Definición de derivada

Transcripción

1 Dada la función: Definición de derivada f() a Se sabe que su tasa de variación media en el intervalo [,] vale. Eiste algún punto del intervalo para el cual la tasa de variación instantánea de la función sea? - Como la T.V.M. de f() en [,] es, se tiene: f() f() a ( a) a a f() - La T.V.I de f() en cualquier punto de [,] es: f( ) f() ( ) lim lim 0 0 ( ) ( Para que la T.V.I. sea, debe verificarse:,5 [,] ) Halla las tasas de variación instantánea de las siguientes funciones en los puntos y a: a) f() b) g() a) Si la función es: f() su T.V.I en a, es: f(a ) f(a) (a ) TVI(a) lim lim 0 0 (a ) (a Por tanto, operando de forma análoga, se tiene: f( ) f() ( ) TVI() lim lim 0 0 b) Si la función es: g() ( ) (6) 6 a ) a su T.V.I en a, es: g(a ) g(a) TVI(a) lim lim a 0 0 a lim 0 a(a ) a Por tanto, operando de forma análoga, se tiene:

2 g( ) g() TVI() lim lim 0 0 lim 0 ( ) 9 Halla las tasas de variación media de las siguientes funciones en los intervalos [0,] y [,9]: a) f() b) g() f() a) : T.V.M. en [0,]: T.V.M. en [,9]: f() f(0) 7 0 f(9) f() b) g() : T.V.M. en [0,]: T.V.M. en [,9]: g() g(0) g(9) g() 9 8 El espacio recorrido por un móvil viene dado por la función s(t) t 5. a) Prueba que la velocidad media es constante en cualquier intervalo [a,b]. b) Compárala con la velocidad instantánea. a) Velocidad media en el intervalo [a,b]: s(b) s(a) b 5 (a 5) (b a) v m b a b a b a que es constante. b) La velocidad instantánea es la derivada: v i s'(t) por tanto: s(t ) s(t) (t ) 5 (t 5) v s'(t) lim lim lim i Por tanto:

3 v i En este caso, ambas velocidades coinciden 5 Halla las tasas de variación media de las siguientes funciones en los intervalos [0,] y [-,]: a) f() b) g() f() c) : T.V.M. en [0,]: T.V.M. en [-,]: f() f(0) 0 0 f() f( ) 5 ( ) d) g() : g() g(0) T.V.M. en [0,]: g() g( ) 7 ( ) T.V.M. en [-,]: 6 Halla las tasas de variación instantánea de las siguientes funciones en los puntos - y a: a) f() b) g() a) La T.V.I de la función f ( ) en el punto a, es: f(a ) f(a) TVI(a) lim lim 0 0 lim 0 (a ) a (a ) a a a a lim a 0 a (a ) a (a ) (a ) a a TVI( ) ( ) Por tanto la T.V.I. de la función en -, será: b) La T.V.I de la función g() en a, es:

4 g(a ) g(a) (a ) a TVI(a) lim lim 0 0 lim a 0 ( 6a a ) a Por tanto la T.V.I. de la función en -, será: TVI( ) ( ) 7 Aplica la definición de derivada en un punto para calcular la derivada de la función: f() Eisten puntos del dominio donde la función no sea derivable? Calcula los valores de la derivada de la función en - y. El dominio de la función: f() es el conjunto R de los números reales. Aplicando la definición de derivada en un punto cualquiera de su dominio, se tiene: ( ) f( ) f() ( ) Df() f'() lim lim lim Por tanto su función derivada es: f' () definida en todos los puntos del dominio. Los valores de la derivada de la función en los puntos - y, son: f'( ) f'() 8 Aplicando la definición de derivada de una función en un punto, alla las funciones derivadas de las siguientes: f() y g() e indica si eisten puntos de sus respectivos dominios en los que no estén definidas dicas funciones derivadas. f() - El dominio de la función es el conjunto D f R { } Aplicando la definición de derivada en un punto cualquiera de su dominio, se tiene: f( ) f() Df() f'() lim lim lim ( )( ) ( )

5 Por tanto su función derivada es: función. - El dominio de la función g() f'() ( ) es el conjunto D g que está definida en todos los puntos del dominio de la R Aplicando la definición de derivada en un punto cualquiera de su dominio, se tiene: g( ) g() ( ) Dg() g'() lim lim 0 0 { 0} lim 0 ( ) Por tanto su función derivada es: g' (), definida en todos los puntos del dominio. 9 La altura, en metros, alcanzada al cabo de t segundos por un proyectil lanzado verticalmente acia arriba, viene dada por la función: f(t) 0t t Halla la velocidad media en el intervalo de tiempo comprendido entre t 0 y t 5 segundos. Eiste algún instante entre t 0 y t 5, en el que la velocidad instantánea coincida con dica velocidad media? - Velocidad media en el intervalo de tiempo [0,5]: f(5) f(0) v m 0 m/s Velocidad instantánea en un instante cualquiera: f(t ) f(t) 0(t ) (t ) vi f'(t) lim lim 0 0 Por tanto la velocidad instantánea es: v i 0 t m/s (0t t ) lim 0 0 Igualando ambas velocidades, se tiene: 0 - t 0 t,5 segundos ( t ) 0 t Por tanto en el instante,5 segundos la velocidad instantánea coincide con la media. 0 Aplicando la definición, alla la función derivada de la funció: f() Eisten puntos del dominio en los que la función no sea derivable? Calcula las derivadas de la función en los puntos - y El dominio de la función: f() es el conjunto R de los números reales.

6 Su función derivada, se obtiene calculando el límite: f( ) f() ( ) Df() f'() lim lim 0 0 ( ) ( Su función derivada, es: f' () 6` que está definida en todos los puntos del dominio Los valores de las derivadas en los puntos - y son: f'( ) f'() 6 ) lim 6 0 ( ) 6 El número de socios de un club, viene dado en función del número t de meses desde que se fundó, por la función: N(t) t t a) Determina la velocidad media de crecimiento del club. t b) Determina la velocidad instantánea de crecimiento del club. c) En qué mes, desde su fundación, el club no crecerá? a) Velocidad media de crecimiento del club en el intervalo [t,t]: v m N(t ) N(t) (t ) operando se tiene: m v t t (t ) (t ) (t ) (t t t ) b) Velocidad instantánea de crecimiento del club. Se aplica la definición de derivada: N(t ) N(t) v i lim lim m 0 0 ( v ) t t c) Como la velocidad instantánea de crecimiento es: vi t t el crecimiento es nulo, si: ± v 0 t t 0 t i 6 La anterior ecuación no tiene soluciones reales, por tanto la velocidad de crecimiento nunca se ace cero. Un móvil se desplaza según la ecuación: s(t) t t 5 donde t es el tiempo transcurrido en segundos y s(t) es el desplazamiento, en metros, después de transcurrir t segundos, se pide: a) Calcula la velocidad media del móvil en los intervalos de tiempo [0,] y [,].

7 b) Calcula la velocidad del móvil en el instante inicial, y después de transcurrir segundos. a) Las velocidades medias en los intervalos considerados son, respectivamente: En [0,]: En [,]: s() s(0) 0 5 v m 5 0 s() s() 0 6 v m 7 m/s m/s b) Tenemos que calcular las velocidades instantáneas en los instantes t 0 y t segundos. Aplicando la definición de derivada en un punto cualquiera a la función: s(t) t t 5 se tiene: v t s(t ) s(t) (t ) lim lim 0 0 (t ) 5 (t t 5) t lim lim 0 0 ( t) t Substituyendo, se obtienen los siguientes valores: v m/s y v 0 m/s La ecuación del movimiento de un móvil viene dada por f(t) t t. a) Halla la velocidad media entre t 0 y t 0 5. b) Halla la velocidad instantánea en t 0. f(5) f() 0 v m TVM[,5] f 7 5 a) b) f'(t) t ; v i f'() 7 Aplica la definición de derivada en un punto para calcular la función derivada de la función: f() Eisten puntos del dominio en donde la función no sea derivable? Calcula las derivadas en los puntos 0 y. El dominio de la función: f() es el conjunto: [ 0, ) R { 0} Aplicando la definición de derivada en un punto cualquiera del dominio, se tiene: f( ) f() Df() f'() lim lim 0 0 lim 0 ( )( ) lim ( ) 0 Por tanto su función derivada es:

