Las preactas se publicarán no más tarde del día 8 de junio y la revisión de examen será el 14 de junio a las 12:00 en la sala R1.

Transcripción

1 convocatoria junio 211 Nobre y apellidos: Núero de atrícula: sólo una respuesta es correcta sólo puntuarán las respuestas con un razonaiento ateático, gráfico, etc. las respuestas incorrectas no restan puntos usar por favor bolígrafo, plua o rotulador; no usar lápiz usar estas isas hojas para hacer los cálculos, no usar ningún otro papel 6 in,.5 puntos cada problea Las preactas se publicarán no ás tarde del día 8 de junio y la revisión de exaen será el 14 de junio a las 12: en la sala R1. 1. La piel es un aterial anisótropo de la clase líite /. El eje de orden infinito de la piel es perpendicular a la superficie de la isa. Las difusividades de un edicaento M a través de la piel (en lo ejes convencionales) son D 11 = /s 2 y D 33 = /s 2. Tabién se sabe que la difusión de una sustancia en cada una de las direcciones de los ejes convencionales está dada por la isa función que describe la difusión en un edio sei-infinito (Eq del texto), pero, lógicaente, con diferente difusividad en cada dirección. Para este edicaento se observa que el espesor de la capa líite en dirección perpendicular a la superficie es δ perp = Cuánto se habrá extendido M lateralente (es decir, en direcciones paralelas a la superficie de la piel), si esta extensión se ide por el espesor de la correspondiente capa líite δ lat en dirección lateral? ninguna de las anteriores, la respuesta correcta es: Sol.: puesto que la difusión obedece la isa ley en las tres direcciones convencionales, la única diferencia entre la dirección perpendicular (eje 3) y las laterales o transversales (ejes 1 y 2) es el valor diferente de la difusividad. Puesto que el espesor de la capa líite depende de la raíz cuadrada de la difusividad, la extensión lateral de M (espesor de la capa líite en dirección 1 o 2) será: D 11 δ lat = δ perp δ lat = D 33

2 convocatoria junio Un onocristal de un aterial ceráico tiene una estructura cristalina coo la que se uestra en la figura. Deterinar a qué clase cristalográfica pertenece / 4 ninguna de las anteriores; la respuesta correcta es:

3 convocatoria junio 211 Sol.: Encontraos un eje cuaternario de inversión, dos ejes binarios y dos planos de reflexión, la clase es: Un proceso de fabricación en serie de ejes acizos de nylon, de sección circular, se basa en la pultrusión, que consiste en extrusión seguida de estiraiento axial y corte, coo se ilustra en la figura. En este proceso el nylon sufre una deforación grande en la dirección de estirado, lo que odifica todas sus propiedades en esta dirección.

4 convocatoria junio 211 cuchillas de corte eje dirección de estirado nylon fundido Las diensiones del eje al terinar el proceso de pultrusión, a teperatura abiente, son: radio R =.3 y longitud L =.15. En una aplicación la teperatura de uso del eje está ΔT = 12 K por encia de la teperatura de fabricación. La deforación del nylon en función del increento de teperatura, edido desde la teperatura de fabricación está dada por: ε=δtα donde los coeficientes de dilatación térica (en los ejes convencionales) son conocidos: α 11 = K -1 y α 33 = K -1. Calcular el auento relativo de voluen (increento de voluen dividido entre el voluen inicial) del eje causado por este cabio de teperatura. Suponer pequeña deforación ninguna de las anteriores, la respuesta correcta es: Sol.: el nylon procesado tiene un eje de orden infinito en la dirección de pultrusión. Este eje es el eje cartesiano 3, y el tensor de deforación es: α11 ε T 11 =Δ α α 33 El auento relativo de voluen, en pequeña deforación, está dado directaente por la traza del tensor deforación: ( ) ( ) 2 2 ΔV π R+Δ R L+ΔL πr L ΔR ΔL = = ε 11 +ε 33 =ε ii = ( 2α 11 +α33 ) ΔT V πr L R L

