4ºB de ESO Capítulo 13: Combinatoria LibrosMareaVerde.tk

Transcripción

1 4ºB de ESO Capítulo : Combiatoria

2 84 Combiatoria: 4ºB de ESO Ídice. PERMUTACIONES.. DIAGRAMAS EN ÁRBOL.. PERMUTACIONES U ORDENACIONES DE UN CONJUNTO. VARIACIONES.. VARIACIONES CON REPETICIÓN.. VARIACIONES SIN REPETICIÓN. COMBINACIONES.. COMBINACIONES.. NÚMEROS COMBINATORIOS.. BINOMIO DE NEWTON.4. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 4. OTROS PROBLEMAS DE COMBINATORIA 4.. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 4.. PERMUTACIONES CIRCULARES 4.. PERMUTACIONES CON REPETICIÓN 4.4. COMBINACIONES CON REPETICIÓN Resume Saber cotar es algo importate e Matemáticas. Ya Arquímedes e su libro Areario se pregutaba cómo cotar el úmero de graos de area que había e la Tierra. E este capítulo vamos a apreder técicas que os permita cotar. Vamos a apreder a recoocer las permutacioes, las variacioes y las combiacioes; y a utilizar los úmeros combiatorios e distitas situacioes, como para desarrollar u biomio elevado a ua potecia. Estas técicas de cotar las utilizaremos e otras partes de las Matemáticas como e Probabilidad para cotar el úmero de casos posibles o el úmero de casos favorables. Matemáticas 4º B de ESO. Capítulo : Combiatoria

3 85 Combiatoria: 4ºB de ESO. PERMUTACIONES.. Diagramas e árbol Actividades resueltas E ua fiesta se cueta co tres grupos musicales que debe actuar. Para orgaizar el orde de actuació, cuátas posibilidades distitas hay? Ua técica que puede ayudar mucho es cofeccioar u diagrama e árbol. Cosiste e ua represetació por iveles e la que cada rama represeta ua opció idividual para pasar de u ivel al siguiete, de tal maera que todos los posibles recorridos desde la raíz hasta el último ivel, el ivel de las hojas, so todos los posibles resultados que se puede obteer. Llamamos a los tres grupos musicales A, B y C. Primer ivel del árbol: E primer lugar podrá actuar o bie A, o bie B o bie C. Segudo ivel del árbol: Ua vez que el grupo A ha sido elegido para actuar e primer lugar, para el segudo puesto sólo podremos colocar a B o a C. Igualmete, si ya B va e primer lugar, sólo podrá estar e el segudo lugar A o C. Y si actúa e primer lugar C, para el segudo puesto las opcioes so A y B. Tercer ivel del árbol: Si ya se hubiera decidido que e primer lugar actúa el grupo A y e segudo el grupo B, para el tercer lugar, que se puede decidir? Sólo os queda el grupo C, y de la misma maera, e todos los otros casos, sólo queda ua úica posibilidad Cofeccioar el diagrama e árbol, icluso úicamete comezar a cofeccioarlo, os permite cotar co seguridad y facilidad. Para saber cuátas formas teemos de orgaizar el cocierto, aplicamos el pricipio de multiplicació: sólo teemos que multiplicar los úmeros de ramificacioes que hay e cada ivel: = 6 formas de orgaizar el orde de actuació de los grupos. Tambié permite escribir esas seis posibles formas si más que seguir al árbol: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. E ua carrera compite 5 corredores y se va a repartir tres medallas, oro, plata y broce, de cuátas formas distitas puede repartirse? Hacemos el diagrama e árbol. El oro lo puede gaar los cico corredores que vamos a llamar A, B, C, D y E. Hacemos las cico flechas del diagrama. Si el oro lo hubiese gaado el corredor A, la plata sólo la podría gaar alguo de los otros cuatro corredores: B, C, D o E. Si el oro lo hubiera gaado B tambié habría cuatro posibilidades para la medalla de plata: A, C, D y E. Y así co el resto. Si supoemos que la medalla de oro la ha gaado A y la de plata B, etoces la medalla de broce la Matemáticas 4º B de ESO. Capítulo : Combiatoria