8 f' () que no está definida en 0. La función f() no es derivable en el origen. El valor de la derivada en el punto, vale: f' () 5 Una población bacteriana tiene un crecimiento dado por la función: p(t) 00t 5000 siendo t el tiempo medido en oras. Se pide: a) La velocidad media de crecimiento. b) La velocidad instantánea de crecimiento para cada valor de t. c) La velocidad de crecimiento instantáneo para t 0 oras. a) Velocidad media de crecimiento en el intervalo [t, t]: p(t ) p(t) 00(t ) 5000 (00t 5000) vm 00t 00 b) Velocidad instantánea de crecimiento para cada valor de t. Se utiliza la definición de derivada: p(t ) p(t) v i p'(t) lim lim 0 0 ( 00 t 00) 00 t c) Velocidad instantánea para el instante t 0 oras: v i p'(0) La recta tangente a una curva se puede interpretar como aquélla tal que su pendiente coincide con la tasa de variación instantánea en dico punto. Con esto datos, calcula la recta tangente a la curva y 5 en el punto de abscisa. f'() ; f'() 5; f() y - 5 ( - ) y La recta tangente a una curva se puede interpretar como aquélla tal que su pendiente coincide con la tasa de variación instantánea en dico punto. Con esto datos, calcula la recta tangente a la curva y - 5 en el punto (0, ). f'() - 5; f'(0) -5 y - -5 ( - 0) y -5 8 La recta tangente a una curva se puede interpretar como aquélla tal que su pendiente coincide con la tasa de variación instantánea en dico punto. Con esto datos, calcula el punto de la curva y 7 donde la recta tangente sea paralela a la recta y 5. f'()

9 9 La recta tangente a una curva se puede interpretar como aquélla tal que su pendiente coincide con la tasa de variación instantánea en dico punto. Con esto datos, calcula el punto de la curva y - 5 donde la recta tangente sea paralela a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes. f'() - 5 Interpretación geométrica de la derivada Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva: f() en el punto de abscisa. La ecuación de la tangente: y - f(a) f'(a)( - a) Derivada de f(): f' () Derivada en : f () Ecuación de la tangente: y - 6 ( - ) Operando: - y Dada la función: f() 8. Eiste algún punto de la curva con tangente paralela a la recta y? Punto de tangencia T(a,f(a)) Pendiente de y : m 0 Función derivada: f'() - 8 Derivada en a: f'(a) a - 8 De m f (a), se tiene a - 8 0, de donde a El punto de tangencia es: T(,-5) Halla el área del triángulo determinado por los dos ejes coordenados y la tangente a la curva: f() en el punto de abscisa. Punto de tangencia T(,) Función derivada: f' () Derivada en : f'() - Ecuación de la tangente y - - ( - ) Operando: y -

10 Cortes con los ejes: A(,0) y B(0,) Área del triángulo rectángulo ABO: unidades. Halla la ecuación de la recta tangente a la parábola: f() paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Punto de tangencia T(a,f(a)). Pendiente m. Función derivada: f'() Derivada en a: f'(a) a Igualando pendientes: a por tanto a 0 El punto de tangencia es T(0,) Recta tangente: y - de donde y. 5 Determina los valores del parámetro k para que las tangentes a la curva: y k k 8 en los puntos de abscisas y -, sean paralelas. Cuáles son en tal caso las ecuaciones de ésas tangentes? La función derivada es: f'() k k Derivada en : f' () k k k, es la pendiente de la tangente en f' ( ) k k k Derivada en -: es la pendiente de la tangente en - Condición de paralelismo de las dos tangentes: f' () f'( ) k k k 0 Con el valor k 0, la función es: y 8 Ecuación de la tangente a f() en : y - f() f'()( - ) y 7 ( - ) y - 0 Ecuación de la tangente a f() en -: y - f(-) f'(-)( ) y 9 ( ) y Halla la ecuación de la recta tangente a la parábola: y 5 6 paralela a la recta de ecuación y - 0.

11 Punto de tangencia T(a,f(a)). Pendiente de y - : m -. Función derivada: f'() - 5 Derivada en a: f'(a) a - 5 Igualando pendientes: a por tanto a El punto de tangencia es T(,) Recta tangente: y - -( - ) de donde y Se a trazado una recta tangente a la curva de ecuación. y cuya pendiente es y pasa por el punto (0,-). Halla el punto de tangencia. La ecuación de la tangente a la función en un punto a, es: y - f(a) f'(a)( - a) La derivada de la función es: f' () Como la pendiente de la tangente es m : f'(a) m a a f(a) a f(a) Tenemos dos puntos de tangencia: T(,) y Q(-,-) - La tangente en T: y - ( - ) y - dica tangente pasa por el punto (0,-) - La tangente en Q: y ( ) y dica tangente no pasa por el punto (0,-) La solución es T(,) 8 Determina a y b para que la función: y a b tenga una tangente orizontal en el punto de coordenadas (-,) Cuál es la ecuación de ésa tangente? f() a b f'() a b La derivada de la función es Como el punto T(-,) es punto de tangencia, la función y su derivada verifican: - f(-) -a b - f'(-) 0 a - b 0 Resolviendo el sistema formado por esas dos ecuaciones, se tiene a y b 6 Como la ecuación de la tangente en T es y - f'(-)() Dica ecuación es: y Calcula el área del triángulo formado por los ejes coordenados y la recta tangente a la ipérbola:

12 f() en el punto de abscisa. Punto de tangencia T(,) Derivada de la función: f' () Derivada en : f'() - Ecuación de la tangente: y - -(-) Operando: y - Corte con los ejes: A(,0) y B(0,) Área del triángulo ABO: unidades. 0 Calcula todos los puntos de corte de la recta tangente a la curva de ecuación: y trazada por el punto, con la gráfica de la función. La ecuación de la tangente a la curva: y - f() f'()( - ) Derivada de la función: f' () Siendo: f() ; f'() se tiene: Ecuación de la tangente: y - ( - ) Operando: y - Los puntos de corte de la tangente con la curva, son solución del sistema: y y y 0 y 8 Se tienen dos puntos de corte: A(,) y B(-,-8) Halla los puntos de la curva:

13 f() en los que la tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Punto de tangencia: T(a,f(a)). Pendiente de la bisectriz: m. Función derivada: f'() Derivada en a: f'(a) a Igualando: a a ± Puntos de tangencia: - Para a : T(,) Para a -: T(-,) Halla las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la parábola. y que pasan por el punto (,7). Cuáles son las coordenadas de los puntos de tangencia? Sea T(a,f(a)) un punto de tangencia. La derivada de la función f() es f'() La tangente a la curva trazada por T, tiene de ecuación: y - f(a) f'(a)(-a) Substituyendo, la tangente en T es: y a a( a) Para que pase por el punto (,7) a de verificar: 7 a a( a) Operando la ecuación queda: a a T(,) 8a 7 0 a 7 T(7,9) que son los puntos de tangencia buscados. - La tangente en T(,) es la recta: y - ( - ) y - La tangente en T(7,9) es la recta: y - 9 ( - 7) y - 9 Dada la función: y Halla los vértices del triángulo cuyos lados tienen por ecuaciones las de las tangentes trazadas a la gráfica de la función en sus puntos de corte con el eje de abscisas.

14 - Los puntos de corte de la función con el eje OX son: y 0 0 ( )( )( ) 0 T (,0) T (,0) T (,0) La derivada de la función es. f'() por tanto las ecuaciones de las tres tangentes son: En T (-,0): y - 0 f'(-)( ) y 6( ) y 6 6 En T (,0): y - 0 f'()( - ) y -( - ) y - En T (,0): y - 0 f'()( - ) y ( - ) y Los vértices del triángulo son solución de los sistemas: y 6 6 ;y A y y 6 6 ;y 8 B y 6 y y 6 8 ;y 5, (, 8) C, Halla a, b y c, sabiendo que la función: f() a b c verifica las siguientes condiciones: Su gráfica pasa por el punto de coordenadas (-,0) Primer vértice del triángulo. Segundo vértice del triángulo. Tercer vértice del triángulo. La tangente a la gráfica de la función trazada por el punto de coordenadas (0,) es orizontal. La función f() a b c - La función pasa por (-,0): f( ) 0 a b c 0 tiene como derivada f'() a b - El punto (0,) es de tangencia y la tangente tiene pendiente nula: f(0) c f'(0) 0 b 0 Por tanto: - a a -

15 Derivada y continuidad Halla las derivadas de las siguientes funciones: ( 6) b() ( 5 7 ) c() ( ) a() ( 6) ( ) ( 6) a' () ( ) b'() c'() ( 0 7) ( 5 7 ) ( 0 7) ( 5 7 ) ( 0 ) ( ) ( 0 ) ( ) Halla las derivadas de las siguientes funciones: a() 6 b() 5 7 c() a' () b'() 0 7 c'() 0 Dada la función: si 0 f() si > 0 Se pide: a) Estudia la continuidad de la función en todos los puntos de su dominio. b) Estudia la derivabilidad de la función en el origen. a) El dominio de la función: si 0 f() si > 0 es el conjunto R de los números reales. Se trata de una función a trozos, definida mediante dos polinomios. Por tanto la función es: Continua para los valores de < 0 y >0, por ser las funciones polinómicas que definen a f() continuas. En 0, se tiene: lim f() lim () 0 0 lim f() lim ( ) limf() f(0) f(0) 0 por tanto f() es continua en todo su dominio.

