2x 8x 6, si x 1 2x 8x 6, si x 1 (Propuesto PAU Andalucía 2007) Solución

Transcripción

1 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II.- FUNCIONES ELEMENTALES x 6x5, si x 4 1 Consideremos la función f(x) x 11, si 4 x 5 Represente gráficamente la función f(x) e indique dónde alcanza su máximo y su mínimo absolutos. Cuál es el valor del máximo? Y del mínimo? (Propuesto PAU Andalucía 13) El máximo absoluto se alcanza en x3 y el mínimo absoluto en x5 El valor de la función en el máximo absoluto es 4 y en el mínimo absoluto es1 x 1, si x 1 Sea la función real de variable real f(x) x 1, si x 1 Represente gráficamente la función. (Propuesto PAU Andalucía 9) 3 Se considera la función definida por f(x) x 8x 6, si x1 x 8x 6, si x 1 (Propuesto PAU Andalucía 7). Represente la gráfica de f. - Página 1 -

2 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II x 1, si x1 4 Consideremos la función f(x). a) Determine la monotonía de f. x 1, si x 1 b) Represente gráficamente esta función. (Propuesto PAU Andalucía 6) a) f es creciente en(, ) y decreciente en(, ) 5 El beneficio esperado de una empresa, en millones de euros, en los próximos ocho años viene t 7t, si t5 dado por la función B definida por B(t) donde t indica el tiempo 1, si 5 t 8 transcurrido en años. a) Represente gráficamente la función B y explique cómo es la evolución del beneficio esperado durante esos 8 años b) Calcule cuándo el beneficio esperado es de 11,5 millones de euros. (Propuesto PAU Andalucía 6) Elbeneficioaumentahastalos3,5 años, luegodisminuyehastalos5años ysemantieneconstantehastalos8años b) Alos,5años yalos4,5años - Página -

3 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II 1, si x x 6 Sea la función f(x). Dibuje la gráfica de f y estudie su monotonía. 1, si x x (Propuesto PAU Andalucía 5) f es creciente en(, ) y decreciente en(, ) x, si x1 7 Sea la función f(x) x 4x, si x 1 a) Estudie la monotonía, determine sus extremos y analice su curvatura. b) Represente la gráfica de la función. (Propuesto PAU Andalucía 4) a) f es creciente en el intervalo (, ) y decreciente en(, ) (, ) ; el máximo relativo es (, ) y el mínimo relativo (, ) ; esconvexa en(,1) y cóncava en(1, ) - Página 3 -

4 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II 5, si x 8 Sea la función f(x) x 6x1, si x5. Represéntela gráficamente. 4x15, si x5 (Propuesto PAU Andalucía ) x, si x 4 9 Dada la función f(x) 1, si x x Dibuje la gráfica de esta función. (Propuesto PAU Andalucía ) - Página 4 -

5 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II 1 Sea x x1, si x1 f(x) x, si 1 x x 8x, si x Represente gráficamente la función y, a la vista de su gráfica, determine sus máximos y mínimos relativos, así como el crecimiento y decrecimiento. (Propuesto PAU Andalucía 1999) El máximo relativo es (4,16)y el mínimo relativo ( 1, ) f es creciente en el intervalo ( 1, ) (, 4) y decreciente en(, 1) (4, ), si x 11 Dada la función f(x) x 4x, si x 4 (x 4) 1, si 4 x Represente gráficamente f. (Propuesto PAU Andalucía 1998) x 3e, si 3 x 1 Dada la función f(x) x x 3, si x 3 Represéntela gráficamente. (Propuesto PAU Andalucía 1998) - Página 5 -

6 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II 3.- LÍMITES Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN 13 Una empresa quiere invertir en productos financieros un mínimo de un millón de euros y un máximo de seis millones de euros. La rentabilidad que obtiene viene dada en función de la cantidad x, si 1 x invertida, x, por la siguiente expresión: R(x) donde tanto x, como R(x), x 1x 16, si x 6 están expresadas en millones de euros. a) Estudie la continuidad de la función R. b) Esboce la gráfica de la función. c) Qué cantidad debe invertir para obtener la máxima rentabilidad y a cuánto asciende ésta? Para qué valores de x la rentabilidad es positiva? (Propuesto PAU Andalucía 17) lim R(x) lim (x) x x a) lim R(x) lim ( x 1x16). Por tanto, R es continua en x R es continua x x R() c) 5 millones de con una rentabilidad de 9 millones de ; La rentabilidad es positiva para x 14 Determine el valor de a para que sea continua en x = 1 la función ax, si x 1 f(x) x 1. (Propuesto PAU Andalucía 15) 3 x 3x 6x, si x1 Comodebesercontinuaenx1, entonces lim f( x) f ( 1) ax a.( 1) a lim f( x) lim x1 x1 x lim f( x) lim ( x 3x 6x) ( 1) 3.( 1) 6.( 1) 1 x1 x1 a Paraque f seacontinuaenx1debeser 1 a4 x1 a ; f( 1) - Página 6 -