5 convocatoria junio 211 ( 2α 11 + α 33 ) ΔT = La divergencia de un capo tensorial de orden 2 definido coo ω equivale, en notación de subíndices, a : δ δ ω x ω j j x j ω δ δ j δδk j x ω x k k ωj x ninguna de las anteriores, la respuesta correcta es :

6 convocatoria junio 211 Sol : haciendo una contracción de índices coo heos visto en clase, resulta un tensor de prier orden: ω x i j ( δ δ j i) δ =δ j ω x j 5. Deterina los índices de Miller-Bravais (sistea hexagonal) de la fora a la que pertenece el plano que contiene los átoos arcados en negro en la figura. { 2111} { 112} { 2243} { 221} { 1213} ninguna de las anteriores; la respuesta correcta es:

7 convocatoria junio 211 Sol.: Intersección en los ejes x, y, z :(3, -3/2, 1) invertios y resulta: 1/3-2/3 1 ultiplicando por 3: ( ) y añadiendo el cuarto índice (correspondiente al eje u), resulta la fora de planos: { 1213} 6. Un conductor M está copuesto de dos ateriales A y B. B es isótropo en todas sus propiedades. Su resistividad es ρb =.4 Ω.. A pertenece a la clase 222 y sus resistividades eléctricas (expresadas en sus ejes convencionales) son: ρa 11 =.3 Ω., ρa 22 =.13 Ω. y ρa 33 =.89 Ω.. A y B están dispuestos en láinas paralelas de espesores δ A =.4 y δ B =.1, coo se indica en la figura. Las láinas de A están todas orientadas de igual anera y para todas ellas el eje convencional 2 del aterial A es paralelo al eje del cilindro.deterinar la conductividad del aterial copuesto M en la dirección del eje del cilindro.

8 convocatoria junio S/.584 S/ S/ S/ 3.87 S/ ninguna de las anteriores, la respuesta correcta es: Sol.: en prier lugar obteneos la resistividad del copuesto. La conductividad será la inversa de la resistividad que obtengaos. Puesto que para la clase 222 (sistea ortorróbico) la estructura de las propiedades de segundo orden siétricas es diagonal, y el eje convencional 2 del aterial A es paralelo al eje del cilindro, la única coponente de la resistividad de A que influye en la conductividad pedida es la ρa 22 =.13 W.. Los coponentes A y B están eléctricaente en serie en la dirección pedida (a lo largo del eje del cilindro). Por tanto, la resistividad del copuesto en esta dirección será: ρ M δ A δ A = ρa 22 + ρb ρ M =.324 W. + + δ B δ A δ B δ B El copuesto pertenece igualente al sistea ortorróbico y a la isa clase. El eje del cilindro es igualente una de las tres direcciones principales del copuesto (y por supuesto de A). Por tanto la estructura de la resistividad del copuesto es tabién diagonal, y la resistividad en la dirección pedida es directaente el inverso de la resistividad calculada: 1 σ M = ρ M σ M = 3.87 S/ 7. Una probeta cilíndrica de un aterial isótropo de longitud L y diáetro D, se soete a un estado de esfuerzo o tensión ecánica tal que las coponentes τ i2 con i = 1, 2, 3 del tensor de esfuerzos τ son todas nulas. Cuál será la nueva longitud de la probeta?