4 86 Combiatoria: 4ºB de ESO puede gaar C, D o E. Por tato hay 5 4 = 6 formas distitas de repartir las tres medallas etre los cico jugadores. Actividades propuestas. Haz diagramas e árbol para calcular: a) Cuátas palabras de dos letras (co sigificado o si él) puedes escribir co las letras A, B o C. b) Cuátas palabras de tres letras que empiece por vocal y termie por cosoate se puede formar co las letras del alfabeto. (Recuerda que hay 5 vocales y cosoates).. Aa tiee 5 camisetas, pataloes y 4 pares de zapatillas. Puede llevar ua combiació diferete de camiseta, pataló y zapatilla durate dos meses (6 días)? Cuátos días deberá repetir combiació? Ayuda: Seguro que u diagrama e árbol te resuelve el problema.. E u tablero cuadrado co 5 casillas, de cuátas formas diferetes podemos colocar dos fichas idéticas, de modo que esté e distita fila y e distita columa? Sugerecia: Cofeccioa u diagrama de árbol. Cuátas casillas hay para colocar la primera ficha? Si descartamos su fila y su columa, e cuátas casillas podemos colocar la seguda ficha?.. Permutacioes u ordeacioes de u cojuto Llamamos permutacioes a las posibles formas distitas e que se puede ordear u cojuto de elemetos distitos. Cada cambio e el orde es ua permutació. Ejemplos: So permutacioes: Matemáticas 4º B de ESO. Capítulo : Combiatoria

5 87 Combiatoria: 4ºB de ESO o Las formas e que puede llegar a la meta corredores. o Las palabras de cuatro letras, si repetir igua letra, co o si setido que podemos formar co las letras de la palabra MESA. o Los úmeros de 5 cifras distitas que se puede formar co los dígitos:,,, 4 y 5. El úmero de permutacioes de u cojuto de elemetos se desiga por P, y se lee permutacioes de elemetos. La actividad resuelta de los tres grupos musicales que iba a actuar e ua fiesta era de permutacioes, era ua ordeació, luego lo escribiríamos como P, y se lee permutacioes de elemetos. Actividades resueltas E la fase preparatoria de u campeoato del mudo está e el mismo grupo España, Fracia y Alemaia. Idica de cuátas formas puede quedar clasificados estos tres países. So permutacioes de elemetos: P. Hacemos u diagrama de árbol. Puede quedar primeros España (E), Fracia (F) o Alemaia (A). Si ha gaado España, puede optar por el segudo puesto F o A. Y si ya hubiese gaado España y luego Fracia, para el tercer puesto sólo quedaría Alemaia. Puede quedar de = 6 formas distitas. E geeral para calcular las permutacioes de elemetos se multiplica por, y así, bajado de uo e uo, hasta llegar a : P = ( ) ( ). A este úmero se le llama factorial de, y se idica! P = ( ) ( ) =! Correspode a u árbol de iveles co,,,,,, posibilidades de elecció respectivamete. Para realizar esta operació co la calculadora se utiliza la tecla! Ejemplos: Las formas e que puede llegar a la meta corredores so: P =! = 9 8 = 688. Las palabras co o si setido que podemos formar co las letras, si repetir, de la palabra MESA so P 4 = 4! = 4 = 4. Los úmeros de 5 cifras, todas distitas, que se puede formar co los dígitos:,,, 4 y 5 so: P 5 = 5! =. España, Fracia y Alemaia puede quedar clasificados de P =! = 6 formas distitas. Matemáticas 4º B de ESO. Capítulo : Combiatoria

