cuña de un cilindro de r pul por medio de dos planos, uno perpendicular al eje del cilindro y el otro intersectando al primero en un ángulo de 6 a lo largo de un diámetro de la sección plana circular, encontrar el volumen de la cuña. 5. La ase de un sólido es un círculo que tiene un radio de r unidades. Encontrar el volumen del sólido si todas las secciones planas perpendiculares a un diámetro fijo de la ase son triángulos equiláteros. 6. Resolver el ejercicio 4 si los triángulos rectos isósceles tienen un cateto en el plano de la ase. 7. Encontrar el volumen de una pirámide recta que tiene una altura de h unidades y una ase cuadrada de a unidades de lado. 8. La ase de un sólido es un círculo con un radio 4 pul y cada sección plana perpendicular a un diámetro fijo de la ase es un triángulo isósceles que tiene una altura de pul y una cuerda del círculo como una ase. Encontrar el volumen del sólido. 9. La ase de un sólido es un círculo con un radio de 9 pul y cada sección plana perpendicular a un diámetro fijo de la ase es un cuadrado que tiene una cuerda del círculo como diagonal. Encontrar el volumen del sólido. 4. Una cuña se corta de un sólido en forma de cono recto circular que tiene un radio de la ase de 5 pul y una altura de pul por medios de dos planos a través del eje del cono. El ángulo entre los dos planos es de. Encontrar el volumen de la cuña cortada. 4. Diuje la región R itada por las gráficas de las ecuaciones dadas, mostrando un rectángulo vertical característico. Encuentre después el volumen del sólido generado por la rotación de R alrededor del eje.. y = 4, = 4, y =. y = /, y =, =, = 8. y =, =, y = 4. y = /, y =, =, = 5. y =, =, = 4, y = 6. y = 4, y =, =, = 4. Diuje la región R itada por las gráficas de las ecuaciones dadas, mostrando un rectángulo vertical característico. Encuentre después el volumen del sólido generado por la rotación de R alrededor del eje y.. = y, =, y = ;. = y, y = 6, y =, = ;. = y, y = 4, = ; 4. = 9 y, = ; 5. = y /, y = 8, = ; 6. = y /, y = 4, = ; 4. Diuje la región R itada por las gráficas de las ecuaciones dadas, mostrando un rectángulo vertical característico. Encuentre después el volumen del sólido generado por la rotación de R alrededor del eje indicado. Región Eje Región Eje. = y, = ; =. + y =, y =, = ; eje y. = y + y, = ; = 4. + y =, =, y =, y = ; eje 5. y = /, =, y = ; y = 6. y =, = 5, y = ; = 5 Última actualizacón: Julio Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com

33 Cálculo integral - Guía 4. Volumen de un sólido Encuentre el volumen del sólido generado por la rotación alrededor del eje de la región itada por la mitad superior de la elipse a + y = y el eje, encuentre después el volumen del esferoide alargado. Aquí, a y son constantes positivas, siendo a >. 45. Encuentre el volumen del sólido generado por la rotación alrededor del eje de la región itada por la recta y = 4 y la paráola y = Encuentre el volumen del sólido generado por la rotación alrededor del eje de la región itada por la recta = y y la paráola y =. 47. Halle el volumen del sólido que se genera al girar la región itada por las curvas y = r, y = r, alrededor de = r. 48. Encuentre el volumen del sólido generado por la rotación alrededor del eje de la región del primer cuadrante itada por la recta = r h, el círculo + y = r, siendo < h < r y encuentre después el volumen de un segmento esférico de altura h, si el radio de la esfera es r. 49. Encuentre el volumen del sólido generado por la rotación alrededor del eje y de la región itada por la recta y = 4 y la paráola y = Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región itada por las curvas y =, y =, alrededor de =. 