9 convocatoria junio ν L(1 + τ1 τ3) E E ν 1 L(1 τ 1+ τ3) E E ν+ 1 L(1 + τ1) E ν L(1 ( τ 1+τ3)) E ν 1 L(1 + τ 1+ τ3) E E ninguna de las anteriores;la correcta es : Sol.: El aterial es isótropo y por tanto la estructura de su atriz de coplianza elástica es (ver 2_1_2): En notación de Voigt el vector deforación se calcula: ε = sτ ε = s τ 1 i ij j De acuerdo con el enunciado, el vector esfuerzo es: Los ejes para un aterial isótropo los podeos colocar coo queraos, por ejeplo, haciendo coincidir la dirección 3 con el eje del cilindro. Multiplicando atriz por vector hallaos el vector deforación, del que nos interesará la coponente ε 3 para hallar la longitud final de la probeta: τ τ 3 τ= τ 5 s s s ε= τ+ s τ τ+ s τ τ+ s τ s55τ luego la longitud final es: Lfinal = L (1 +ε 3) = L (1 + s12τ 1 + s 11τ3) ν 1 Lfinal = L (1 τ 1 + τ3) E E

10 convocatoria junio Para la fabricación por calcinación de un aterial ceráico (M) de coposición (fracciones olares): x CaO =.48, x MgO =.22 y x SiO2 =.3 se dispone de tres aterias prias: caliza CaCO 3 (A), doloita CaMg(CO 3 ) 2 (B), y sílice SiO 2 (C). A y B pierden CO 2 en la calcinación según las reacciones: CaCO3 CaO + CO2 CaMg CO CaO + MgO + 2CO ( ) Calcular qué cantidad (en kg) de caliza (A) es necesaria para producir 1 kg de M. Usar las asas atóicas con las cifras deciales que aparecen en el sistea periódico del libro de texto..484 kg de CaCO 3 /kg de M.54 kg de CaCO 3 /kg de M.67 kg de CaCO 3 /kg de M.226 kg de CaCO 3 /kg de M.732 kg de CaCO 3 /kg de M ninguna de las anteriores, la respuesta correcta es: Sol.: un odo de hacerlo es considerar CaO, CaOMgO y SiO 2 coo coponentes y calcular las asas (en kg) CaO, CaOMgO y SiO2 de estos coponentes necesarias para obtener 1 kol de M. Este kol de M contendrá x CaO, x MgO y x SiO2 kol de CaO, MgO y SiO 2 respectivaente. Con estas variables se cuple: CaO CaOMgO CaOMgO SiO2 xcao = + xmgo = xsio2 = Mw Mw Mw Mw CaO CaOMgO CaOMgO SiO2 de donde se puede despejar inediataente CaO : x = + x = x x Mw ( ) CaO CaO MgO CaO CaO MgO CaO Mw CaO ( ) Mw CaO CaO = x CaO x MgO CaO = kg de CaO para un kol de M. Coo la asa olecular de M es Mw M = x CaO Mw CaO + x MgO Mw MgO + x SiO2 Mw SiO2 Mw M = la asa de CaO necesaria para obtener 1 kg de M será: CaO =.271 kg de CaO Mw M Mw CaCO3 1 y por tanto, la cantidad de caliza (A) necesaria será: CaO =.484 kg Mw M Mw CaO

11 convocatoria junio 211 Tabién puede razonarse considerando que el MgO proviene íntegraente de la doloita, por tanto serán necesarios x MgO kol de doloita para 1 kol de M. Adeás, cada kol de doloita aporta tabién un kol de CaO. Por consiguiente, la caliza debe aportar de CaO sólo la diferencia hasta la especificación, es decir: x CaO x MgO =.26 kol de caliza. Esta cantidad x CaO x MgO = kg de CaCO 3 es la necesaria para ( ) Mw CaCO3 obtener 1 kol de M, cuya asa olecular es Mw M = Por tanto, para 1 kg de M serán necesarios ( x CaO x MgO ) Mw CaCO3 =.484 kg de caliza (A). Mw M