6 88 Combiatoria: 4ºB de ESO Actividades propuestas 4. De cuátas formas puede repartirse cuatro persoas, cuatro pasteles distitos, comiedo cada persoa u pastel? 5. E ua carrera de caballos participa cico caballos co los úmeros,,, 4 y 5. Cuál de ellos puede llegar el primero? Si la carrera está amañada para que el úmero cuatro llegue el primero, cuáles de ellos puede llegar e segudo lugar? Si la carrera o está amañada, de cuátas formas distitas puede llegar a la meta? Haz u diagrama e árbol para respoder. 6. De cuátas maeras puedes meter cuatro objetos distitos e cuatro cajas diferetes, si sólo puedes poer u objeto e cada caja? 7. Cuátos países forma actualmete la Uió Europea? Puedes ordearlos siguiedo diferetes criterios, por ejemplo por su població, o co respecto a su producció de acero, o por la superficie que ocupa. De cuátas maeras distitas es posible ordearlos? 8. E el año 97 había seis países e el Mercado Comú Europeo. De cuátas formas puedes ordearlos? 9. E ua oficia de colocació hay siete persoas. De cuátas formas distitas puede haber llegado? Actividades resueltas Cálculo de 6!.! Cuado calculamos cocietes co factoriales siempre simplificamos la expresió, elimiado los factores del umerador que sea comues co factores del deomiador, ates de hacer las operacioes. E geeral siempre suele ser preferible simplificar ates de operar, pero e este caso resulta imprescidible, para que o salga úmeros demasiado grades. 6! Es ! Expresa, utilizado factoriales, los productos siguietes: a) 9 8; b) (+4) (+) (+); a) 9 8 = b) (+4) (+) (+) = ( ( Actividades propuestas. Calcula: a) ( )! (. Calcula: a) ; b)! ( 4)! )!! 7! 6! 7! 8! 6!! 47! ; b) ; c) ; d) ; e) ; f). 4!! 5!! 5!! 46! 4)! ( ; c) )! ( 4)! ; d) )!!. ( )!. Expresa utilizado factoriales: a) 5 4 ; b) ; c) 8 7 6; d) 9. Matemáticas 4º B de ESO. Capítulo : Combiatoria

7 89 Combiatoria: 4ºB de ESO. Expresa utilizado factoriales: a) (+) (+) (+); b) (+) (+) (+); c) (+) (+) (+k). 4. Escribe e forma de factorial las distitas formas que tiee de setarse e ua clase los alumos e los puestos que hay. (No lo calcules. El resultado es u úmero muy grade, para calcularlo se ecesita u ordeador o ua calculadora, y habría que recurrir a la otació cietífica para expresarlo de forma aproximada). 5. Nueve ciclistas circula por ua carretera e fila idia. De cuátas formas distitas puede ir ordeados?. VARIACIONES.. Variacioes co repetició Ya sabes que las quiielas cosiste e adiviar los resultados de 4 partidos de fútbol señalado u si pesamos que gaará el equipo de casa, u si gaa el visitate y ua X si esperamos que haya empate. E ua misma jorada, cuátas quiielas distitas podía rellearse? Observa que ahora cada diferete quiiela cosiste e ua secuecia de los símbolos, y X, e las que el mismo símbolo puede aparecer varias veces repetido a lo largo de la secuecia y dos quiielas puede difereciarse por los elemetos que la compoe o por el orde e que aparece. Actividades resueltas Co dos símbolos, y, cuátas tiras de 4 símbolos se puede escribir? Igual que e ateriores ejemplos, formamos el diagrama de árbol. Observado que e el primer lugar de la tira podemos poer los dos símbolos. E el segudo lugar, auque hayamos puesto el, como se puede repetir, podemos volver a poer el y el. Lo mismo e el tercer y e el cuarto lugar. Es decir, el úmero de ramificacioes o se va reduciedo, siempre es igual, por lo tato el úmero de tiras distitas que podemos formar es = 4 = 6 tiras distitas. Las diferetes secuecias de logitud que se puede formar co u cojuto de m elemetos diferetes, se llama variacioes co repetició de m elemetos tomados de e. El úmero de diferetes secuecias que se puede formar se desiga co la expresió VR m,. y se calcula co la fórmula: VR m, = m E la actividad resuelta aterior so variacioes co repetició de elemetos tomados de 4 e 4: Actividad resuelta VR,4 = 4 = 6 tiras distitas. Matemáticas 4º B de ESO. Capítulo : Combiatoria