7 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II (x1), si x1 15 Sea la función f(x) 4. Determine sus asíntotas, en caso de que existan., si x 1 x (Propuesto PAU Andalucía 14) 4 lim f(x) lim La A.H. en es larecta y x x x lim f(x) lim (x1) No hay A.H. en ; Tampoco hay A.O. en x x 4 x anula el denominador de pero esta fracción sólo se define para x 1 x Luego, no hay A.V. pues f no tiene discontinuidad de salto infinito Por tanto, f sólo tiene una A.H. en, que es larecta de ecuación y 16 En una empresa de montajes el número de montajes diarios realizados por un trabajador 11t17 depende de los días trabajados según la función M(t), t 1, donde t es el número de días t1 trabajados. a) Cuántos montajes realiza el primer día? Cuántos días necesitará para realizar cinco montajes diarios? b) Qué ocurriría con el número de montajes diarios si trabajara indefinidamente? (Propuesto PAU Andalucía 13) a) t 1 M(1) montajes el 1er día t17 Para hacer 5 montajes M(t) t 17 5(t 1) t 43 días t1 11 b) lim M(t) 5,5 El nº de montajes tiende a5,5 t 17 Se estima que el beneficio de una empresa, en millones de euros, para los próximos 1 años att, si t 6 viene dado por la función B(t), siendo t el tiempo transcurrido en años. t, si 6 t1 a) Calcule el valor del parámetro a para que B sea una función continua. b) Para a = 8 represente su gráfica e indique en qué períodos de tiempo la función crecerá o decrecerá. c) Para a = 8 indique en qué momento se obtiene el máximo beneficio en los primeros 6 años y a cuánto asciende su valor. (Propuesto PAU Andalucía 1) t6 t6 lim B(t) lim (at t ) 6a 36 a) lim B(t) lim (t) 1 Para que sea continua debe ser 6a 36 1 a 8 t6 t6 B(6) 6a36 - Página 7 -

8 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II 8t t, si t 6 b) Para a 8, B(t) t, si 6 t 1 Crece de a 4 años y de 6 a1 años ; decrece de los 4 alos 6 años c) A los 4 años y es de16 millones de 18 En el mar hay una mancha producida por una erupción submarina. La superficie afectada, en km, 11t viene dada por la función f(t), siendo t el tiempo transcurrido desde que empezamos a t observarla. a) Cuál es la superficie afectada inicialmente, cuando empezamos a medirla? b) Tiene algún límite la extensión de la superficie de la mancha? (Propuesto PAU Andalucía 1) a) t f() 1 km b) lim f(t) 11 Lasuperficiedelamanchatienecomolímite11km t 1 19 Halle el dominio, los puntos de corte con los ejes, y las asíntotas de la función (Propuesto PAU Andalucía 11) 4x 1 Puntos de corte con el eje X : x ; (, ) D(f) R ; x1 Punto de corte con el eje Y : (, f()) (, ) 4x 4 lim La A.H. en es larecta y x x1 4x 1 lim La A.V. es larecta x 1 x x1 4x f(x) x1 - Página 8 -

9 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II, si x x Se considera la función dada por f(x), si x x Halle las ecuaciones de las asíntotas de esta función. (Propuesto PAU Andalucía 11) 1 Sea la función lim f(x) lim La A.H. en es la recta y x x x lim f(x) lim La A.H. en es la recta y x x x lim f(x) lim Una A.V. es la recta x x x x lim f(x) lim La otra A.V. es la recta x x x x 1x, si x1 f(x) x ax3, si 1 x3. x 8x 15, si x 3 Calcule el valor de a para que f sea continua en x = 1. (Propuesto PAU Andalucía 11) x1 x1 lim f(x) lim (1 x ) x 1 x1 lim f(x) lim (x ax 3) 1 a a. f(1) Por tanto, para que sea continua en x 1 debe ser 4 a 1 a x e, si x Sea la función definida de la forma f(x) x x1, si x Es f continua en x =? Es continua en su dominio? (Propuesto PAU Andalucía 8) x x x lim f(x) lim e 1 lim f(x) lim (x x1) 1. Por tanto, f es continua en x f es continua en su dominio x x f() e 1 x3, si x 3 Se considera la función f(x) x1 x x3, si x Determine si existen asíntotas y obtenga sus ecuaciones. (Propuesto PAU Andalucía 7) lim f(x) lim (x x 3) No hay A.H. en, no tiene tampoco A.O. x x x3 lim f(x) lim La A.H. en es la recta y x x x1 x3 5 lim f(x) lim La A.V. es la recta x 1 x1 x1 x1 - Página 9 -