16 b) Como f() es contínua en el origen, puede ser derivable en dico punto si sus dos derivadas laterales coinciden: Derivada por la izquierda de 0: f'(0 ) f() f(0) lim 0 ( ) lim lim 0 0 f() f(0) ( ) f'(0 ) lim lim lim ( ) 0 ` Derivada por la dereca de 0: Como las derivadas laterales en el origen son distintas, la función no es derivable en dico punto. Halla las derivadas de las siguientes funciones: ( ) b() ( ) c() ( 6) a() ( ) ( ) ( ) ( ) a' () b' () c'() ( ) ( ) ( ) ( ) ( 6 ) ( 6) ( ) ( 6) 5 Calcular aplicando la definición, la derivada de f(). Cuál es su dominio de derivabilidad? f( ) f() f'() lim lim 0 0 lim lim 0 ( ) 0 ( ) Su dominio de derivabilidad es R - {0}. 6 Hallar los puntos de la curva dada por f() - donde se anula su derivada. f'() ; ± 6 7 Halla las derivadas de las funciones: a() 5 b() - Pasando a forma potencial se tiene: a() a' ()

17 - Pasando a forma potencial se tiene: b() ( ) ( ) b'() ( ) ( ) ( ) ( ) 8 Sin allar las derivadas sucesivas de f() 0, a partir de qué derivada son nulas todas las siguientes? Las derivadas de un polinomio se anulan a partir de la siguiente al grado. En este caso, la última derivada no nula es la derivada décima, y a partir de ella todas son nulas. 9 Halla las funciones derivadas (y calcula sus valores en 0 y -) de las funciones: a() ( )( b() 6 5 ( ) ) 6 (6 6)(5 ) 5( a'() D 5 ( 5 ) 6 ) 5 ( ) ( 5 ) a'(0) 6 a'( ) 5 6 b' () ( )( D () ) 6 D () ( 9 ) () b'(0) b'( ) 5 0 Halla las derivadas de las funciones: a() ( )(7 ) b() 5 ( ) - Operando el numerador se tiene: ( )(7 ) 9 a() ( ) ( ) 9 9 a'() () - Epresando en forma potencial se tiene: b() 5 7 5

18 b' () b'() Dada la función definida mediante la epresión: a f() b si si < Calcula los valores de los parámetros a y b, para que dica función sea derivable en. Como la función: a f() b si si < a de ser continua y derivable en, se tiene: - Para que f() sea continua en, debe cumplirse la doble igualdad: f() lim f() lim f() f() b; lim f() a ; lim f() b a b 0 siendo: - Para que f() sea derivable en, sus dos derivadas laterales an de ser iguales, siendo: f( ) f() a( ) ( b) a a b f'( ) lim lim lim lim f( ) f() ( ) b ( b) f'( ) lim lim lim lim ( ) a a a Por tanto, de las dos igualdades: a b 0 a ;b a Estudiar la derivabilidad de 0 f() 0 0 lim f() lim lim f() lim Como y, la función no es continua en 0, y por tanto tampoco es derivable en 0. En el resto de valores de sí es derivable. Hallar el dominio de derivabilidad de y.

19 0 < 0 Como f'(0 - ) y f'(0 ) -, la función no es derivable en 0, por lo que el dominio de derivabilidad es R - {0}. Cálculo de derivadas Halla las derivadas de las siguientes funciones: a() 6 b() 5 6 a' () 6 ( ) 6 b'() 5 ( ) ( 6 ) 5 Halla las derivadas de las siguientes funciones y calcula el valor que toman en a() b() a'() b'() ( )' ( ) ( )' ( ) a'() ( ) ( ) 8 ( ' ) ( ) ( )' ( ) 7 b () ( ) ( ) 6 Halla las derivadas de las siguientes funciones: a() b() 5 ( ) - Poniendo la epresión como un solo radical: a() ( ) 5

20 ( ) ( ) ( ) ( ) D 5 a'() - Poniendo la epresión en forma potencial, se tiene: ( ) ( ) b() ( ) ( ) ( ) ( ) 6 b'() Halla las derivadas de las siguientes funciones: a() b() ( ) ( ) a'() - Operando se tiene: ( ) ( ) ( )( ) b() ( ) b'() 5 Halla las derivadas de las siguientes funciones, y calcula su valor en, si es posible: a() 5 b() - Pasando a forma potencial se tiene: a() ( ) ( ) 0 a'() a'() - Pasando a forma potencial se tiene:

21 b() 5 5 b' () 5 ( ) ( ) 5 5 ( ) b'() ( ) Dadas las funciones: ( ) ( ) a() b() c() ; ; Halla las derivadas de las siguientes operaciones: a() b(); b() c() y a() c() ( b() ) a'()b() a()b'() ( ) ( ) D a() ( c() ) D( ) ( ) D b() ( c() ) a'()c() a()c'() ( )( ) D a() 7 Halla la derivada de las funciones: ( ) ( ) a) b) D a) D ( ) b) 8 Se consideran las funciones: ( ) ( ) 6 ( ) ( ) a() y b(). Halla la derivada de la composición de las dos funciones en las dos formas posibles. Las funciones a() y b() tienen como derivadas: a () y b () ( ) ( ) - Sea la función:

22 A() a b() ( ) A'() b'() a' ( b() ) 8 ( ) ( ) b() ( ) ( b() ) - Sea la función: A() b a() ( ) Á'() a'() b' ( a() ) a() a () 8a() a () ( ) ( ) ( ) ( ) 9 Comprueba que no eiste ningún valor de que anule la primera derivada de anula la segunda derivada. e e y que para 0 se ( ) e e e e e f' () ( e ) ( e ) f' '() e ( e ) ( e ) ( e ) 0 Se consideran las funciones: e e, que no se anula para ningún valor de. e ( e ) e e e e ( e ) ( e ) que es igual a 0 si 0. a() y b() Halla las derivadas de las siguientes funciones compuestas: A() ( ao b )() y B() ( bo a) () Las derivadas de las funciones a() y b() son: a() a'() b() b'() ( ) ( ) - A() a b() B() b a() ( ) A'() b'() a' ( b() ) ( ) B () a'() b' ( a() ) ( ) ( b() ) ( ) ( a() ) Halla la derivada del producto y el cociente de las funciones:

23 a() ( 5) y b() ( 7 ) - Sea A' () A() a() b() ( 5) operando, se tiene: A'() - Sea B'() ( 5 ) ( 7 ) ( 5 ) ( 7 ) 8( 5 ) ( 7 ) ( 5 ) ( 7 ) ( ) B() a() b() ( 5 ) ( 7 ) ( 5 ) ( 7 5) ( 7 ) 5 Calcula las derivadas de las siguientes funciones: a() b() a( ) - Racionalizando la epresión de la función se tiene: a() ( ) ( )( ) a'() D - Aplicando la regla de la cadena, se tiene: b'() a'( ) Halla las derivadas de las siguientes funciones: a() ( ) 5 5 b() ( ) ( )

24 a'() D 5 ( ) D( ) D 9 0( ) b'() D D ( 5 ( ) ( ) ( 9 ) ) D / ( ) 0 ( ) ( ) Determinar el valor en de la derivada de la función f() 5 ( ln ) e ln. f'() 0 - ln - ( - ) f'() 0 e e ln e. 5 Calcula las derivadas de las funciones: a() b() - Operando y reduciendo a una única fracción se tiene: a() a'() ( ) - Consideremos las funciones: g() ; f() g() b() f() b'() f'() f() f() g () g() f() g() b'() 8 6 Las funciones ln y ln( 7) tienen la misma derivada? Razónalo sin calcularlas.