8 9 Combiatoria: 4ºB de ESO E el cálculo del úmero de quiielas distitas, los elemetos so (,, X) y se forma secuecias de logitud 4, por lo tato se trata de variacioes co repetició de elemetos tomados de 4 e 4: VR,4 = 4 = Para teer la certeza absoluta de coseguir 4 aciertos hay que rellear apuestas simples. La probabilidad de que te toque ua quiiela e ua apuesta simple es, por tato, Actividades propuestas 6. Co los dígitos, cuátos úmeros distitos puede formarse de 6 cifras? 7. Co los dígitos y las cosoates del alfabeto, cuátas matriculas de coche puede formarse tomado cuatro dígitos y tres letras? 8. U byte u octeto es ua secuecia de ceros y uos tomados de 8 e 8. Cuátos bytes distitos puede formarse? 9. Calcula: a) VR 4, ; b) VR 4,4 ; c) VR, ; d) VR,.. Expresa co ua fórmula: a) Las variacioes co repetició de elemetos tomadas de 5 e 5. b) Las variacioes co repetició de 7 elemetos tomadas de e. c) Las variacioes co repetició de 5 elemetos tomadas de 4 e 4.. Cuátas palabras de tres letras (co sigificado o o) puedes formar que empiece por cosoate y termie co la letra R?.. Variacioes si repetició Actividades resueltas Ua asociació de vecios va a reovar la juta directiva. Ésta costa de tres cargos, presidecia, secretaría y tesorería. a) Si úicamete se preseta cuatro persoas. De cuátas maeras puede estar formada la juta? b) Si, ates de que empiece la votació, se preseta otros dos cadidatos, cuátas jutas diferetes podrá formarse ahora? Presidete/a Secretario/a Tesorero/a a) Cofeccioamos uestro diagrama e árbol. Numeramos los cadidatos del al 4. A la presidecia puede optar los 4 cadidatos, pero si u determiado cadidato ya ha sido elegido para la presidecia, o podrá optar a los otros dos cargos, por lo que desde cada ua de las primeras cuatro ramas, sólo saldrá tres ramas. Ua vez elegida ua persoa para la presidecia y la secretaría, para optar a la tesorería habrá. Matemáticas 4º B de ESO. Capítulo : Combiatoria

9 9 Combiatoria: 4ºB de ESO úicamete dos opcioes, por lo cual de cada ua de las ramas del segudo ivel, sale dos ramas para el tercer ivel. De este modo, multiplicado el úmero de ramificacioes e cada ivel, teemos que la juta puede estar formada de 4 = 4 maeras. b) Si e lugar de 4 cadidatos fuese 6, podría estar formada de = maeras. Estas agrupacioes de elemetos, e que u elemeto puede aparecer e cada grupo como máximo ua vez, si repetirse, y cada grupo se diferecia de los demás por los elemetos que lo compoe o por el orde e que aparece se deomia variacioes si repetició. E las variacioes, tato co repetició como si repetició, se tiee e cueta el orde y los elemetos que forma el grupo. La diferecia es que e las variacioes co repetició puede repetirse los elemetos y e las variacioes ordiarias o. E el ejemplo aterior o tedría setido que u mismo cadidato ocupara dos cargos, o se repite los elemetos. Las variacioes si repetició (o simplemete variacioes) de m elemetos tomados de e se desiga como V m,. So los grupos de elemetos distitos que se puede formar de modo que u grupo se diferecie de otro bie por los elemetos que lo compoe bie por el orde e que aparece. El úmero de variacioes es igual al producto de multiplicar factores partiedo de m y decreciedo de uo e uo: Observacioes ) m debe ser siempre mayor o igual que. V m, = m (m ) (m ) ( factores) ) Las variacioes de m elemetos tomados de m e m coicide co las permutacioes de m elemetos: V m,m = P m. Actividades resueltas Observa las siguietes variacioes e iteta ecotrar ua expresió para el último factor que se multiplica e el cálculo de las variacioes: a) V 4, = 4 b) V 6, = c) V,6 = d) V 9,4 = E el caso a) es igual a 4 +. E b) 4 = 6 +. E c) 5 = 6 +. E d) 6 = E geeral el último elemeto es (m + ). Matemáticas 4º B de ESO. Capítulo : Combiatoria

10 9 Combiatoria: 4ºB de ESO V m, = m (m ) (m ) (m + ) Escribe la fórmula de las variacioes utilizado factoriales: a) V 4, = 4 = b) V 6, = = 4!! 6!! c) V,6 = = d) V 9,4 = = 9! 5!! 4! Para escribirlo como cociete de factoriales se debe dividir por (m )!. V m, = m (m ) (m ) (m + ) = m! ( m )! Para realizar esta operació co la calculadora se utiliza la tecla etiquetada Pr Actividades propuestas. Tres persoas va a ua pastelería e la que úicamete queda cuatro pasteles, distitos etre sí. De cuátas formas distitas puede elegir su pastel si cada ua compra uo?. Co los dígitos se desea escribir úmeros de cuatro cifras, todas ellas distitas. Cuátas posibilidades hay para escribir la primera cifra? Ua vez elegida la primera, cuátas hay para elegir la seguda? Ua vez elegidas las dos primeras, cuátas hay para la tercera? Cuátas posibilidades hay e total? 4. Si tiees 9 elemetos diferetes y los tiees que ordear de 5 e 5 de todas las formas posibles, cuátas hay? 5. Co las letras A, B y C, cuátas palabras de letras o repetidas podrías escribir? 6. Co los dígitos, 5, 7, 8 y 9, cuátos úmeros de cifras distitas puedes formar? 7. Calcula: a) V,6 ; b) V 7,5 ; c) V 8,4. 8. Calcula: a) Otra observació 7! 6!! ; b) ; c).! 4! 8! Hemos dicho que V m,m = P m pero si utilizamos la fórmula co factoriales teemos que V m,m = P m = m! m!. Para que tega setido se asiga a! el valor de. ( m m)!!! =. Matemáticas 4º B de ESO. Capítulo : Combiatoria

