Apellidos: Nombre: _2º Grupo: _C _ Día: _7-II-2013 CURSO

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1 MATEMATICAS CC SS ª EVALUACIÓN Apellidos: Nombre: º Grupo: _C _ Día: _7II013 CURSO 0113 OPCIÓN A De la función f se sabe que su función derivada es f () a) ( puntos) Estudie la monotonía y la curvatura de f b) (1,5 puntos) Sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (1, 1), calcule la ecuación de la recta tangente en dicho punto EJERCICIO a) ( puntos) Sea la función a 3 f() b 4 Determine los valores de a y b, para que la función f sea derivable en b) (1 punto) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función g() abscisa 0 1 en el punto de EJERCICIO 3 Se estima que el beneficio de una empresa, en millones de euros, para los próimos 10 años viene dado por la at t función B(t) t 0 t 6, endo t el tiempo transcurrido en años 6 t 10 a) (1 punto) Calcule el valor del parámetro a para que B sea una función continua b) (1,5 puntos) Para a 8 represente su gráfica e indique en qué períodos de tiempo la función crecerá o decrecerá c) (1 punto) Para a 8 indique en qué momento se obtiene el máimo beneficio en los primeros 6 años y a cuánto asciende su valor OPCIÓN B (3,5 puntos) Determine los valores que han de tomar a y b para que la función a 7 1 f() sea derivable en R 4 b 1 EJERCICIO En el mar hay una mancha producida por una erupción submarina La superficie afectada, en km, viene dada 11t 0 por la función f(t), endo t el tiempo transcurrido desde que empezamos a observarla t a) (1 punto) Cuál es la superficie afectada inicialmente, cuando empezamos a medirla? b) (1,5 puntos) Estudie la mancha crece o decrece con el tiempo c) (1 punto) Tiene algún ite la etenón de la superficie de la mancha? EJERCICIO 3 a) (1,5 puntos) Dada la función f() +a+b, determine los valores de a y b sabiendo que su gráfica pasa por el punto (1, 3) y alcanza un etremo en b) (1,5 puntos) Calcule la ecuación de la recta tangente a la función g() 3 +1, en el punto de abscisa 1

2 SOLUCIÓN DEL EXAMEN OPCIÓN A De la función f se sabe que su función derivada es f () a) ( puntos) Estudie la monotonía y la curvatura de f b) (1,5 puntos) Sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (1, 1), calcule la ecuación de la recta tangente en dicho punto a1) Para estudiar la monotonía debemos estudiar f () Si f () , con soluciones 1 1 y 3 5, que puede ser los etremos relativos, tal como se observa en la figura 1 5/3 Tomando valores en los distintos intervalos obtenemos que: f > 0 y por lo tanto f es creciente en (, 1)(5/3, ) f < 0 y por lo tanto f es decreciente en (1, 5/3) Por lo tanto: 1 es un máimo relativo de f 5/3 es un mínimo relativo de f a) Para estudiar la curvatura debemos estudiar f () 68 Si f () , con solución 0 3 4, que puede ser punto de infleión, tal como se observa en la figura Tomando valores en los distintos intervalos obtenemos que: f < 0 y por lo tanto f es cóncava () en (,4/3) f > 0 y por lo tanto f es convea () en (4/3,+ ) 4/3 b) La recta tangente tiene de ecuación y f( 0 ) f'( 0 ) ( 0 ) Es decir: y f(1) f'(1) (1) Como la gráfica de f pasa por el punto (1,1), cumple que f(1) 1 Si f () f (1) sustituyendo valores, la recta tangente pedida es: y 1 0( 1) y 1 0 y 1 EJERCICIO a 3 a) ( puntos) Sea la función f() b 4 Determine los valores de a y b, para que la función f sea derivable en b) (1 punto) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función g() abscisa 0 1 en el punto de a) Para que una función sea derivable ha de ser continua, por lo tanto en primer lugar estudiamos la continuidad de f, que es una función definida a trozos La rama de la izquierda es una función polinómica, por lo tanto continua y derivable en todo R, en particular en (,) La rama de la derecha es una función polinómica, por tanto continua y derivable en todo R, en particular en (,+ ) Por lo tanto únicamente debemos ver la continuidad en el punto de solapamiento,