25 Como ln(7) ln7 ln y ln7 es una constante, las derivadas de ln y de ln(7) son iguales por ser la derivada de ln7 nula. 7 Calcula la derivada de: a) e b) ( ) a) y e lny e ln y' y e ln e e ln y' e e ln b) y' y ( ) lny ( )ln( ) ( ) ln( ) 6 9 y' y ln( ) ( ) 8 Calcula la derivada de: a) b) ( 5 ) a) y lny ln Veamos primero cuál es la derivada de lnz ln Entonces y' z' z ln z ln z' y' y ( ln ) ( ln ) ln ( ln ln ) ( ln ln ) ( ln ln ) y ( b) y' 5 5 ) lny 5( ( ) 5 ln )ln y' y 5 ln

26 Calcula las derivadas de las funciones: / e a() b() e Derivada eponencial y logatítmica c() a() e / e / e D(/) / b() e e D ( ) e c() tomando logaritmos neperianos : L ( c() ) L Derivando, se tiene: c'() L L c'() c() L() Calcula las derivadas de las funciones: a() L b() L c() log( ) d() log (5 ) a() L L() L( ) a'() () b() L L() L( ) b'() ( )( ) L( ) c() log( ) L(0) L(0) L() c'() L(0) L(5 ) L 5 d() log(5 ) L() L L L() d'() L Calcula las derivadas de las funciones: a() e b() e c() d() 5 a() e a'() e b() e b'() e c() c'() L() L()

27 d() 5 5 d'() L(5) 5 Calcula las derivadas de las funciones: a() L(7) b() L( ) c() L(/) d() L(5 ) a() L(7 ) L(7) L() a'() b() L( ) L() b'() c() L(/ ) L() L() c'() d() L(5 ) L(5) L() d'() 5 Dada la función: e f() e Determina la ecuación de la recta tangente a su gráfica trazada por el punto de corte de la función con el eje de abscisas. - El dominio de la función: e f() e es el conjunto R, dado que: R es e > 0 - Punto de corte con OX: e f() 0 0 e 0 0 O(0,0) e - Ecuación de la tangente en O(0,0): y - f(0) f'(0)( - 0), siendo: e f'() 0 ( e ) ( e ) e e e f'(0) 0 ( e ) ( e ) ( e ) La ecuación de la tangente es: y y 0 6 Calcula las derivadas de las funciones:

28 a() b() c() a() - tomando logaritmos neperianos : L a() Derivando, se tiene: a' () a() ( ) L() L() a'() ( L() ) - b() Derivando, se tiene: tomando logaritmos neperianos : L b() b'() b() L() b' () ( ) L L() ( L() ) - c() Derivando, se tiene: tomando logaritmos neperianos : L c'() c() L() c'() ( c() ) L() L() 7 Halla las funciones derivadas de las siguientes funciones y su valor en los puntos que se indican: a) b) a() L cos cos arcsen() b() π valor de la derivada en valor de la derivada en a) Aplicando cálculo logarítmico: a() L cos a() cos 0 ( L( cos ) L( cos ) cos sen cos sen cos sen a'() cos cos sen π a' cos ( cos ) sen ( cos )

29 b) arcsen() b() b'() 0 b'(0) arcsen() arcsen ( ) 8 Calcula las derivadas de las funciones: ( ) e a() b() L() c() e a() e a'() e e ( ) ( ) ( ) ( ) e b() L() b'() L() L() ( L() ) c() e ( ) e ( ) e ( ) e ( ) e 9 Calcula las derivadas de las funciones: L() b() L a() c() 5 e a() L() a'() L() L() b() L L ( ) L() L() b'() ( ) 5 c() e c'() 5 e 5 e e 5 ( 5 ) 0 Halla, si es posible, en qué puntos de su dominio la función: L() f() tiene derivada nula. Determina la ecuación de la tangente a su gráfica por el punto de corte de la función con el eje de abscisas. El dominio de la función:

30 L() f() es R Derivada de la función: f'() L() L() f'() - Puntos de derivada nula: L() L(e) f'() 0 0 L() 0 e f(e) e Ae, e e - Punto de corte de la función con OX: L() f() 0 0 L() 0 B(,0) Derivada en : L() f' () por tanto la ecuación de su tangente trazada por B(,0) es: y - f(0) f'()( - ) y - Halla las derivadas de las siguientes funciones y su valor en los puntos que se indican: a) a() sen() sen() valor de la derivada en π b() arcsen valor de la derivada en 0 b) a) Tomando logaritmos neperianos, se tiene: L sen() sen() L() L(sen()) sen() ( a() ) L L( a() ) L(sen()) sen() Derivando esta última epresión, se tiene: a'() a() cos() sen() cos() L(sen()) sen() cos() sen () sen ( L(sen()) ) cos() ( L(sen()) ) () a'() sen() sen() ( ) 0 L() a'(ππ) 0 sen ()

31 b) ( ) ( ) b'(0) b'() arcsen b() Calcula las derivadas de las funciones: L() a() e e b() L() c() ( ) L() L() a'() L() a() ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) e e e e e e e b'() e e b() ( ) L() L() c'() L() c() Calcula y simplifica la derivada de la función: k L k f() siendo k una constante real. Aplicando cálculo logarítmico, se tiene: L() k L k k L k f() Derivando, tendremos:

32 f'() k k k k k k k k k k k k k k Halla las derivadas de las siguientes funciones: ( ) a() L sen ( sen) - - a() L sen b() b' () b() b() c() ( sen) sen ( ) a'() cotg sen ( sen) L( b() ) L( sen) L cos sen cos derivando esta última igualdad, se tiene: ( sen) b'() b() ( L( sen) cotg) b'() ( sen) ( L( sen) cotg) - c() c' () c() sen ( sen) L( c() ) sen L( sen) cos L cos sen derivando esta última igualdad, se tiene: sen ( sen) sen c'() c() cos ( L( sen) ) c'() ( sen) cos ( L( sen) ) 5 Calcula las derivadas de las funciones: e a() e b() L() L() c() L e e a() a'() e ( e ) e e e ( e ) ( e ) b() L() L() b'() L() ( ) L() c() L L( ) L( ) c'() 5 ( )( ) 6 Calcula las derivadas de las funciones:

33 a() L L( b() ) c() L( ) a() L a'() L( ) b() b'() L( ) L( ) c() L( ) c'() L( ) 7 Calcula y simplifica la derivada de la función: f() L k k siendo k una constante real. La derivada de la función: f() L k k es: k k f'() k k k k k k k k k k k f'() k 8 Calcula y simplifica la derivada de la función: L( k f() ) k k L k siendo k una constante real. La derivada de la función: L( k ) f() k k L( k ) L k k ( L( k) L( k) ) es:

34 f'() k k k k k k k k k 9 Dadas las funciones: f() e Se pide: ` L ( tg) y g() a) Calcula la derivada de la función f() en el punto π/ b) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función g() en el punto de abscisa. a) La derivada de la función f() en cualquier punto de su dominio es: f'() e ` cos tg e ` sen()cos() El valor de la derivada en el punto π/ es: π f' e ` ` e π π π e b) La derivada de la función g() en, es: g'() g'() ( ) Ecuación de la tangente a la curva en : y - g() g'()( - ), se tiene: y ( ) y 0 0 Dada la función. f() ae Se pide: a) Para que valores del parámetro real a, la función tiene derivada estrictamente positiva? b) Para a, determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica en el punto de abscisa nula. a) Derivada de f() ae ( ae ) es f'() ae ( ae ) f'() ae ( ae )

35 f'() > 0 ae ( ae ) > 0 a > 0 a < 0 Por tanto: Para esos valores de a < 0, el dominio de la función, son los puntos que no anulan su denominador: ae 0 e a L a L( a) Dom(f) R { L( a) } Por tanto la función tiene derivada positiva para a < 0 y para todo punto de abscisa -L(-a) f() cuyo dominio es R e b) Para a, la función que se obtiene es: La ecuación de la tangente en 0, es y - f(0) f'(0)( - 0), siendo: f() f(0) e e f () f'(0) e por tanto la ecuación de la tangente es : y y 0 Dadas las funciones: f() e Se pide: ( ) y g() 5 L cos a) Calcula la derivada de la función f() en el punto de abscisa nula. b) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función g(), paralela a la recta y - 8. a) f() e L sen cos ( cos) f'() e e e ( ) tg Substituyendo en la derivada el valor 0, se tiene: f'(0) b) El punto de tangencia T(a,g(a)), a de verificar g'(a), pendiente de la recta dada, por tanto: g' (a) a a g() 5 7 T(,7) La ecuación de la tangente a la gráfica de g, trazada por el punto T, es por tanto: y 7 ( ) y 0 Dada la función: Crecimiento y decrecimiento f() Halla sus etremos relativos: a) Mediante el estudio del crecimiento y decrecimiento de la función. b) Comprueba los resultados obtenidos, utilizando el criterio de la curvatura.