11 9 Combiatoria: 4ºB de ESO. COMBINACIONES.. Combiacioes Actividades resueltas E ua librería quiere hacer paquetes de tres libros, usado los seis libros más leídos. Cuátos paquetes diferetes podrá hacer? E este caso cada grupo de tres libros se difereciará de los otros posibles por los libros (elemetos) que lo compoe, si que importe el orde e que estos se empaqueta. A esta agrupació se la deomia combiació. Se llama combiacioes de m elemetos tomados de e y se desiga C m, a los grupos de elemetos que se puede formar a partir de u cojuto de m elemetos diferetes etre sí, de modo que cada grupo se diferecie de los demás por los elemetos que lo forma (o por el orde e que aparece). Desigamos los libros co las letras A, B, C, D, E y F. Paquetes co A Paquetes si A pero co B Paquetes si A i B pero co C ABC BCD CDE ABD ACD BCE BDE CDF CEF DEF ABE ACE ADE BCF BDF BEF ABF ACF ADF AEF Hemos formado primero todos los paquetes que cotiee el libro A, hay ; Luego seguimos formado los que o cotiee el libro A pero si cotiee el B. Luego los que o cotiee i A i B pero sí C. Y por último, el paquete DEF que o cotiee los libros A, B i C. Co este recueto hemos idetificado u total de paquetes distitos. C 6, =. Esta forma de hacerlo es poco práctica. Para ecotrar ua fórmula geeral que os permita calcular el úmero de grupos, vamos a apoyaros e lo que ya sabemos. Si fuera relevate el orde e que aparece los libros e cada paquete, además de los libros que lo compoe, sería u problema de variacioes y calcularíamos: V 6, = = diferetes: ABC, ABD, ABE, ABF, ACB, ACD, ACE, ACF, ADB, ADC, ADE, ADF, AEB, AEC, AED, AEF, AFB, AFC, AFD, AFE, BAC, BAD, BAE, BAF, BCA, BCD, BCE, BCF, BDA, BDC, BDE, BDF, BEA, BEC, BED, BEF, BFA, BFC, BFD, BFE, CAB, CAD, CAE, CAF, CBA, CBD, CBE, CBF, CDA, CDB, CDE, CDF, CEA, CEB, CED, CEF, CFA, CFB, CFD, CFE, DAB, DAC, DAE, DAF, DBA, DBC, DBE, DBF, DCA, DCB, DCE, DCF, DEA, DEB, DEC, DEF, DFA, DFB, DFC, DFE, EAB, EAC, EAD, EAF, EBA, EBC, EBD, EBF, ECA, ECB, ECD, ECF, EDA, EDB, EDC, EDF, EFA, EFB, EFC, EFD, FAB, FAC, FAD, FAE, FBA, FBC, FBD, FBE, FCA, FCB, FCD, FCE, FDA, FDB, FDC, FDE, FEA, FEB, FEC, FED. E la lista aterior hemos señalado co el mismo color alguos de los paquetes que cotiee los mismos tres libros, verás que el paquete co los libros A, B y C se repite seis veces: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Las mismas veces se repite el paquete ABD, el ACF, etc. Puedes probar a señalar cualquier otra combiació y verás que todas está repetidas exactamete seis veces. Ello es debido a que hay seis variacioes posibles co la misma composició de elemetos, que se diferecia por el orde (las permutacioes de esos tres elemetos que so P = 6). Así pues, como e el recueto de variacioes, cada paquete está cotado P = 6 veces. Para saber el úmero de paquetes diferetes dividimos el total Matemáticas 4º B de ESO. Capítulo : Combiatoria