3 f() f() (a 3) 4a+6 f() b 4) b 4a + 6 b 4a +b 6 [1] ( Ambas ramas son funciones derivables en sus dominios tal como discutimos en el apartado anterior Falta únicamente estudiar la derivabilidad en el punto de solapamiento, utilizando la igualdad [1] obtenida en el apartado anterior: f'( ) lim f() f() (a 3 )(4a 6) lim [a( ) 3] 4a+3 ( 3 a( 4) 3( ) ( lim ( )[a( ) 3] f'( + f() f() b 4) (4a 6) b 4) b 4) b( ) ) ( )[( ) b] [( ) b] 4b Como ambos valores tienen que ser iguales para que sea derivable, tenemos que: 4a+3 4b 4a+b 1 [] Otra alternativa, menos válida y elegante matemáticamente hablando es obligar a que la derivada sea continua: a 3 f'() b f'( ) () (a 3) 4a+3 f'( + ) f' f' () ( b) 4b 4a+3 4b 4a+b 1 [] Resolvemos el stema de ecuaciones formado por [1] y [] 4a + b 6 4a+b 1 Restando miembro a miembro ambas ecuaciones: b 7 Sustituyendo en la segunda ecuación: 1b 1( 7) 8 a a Es decir que obtenemos la función: 3 f() 7 4 b) La recta tangente tiene de ecuación y g( 0 ) g'( 0 ) ( 0 ) Es decir: y g(0) g'(0) (0) Sustituimos en la función: g() g(0) 1 Hallamos la derivada y sustituimos: 1( 1) ( )1 3 g () g (0) Sustituyendo valores, la recta tangente pedida es: y () 3( 0) y + 3 y 3 (

4 EJERCICIO 3 Se estima que el beneficio de una empresa, en millones de euros, para los próimos 10 años viene dado por at t la función B(t) t 0 t 6, endo t el tiempo transcurrido en años 6 t 10 a) (1 punto) Calcule el valor del parámetro a para que B sea una función continua b) (1,5 puntos) Para a 8 represente su gráfica e indique en qué períodos de tiempo la función crecerá o decrecerá c) (1 punto) Para a 8 indique en qué momento se obtiene el máimo beneficio en los primeros 6 años y a cuánto asciende su valor a) La función B es una función definida a trozos La rama de la izquierda es una función polinómica, por lo tanto continua en todo R, en particular en [0, 6) La rama de la derecha es una función polinómica, por tanto continua en todo R, en particular en (6, 10] Por lo tanto únicamente debemos ver la continuidad en el punto de solapamiento, t 6 f(6) f(t) (at t ) 6a f(t) t a36 1 6a 48 a 8 b) Para a 8 la epreón de la función es: 8t t B(t) t 0 t 6 6 t 10 Si 0 t 6, B(t) 8t t, cuya gráfica es una parábola cóncava ya que el coeficiente a es negativo El vértice lo hallamos anulando la primera derivada: B (t) 0 8t 0 t 4 Que es un máimo, ya que B (t) < 0, endo su ordenada: B(4) El vértice es por lo tanto V 4,16) Si 6 < t 10, B(t) t, cuya gráfica es una recta que pasa por el origen y de pendiente Su representación es la de la figura adjunta: Los períodos de tiempo en la función crecerá o decrecerá viene dados en función de la primera derivada: 8 t 0 t 6 B (t) 6 t 10 B (t) 0 8t 0 t 4 Obtenemos las regiones dadas en la figura adjunta: Tomando valores en los distintos intervalos obtenemos que: B > 0 y por lo tanto B es creciente en (0, 4)(6,10) B < 0 y por lo tanto B es decreciente en (4, 6) c) Para a 8 se obtiene la función: 8t t B(t) t 4 0 t 6 6 t