36 a) El dominio de la función es R-{} Primera derivada: f'() ( ) Puntos críticos: f'() 0 0 ; ( ) Intervalos de monotonía: Si Si Si (, ) es f'() > 0, por tanto la función es creciente en (, ) (,) - { } es f'() < 0, por tanto la función es decreciente en (,) - { } (, ) es f'() > 0, por tanto la función es creciente en (, ) La función presenta un máimo relativo en. ya que en dico punto pasa de creciente a decreciente. La función presenta un mínimo en: ya que en dico punto pasa de decreciente a creciente. b) Comprobación: Segunda derivada: f"() 8 se tiene : f"( ) < 0, luego en ay máimo relativo ( ) f"() > 0, luego en ay mínimo relativo Dada la función: f() Halla sus etremos relativos: a) Mediante el estudio del crecimiento y decrecimiento de la función. b) Comprueba los resultados obtenidos, utilizando el criterio de la curvatura. c) El dominio de la función es R. Primera derivada: f'() 8 ( ) Puntos críticos:

37 f'() 0 8 ( ) 0 0 Intervalos de monotonía: Si Si < 0 > 0 es f'() < es f'() > 0, por 0, por tanto tanto la función la función es decreciente en es creciente en (,0) ( 0, ) La función presenta un mínimo en 0 ya que en dico punto pasa de decreciente a creciente. d) Comprobación: Segunda derivada: 8( f"() ( ) ) se tiene : f"(0) > 0 por tanto la función presenta un mínimo Dada la función: f() Halla sus intervalos de monotonía y etremos relativos. El dominio de la función es R-{-,} Primera derivada: f'() ( ) ( ) Puntos críticos: f'() 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 ; 0; Intervalos de monotonía: Si Si Si (, ) es f'() > 0, por tanto la función es creciente en (, ) (, ) { ±,0} es f'() < 0, por tanto la función es decreciente en (, ) { ±,0} (, ) es f'() > 0, por tanto la función es creciente en (, ) La función presenta un máimo relativo en ya que en dico punto pasa de creciente a decreciente. La función presenta un mínimo relativo en:

38 ya que en dico punto pasa de decreciente a creciente. En 0, la función es decreciente. Se trata de un punto crítico que no es etremo relativo Dada la función: f() ( ) Halla sus etremos relativos: a) Mediante el estudio del crecimiento y decrecimiento de la función. b) Comprueba los resultados obtenidos, utilizando el criterio de la curvatura. e) El dominio de la función es R-{-}. Primera derivada: f'() ( ) Puntos críticos: f'() ; ( ) Intervalos de monotonía: Si Si Si (, ) es f'() > 0, por tanto la función es creciente en (, ) (,) - {- } es f'() < 0, por tanto la función es decreciente en (, ) (, ) es f'() > 0, por tanto la función es creciente en (, ) La función presenta un máimo en - ya que en dico punto pasa de creciente a decreciente. La función presenta un mínimo en ya que en dico punto pasa de decreciente a creciente. f) Comprobación: Segunda derivada: f"() 8 se tiene : ( ) f"() > f"( ) < 0 por tanto la función presenta un máimo 0 por tanto la función presenta un mínimo 5 Dada la función: f() alla sus etremos relativos: a) Mediante el estudio del crecimiento y decrecimiento de la función. b) Comprueba los resultados obtenidos, utilizando el criterio de la curvatura. g) El dominio de la función es R. Primera derivada:

39 f'() ( ) Puntos críticos: f'() 0 ( ) 0 0 ; Intervalos de monotonía: Si Si Si < es f'() < 0, por tanto la función es decreciente en < < es f'() > 0, por tanto la función es creciente en > es f'() < 0, por tanto la función es decreciente en (, ) (,) (, ) La función presenta un mínimo en ya que en dico punto pasa de decreciente a creciente. La función presenta un máimo en ya que en dico punto pasa de creciente a decreciente. ) Comprobación: Segunda derivada: ( f"() ) se tiene : f"( ) > 0, luego en ay mínimo relativo ( ) f"() < 0, luego en ay máimo relativo 6 Utilizando la derivada estudia los intervalos de monotonía de las siguientes funciones: a) f() b) 7 f() a) Función derivada: f' () Para < 0 es f'() > 0, luego f() es creciente en (-,0) Para > 0 es f'() > 0, luego f() es creciente en (0, ) Para 0 es f'() 0, caso dudoso. Los valores que toma la función a la izquierda son menores que los que toma a la dereca, luego también es creciente en 0. b) Función derivada: f' () 7 6 Para < 0 es f'() > 0, luego f() es creciente en (-,0) Para > 0 es f'() > 0, luego f() es creciente en (0, ) Para 0 es f'() 0, caso dudoso. Los valores que toma la función a la izquierda son menores que los que toma a la dereca, luego también es creciente en 0. 7 La producción en kgrs. de cierta ortaliza en un invernadero, viene epresada según la temperatura T en grados centígrados por: Q(T) (T ) ( T) a) Calcula razonadamente la temperatura óptima a mantener en el invernadero.

40 b) Cuál será, en tal caso, la producción de ortaliza? a) La función de producción de ortaliza: Q(T) T 0T 6T tiene como dominio [7º, ) Su derivada es: Q'(T) T 60T 6 Q'(T) (T )( T) Los puntos que anulan la derivada son T -º y T º, por tanto: Si Si Si T < Q'(T) < 0 Función de producción decreciente < T < Q'(T) > 0 Función de producción creciente T > Q'(T) < 0 Función de producción decreciente En T - la función pasa de decreciente a creciente y la producción es mínima En T la función pasa de creciente a decreciente y la producción es máima La temperatura óptima es º b) Para T º, la producción que se obtiene es Q() 5 kg. 8 El área (cm ) ocupada por una infección cutánea se etiende a partir del instante inicial del contagio, según la función t S(t) 0 t cuando t se mide en días. Se pide: a) La superficie ocupada por la infección en el momento inicial del contagio. b) En qué instante adquiere mayor virulencia la infección? c) Con el paso del tiempo Llegará a desaparecer la infección? Se estabiliza? El dominio de la función es [0, ) a) Para t 0, se tiene un área infectada S(0) 0 cm. b) Para ver en qué instante la infección es más virulenta, estudiamos el crecimiento y decrecimiento de la función: Función derivada: S'(t) t ( t ) que se anula para t, por tanto El signo de la derivada es: Si Si t < S'(t) > 0 la superficie infectada es creciente t > S'(t) < 0 la superficie infectada es decreciente Por tanto la máima virulencia de la infección se alcanza al transcurrir el primer día. c) A medida que aumenta el tiempo, la superficie tiende a estabilizarse en el valor 0 cm, dado que:

41 t lims(t) lim0 0 t t t 9 La cotización de las acciones de una determinada sociedad, supuesto que la Bolsa funcione durante los 0 días de cada mes, en función del número d de días transcurridos, viene dada por C(d) 0'0d 0'5d 'd 00. Se pide: a) Determina los días del mes de cotización máima y mínima, determinando además para esos días los valores de la cotización. b) Períodos de tiempo en los que las acciones subieron y bajaron. a) El dominio de la función: C(d) 0'0d 0'5d 'd 00 es [0,0] La derivada de la función es: C'(d) 0'0 d 0'9 d ' C'(d) 00 (d )(d 7) Puntos que anulan la derivada: d y d 7, por tanto: Si Si Si d < C'(d) > 0 Función de cotización creciente < d < 7 C'(d) < 0 Función de cotización decreciente d > 7 C'(d) > 0 Función de cotización creciente Como en d, la función pasa de creciente a decreciente, en el tercer día se produce un máimo relativo Como en d 7, la función pasa de decreciente a creciente, en el vigésimo séptimo día se produce un mínimo La mínima cotización es el menor de los dos valores C(0) 00 y C(7),9; por tanto C(7),9 La máima cotización es el mayor de los dos valores C() 0,5 y C(0) 7,9; por tanto C() 0,5 b) La cotización subió durante los tres primeros y los tres últimos días del mes y bajaron durante los demás días. 0 La curva de ecuación: y b c pasa por el punto P(-,) y alcanza un etremo relativo en el punto de abscisa -. Halla los números b y c; y determina la naturaleza (máimo o mínimo) de ése punto etremo. Derivada de la función: f' () b De las condiciones del problema se tiene: f( ) b c b 6;c 9 f'( ) 0 6 b 0 Con esos valores, las epresiones de la función y su derivada son:

42 f() 6 9 f'() 6 - Para < - es f'() < 0, luego la función es decreciente - Para > - es f'() > 0, luego la función es creciente En - la función presenta un mínimo, ya que pasa de decreciente a creciente. Estudia los intervalos de monotonía de las siguientes funciones: a) f() b) f() c) f() a) Dominio de la función: R - {0} Función derivada: f() f'() < 0 para todos los puntos del dominio, por tanto la función es decreciente. b) Dominio de la función: R - {0} Función derivada: f() Para < 0 es f'() > 0, la función es decreciente en (-,0) Para > 0 es f'() < 0, la función es creciente en (0, ) c) Dominio de la función: [0, ) Función derivada: f() Para > 0 es f'() > 0, la función es creciente en (0, ) Para 0, la función no es derivable, pero a la dereca del punto, la función crece La función es creciente en su dominio. Se a comprobado que las ganancias que proporciona cierto juego dependen del tiempo t en minutos según la función 00t G(t) t 00 Se pide: a) En qué momento del juego debe retirarse un jugador? b) Se pueden producir pérdidas (ganancias negativas) en ese juego? a) El dominio de la función.