12 94 Combiatoria: 4ºB de ESO de variacioes etre P = 6. Por tato basta co dividir las variacioes etre las permutacioes: C 6, = V 6, P Y, e geeral, de acuerdo co el mismo razoamieto se calcula las combiacioes de m elemetos tomados de e, dividiedo las variacioes etre las permutacioes, co la fórmula: V C m, = P m, 6 ( m =. m! )!! Para realizar esta operació co la calculadora se utiliza la tecla etiquetada Cr Actividades resueltas U test costa de pregutas y para aprobar hay que respoder 6 correctamete. De cuátas formas se puede elegir esas 6 pregutas? No importa e qué orde se elija las pregutas, sio cuáles so las pregutas elegidas. No puede repetirse (o tiee setido que respodas veces la primera preguta). Úicamete ifluye las pregutas (los elemetos). Se trata de u problema de combiacioes, e que teemos que formar grupos de 6, de u cojuto formado por pregutas diferetes, luego so combiacioes, C,6.! C,6 = 7 maeras. 4! 6! Teemos 5 libros si leer y queremos llevaros tres para leerlos e vacacioes, de cuátas maeras distitas podemos elegirlos? So combiacioes de 5 elemetos tomados de e. C 5, = formas. Tiees 7 moedas de euro que colocas e fila. Si muestra la cara y 4 la cruz, de cuátas formas distitas puedes ordearlas? Bastará co colocar e primer lugar las caras y e los lugares libres poer las cruces. Teemos 7 lugares para colocar caras, será por lo tato las combiacioes de 7 elemetos tomados de e. C 7, = 5. Observa que se obtiee el mismo resultado si colocas las cruces y dejas los lugares libres para las caras ya que C 7,4 = 5. Actividades propuestas 9. Teemos 5 bomboes (iguales) que queremos repartir etre 7 amigos, de cuátas formas se puede repartir los bomboes si a iguo le vamos a dar más de u bombó?. Jua quiere regalar DVDs a Pedro de los que tiee, de cuátas formas distitas puede hacerlo?. E el juego del póker se da a cada jugador ua mao formada por cico cartas, de las 5 que tiee la baraja fracesa, cuátas maos diferetes puede recibir u jugador? Matemáticas 4º B de ESO. Capítulo : Combiatoria

13 95 Combiatoria: 4ºB de ESO.. Números combiatorios Las combiacioes so muy útiles, por lo que su uso frecuete hace que se haya defiido ua expresió matemática deomiada úmero combiatorio. El úmero combiatorio m sobre se desiga m = Cm, = m y es igual a: ( m Propiedades de los úmeros combiatorios Actividades resueltas m! )!! Calcula ,,, Habrás comprobado que: =, =, = y =. Razoa el motivo. Podemos geeralizar m m m! y decir que =? E efecto: = =. Recuerda que! =. m!! Calcula ,,, Habrás comprobado que: =, =, = y =. Razoa el motivo. Podemos geeralizar m m m! m! y decir que =? E efecto: = =. Recuerda que! =. m m ( m m)! m!! m! Calcula ,,, Habrás comprobado que: = 7, = 5, = 9 y = 4. Razoa el motivo. Podemos geeralizar m m m! y decir que = m? E efecto: = = m. ( m )!! Calcula ,,, e idica cuáles so iguales. 4 7 Habrás comprobado que: = y que =. Razoa el motivo. Podemos geeralizar y decir 4 7 Matemáticas 4º B de ESO. Capítulo : Combiatoria

