( s) () s. 2. Representar en diagrama de Bode la respuesta frecuencial de. . Calcular frecuencia de cruce de ganancia y el. margen de fase.

Transcripción

1 Problema 1 El esquema de la fgura muestra el sstema de control bola-vga. Se pde: 1. S el rozamento es desprecable, demostrar que la FDT lnealzada entre la poscón de la bola, x(s), y el ángulo de la barra, φ(s), para el punto de reposo φ 0 0 rad, es gual a: Δx() s Δφ() s s Consderando el motor y el sensor de poscón de la bola con FDT untaras, se desea dseñar un compensador que mejore la respuesta del sstema de control realmentado. 2. Representar en dagrama de Bode la respuesta frecuencal de margen de fase. Δx Δφ () s. Calcular frecuenca de cruce de gananca y el 3. Demostrar que las condcones de dseño de una sobreosclacón del 16.5% corresponde con un margen de fase de 50º y que un tempo de establecmento de 3 segundos está relaconado con una frecuenca de cruce de gananca aproxmada de 2 [rad/s]. 4. Calcular la red de adelanto de fase que cumpla las condcones de dseño. 5. Obtener la respuesta temporal aproxmada del conjunto realmentado ante una entrada en escalón untaro. Problema 2 (3 puntos - 50 mnutos) El sstema de la fgura representa un control de orentacón de una antena basado en la compensacón del error de segumento de una referenca. Incalmente se desea realzar un control exclusvamente proporconal, por lo que se quere ver el efecto que este tene sobre el comportamento del conjunto. ref G c (s) s( s + 5,9) antena Se pde: 1.- Obtener el lugar de las raíces para el parámetro sendo la funcón de transferenca del controlador G c. 2.- Descrbr como varía el comportamento del sstema según se va ncrementando el valor de, y obtener los valores de este parámetro más sgnfcatvos. Dado que en una antena es especalmente nteresante lograr un comportamento óptmo en el segumento de objetos que se mueven a una velocdad constante, se consdera oportuno ntroducr un control PI. 3.- Obtener el lugar de las raíces para el parámetro sendo la funcón de transferenca del controlador + Gc 1. s 4.-Descrbr como evolucona el comportamento del sstema según se ncrementa el valor de la gananca ntegral ndcando los valores más sgnfcatvos. (3 puntos- 50 mnutos)

2 Problema El sguente esquema representa un modelo smplfcado de una cadena automátca de procesado de módulos prefabrcados para construccón cvl. Todo el sstema de transporte es gestonado por la msma undad motora M. Se supone que el carrl de transporte se encuentra parado hasta que todas las operacones nvolucradas en la cadena termnan. Cada actuacón sobre el carrl es sncronzada a través de una señal T proporconada por un encoder soldaro al eje del motor M (T se actva para determnar el fnal de avance del carrl). Las tareas se ejecutan de manera smultánea, por lo que el avance lógcamente de la línea será funcón de la tarea más lenta en cada caso. A1 O1 B1 O2 C1 O3 D1 O4 A B C D Lmpeza moldes Lubrcacón moldes Montaje Encofrado M T S1 S2 S3 S4 E1 O5 F1 O6 G1 E F G Soldadura mallazo Dspensador de hormgón Cámara de Curado M T S5 S6 S7 Se realzan sete operacones smultáneas en el proceso: A.- Inspeccón moldes. Actvacón nspeccón: A1, fnalzacón: O1. B.- Lmpeza de los moldes. Actvacón: B1, fnalzacón: O2. C.- Lubrcacón de los moldes. Actvacón: C1, fnalzacón: O3. D.- Montaje de los encofrados. Actvacón encofrado: D1, fnalzacón: O4. E.- Soldadura de los mallazos. Actvacón proceso de soldadura: E1, fnalzacón: O5. F.- Dspensador de hormgón. Actvacón: F1, fnalzacón: O6. G.- Cámara de curado. Actvacón del proceso de curado: G1, fnalzacón en 40 s. Los sensores S1, S2, S3, S4, S5, S6 y S7 determnarán s exsten o no elementos a procesar en la tarea correspondente. Se pde: 1. Grafcet de nvel 2 del proceso. 2. Mapeado de E/S y marcas sobre el autómata S5-95U de Semens. 3. Códgo AWL del automatsmo. (4 puntos- 50 mnutos) Publcacón de las notas: 8/2/07 Revsón: 9/2/07