43 00t G(t) t 00 es [0, ) El jugador deberá retirarse cuando obtenga la mayor ganancia, así que debe estudiar el crecimiento de la función. La derivada es 00(00 t G'(t) ( t 00) ) que se anula para t 0. El signo de la derivada es: Si Si t < 0 G'(t) > 0 la función ganancia es creciente t > 0 G'(t) < 0 la función ganancia es decreciente Como en t 0, la función pasa de creciente a decreciente para t 0 minutos obtiene la mayor ganancia y es el momento óptimo para retirarse del juego. b) Resulta obvio que la variable tiempo es t 0, por tanto G(t) 0, lo cual indica que en ése juego no ay pérdidas. Dada la función: f() a b c d Calcula a,b,c,d para que presente un máimo relativo en el punto (,) y un mínimo en (-,-). Con esos valores estudia el crecimiento y decrecimiento de la función. La función: f() a b c d cuyo dominio es R y su derivada : f'() a b c verifican: f() a b c d En el punto P(,) : f'() 0 a b c 0 a ;b 0;c ;d 0 f( ) a b c d En el punto P(-,-) : f'( ) 0 a b c 0 La función resultante es: f ( ) a b c d Resultan evidentes las siguientes conclusiones: Para que en - aya mínimo: Si < - la función a de ser decreciente y para - < < la función a de ser creciente Para que en aya máimo: Si - < < la función a de ser creciente y para > la función a de ser

44 decreciente. Estudia los intervalos de monotonía de las siguientes funciones: a) f() e b) f() L ( ) c) f() arctg() a) Dominio: R Función derivada: f'() ( )e f'() 0 ( )e 0 0 Signo de la derivada: Para < es f'() < 0 la función decrece en Para > es f'() > 0 la función crece en (,) (, ) En la función presenta un mínimo, ya que pasa de decreciente a creciente. b) Dominio: (, ) ( 0, ) Función derivada: ( ) f'() ( ) f' () ( ) 0 0 Dominio ( ) Signo de la derivada: Para < - es f'() < 0 la función decrece en Para > 0 es f'() > 0 la función crece en (, ) ( 0, ) La función no presenta etremos relativos. c) Dominio: R Función derivada: f'() Signo de la derivada: f'() > 0 en todos los puntos del dominio, por tanto la función es creciente No presenta etremos relativos. 5 Dada la función: f() e a) Estudia sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y etremos relativos. b) Estudia sus intervalos de concavidad y conveidad y puntos de infleión.

45 Dominio de la función R. Función y derivadas: f() e ; f'() e a) Puntos críticos: f'() 0 e ( ); f"() e ( 8 ) ( ) 0 ( ) 0 ; 0 Monotonía: Si Si Si - < - < < 0 > 0 es f'() > 0, por es f'() < 0, por es f'() > 0, por tanto la función es creciente tanto la función es decreciente en tanto la función es creciente en (, ) (,0) ( 0, ) en En - la función tiene un máimo relativo porque en este punto pasa de creciente a decreciente. En 0 la función tiene un mínimo relativo porque en este punto pasa de decreciente a creciente. b) Curvatura: f"() 0 e Si Si Si Si < -6 < < - < < 0 > 0 ( 8 ) 0 ( 8 ) 0 6; ; 0 es f"() > 0, por tanto es f"() < 0, por tanto es f"() > 0, por tanto es f"() > 0, por tanto la la la la función función función función es es es es convea concava convea convea en en en en (, 6) ( 6, ) (,0) ( 0, ) La función presenta sólo dos infleiones en -6 y en -, puntos donde cambia la curvatura. 6 Dada la función: f() L() a) Estudia sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y etremos relativos. b) Estudia sus intervalos de concavidad y conveidad y puntos de infleión. Dominio de la función: (0, ) Función y derivadas: f() L(); f'() ( L() ; ) f"() L() a) Puntos críticos: f'() 0 / ( L() ) 0 L() 0 L() / e Monotonía: Si Si < e > e / / es es f'() < 0, f'() > 0, luego luego la la función función es es decreciente creciente en / ( 0,e ) / ( e, ) en En:

46 e / la función tiene un mínimo ya que en dico punto pasa de decreciente a creciente. b) Curvatura: f"() 0 L() 0 L() / e Si Si < e > e / / / es f"() < 0, luego la función es cóncava es f"() > 0, luego la función es convea en en / ( 0,e ) / ( e, ) En: e / la función tiene un punto de infleión, ya que en dico punto cambia su curvatura. 7 El consumo de gasolina de un coce viene dado en función de su velocidad media v por la función: e C(v) v medido en litros por ora, cuando la velocidad v se mide en kilómetros por ora, se pide: a) Cuál será la velocidad media más económica? b) Cuánta gasolina consumirá cada 00 kilómetros recorridos a esa velocidad? a) Se trata de minimizar la función e C(v) v Derivadas: 0,0v 0,0v C' (v) v 00 e 00 v 0,0v ; C"(v) ( v 00 v 0000) 0,0v 0000 v e Para que la función tenga un mínimo en algún punto debe anularse la primera derivada en dico punto, por tanto: v 00 C'(v) 0 e 00v 0,0v 00 0 v 00 0 v 00 Para ( 00) 0 v 00 se tiene C" > se trata de un mínimo v 00 La velocidad más económica es km/ v 00 b) A una velocidad de km/ tarda en recorrer 00 km un tiempo de ora, por tanto: El consumo de gasolina, viene dado por e C( 00) 00 litros 8 La siguiente figura indica la posición de tres ciudades A, B y C. La distancia entre A y C es de km y entre B y C de 8 km. Se desea acer un tendido eléctrico entre las ciudades A y B. El tendido que sigue la

47 línea CD cuesta unidad monetaria por km, en tanto que el tendido que sigue la línea AD cuesta el triple 8 que el otro. Justifica que el costo del tendido ADB es, para determinar en qué punto D de la carretera CB ay que desviarse para que el coste total del tendido sea mínimo. - Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo ACD, se tiene: ( ) AD AC CD El coste por kilómetro del tendido ADB, es: C() AD DB, por tanto C() 8 es la función que ay que minimizar. - Derivadas: C'() ; C"() 96 ( ) Para que la función tenga un mínimo en algún punto, su primera derivada a de anularse en dico punto: C'() Para, se tiene: C () > 0, se trata de un mínimo El punto D a de estar situado a km de la ciudad C. 9 En una oficina de correos sólo se admiten paquetes con forma de paralelepípedo rectangular, tales que la ancura sea igual a la altura y además, la suma de anco, alto y largo sea 7 cm. Halla las dimensiones del paralelepípedo para que el volumen sea máimo. Sean a el anco, b el alto y c el largo. Las tres dimensiones del paralelepípedo. El volumen del paralelepípedo es: V abc De las condiciones del problema, se tiene: a b V(a) a (7 a) V(a) 7a a a b c 7 Como V(a) es la función que queremos maimizar, se tiene: Derivadas: V'(a) a 6a ; V"(a) a

48 La función V presenta un máimo, si su primera derivada es nula en algún punto de su dominio (a > 0), por tanto: V'(a) 0 a 6a 0 a 0 Dominio;a Para a, se tiene V () < 0, se trata de un máimo. Las dimensiones del paralelepípedo son a b c. Se trata de un cubo. 0 Dada la función: f() a b L() Encuentra los valores de a y b para los que la función en los puntos de abscisas y tiene derivada nula. Para los anteriores valores, estudia en qué puntos del dominio la función tiene derivada estrictamente positiva (creciente) y en qué puntos es estrictamente negativa (decreciente). La función: f() a b L() tiene como dominio el conjunto de números reales positivos. - Cálculo de los parámetros a y b: f' () a b 0 b f'() 0 a b a ;b f'() 0 a Para los valores anteriores, la epresión de la derivada de la función es: f'() ( )( ) f'() ()( ) > 0 f'() > 0 > 0 ()( ) > 0 < < ()( ) > 0 f'() < 0 < 0 ()( ) < 0 < o > Derivada ª, curvatura Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación: f() 6 en su punto de infleión. La función: f() 6 tiene como dominio R. Derivadas sucesivas: f'() 6 ; f"() - Puntos de infleión:

49 Si < f"() < 0 f() cóncava en (,) f"() 0, se tiene : Si > f"() > 0 f() convea en (, ) En, la función tiene un punto de infleión - Ecuación de la tangente: El punto de tangencia es T(,f()) T(,0) Ecuación de la tangente: y - 0 f'()( - ); siendo f'() -6 La ecuación que resulta es: y -6( - ) 6 y Estudia la curvatura de las siguientes funciones: a) f() b) f() a) La función: f() tiene como dominio R-{0} Derivadas sucesivas: f' () ; f"() Signo de la derivada segunda: Para < 0 Para > 0 es f"() < 0, luego la función es cóncava en es f"() > 0, luego la función es convea en (,0) ( 0, ) La función no presenta infleiones. b) La función: f() tiene como dominio R-{0} Derivadas sucesivas: 6 f' () ; f"() Signo de la derivada segunda: Para < 0 Para > 0 es f"() > 0, luego la función es convea en es f"() > 0, luego la función es convea en (,0) ( 0, ) La función no presenta infleiones. Estudia la curvatura de las siguientes funciones: a) f() f() b)

50 c) La función: f() tiene como dominio [0, ). Derivadas sucesivas: f' () ; f"() Signo de la derivada segunda: Para > 0 es f () < 0, luego la función es cóncava en (0, ) d) La función: f() tiene como dominio R. Derivadas sucesivas: f' () ; f"() 9 Signo de la derivada segunda: Para < 0 Para > 0 es f"() > es f"() < 0, luego la función es convea en 0, luego la función es cóncava en (,0) ( 0, ) En 0, la función cambia su curvatura, por tanto presenta un punto de infleión en 0. Estudia la curvatura de las siguientes funciones: a) f() b) 6 f() e) La función : f() tiene como dominio R. Derivadas sucesivas: f' () ; f"() Signo de la derivada segunda: Para < 0 Para > 0 es f"() > 0, luego la función es convea en es f"() > 0, luego la función es convea en (,0) ( 0, ) La función es convea en su dominio. No presenta puntos de infleión. f) La función. 6 f() tiene como dominio R.