5. Encuentre el volumen del sólido generado por la rotación alrededor de la recta y = de la región itada por las paráolas 6y + 48 = y 6y + 8 y el eje y. 5. Calcule los volúmenes de los sólidos que se otienen al girar la región itada por las curvas y = y y = alrededor de los siguientes ejes a el eje el eje y c y = 5. Encuentre el volumen del sólido generado por la rotación de la región del primer cuadrante itada por la curva y =, la recta = 4 y el eje. a alrededor de = 4 alrededor de y = Encuentre el volumen del sólido generado por la rotación de la región en el primer cuadrante aislada por la curva y =, la recta y = 8 y el eje y. a alrededor de = 4 alrededor de y = Sea R la región del primer cuadrante itada por las curvas y = y y =. Calcule las siguientes cantidades a El área de R. El volumen que se otiene al hacer girar R alrededor del eje. c El volumen que se otiene al hacer girar R alrededor del eje y. 56. Sea R la región itada por las curvas y = /, =, = y y =. Formule, pero no calcule, integrales para cada uno de las siguientes cantidades a El área de R. El volumen del sólido otenido cuando R gira alrededor del eje y. c El volumen del sólido que se otiene cuando R gira alrededor de la recta y =. d El volumen del sólido que se otiene mediante la rotación de R alrededor de = 4. Última actualizacón: Julio Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com

34 Cálculo integral - Guía 4. Volumen de un sólido Siga las instrucciones del prolema 56 para la región itada por y = + y y = entre = y =. 58. Aplique el método de las envolventes cilíndricas para calcular el volumen del sólido que se otiene al hacer girar alrededor del eje la región itada por las curvas dadas. = 4 y, =, y = 6 ;. = y, =, y =, y = 5 ;. y =, y = 9 4. y 6y + =, = ; 5. y =, y =, + y = ; 6. y =, =, + y = 59. Utilice el método de las envolventes cilíndricas para calcular el volumen del sólido que se genera al hacer girar alrededor del eje y la región itada por las curvas dadas. y =, y =, =, =. y = /, y =, =, =. y =, = y 4. y = sen, y =, =, = π 5. y =, y = 4, 6. y = 4 +, y =, =, = 4 7. y =, y = 8. y = 6 +, y = + 6 6, = 9. y = + 4, y =. y =, y = 6. Aplique el método de las envolventes cilíndricas para calcular el volumen del sólido que se otiene al hacer girar alrededor del eje indicado la región itada por las curvas dadas. Diuje la región y una rectángulo representativa. a y =, y =, =, = 4; alrededor del eje y. y =, y =, =, = ; alrededor del eje y. c y =, y =, =, = ; alrededor de =. d y =, y =, =, = ; alrededor de = 4. e y =, y =, = 5, alrededor de y =. f y = 4, y = 8, alrededor de =. 6. Estalezca, pero no evalúe, una integral para el volumen del sólido que se genera al hacer girar la región itada por las curvas dadas alrededor del eje indicado. a y = sen, y =, = π, = π; alrededor del eje y. y =, y =, =, = ; alrededor del eje y. + c y = + 7, y =, alrededor del eje. d = cos y, =, y =, y = π/4; alrededor del eje. e y = 4, y = sen π, = 5, alrededor de =. f = 4 y, = 8 y, alrededor de y = Halle el volumen del sólido que se genera al girar la región itada por las curvas y =, y =, = y =, alrededor de y =. Última actualizacón: Julio Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com

