Prácticas de Electrodinámica Clásica

Transcripción

1 Prácticas e Electroinámica Clásica Antonio Hernánez Cabrera Departamento e Física Básica. Universia e La Laguna February 6, 009

2 Introucción La intención e estas prácticas es la e que el alumno puea simular y representar eterminaos fenómenos electromagnéticos, como consecuencia el movimiento relativista e cargas. También se analizarán casos e interacción e la raiación con la materia y la emisión e raiación e cargas en campos Práctica. Campos creaos por una carga en movimiento Esta práctica incluye una aplicación irecta e las transformaciones Lorentz. Supóngase que una carga, que se mueve con velocia v, pasa a cierta istancia b e un observaor. El objeto e la práctica es la e representar grá camente la epenencia temporal e las tres componentes cartesianas e los campos eléctrico, E, y magnético, H, que etecta el observaor. Se ha e hacer la representación para tres casos típicos: ( no relativista), 0: (relativista) y (ultrarelativista). El alumno ha e justi car los resultaos obtenios, comparano los límites no relativista y ultrarelativista. Es recomenable que el eje cartesiano e las orenaas tenga imensiones espaciales. Para ello se aconseja que se use vt, ao que v es constante. Las componentes e los campos, ese el sistema e referencia el observaor son: E = E = qvt 4 0 (b + v t ) 3= qb 4 0 (b + v t ) 3= B = c E ()

3 3 Práctica. Trayectoria e una carga bajo el campo e otra Supóngase que se tiene una partícula relativista, e carga e y masa m, moviénose en el campo creao por otra partícula inmóvil Ze. Se supone también que ambas partículas son puntuales. La práctica consiste en representar las posibles trayectorias e la partícula, bajo istintas circunstancias. Para calcular las ecuaciones iferenciales el movimiento se recomiena partir e la formulación Lagrangiana en coorenaas cilínricas (ver problema 703 e Problemas e Electroinámica Clásica, V. V. Batiguin y I. N. Toptiguin). 3. Caso : Estuiar las posibles trayectorias e la partícula relativista cuano el momento el impulso K > Ze =c 3. Caso: Estuiar las posibles trayectorias e la partícula cuano K Ze =c El alumno ebe analizar grá camente lo que sucee cuano la interacción Coulombiana entre ambas cargas es atractiva o repulsiva. También han e estuiarse las trayectorias en función e la energía e la partiícula relativista E. Dentro e la formulación Lagrangiana, las ecuaciones iferenciales el movimiento e una partícula bajo la acción e un campo electromagnético, y en coorenaas cilínricas, son: t mr t mr t mz = mr + ee r + e c = e E + c = e H z + Hz r ; H r z Hz r r; () E z + H r Hr r ; c 3

4 one (r; ; z) son las coorenaas cilínricas el EGO, y f = f. Dao que t una partícula cargaa ja sólo genera campo eléctrico, las anteriores expresiones se simpli can notablemente. Si tomamos el origen e coorenaas en la carga Ze y el eje polar irigio a lo largo e la irección el momento el impulso e la partícula relativista, el movimiento tiene lugar en el plano z = 0, y r es la istancia entre las cargas. Las os primeras ecuaciones el grupo anterior se reucen a: mr t mr t = mr + Ze r = 0 (3) De la seguna ecuación es inmeiato que el momento el impulso es una constante el movimiento mr = K = cte: (4) La otra integral el movimiento es la energía total el sistema mc + Ze = E = cte: (5) r De la última expresión, si Z < 0, se obtienen os tipos e trayectorias. Cuano r es muy grane la energía total es E = mc + T, sieno T la energía cinética, ya que la energía potencial tiene a cero. Como T 0, si E < mc, la partícula no puee alejarse emasiao el centro que la atrae, por lo que la trayectoria quea con naa (movimiento nito). Para obtener las trayectorias e la partícula, poemos observar que e (3) poemos llegar a Sustituyeno (4) en (5), one t = K mr : (6) + r r = Ze E K c ; (7) 4

