Primera Evaluación de Algebra Lineal I Termino 2014 Resolución

Transcripción

1 Primera Evaluación de Algebra Lineal I Termino 4 Resolución Tema Considere el espacio vectorial Real VP con las operaciones: a + b x a + b x a + a b + b 9 x α lrα a + bx αa 4 + 4α + (αb + 9 9α) a) Encuentre el vector nulo n v de V y el vector inverso aditivo del vector u+x b) Los vectores u+x y v4+6x constituyen una base para VP?Justifique su respuesta a) El problema nos dice que ya es un espacio vectorial por ende podemos aplicar propiedades que pertenecen al espacio como es: v n v Entonces a + bx a b ]x 4 + 9x N v 4 + 9x El inverso aditivo del vector u + x ( + x) a + bx 4 + 9x + a b 9 ( 4 + 9x) Despejamos la variable buscada de las ecuaciones para cada valor correspondiente + a a + b 9 9 b 5 u + 5x b) Tenemos que determinar las condiciones necesarias para que sea base: - Sea linealmente independiente. - Sea conjunto generador de todo el espacio vectorial. Verificamos independencia lineal: α + x α 4 + 6x 4 + 9x α 4 + 4α + α + 9 9α x 4α 4 + 4α + 6α + 9 9α x 4 + 9x 6α 4 + 6α + 9 x 8α 4 + α + 9 x 4 + 9x 6α 4 + 8α α α x 4 + 9x Tenemos un sistema de ecuaciones 6α + 8α 4 4 6α + 9 α 9 Por método de reducción de Gauss ~ α α Es Linealmente Independiente.

2 Determinamos si los vectores uv generan al espacio vectorial igualando un vector típico : α + x α 4 + 6x a + bx α 4 + 4α + α + 9 9α x 4α 4 + 4α + 6α + 9 9α x a + bx 6α 4 + 6α + 9 x 8α 4 + α + 9 x a + bx 6α 4 + 8α α α x a + bx Tenemos un sistema de ecuaciones 6α + 8α 4 a 6α + 9 α b Por método de reducción de Gauss a + 4 b 9 ~ a + 4 a b 9 α α R Los vectores uv generan al espacio vectorial Por ende el conjunto de los vectores (uv) forma una base una base de P. Tema Sea la matriz A a) Encuentre una base y determine la dimensión de la imagen de A. b) Usando la base del literal anterior complete una base para el espacio de R c) Encuentre una base y determine la dimensión del Núcleo de A a) Determinamos que por teorema Espacio Columna Imagen (A) y Dim (Espacio Columna)ρ A entonces escogemos las columnas linealmente independientes de la matriz A. 5 4 ~ Observamos que la fila y 4 son combinación lineal de la fila. Por ende: Esp.Columna Gen 5 y esto es La Im(A). Base de la Im A 5 yρ A

3 b) Tenemos que la base de la Im(A) comprende vectores y para que genere a R se necesita agregar un vector que no sea combinación lineal de los vectores que pertenecen a la base. Entonces: Base para R c) Por teorema: 5 ρ A + ν A n Tenemos que ρ A. Por lo tanto: ν A.Aplicamos definición de Núcleo para determinar los vectores que se encuentren en su base. Nu A X R n / A mxn X v R m 5 6 ~ ~ 4 Entonces tenemos que: x + x + x x x + x 4x 4 Pasando a sistema de ecuaciones: x + x + x x x + x 4x 4 Nu A x x x x 4 / x 9x + 7x 4 x x + x 4 entonces: B Nu(A) 9 7 Tema Sean B 5 + 9x 6 6x + 5x 7x 4x y B u u u Bases del espacio vectorial V P.Sea la matriz de transición de la base B a la base B : C a) Encuentre los vectores de la Base B b) Encuentre la matriz de cambio de base de B a B c) Sea v P tal que v B. Encuentre v y v B

4 OBSERVAMOS que tenemos las coordenadas de los vectores de la base B con respectob entonces podemos determinarla inversa de la matriz C y obtener de esta manera los vectores pertenecientes a la base B es decir: C B B C B B C u B u B u B ~ ~ b) C ~ ~ Una vez obtenida la matriz hacemos combinación lineal con las coordenadas obtenidas a los vectores de la base B. a) u B u 5 + 9x + 6 6x + 5x + x + 5x u B u 5 + 9x + 6 6x + 5x + 7x 4x + 5x + x u B u 5 + 9x + 6 6x + 5x + 7x 4x + x + x c) v + x + 5x + 5x + x + + x + x 7 + 6x + 8x Para obtener v B C v B