3 Resolucón Problema 1 1. La ecuacón dferencal que rge un desplazamento en plano nclnado, sn rozamento, es: mg senφ m & x Las varacones alrededor del punto de reposo estarán defndas por: Δx [ g cosφ] 0 2 Δφ() s s Bode Dagram 10 Magntude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) La frecuenca de cruce de gananca será 9. 8 [rad/s] y el margen de fase será nulo. 3. De la sobreosclacón, M p,cc, se obtendrá el factor de amortguamento de la cadena cerrada, ξ cc 0.5. Por tanto, el margen de fase será de 50º, ya que γ 100ξ. De otro lado, s la frecuenca de cruce de gananca es próxma a la frecuenca natural, ω g ω n,cc, entonces el tempo de establecmento será: t s π/ξ cc ω n,cc 3. s senφm 1+ α α α ΔG ( ω' ) g 2.74 ω' g 2[ rad / s] T ω' g 1.37s α 1+ s 1.37 Gc () s s La respuesta al escalón untaro debería ser con un tempo de establecmento de alrededor de 3 segundos y una sobreosclacón del 16.5%. Al ser un sstema de tpo 2, el error al escalón untaro sería nulo. Estos valores están en concordanca a los resultados de la smulacón:

4 1.4 Step Response Ampltude Tme (sec)

5 Problema 2 El sstema de la fgura representa un control de orentacón de una antena basado en la compensacón del error de segumento de una referenca. Incalmente se desea realzar un control exclusvamente proporconal, por lo que se quere ver el efecto que este tene sobre el comportamento del conjunto. ref G c (s) s( s + 5,9) antena Se pde: 1.- Obtener el lugar de las raíces para el parámetro sendo la funcón de transferenca del controlador G c. El lugar de las races en este caso es drecto. Úncamente hay que tener en cuenta que la gananca del lugar de las raíces es LDR, pero esto afecta al segundo apartado. Utlzando las reglas del trazado, se obtenen dos ramas en el nfnto cuyas asíntotas cruzan el eje real en -2.95: 2.- Descrbr como varía el comportamento del sstema según se va ncrementando el valor de, y obtener los valores de este parámetro más sgnfcatvos. Para todos los valores de el sstema es estable, y además con un error de poscón nulo. Aplcando el crtero del módulo obtenemos el valor de LDR del punto de dspersón, y por dar aún una nformacón más detallada, tambén lo hacemos del punto en que se tene un cos < puesto que el sstema comenza realmente a tener sobreosclacón en ese punto. Esto se produce cuando el ángulo es de 45º. Por tanto:

6 2,95 LDR 8,70 17, º LDR 0,621 1,24 Por tanto, para 0<<0,621 Tenemos polos smples, y según se ncrementa el sstema se acelera y el tempo de establecmento dsmnuye. Es no osclatoro. 0,621<<1,24 Tenemos dos polos complejos conjugados como polos domnantes y según se ncrementa el sstema se hace más rápdo (aumenta ), pero no llega a osclar. 1,24< El sstema según ncrementamos aunque se hace más rápdo, no se establza antes y cada vez se vuelve más osclatoro. Las races son complejas conjugadas con una parte magnara mayor en valor absoluto que la parte real. Dado que en una antena es especalmente nteresante lograr un comportamento óptmo en el segumento de objetos que se mueven a una velocdad constante, se consdera oportuno ntroducr un control PI. 3.- Obtener el lugar de las raíces para el parámetro sendo la funcón de transferenca del controlador + Gc 1. s Lo prmero que hacemos es plantear la ecuacón característca del sstema en cadena cerrada, de forma que trabajándolo lleguemos a una expresón que permta la aplcacón del lugar de las raíces: Ahora + ( s + ) G( s) s ( s + 5,9) s + 5,9s + s 1 Gc 2 LDR, y aplcando las reglas del trazado del LDR obtenemos el sguente trazado: En este caso, además de obtenerse el centrode de las asíntotas, es necesaro obtener tamben el corte con el eje magnaro y el ángulo de salda de los polos complejos. El centrode se stúa en

7 El ángulo de salda es: -52º para el polo j Y el punto de corte con el eje magnaro según routh se da para y la ecuacón auxlar ndca que se produce en ± 3,74 j. 4.-Descrbr como evolucona el comportamento del sstema según se ncrementa el valor de la gananca ntegral. Para todo valor de que asegure la establdad, el sstema tene un error de poscón y de velocdad nulo puesto que el conjunto controlador-sstema es de Tpo II. Según se ncrementa, el sstema se hace más rápdo hasta que se vuelven domnantes los polos complejos por lo que el sstema comenza a osclar a la par que se hace más lento para fnalmente hacerse nestable para un valor de 82.6.