5 = Ze Kc : (8) Integrano esta ecuación para 6= 0, tenemos que con r = p p ; (9) + " cos p = K c Z e 4 ; (0) Ze E sieno " una constante e integración. La seguna constante e integración, corresponiente a un cierto ángulo e arranque, puee eliminarse eligieno aecuaamente el origen e coorenaas para ; el valor e " puee expresarse a través e E y K. Las trayectorias van a ser simétricas respecto al eje x ( = 0). Caso : Si <, y suponieno " > 0; la mínima istancia entre la partícula y el centro es [ver ec. (7)] r min = p. En la expresión (7), el origen +" e la variable se ha escogio e forma que (r; a) = (r min ; 0). La partícula puee pasar muchas veces a una istancia r min el centro u origen (situao en la partícula inmóvil). En toos esos puntos ocurre que la velocia raial es nula, sieno la velocia total perpenicular a r. Por lo tanto, K = mvr min : De esta ecuación y la (4) se obtiene, utilizano r min como función e ", " = m c 4 = () E.a. Si nos jamos en esta ecuación, para que E < mc, obligatoriamente " <. En este caso el movimiento es nito y la trayectoria elipsoial. En el caso general icha trayectoria con gura una roseta abierta, comprenia entre os circunferencias e raios (perigeo) y (apogeo). La trayectoria se obtiene meiante una precesión (rotación) e una trayectoria elíptica +" " no relativista en su plano. Para ir ese un perigeo hasta otro, pasano por un apogeo, el ángulo va aumentano ese un i hasta i + p. Así, al cabo e un períoo e variación e r, el perigeo e la órbita gira p. Si, casualmente, p es un número racional entero, al cabo e varias revoluciones, la órbita se cierra sobre sí misma, repitiénose el proceso. 5

6 .b. Ahora bien, si E > mc =) " >. Aquí el movimiento es in nito y la trayectoria hiperboial, con os ramas con asíntotas en = 0 = arccos( ="). Una partícula que se aproxime a la carga Ze por una e ichas p ramas puee realizar varias órbitas en torno a la carga antes e alejarse por la otra rama..c. Un caso extremo e la anterior variante correspone a E = mc ) " =. El movimiento es in nito siguieno una trayectoria parabólica. Cuano, las trayectorias se convierten en las habituales elipse (" < ), hipérbola (" > ) y parábola (" = ) el caso no relativista e Kepler. Esto es ebio a que, si v c,. Recoremos que, en el caso no relativista, = Ze Ze juj. Según el teorema el virial, juj = T Kc rmvc mvc mv, luego mv = v. mvc c Caso. Si >, trabajaremos con argumentos complejos, por lo que es más conveniente escribir one r = p = " = p p ; () + " cosh K c + Z e 4 ; s Ze E + m c 4 E ( ): (3) La trayectoria que escribe r = r() tienen forma e espirale, curvánose en torno al origen, para =. La partícula relativista cae sobre la carga ja. En el caso no relativista esto ocurre sólo cuano K = 0, =. Caso.. Si E > mc ) " <, con lo que la trayectoria tiene os ramas asintóticas para = 0. con 0 = p sinh " : Caso.. Si E < mc ) " >, obteniénose una trayectoria seuoelíptica que muere en la carga ja tras orbitarla. Existe una peculiaria: =. Aquí hay que reintegrar las ecuaciones el movimiento para evitar singulariaes, obteniénose r = Ze E E ( ) + m c 4 ; (4) 6

7 y la trayectoria vuelve a ser una espiral que se curva en torna al origen e forma más lenta que en caso anterior. 7