35 Cálculo integral - Guía 4. Volumen de un sólido 8 6. Las integrales que se proporcionan a continuación representan volumenes de sólidos. Descria los sólidos correspondientes.. π/ π cos. 9 πy / dy. π 7 4. π π 4 sen 4 5. π π sen 6. πy 4 y dy 64. La región itada por las curvas dadas se hace girar alrededor del eje indicado. Calcule, por cualquier método, el volumen del sólido resultante a y = +, y =, alrededor del eje. y = +, y =, alrededor del eje y. c = y, =, alrededor del eje y. d y = +, y =, =, = ; alrededor del eje y. 65. Estalezca, pero no evalúe, una integral para el volumen del sólido que se genera al hacer girar la región itada por las curvas dadas alrededor del eje indicado a y = ln, y =, = e; alrededor del eje y. y = e, y = e, = ; alrededor del eje y. c y = e, =, = π y = ; alrededor del eje. d y = e, y =, = = ; alrededor de =. e y = e, =, y = ; alrededor de y =. f y = ln, y =, = e; alrededor de y =. 66. Encuentre el volumen del sólido generado por la rotación de la región dada por = y, y = 6, = alrededor del eje y. 67. Encuentre [ el volumen del sólido generado por la rotación de la región dada por y = arctan, = con, π alrededor del eje y. 68. Encuentre el volumen del sólido generado por la rotación de la región dada por y = e /, =, y los ejes coordenados, alrededor del eje. [ 69. Encuentre el volumen del sólido generado por la rotación de la región dada por y = sec, con, π, alrededor de la recta y =. Respuestas: Ejercicios 6. 7;. 5 ;. πh r h ; 4. r ; 5. 8 ; 6. ; 7. 6 r 9π ; 8. 8 ; 9. r pul 64 ;. 5 ;. 5 4π ;.a. ;.. 4π ;. a = 4 ; 4. 6 ; 4α ; 6. h 6 B + 4M + B ; 7. πr h πh ; 8. R Rr + r 4h ; 9. + a + a ;. h;. 7. ; 8.a. 8πR r. 7 5 π;. 6 r ; 4. a h;. cm ;. 6 r ; 4. r y dy; 8.. π r R; r pul 4 ; 5. r 8 ; 6. ; 5. ; 6. π ; ;. 5 πr ;. r a ; 7. h 6 a ; ; 8. 8π; pul 64 ; 4. ; π; π; π; 4.4. π; π; π; Última actualizacón: Julio Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com

36 Cálculo integral - Guía 4. Volumen de un sólido π; 4.. π; 4.. 8π; π; π; π; π; π; π; π; π; π; 44. 4a π; π; π; 47. rπ ; h 48. π + r h r, V = π hr h ; 49. π; 5. π; 5. 6π; 5.a. π 5 ; 5.. π 6 ; 5.c. 8π 5 ; 5.a. 4 5 π; π; 54.a π; π; 55.a. 7 ; π; 55.c. 6 π; 56.a. 4 9 ; π; 56.c. 9 π; 56.d. 9 π; 57.a. 6; π; 57.c π; d. 5 π; π; π; π; π; π; π; π; π; π; π; π 5 5 ; π ; π; π; π; 6.a. 4 5 π; π; 6.c. 7 6 π; 6.d π; 6.e. 6 π; 6.f. 56 π; 7 ; 6.a. V = π π π sen ; 6.. V = π + ; 6.c. V = π 4 6.d. V = π π/4 y cos y dy; 6.e. V = π + sen π 4 + π sen π ; 6.f. V = π 5 y 4 y 4 dy; 6. π; 6.. Región : f = cos, =, = π, Eje revolución : y; 6.. Región : f y = y /, y =, y = 9, Eje revolución : ; 6.. Región : f = 6, =, =, Eje revolución : y; 6.4. Región : f = sen 4, =, = π, Eje revolución : = 4; 6.5. Región : y = sen, =, = π, Eje revolución : ; 6.6. Región : f y = 4 y, =, =, Eje revolución : ; 64.a. 8 π; 64.. π; 64.c. 6 5 π; 64.d. 4 9 π; 65.a. 65.e. 69. Div.; V = π e ln ; 65.. V = π e e ; 65.c. V = π π e ; 65.d. V = π 9 ln ; 66. Div.; 67. Div.; 68. Div.; V = π π e ; 65.f. V = π e e ; π; Biliografía. Purcell, E. - Varerg, D. - Rigdon, S.: Cálculo. Novena Edición. PEARSON Prentice Hall.. Stewart, J.: Cálculo. Grupo Editorial Ieroamericano. Este material ha sido revisado recientemente, pero esto no garantiza que esté lire de errores, por esa razón se agradece reportar cualquier error que usted encuentre en este material enviando un mensaje al correo electrónico farith.math@gmail.com indicando donde se encuentran dichos errores. MUCHAS GRACIAS. Última actualizacón: Julio Farith J. Briceño N. farith.math@gmail.com