10 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II xk, si x 4 Sea la función f(x) x 1 x x1, si x Para k =, calcule lim f(x) y lim f(x). (Propuesto PAU Andalucía 7) x x x 1 x, si x lim f(x) lim 1 x x Para k, f(x) x 1 x 1 1 x x 1, si x lim f(x) lim (x x1) x x ax, si x 5 Dada la función f(x) a, si x (a R) x, si x Calcule el valor de a para que f sea continua en x =. (Propuesto PAU Andalucía 1) lim f(x) lim aa x x lim f(x) lim x ; Por tanto, para que sea continua en x debe ser a x x f() a xa, si x1 6 Dada la función f(x) x, si 1 x1 L(x), si x1 Calcule el valor de a para que f sea continua en x = 1. (Propuesto PAU Andalucía ) lim f(x) lim (xa).( 1) aa x 1 x1 lim f(x) lim ( x ) ( 1) 1.Por tanto,paraque seacontinuaenx 1debeser a1a3 x1 x1 f( 1).( 1) aa x e, si x1 4 7 Sea la función f(x), si 1 x1. Estudie su continuidad. x 3 1 ln(x), si x 1 (Propuesto PAU Andalucía 1999) x 1 1 lim f(x) lim e e x1 x1 e 4 lim f(x) lim x1 x1 x3 f( 1) Luego, f no es continua en x1 4 lim f(x) lim 1 x 1 x1 x3 lim f(x) lim[1 ln(x)] 1 x 1 x1 4 f(1) 1 13 Luego, f es continua en x1 f es continua en R 1 - Página 1 -

11 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II x 6, si x 8 Calcule m para que la función f(x) sea continua ln(x1) m, si x x x lim f(x) lim (x 6) 6 lim f(x) lim [ln(x1) m] m.por tanto, para que sea continua en x debe ser m6 x x f() Estudie la continuidad de la función f, determine sus asíntotas y la posición de la gráfica respecto de ellas: a) f(x) 3 a) ContinuasóloenR 1,1 x 1 x A.O.en : yx,(lagráficaestápor encimadelaasíntotaen ypor debajoen ) 1 1 lim f(x) lim f(x) x 1 x 1 A.V.: x1: A.V.: x1: 1 1 lim f(x) lim f(x) x1 x1 b) (x1) f(x) x b) Continua sólo en R A.O.en : y x 4, (la gráfica está por encima de la asíntota en 9 lim f(x) x y por debajo en ) A.V.:x : 9 lim f(x) x c) f(x) 3x x x3 c) Continua sólo enr 3, 1 A.H.en : y3, (la gráfica estápor encima dela asíntota eny por debajo en ) 7 3 lim f(x) lim f(x) x 3 x 1 A.V.:x 3: A.V.:x1: 7 3 lim f(x) lim f(x) x3 x1 d) (x3) f(x) x(x) d) Continua sólo enr, A.H.en : y1, (la gráfica estápor debajo dela asíntota eny por encima en ) 9 1 lim f(x) lim f(x) x x A.V.:x : A.V.:x : 9 1 lim f(x) lim f(x) x x - Página 11 -

12 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II e) Continua sólo enr 4x e) f(x) A.H.en : y, (la gráfica estápor debajo dela asíntota eny por encima en ) x 4 lim f(x) x A.V.:x : 4 lim f(x) x f) (x1) f(x) x 1 f) Continua todor.luego,no hay A.V. A.H.en : y1, (la gráfica estápor encima dela asíntota en ) g) 4 1, si x f(x) x 1, si x x1 g) Continua sólo enr, x x A.H.en : y, (la gráfica estápor encima dela asíntota en ) A.H.en : y1, (la gráfica estápor encima dela asíntota en ) A.V.:x: 4 lim f(x) 4 lim f(x) h) x e, si x f(x) 33x, si x x 4x3 h) Continua sólo enr 1, 3 A.H.en : y, (la gráfica estápor encima dela asíntota en ) A.H.en : y, (la gráfica estápor encima dela asíntota en ) 6 1 lim f(x) lim f(x) x1 x3 A.V.:x1: A.V.:x 3: 6 lim f(x) 1 lim f(x) x1 x3 i) x, si x x 1 f(x) 3x x, si x x i) Continua sólo enr 1, A.O.en : y3x8, (la gráfica estápor encima dela asíntota en ) A.H.en : y1, (la gráfica estápor debajo dela asíntota en ) 3 lim f(x) x1 A.V.:x1: 3 lim f(x) x1 - Página 1 -