8 4 Práctica 3. Raiación e cargas en movimiento 4. Movimiento rectilíneo La velocia v e una carga e relativista, corresponiente a un cierto valor el tiempo e retaro t 0, es paralela a su aceleración v. : Dibujar la istribución angular instantánea e la intensia e raiación I meiante un iagrama polar. Observar la forma e la istribución angular e la raiación para el caso ultra relativista. Recoremos que la potencia irraiaa, por unia e ángulo sólio, para una carga aceleraa con movimiento rectilíneo es: P (t 0 ) = e v sin 4c 3 ( cos ) : (5) 5 Cuano, caso no relativista, se recuperaría la expresión e Larmor. Para el caso ultra relativista,!, la raiación es altamente ireccional. El ángulo para el que la intensia e raiación emitia es máxima será max = cos 3 q + 5! : (6) Para el el caso ultra relativista, la intensia en el pico es proporcional a 8. Dao que, en estas circunstancias, el ángulo max es muy pequeño, la istibución angular e la intensia e raiación puee expresarse por P (t 0 ) = 8e v () c 3 ( + ) 5 8 : (7) El ángulo cuarático meio e emisión, = = = mc, es inepeniente e la relación entre velocia y aceleración. Integrano a las variables E angulares puee obtenerse la potencia total raiaa, P (t 0 ) = e v 6 3c 3 : (8) Es interesante recorar que = R P R : P 8

9 4. Movimiento circular Una partícula relativista e carga e y masa m se mueve escribieno una órbita circular. Dibujar la istribución angular e la raiación, hacieno énfasis en el caso ultra relativista. En este caso?. Eligieno un sistema e coorenas aecuao, con en la irección e z y en la e x, los ángulos polares y e nen la irección e observación. La potencia e la raiación emitia viene aa por P (t 0 ) = e v sin cos 4c 3 ( cos ) 3 ( cos ) : (9) En el límite relativista, con, la istribución angular puee aproximarse por P (t 0 ) e = v " # 6 4 cos c : (0) Integrano a toos los ángulos, la potencia total raiaa será P (t 0 ) = e v 4.3 Movimiento circular instantáneo 3c 3 4 : () Un electrón ultra relativista se mueve en una campo magnético homogéneo y uniforme e intensia H, escribieno una trayectoria helicoial. Su velocia v en el momento e tiempo e retaro corresponiente es perpenicular a la aceleración. Trazar el iagrama polar e la raiación emitia por períoo e rotación e la carga para los casos v c y v c. Determinar las irecciones en las que no se emite raiación. Si el eje polar está irigio a lo largo e la velocia y es el ángulo azimutal, la intensia e raiación se escribe como P (t 0 ) = e v 4c 3 ( cos ) sin cos ( cos ) 6 ; () 9

10 one la aceleración puee calcularse e la expresión general e la ecuación el movimiento e una carga sometia a un campo magnético m p = ef u : (3) La potencia promeiaa por períoo orbital e la partícula en el campo magnético será o bien, P = E t 0 = e H 8 m c 3 Z 0 cos + ( sin cos ) ( sin cos ) 5 (4) E = e H + cos sin 4 t 0 8m c 3 sin : (5) 7= 0

11 5 Práctica 4. Raiación e Cherienkov En esta práctica se estuian grá camente las coniciones necesarias para que se prouzca la raiación e Vasilov-Cherienkov, representano posteriormente la envolvente e la raiación emitia en istintos casos. Para ello se parte e una carga e que se mueve con velocia v en un meio material homogéneo e isótropo. La permitivia el meio es "(!) y la permeabilia magnética (!). En primer lugar hay que eterminar las componentes el campo electromagnético creao por la carga en movimiento. Si la velocia es v = =c, hay que estuiar el campo a granes istancias e la trayectoria, emostrano que una partícula su cientemente rápia puee emitir onas magnéticas transversales. La raiación e Cherienkov es un fenómeno causao por la ensia e un meio La energía peria por una carga en regiones alejaas e su trayectoria (es ecir, cuano el parámetro e impacto, b, es mucho mayor que el tamaño meio, a, e los átomos el meio material que atraviesan las cargas) puee obtenerse aproximano los campos generaos por icha carga cuano jaj : E (!; b)! i ze! c 3 E (!; b)! ze 0 v(!) 0 e b p ; (!) b r b e b ; B 3 (!; b)! 4v c (!)E (!; b): (6) h i =, En las expresiones anteriores =! (!) v 0 (!) es la función ieléctrica el meio y 0 la el vacio. Dao que la péria e energía por unia e recorrio, para parámetros e impacto granes, es E = 4 Z a Re B ex 3(!)E (!)!; (7) 0 b>a 0 nos encontramos que, en el caso límite, r! 4 ab 3E! ze i! 0 c 0 e (+)a : (8) (!)