5 Tal como vimos en el apartado anterior en los primeros 6 años la función es creciente hasta el cuarto año, momento en que empieza a decrecer luego, aplicando el criterio de la primera derivada, en t 4 se obtiene el máimo beneficio y su valor es: B(4) Que es un máimo absoluto porque en los etremos alcanza los valores B(0) B(4) El máimo beneficio se alcanza en el 4º año (t 4), y alcanza un valor de 16 millones de euros OPCIÓN B (3,5 puntos) Determine los valores que han de tomar a y b para que la función a 7 1 f() sea derivable en R 4 b 1 a) Para que una función sea derivable ha de ser continua, por lo tanto en primer lugar estudiamos la continuidad de f, que es una función definida a trozos La rama de la izquierda es una función polinómica, por lo tanto continua y derivable en todo R, en particular en (,1) La rama de la derecha es una función polinómica, por tanto continua y derivable en todo R, en particular en (1,+ ) Por lo tanto únicamente debemos ver la continuidad en el punto de solapamiento, 1 f() ( a 7) a8 1 f(1) 1 1 f() (4 b) 4b 1 a8 4b a + b 1 [1] Ambas ramas son funciones derivables en sus dominios tal como discutimos en el apartado anterior Falta únicamente estudiar la derivabilidad en el punto de solapamiento, utilizando la igualdad [1] obtenida en el apartado anterior: f'(1 f() f(1) ( a 7)(a8) 1 a a ( 1) a( 1) ) lim 1 1 lim ( 1)[( 1) a] [( 1) a] +a f'(1 + f() f(1) (4 b)(a8) (4 b)(4 b) 4 b 4 b ) ( 1) Como ambos valores tienen que ser iguales para que sea derivable, tenemos que: +a 4 a 6 Otra alternativa, menos válida y elegante matemáticamente hablando, es obligar a que la derivada sea continua: a 1 f'() 4 1 f'(1 ) f' () ( a) +a f'(1 + ) 1 f' 1 1 () a 4 a 6 Sustituyendo el valor de a en la ecuación [1]: b 1 a 16 6 b 6 5

6 EJERCICIO En el mar hay una mancha producida por una erupción submarina La superficie afectada, en km, viene dada 11t 0 por la función f(t), endo t el tiempo transcurrido desde que empezamos a observarla t a) (1 punto) Cuál es la superficie afectada inicialmente, cuando empezamos a medirla? b) (1,5 puntos) Estudie la mancha crece o decrece con el tiempo c) (1 punto) Tiene algún ite la etenón de la superficie de la mancha? a) La superficie afectada inicialmente, cuando empezamos a medirla, será la obtenida al sustituir en la función el tiempo por t f(0) 10 km 0 La superficie afectada inicialmente es de 10 km b) Para estudiar la mancha crece o decrece con el tiempo, estudiamos como varía la primera derivada f (t) para t > 0, aplicando las reglas de derivación de cocientes y funciones polinómicas 11(t ) (11t 0)1 11t 11t 0 f (t) (t ) (t ) (t ) Como la derivada es empre potiva, ya que numerador y denominador lo son, para cualquier valor de t > 0, la función f(t) empre es creciente por tanto la mancha empre crece con el tiempo c) Para calcular tiene algún ite la etenón de la superficie de la mancha calcularemos el ite de f(t) cuando t tiende a infinito, teniendo en cuenta que el comportamiento antótico de las funciones polinómicas viene dado por el monomio de mayor grado: 11t 0 11t f(t) 11 t t t t t La mancha nunca llegará a los 11 km EJERCICIO 3 a) (1,5 puntos) Dada la función f() +a+b, determine los valores de a y b sabiendo que su gráfica pasa por el punto (1, 3) y alcanza un etremo en b) (1,5 puntos) Calcule la ecuación de la recta tangente a la función g() 3 +1, en el punto de abscisa 1 a) Como f() +a+b su derivada es: f'() 4 + a Como su gráfica pasa por el punto (1, 3) f(1) 3 1 +a1+b 3 +a+b 3 [1] Como alcanza un etremo en : f'() 0 4() + a 0 8+a 0 a 8 Sustituyendo en [1] obtenemos: +8+b 3 b b 7 Es decir: f() +87 b) La recta tangente tiene de ecuación y g( 0 ) g'( 0 ) ( 0 ) Es decir: y g(1) g'(1) (1) Sustituimos en la función: g(1) g(1) Hallamos la derivada y sustituimos: g () 6 g (1) 61 4 Sustituyendo valores, la recta tangente pedida es: y 4(1) y 44 y 4 6