51 Derivadas sucesivas: 5 f' () 6 ; f"() 0 Signo de la derivada segunda: Para < 0 Para > 0 es f"() > 0, luego la función es convea en es f"() > 0, luego la función es convea en (,0) ( 0, ) La función es convea en su dominio. No presenta puntos de infleión. 5 Estudia la curvatura de las siguientes funciones: a) 5 f() b) 7 f() g) La función: 5 f() tiene como dominio R. Derivadas sucesivas: f' () 5 ; f"() 0 Signo de la derivada segunda: Para < 0 Para > 0 es f"() < 0, luego la función es cóncava en es f"() > 0, luego la función es convea en (,0) ( 0, ) En 0, la función cambia su curvatura, por tanto presenta un punto de infleión en 0. ) La función: 7 f() tiene como dominio R. Derivadas sucesivas: 6 f' () 7 ; f"() Signo de la derivada segunda: Para < 0 Para > 0 es f"() < 5 0, luego la función es cóncava en es f"() > 0, luego la función es convea en (,0) ( 0, ) En 0, la función cambia su curvatura, por tanto presenta un punto de infleión en 0. 6 Estudia la curvatura de las siguientes funciones: a) f() 5 i) La función: f() 5 b) f() log5 () tiene como dominio R.

52 Derivadas sucesivas: f'() 5 L5; f"() 5 L (5) Signo de la derivada segunda: Para R es f () > 0, luego la función es convea en R. No presenta puntos de infleión. j) La función. f() log5() tiene como dominio (0, ) Derivadas sucesivas: f' () log5e; f"() log5e Signo de la derivada segunda: Para (0, ) es f () < 0, luego la función es cóncava en su dominio. No presenta puntos de infleión. 7 Estudia qué tipo de crecimiento cóncavo o conveo tienen las siguientes funciones: a) f() L b) f() e c) f() a) La función: f() L tiene como dominio (0, ) Derivadas sucesivas: f' () ; f"() Para > 0, se tiene f'() > 0 y f () < 0, luego la función es creciente y cóncava. b) La función: f() e tiene como dominio R Derivadas sucesivas: f' () e ; f"() e Para todo R, se tiene f'() > 0 y f () > 0, luego la función es creciente y convea. c) La función: f() tiene como dominio [0, ) Derivadas sucesivas: f' () ; f"()

53 Para todo R, se tiene f'() > 0 y f () < 0, luego la función es creciente y cóncava. 8 Cuál de estas dos gráficas corresponde a la derivada segunda de una función cóncava en (a,b) y convea en (b,c)? Figura a) - Para < b es f () < 0, luego la función es cóncava en (a,b) - Para > b es f () > 0, luego la función es convea en (b,c) Figura b) - Para < b es f () > 0, luego la función es convea en (a,b) - Para > b es f () < 0, luego la función es cóncava en (b,c) La respuesta correcta es la gráfica de la figura a) 9 Estudia la curvatura de la función: f() 6 La función: f() 6 tiene como dominio R Derivadas sucesivas: f'() ; f"() - Intervalos de curvatura: f"() 0 0 ; Estudiamos el signo de f (): Para Para Para < es f"() > 0, luego la función es convea en < < es f"() < 0, luego la función es cóncava en > es f"() > 0, luego la función es convea en (, ) (,) (, ) - Puntos de infleión: En - ay un punto de infleión, dado que en dico punto cambia la curvatura En ay un punto de infleión, dado que en dico punto cambia la curvatura 0 Halla los máimos, mínimos y puntos de infleión, si los tiene, de la función: f() 9.

54 El dominio de la función: f() 9 es R-{±} Derivadas sucesivas: f'() 8 ; 5 6 f"() ( 9) ( 9) - Máimos y mínimos relativos: f'() 0 8 ( 9) 0 0 f"(0) 6 ( 9) < 0 por tanto en 0, la función presenta un máimo relativo en el punto M(0,f(0)) M(0,0) - Puntos de infleión: 5 6 f"() ( 9) la ecuación no tiene solución, por tanto la función no tiene infleiones. Estudia la curvatura y los puntos de infleión de la función cuya derivada segunda está dada por la gráfica siguiente: De la representación gráfica de la derivada segunda de la función, se deduce: - Para < - es f () < 0, luego la función es cóncava en (,) - Para > - es f () > 0, luego la función es convea en (, ) En el punto de abscisa -, la función presenta una infleión ya que cambia su curvatura. Dada la función: f() a b c Calcula a, b y c para que pase por el punto (,-5), presente un etremo relativo en y un punto de infleión en 0. Para los valores encontrados antes, calcula todos sus etremos relativos y calcula además los valores máimo y mínimo de f() en el intervalo [-,5]. Función y derivadas:

55 f() a b c; f'() a b; f"() 6 a De las condiciones del enunciado, se tiene: f() 5 a b c 5 f'() 0 a b 0 a 0;b ;c 6 f"(0) 0 a 0 Con los valores calculados obtenemos las epresiones siguientes para la función y sus derivadas: f() 6; f'() ; f"() 6 - Etremos relativos: f ( ) a b c - Máimos y mínimos de la función en [-,5]: Signo de f'(): f ( ) a b c Del estudio anterior podemos establecer gráficamente la evolución de la función en el intervalo considerado Valor mínimo de f() en [-,5] es el menor de los valores: f(-) 5 y f()-0; por tanto -0 Valor máimo de f() en [-,5] es el mayor de los valores: f(-) y f(5) 7; por tanto 7 Por tanto, se tiene: [,5] : 0 f() 7 Dada la curva: y L( ) Calcula: a) Un punto M de su gráfica cuya tangente sea paralela al eje de abscisas b) El punto I de infleión de su gráfica. c) Halla el punto J intersección del par de rectas tangentes trazadas a la curva por los puntos M e I. El dominio de la función es R-{0} Función y derivadas sucesivas: ( ) ( ) f() L( ); f'() ; f"() a) Cálculo de M(a,f(a)) de tangencia orizontal: (a) f'(a) 0 0 a f(a) M, a ( ) b) Cálculo del punto I(b,f(b)) de infleión:

56 ( ) f"() 0 0, se tiene : Si < 0 es f"() < 0, luego la función es cóncava en Si 0 < < es f"() > 0, luego la función es convea en Si > es f"() < 0,luego la función es cóncava en (-,0) ( 0,) (, ) El único punto de infleión es I(,f()) I(,L) c) Cálculo del punto J: Tangente en M: y f'()( ) y 0 Tangente en I: y ( L ) f'()( ) y L 0 Las coordenadas de J son solución del sistema: y 0 L ;y J( L,) y L 0 En la figura se representa la gráfica de la derivada f' de cierta función. Con este dato, determina si eisten máimos, mínimos (relativos) o puntos de infleión de la función f en los puntos de abscisas y. - Etremos relativos: Observando la figura, se tiene: Si <, es f'() > 0, luego la función es creciente para < Si >, es f'() < 0, luego la función es decreciente para > Si, f'() 0, y como en este punto f() pasa de ser creciente a ser decreciente, en ay máimo relativo. - Infleiones: En, la gráfica de la derivada admite tangente orizontal. Las pendientes de las tangentes a la gráfica de f'(), vienen dadas por m f (), por tanto f () 0 En puede aber infleión. Sea a < una abscisa próima a. Las tangentes en a, tienen pendientes negativas f (a) < 0 f() cóncava Sea b > una abscisa próima a. Las tangentes en b, tienen pendientes positivas f (b) > 0 f() convea Evidentemente en ay un punto de infleión porque la curvatura de la curva f() cambia. Representación gráfica de funciones Representa la función: f() - -.