12 La parte real e esta expresión proporciona la energía ceia lejos e la trayectoria. Normalmente, tiene parte real positiva, con lo que la exponencial hace que esta energía tiena rápiamente a cero. Es ecir, la energía se cee cerca e la trayectoria. Pero si, casualmente, es imaginaria pura, la exponencial vale uno, y la anterior expresión es inepeniente e a. Ahora parte e la energía se va al in nito en forma e raiación. Ocurre que es imaginario puro si (!) es real (no hay absorción) y (!) < 0. Es ecir, cuano v > q c = v f: (9) (!) 0 Es ecir, la velocia e la partícula es mayor que la velocia e fase el campo electromagnético, a frecuencia!, emitio por ella. En esta situación se emite la raiación e Cherienkov con icha frecuencia. Si se supone que (!) tiene una parte imaginaria in nitesimal positiva para! > 0, si > 0 =) = i jj =) ( =) = = i, y que (3) es real e inepeniente e a. La raiación e Cherienkov por unia e longitu a lo largo e la trayectoria e la partícula puee expresarse como E x ra = z e c 3 Z! (!)> 0!: (30) (!) La raiación no se emite uniformemente en cualquier frecuencia, sino que tiene a emitirse en banas en las que (!)= 0 > =. La primera parte e esta práctica consistiría en la representación e la bana e emisión. Por otra parte, la raiación Cherienkov es enormemente ireccional. A granes istancias e la trayectoria los campos generaos por una carga son transversales (campos e raiación). La irección e propagación viene aa por E B. El ángulo e emisión e la raiación Cherienkov se mie respecto a la irección e la velocia e la partícula y viene ao por o bien tan c = E E ; (3) cos c = p (!)= 0 : (3) Es ecir, el criterio (!)= 0 > = sirve para eterminar el ángulo e emisión como aquel con coseno menor que la unia, lo cual es una obviea.

13 La raiación Cherienkov está totalmente polarizaa en el plano formao por la irección e observación y la trayectoria e la carga. Para eterminar el ángulo e emisión c es interesante representar los paquetes e ona esféricos que acompañan a la carga, en istintos instantes e tiempo, para los casos en que v < c= p (!)= 0 y v > c= p (!)= 0 : En el último caso aparece una ona electromagnética e choque, que se propaga en la irección aa por el ángulo e Cherienkov. Esto se ebe a la interferencia e los istintos frentes e ona etrás e la partícula. El fenómeno es bastante parecio al e una fuente sonora que se esplaza a mayor velocia que el sonio, en un meio eterminao. 5. Parte Hallar grá camente las coniciones para que aparezca la raiación e Vasilov- Cherienkov como función e la velocia e la partícula y la permitivia el meio. 5. Parte Representar el intervalo angular en el que está concentraa la raiación y la formación e la ona e choque e Cherienkov.. 3

14 6 Práctica 5. Ecuaciones el movimiento e una carga relativista en un campo electromagnético Esta práctica consiste en una sencilla aplicación e la fuerza e Lorentz. Supongamos que la carga relativista es negativa y encuentra en su trayectoria un campo electromagnético F e tal forma que! E k! B y ambos están orientaos en la irección el eje Z. El problema puee resolverse en el sistema propio e la carga y, meiante una transformación e Lorentz, calcular las trayectorias en el sistema e laboratorio. La otra opción es la e calcular irectamente las trayectorias utilizano la forma relativista e la fuerza e Lorentz m u = e c F u ; con la coniciones e contorno p (t = 0) = ( E 0 c ; p ox; 0; p 0z ) x (t = 0) = (0; 0; 0; 0): 4