12 convocatoria junio 211 Ing. Industrial/ Ing. Quíico Problea 1 Nobre: Núero de atrícula: El óxido de cerio, CeO 2, es un aterial ceráico con estructura cristalográfica del tipo de la fluorita, y que fora soluciones sólidas con una gran variedad de agentes dopantes con el fin de auentar su conductividad eléctrica. Uno de estos dopantes es el óxido de saario, S 2 O 3. En las soluciones sólidas CeO 2 -S 2 O 3 se antiene: El núero total de cationes en la estructura El taaño de la celda en los isos valores que para la estructura del CeO 2 puro. Las soluciones sólidas CeO 2 -S 2 O 3 se foran por sustitución de algunos de los iones Ce +4 por iones S +3, anteniendo la neutralidad eléctrica del cristal. Uno de los sisteas CeO 2 -S 2 O 3 que ha proporcionado valores ás elevados para la conductividad eléctrica es el que presenta una coposición olar del 1% de S 2 O 3 en la solución sólida. Sabiendo que : Radios iónicos:.12 1 ; ; Masas atóicas: 14.1 ; 15.4 ; 16 y considerando todos los iones coo esféricos, calcular. La densidad de la solución sólida CeO 2 -S 2 O 3, en kg/ 3 El porcentaje (%) de iones Ce +4 que ha sido reeplazado por iones S +3 para obtener la solución sólida anterior ( 1. (3 puntos, 45 inutos) Sol: El CeO 2 posee una estructura cristalina tipo fluorita donde los cationes Ce +4 ocupan las posiciones características de la red FCC (vértices y centros de caras), ientras que los iones O -2 se disponen en los ocho huecos tetraédricos de la celda. CeO 2 Ce +4 O -2 º ó º 4 º ó º 8 é

13 convocatoria junio 211 Ing. Industrial/ Ing. Quíico Al forarse la solución sólida no se altera el taaño de la celda, de fora que el paráetro de red, a, tiene el iso valor que en la estructura del CeO 2 puro: y el voluen de la celda unitaria de lado a será: Por otra parte, y de acuerdo con el enunciado, la solución sólida se fora sustituyendo alguno de los iones Ce +4 por iones S +3, pero anteniendo todas las posiciones catiónicas, lo que iplica que para que se conserve la neutralidad eléctrica del cristal, deben aparecer vacantes aniónicas. En la celda unitaria de la solución sólida se debe cuplir que: º ó 4 º º º º é º º Sólo falta, por lo tanto, conocer el valor de x para resolver las dos cuestiones que plantea el problea. De los datos del enunciado sabeos que la coposición olar del S 2 O 3 en la solución sólida es del 1%, y los oles se relacionan con el núero de átoos. Toando coo base de cálculo la celda unitaria, tendreos que: ó En la celda de la solución sólida hay por tanto: º º º Es inediato calcular la densidad de la solución sólida (base de cálculo la celda unitaria): Y el porcentaje de iones Ce +4 que han sido reeplazados por iones S +3 será: % 4

14 convocatoria junio 211 Problea 2 Nobre: Núero de atrícula: Se ha sintetizado en el laboratorio un nuevo aterial seiconductor A y para identificar su estructura se llevan a cabo varios experientos: 1. se ide la resistividad eléctrica de la uestra en un sistea de referencia cuyos ejes no están orientados coo los ejes convencionales y se obtiene (escrita ρ coo atriz): ρ = Ω. 2. se soeten las uestras de A a un estado de esfuerzo (o tensión ecánica) hidrostático y se observa que sí producen una señal eléctrica (dipolo acroscópico). El estado de tensión hidrostático es: τ= pδ 3. cuando se prepara una uestra de A en fora de cubo, con las caras cortadas perpendicularente a las direcciones principales de la conductividad, y se la soete a cualquier ensayo ecánico de tracción o copresión uniaxial sobre cualquier par de caras, se observa que el cubo se defora sólo longitudinalente y nunca a cortadura (cizalla). Usando la inforación disponible, deterinar las resistividades eléctricas principales del aterial (es decir, edidas en las direcciones de los ejes principales). deterinar las direcciones de estos ejes principales del aterial, (es decir, dar vectores unitarios en estas direcciones expresados en el sistea de referencia en que se ha edido la resistividad eléctrica). basándose sólo en los resultados obtenidos en los dos apartados anteriores (sin usar la inforación dada en los puntos 2 y 3 del enunciado), deterinar a qué sistea o sisteas cristalográficos puede pertenecer A. basándose adeás en la inforación dada en los puntos 2 y 3 del enunciado, deterinar a qué clase o clases cristalográficas puede pertenecer A. expresar la resistividad eléctrica de A en los ejes convencionales del sistea al que pertenece la clase o clases cristalográficas obtenidas en el apartado anterior. (45 inutos, 3 puntos) Sol.: las direcciones principales y las resistividades principales se obtienen diagonalizando la atriz de resistividad. Los valores propios (resistividades principales) son: ρ principales1 = 4.5, 1

