TEMA 3 Newton y Leibniz la derivada de f en x a coincide con la pendiente de la recta tangente a la curva y en el punto a,f

Transcripción

1 TEMA 3: Aplicaciones de las derivadas. Dos importantes pensadores de finales del siglo XVII y principios del XVIII fueron Newton y Leibniz. Cada uno trabajo en otros campos diferentes a las matemáticas. Newton es un conocido científico que hizo grandes descubrimientos en los campos de física y matemáticas. Por otra parte Leibniz destacó en las matemáticas y la filosofía. Isaac Newton ( ) en y G. W. Leibniz ( ) en 1675 descubrieron independientemente el cálculo diferencial e integral. Sus enfoques y conceptos son distintos, pero llegan básicamente a los mismos resultados Recta tangente y normal a una curva en un punto. Como ya vimos en el tema anterior, si una función f es derivable en un punto x = a, entonces, la derivada de f en x = a coincide con la pendiente de la recta tangente a la curva y = f (x ) en el punto (a,f (a)). Así pues, las rectas tangente y normal tienen por ecuaciones: 2 1

2 Pag 282: Ejemplos: Ej 1/ Halla la recta tangente y normal a la curva en el punto de abscisa 0. Ej 2/ Halla la recta tangente y normal a la circunferencia en los puntos de abscisa. (DERIVADA DE UNA FUNCIÓN IMPLÍCITA) Pag 304, 1b, 1d, 2, 3b, Información extraída de la primera derivada Monotonía de una función. Definición: Sea f una función definida en un intervalo (a,b). Se dice que f es creciente en el intervalo (a,b) si: Definición: Se dice que una función f es creciente en un punto x=a si existe un entorno de dicho punto en el que f es creciente. Definición: Sea f una función definida en un intervalo (a,b). Se dice que f es decreciente en el intervalo (a,b) si: Definición: Se dice que una función f es decreciente en un punto x=a si existe un entorno de dicho punto en el que f es decreciente. 4 2

3 Monotonía utilizando la derivada: Sea f una función derivable en el punto x=a. Entonces: Análogamente se obtiene un resultado para intervalos: El estudio de la monotonía de una función derivable en un dominio se puede realizar estudiando el signo de su función derivada en dicho dominio Extremos relativos.máximos y mínimos relativos. (Puntos singulares). Un extremo relativo es un punto donde varía la monotonía de la función Definición: f(x) tiene un máximo relativo en el punto (a,f(a)) Existe un entorno de x=a, tal que : f(x) tiene un mínimo relativo en el punto (a,f(a)) Existe un entorno de x=a, tal que : m Máximo Mínimo 6 3

4 Una función f(x) tiene un máximo absoluto en x=a : Una función f(x) tiene un mínimo absoluto en x=a : Condición necesaria de extremo relativo: Sea f una función derivable en un punto x = a. Si f tiene en dicho punto un extremo relativo, entonces: f ' (a) = 0 La condición anterior no es suficiente, es decir, puede darse que una función con derivada nula en un punto no tenga extremo relativo en dicho punto. 7 Criterio de la derivada segunda. Sea f una función dos veces derivable en x = a, siendo Entonces: Otra forma de establecer si un extremo es máximo mínimo relativo es estudiar su monotonía a la izquierda y derecha del punto en cuestión.. 8 4

5 Ejemplos: Pag 283. Ej1: Dada la función Estudia su monotonía y calcula sus puntos singulares. Pag 285. Ej 2: Comprueba que la función tiene solo dos puntos singulares, en x=0 y en x=6. Averigua de qué tipo es cada uno de esos dos puntos singulares. Pag. 304: ej. 6c, 6e, 7b, 7f 9 Extremos absolutos: Candidatos: Los extremos relativos. Cálculo: Evaluamos la función en los extremos relativos, y hallamos los límites: En (o en los puntos del borde del dominio de f) En los puntos donde f no esté definida. Los valores máximo y mínimo obtenidos son los de los extremos absolutos. Ejemplo: Calcula los máximos y mínimos relativos y/o de la función: 10 5

6 3.3. Información extraída de la segunda derivada Curvatura de una función. :: 11 Pag Ej.1 Estudia la curvatura de la siguiente función: Pag 300. Ej. 7 Calcula los puntos críticos de la función: Ejercicios: Pag. 304, 8c, 8d. 12 6

7 Ejemplos ejercicios con parámetros. Ejemplo 9 Pag. 308 Halla los coeficientes a, b, c, d de la función: Sabiendo que la ecuación de la tangente a la curva en el punto de inflexión (1, 0) es y=-3x+3, y que la función tiene un extremo relativo en x=0. Ejercicios: Pag 305, ej: 17, 18 y Problemas de optimización: Pasos a seguir: 1. Dibujo aproximado según nos indica el enunciado y colocar las incógnitas. 2. Escribir la función que queremos sea máxima o mínima. (máx, min, superior, inferior, mayor, menor ) 3. Escribir una ecuación que relaciona las variables. (Suele ser el único dato numérico del problema o algún teorema importante como el de Tales, Pitágoras, semejanza, etc ) 4. Despejar de la ecuación en 3 y sustituir en la función del paso Calcular los extremos de la función. 6. Comprobar con la segunda derivada. 7. Calcular la variable que falta sustituyendo en la ecuación del paso Escribir correctamente la solución. 14 7

8 Ejemplos: Pag ) Halla el número positivo cuya suma con veinticinco veces su inverso sea mínima. 2) De todos los triángulos rectángulos cuyos catetos suman 10cm, halla las dimensiones de aquel cuya área es máxima. 3) Entre todos los rectángulos de perímetro 12m, cuál es el que tiene la diagonal menor? 4) Determinar las dimensiones que debe tener un recipiente cilíndrico de volumen igual a 6,28 litros para que pueda construirse con la menor cantidad posible de hojalata. Ejercicios: Pag 304, ej:10, 11, 12, Pag 290: 1. a) 1.b) 2. Ejercicios repaso: 4. Ejercicios: Pag 305, ej. 16b, c, e, f, g. Pag 306, ej: 44a, b, c, d, f, g Pag 306, ej. 45 Pag 306, 33, 34, 36, 38, 39, 40, 41, 42,