5 TEMA 4 (5 puntos) Sea el espacio vectorialv M x. Sean los subespacios de V: H ab cd M x c b a d a + b c W gen 4 a) Encuentre una base y determine la dimensión del subespacio H + W b) Es directa la suma H + W? Justifique su respuesta c) Es H Wun subespacio de V? Justifique su respuesta. a b B H b a a + b a) Se define la Suma De Subespacios H + W GenH GenW 4 *Verificamos independencia lineal α + α + α + α 4 4 Entonces: H + W Gen 4 b) La suma no es directa debido a que por el teorema : Sea V un espacio vectorial y sean H y W subespacios de V. V H + W y H W {}. dim H + W dimh + dimw dim (H W) + dim (H W) Pero dim (H W). Por lo tanto no cumple. c) La definicion que requiere para que H W sea subespacio vectorial es que cumpla lo siguiente: H W W H.Verificamos si los vectores pertencientes a el subespacio vectorial W cumplen con las condiciones de H. cumpla las condiciones de H c b a W H Sacamos las condiciones del subespacio vectorial W para poder evaluar el vector

6 perteniciente a H Entonces: α + α 4 a b c d a b W c d M x a + b + c a + b d Evaluamos el vector perteneciente al subespacio vectorial H en la las condiciones de W cumpla las condiciones de H a + b + c H W H W NO es subespacio vectorial TEMA 5 ( puntos) Sea V C (I)el espacio vectorial de las funciones continuas en un intervalo Ital que tienen derivadas que son tambien continuas en dicho intervalo. Sean f g V.. Se define el Wronskiano defyg para toda x Icomo : W(f g)(x) f x g(x) f x g (x) a) Demuestre que si fygson linealmente dependientes en Ientonces el Wronskiano de fygse anula en todo punto del intervaloi. b) Suponga que f(x) x y que g(x) x x. Calcule el Wronskiano de estas funciones. c) Son fyglinealmente dependientes α linealmente independientes en I ( )? Que ocurre si I ( )?Justifique sus respuestas. a) Demostramos: f x y g x son multiplos escalares entonces g x αf(x) f(x) αf(x) f (x) αf (x) αf x f x αf x f x El Wronskiano se anula para todo punto de un intervalo I b) Para poder calcular el wrosnkiano observamos que la derivada g(x) tiene regla de correspondencia: x g x ; x x ; x <

7 Entonces obligatoriamente tenemos que determinar si la derivada Existe; Aplicamos definición formal de Derivabilidad: g x + + g(x ) x ; lim lim + g x + + g(x ) ; lim lim lim g x lim +g x La derivada existe. x ; W f g x x x x x x < ; W f g x x x x x f x g x W f g x f x g x c) Determinamos dependencia o independencia lineal en el I ( ) Por teorema f x y g x son funciones diferenciales sobre un intervalo I y si W f g para algun punto x en I entonces f y g son linealmente independientes sobre I. Pero esto no nos garantiza que si Wronskiano es quiera decir que sea linealmente dependiente. Por lo tanto: Aplicamos definición de Independencia lineal: α(x ) + β x x f ; x ( ) α/4 + β/4 α/4 β/4 α β es la solución única Son f x y g x linealmente independientes en ( ) *I α(x ) + β x f α y β los escalares no estan obligados a ser cero Son linealmente dependientes. TEMA 6 ( puntos) Defina "Transformacion Lineal" y demuestre que la función T: P R con 5a + b regla de correspondencia T(a + bx) b a es una transformación lineal de b P en R

8 *Definicion de transformación lineal: Sean V y W espacios vectoriales Sea T una función cuyo dominio (conjunto de salida) es V y cuyo codominio (conjunto de llegada) es W entonces (T: V---->W) es decir Función T aplicada al vector V da lugar a W y cumple con los axiomas a continuación: *Demostramos transformación lineal t v + u t u + t(v) t αv αt(v) T a + b x + a + b x T a + b x + T a + b x 5 a +a + (b +b ) b + b (a + a ) (b + b ) 5a + b b a b + 5a + b b a b 5 a +a + (b +b ) b + b (a + a ) (b + b ) cumple T α a + b x αt a + b x α5a + αb αb αa αb α 5a + b b a b α5a + αb αb αa αb Por lo tanto cumple. SI ES UNA TRANSFORMACION LINEAL.