15 convocatoria junio 211 ρ principales2 = 23, 2 W. ρ principales3 = 11, 3 Y las direcciones principales están dadas por los vectores propios unitarios: 1 δ 1 = δ 2 =.515 δ 3 = Por tanto, basándonos sólo en estos resultados (tres valores distintos para las resistividades principales), A puede ser triclínico, onoclínico u ortorróbico. Por otro lado, si A reacciona a esfuerzo (tensión ecánica) hidrostático, debe pertenecer a una de las diez clases polares, de las cuales sólo las siguientes pertenecen a los sisteas triclínico, onoclínico u ortorróbico: 1, 2,, 2. Estas clases tabién aparecen directaente en la tabla de estructuras de propiedades de 1 er orden (ver encabezaiento de la lista de estructuras para propiedades de 1 er orden, pág. 7, 2_1_2.pdf). Una tercera posibilidad es coprobar cuál de las cinco clases piezoeléctricas triclínicas, onoclínicas u ortorróbicas producen una señal cuando se les aplica un esfuerzo hidrostático. Usando notación de Voigt, la estructura del esfuerzo hidrostático es: str(p δ ) = Realizando el producto (ley constitutiva) del efecto piezoeléctrico directo en notación de Voigt con las estructuras de los ódulos piezoeléctricos de cada clase se obtiene: P= d: τ = d:pδ clase 1: = clase 2: =

16 convocatoria junio 211 clase : = clase 222 : = clase 2: = Se coprueba que de estas cinco clases, la clase 222 (ortorróbica) no produce señal eléctrica al soeterla a esfuerzo hidrostático, y por tanto queda descartada. Por últio, la condición de responder sólo con deforación longitudinal a esfuerzo longitudinal uniaxial en cualquier eje iplica que la estructura de la coplianza elástica debe tener los bloques no diagonales vacíos (ver problea 9_2_2). Las estructuras para las cuatro clases que aún no han sido descartadas son: triclínicas (todas, y en particular, la clase 1) descartadas onoclínicas (todas, y en particular, las clases 2 y ) descartadas ortorróbicas (todas, y en particular, la clase 2) aceptables, tienen vacíos los bloques fuera de la diagonal. De estas cuatro clases restantes, la única que tiene los bloques no diagonales vacíos, y que por tanto es copatible con todos los datos experientales disponibles, es la 2 (ortorróbica) que es a la que debe pertenecer el aterial A. Para el sistea ortorróbico, los ejes convencionales coinciden con las direcciones principales. Por tanto, la resistividad eléctrica de A en los ejes convencionales del sistea es diagonal, con las resistividades principales en la diagonal. Aunque no es necesario, puede coprobarse expresando la resistividad en el sistea definido por las direcciones principales. Para esto se usa la atriz L de transforación que contiene, por

17 convocatoria junio 211 filas, los vectores unitarios en las direcciones principales (vectores propios): L = La resistividad expresada en estos nuevos ejes, que son los eje convencionales, es entonces: 4.5 L ρ L T = 23 W. 11