57 Función y derivadas: f() - -; f'() ; f"() 6 Dominio y puntos de corte: Dominio R. Monotonía y etremos relativos: f'() 0 Corte con OX: f() 0, no tiene soluciones racionales. Corte con OY: f(0) - (0,-) ;f" < 0 se trata de un máimo, 0 7 ; f"() > 0 se trata de un mínimo (, ) Intervalos de crecimiento:,, ( ) Intervalos de decrecimiento:, Curvatura e infleiones: f"() ; Si Si < > f" < 0 f" > 0 cóncava convea en en,, Por tanto en / ay un punto de infleión. Representa la función: f() Función y derivadas: f() -0 9; Dominio y puntos de corte: Dominio R. f'() 0 ; f"() 0

58 (,0) (,0) f() 0 (,0) (,0) Monotonía y etremos relativos: f'() 0 Corte con OX: 0 0 0; Con OY: f(0) 9 (0,9) 5; f" 5; f" ( 5 ) f" ( 5 ) ( 0) > 0 se < 0 > 0 se trata de un mínimo se trata de un máimo trata de un mínimo Intervalos de decrecimiento Intervalos de crecimiento Curvatura y puntos de infleión: (, 5 ) ( 0, 5 ) ( 5,0) ( 5, ) f"() ± 5 Si Si, 5, 5 5, f" > 0 5 f" < 0 concava convea ± 5 Por tanto en los puntos de abcisas ay infleiones. Averigua y representa una función cuadrática que pasa por el punto (,6) y tiene un mínimo en el punto de valor -. - Cálculo de parámetros: Función y derivadas: f() a b c; f'() a b; f"() a

59 Condiciones del problema: Con esos valores, se tiene: f() 8 6; f'() 8; f"() Curvatura: f > 0, convea (ramas acia arriba) Vértice, punto mínimo: f'() Resolviendo: : V(,f()) V(,-) Cortes con los ejes: Con Con f() 6 6a b c 6 f() a b c a ;b 8;c 6 f'() 0 a b 0 OX : f() OY : f(0) 0 6 (0,6) (,0) (,0) Representa la función: f(). La gráfica es una parábola. Derivadas: f' () ; f"() - Curvatura: f () > 0; es convea con las ramas acia arriba - Corte con OX: f() 0 0 no tiene solución, por tanto no corta a OX - Corte con OY: f(0) Corte en (0,) f' () 0 0 Punto mínimo Vértice V -,f - V-, - Intervalos de decrecimiento -, - Intervalo de crecimiento,

60 5 Dada la función: si f() a si >. Calcula a, para que la función sea continua en toda la recta real y representa la función obtenida. - Cálculo de a: Cada una de las funciones parciales que definen la función son continuas en sus dominios. Para que sea continua en, debe cumplir: f() lim f() lim f() a a La función que resulta es: si f() si > - Representación gráfica: Para, la función y sus derivadas son: f() ; f'() ; f"() Curvatura: f > 0, convea (ramas acia arriba) Punto mínimo, vértice: f'() 0 0 V(0,) Con OX : f() 0 0, Con OY : f(0) (0,) Cortes con los ejes: no tiene solución real Para >, la función es una recta Pendiente - 6 Representa la función:

61 f() - 8 Función y derivadas: f() - 8 ; f'() 6 8; f"() Dominio y Puntos de Corte: Dominio R. Monotonía y Etremos relativos: f'() Corte con OX: f() 0, no ay soluciones racionales. Corte con OY: f(0) (0,) / ; / ; f" f" ( / ) ( / ) > 0 < 0 se se trata trata de de un un máimo mínimo Intervalos de decrecimiento:, Intervalos de crecimiento:,, Curvatura y Puntos de infleión: Si f"() 0 0 0; Si < 0 > 0 f" < 0 f" > 0 cóncava convea en en (-,0) ( 0, ) Por tanto en 0 ay un punto de infleión 7 Representa la función: f(). Función y derivadas: f() ; f'() Dominio, cortes y asíntotas: Dominio R-{-,} Punto de corte (0,0) Asíntotas verticales: -; ( ) ( ) ; f"() ( ) ( )

62 lim f() ; lim f() ; lim f() lim f() Posición de la curva: Asíntota oblicua: y lim f() 0 lim f() 0 curva por debajo de la asíntota curva por encima de la asíntota Posición: La curva y la asíntota oblicua se cortan en (0,0) Máimos, mínimos y monotonía: f'() 0 ( ) 0 0; ; Para 0, f (0) 0, no es etremo relativo. 8 Representa la función: f(). Función y derivadas: f() ; f'() Dominio, cortes y asíntotas: Dominio R Punto de corte (0,-); (-,0); (,0) Asíntota orizontal: y ( ) ; ( ) ( ) f"() lim f() 0 lim f() 0 curva por debajo de la asíntota curva por debajo de la asíntota Posición: Máimos, mínimos y monotonía: f'() 0 0 Para 0, f (0) > 0, se trata de un mínimo en el punto (0,-) Intervalos de crecimiento (0, ). Intervalos de decrecimiento (-,0) Puntos de infleión y curvatura: f"() 0 0 ;

63 , Intervalos de conveidad:. Intervalos de concavidad:,, 9 Representar las siguientes funciones trigonométricas: a) y sen π b) y sen( π ).5 b) Representa la función: f(). Función y derivadas: f() ; f'() ; f"() ( ) Dominio, cortes y asíntotas: Dominio R -{-,} Punto de corte (0,0) Asíntotas verticales: -; lim f() ; lim f() ; Posición de la curva: Asíntota orizontal: y 0 lim f() lim f() ( ) ( ) lim f() 0 lim f() 0 curva por debajo de la asíntota curva por encima de la asíntota Posición: Máimos, mínimos y monotonía:

64 f'() 0 0. No tiene raíces reales. No ay etremos relativos. f'() < 0 en su dominio. La función decrece en todos los puntos de su dominio. Puntos de infleión y curvatura: f () se anula en 0, por lo que (0,0) es punto de infleión. Intervalos de conveidad: (-,0)U(, ). Intervalos de concavidad: (-,-)U(0,) Representa la función: f() ( ). f() Función y derivadas: ; f'() ( ) ( ) Dominio, cortes y asíntotas: Dominio R - {} Cortes (0,0) lim f() lim f() ; ( ) ( ) f"() Asíntota vertical : Posición Asíntota orizontal y : Posición lim f() 0 lim f() 0 la curva está por debajo de la asíntota la curva está por encima de la asíntota Máimos y mínimos. Monotonía: f'() Para 0; f (0) > 0, se trata de un mínimo en el punto (0,0) Intervalos de crecimiento (0,) Intervalos de decrecimiento (-,0) (, ) Puntos de infleión. Curvatura: f () 0 0 -/ La función es cóncava en (-,-/) La función es convea en (-/, )-{} Representar las siguientes funciones trigonométricas: a) y cos b) y cos 0.5 b)

65 Representa la función: f() 6 ( - ) Función y derivadas:. f() 6 ( ) 6 ; f'() Dominio, cortes y asíntotas: Dominio R-{0,}. Puntos de corte no ay. Asíntotas verticales 0;. Posición: ( 8) ( ) lim f() ; 0 lim f() ;. 6 ; f"() ( 6 ) ( ) lim f() 0 lim f() lim f() 0 lim f() 0 curva por debajo de la asíntota curva por encima de la asíntota Asíntota orizontal: y 0. Posición: Máimos, mínimos y monotonía: f'() 0 8/ Para 8/, f (8/) < 0, se trata de un máimo en el punto 8 7, 6 Intervalos de crecimiento 8 0, Puntos de infleión y curvatura:. Intervalos de decrecimiento f"() 0 6 0, la ecuación no tiene raíces. No ay puntos de infleión. Intervalos de conveidad: (, ). Intervalos de concavidad: 8 (,0), (, ) (,0) ( 0,)

66 En las siguientes gráficas están dibujadas las funciones derivadas de dos funciones f() y g(). Haz un esbozo de las gráficas de esas funciones, a partir de la información que proporcionan las derivadas, Función f(): Por ser f'() una función lineal, es una parábola Para todo < es f'() > 0, f() es creciente. Para todo > es f'() < 0, f() es decreciente. En, f() presenta un máimo. La función f() es una parábola cóncava, de la forma: Función g(): Por ser g'() una función lineal, es una parábola Para todo < - es g'() < 0, g() es decreciente. Para todo > - es g'() > 0, g() es creciente. En -, g() presenta un mínimo. f() ( ) C La función g() es una parábola convea, de la forma: g() ( ) C 5 Representar y sen por el cambio de variable t. Es equivalente a representar la función y sen t y después cambiar t por, es decir, realizar un cambio de escala