14 96 Combiatoria: 4ºB de ESO que m m =? m E efecto: m m! = = ( m )!! ( m ( m m! ))!( m = )! m. m Hasta ahora todas las propiedades ha sido muy fáciles. Teemos ahora ua propiedad más difícil. m m m Veamos que: = +. Pero ates lo comprobaremos co u problema. Luis y Miriam se ha casado y les ha regalado seis objetos de adoro. Quiere poer tres e ua estatería, pero Miriam quiere que e la estatería esté, sí o sí, el regalo de su madre. Si embargo, a Luis o le gusta ese objeto, y le da igual cualquier combiació e la que o esté. Uo de los dos se saldrá co la suya. Calcula cuatas so las posibilidades de cada uo. A Luis y Miriam les ha regalado 6 objetos de adoro y quiere poer e ua estatería. Las formas de hacerlo co C 6, = 6. Pero Miriam quiere que e la estatería esté, sí o sí, el regalo de su madre. De cuátas formas lo haría Miriam? So C 5, = 5. Si embargo a Luis, ese objeto o le gusta, y le da igual cualquier combiació e la que o esté. De cuátas formas lo haría Luis? So C 5, = 5. Las opcioes de Miriam más las de Luis so las totales: = +. Comprueba que = + y que E geeral, m m m = +. Te atreves a demostrarlo? Para demostrarlo recurrimos a la defiició y realizamos operacioes: m m + = ( m )! + ( m )!! ( m ( m ) ( m )! ( m )! = + ( m ) ( m )!! ( m )! ( )! ( m ( )! reducimos a comú deomiador ))! ( )! Recuerda: m (m )! = m! Matemáticas 4º B de ESO. Capítulo : Combiatoria

15 97 Combiatoria: 4ºB de ESO = ( m ) ( m )! + ( m )!! ( m )! ( m )!! Poemos el deomiador comú y sumamos los umeradores = ( m ) ( m ( m )! )!! ( m )! Sacamos (m )! factor comú = ( m ( m ) ( m )!! )! De uevo usamos que m (m )! = m! = ( m m! )! =! m. Triágulo de Pascal o Triágulo de Tartaglia A u matemático italiao del siglo XVI, llamado Tartaglia pues era tartamudo, se le ocurrió dispoer a los úmeros combiatorios así: O bie calculado sus valores correspodietes: A ambos triágulos se les llama Triágulo de Pascal o Triágulo de Tartaglia. Los valores que hay que poer e cada fila del triágulo se calcula, si teer que usar la fórmula de los úmeros combiatorios, de ua forma más fácil basada e las propiedades de los úmeros combiatorios que acabamos de probar: Por la propiedad m m = =, cada fila empieza y termia co. m m m Por la propiedad =, sabemos que el Triágulo de Tartaglia es simétrico o sea que el m primer elemeto de cada fila coicide co el último, el segudo co el peúltimo y así sucesivamete. Matemáticas 4º B de ESO. Capítulo : Combiatoria

16 98 Combiatoria: 4ºB de ESO m m m Por la propiedad = +, podemos obteer las siguietes filas sumado térmios de la aterior, ya que cada posició e ua fila es la suma de las dos que tiee justo ecima de la fila aterior. De este modo el triágulo se costruye secuecialmete, añadiedo filas por abajo hasta llegar a la que os iteresa. Si sólo ecesitamos coocer u úmero combiatorio aislado, tal vez o valga la pea desarrollar todo el triágulo, pero e muchas ocasioes ecesitamos coocer los valores de toda ua fila del triágulo (por ejemplo cuado desarrollamos u biomio de Newto, o cuado resolvemos problemas de probabilidad). Actividades propuestas. Añade tres filas más al triágulo de Tartaglia de la derecha.. Suma los úmeros de cada fila y comprueba que la suma de los elemetos de la fila m es siempre igual a m. 4. Si calcularlos, idica cuáto vale C 5, ; C 5,4 ; C 5, y C 5,5 buscado su valor e el triágulo. = = 4 = 8 = = = 5 Recorridos aleatorios o camiatas al azar Los úmeros combiatorios sirve como modelo para resolver situacioes muy diversas. Actividades resueltas El dispositivo que aparece a la izquierda se deomia aparato de Galto. Su fucioamieto es el siguiete: cuado se itroduce ua bola por el embudo superior, va cayedo por los huecos que existe e cada fila. E cada paso puede caer por el hueco que tiee a su derecha o por el que tiee a su izquierda co igual probabilidad, de forma que es imposible, cuado poemos ua bola e el embudo predecir e cuál de los carriles iferiores acabará cayedo. Si itroducimos muchas bolas por el agujero superior, por ejemplo 4, crees que al llegar abajo se distribuirá uiformemete etre todos los carriles o habrá lugares a los que llegue más bolas? Observa que para llegar a la primera fila, sólo hay u camio posible, que es el que va siempre hacia la izquierda, y para llegar a la última, el úico camio posible es el que va siempre a la derecha. Mietras que para llegar a los huecos cetrales de cada fila el úmero de camios posibles es mayor. Por ejemplo, para llegar al segudo hueco de la seguda fila, hay dos camios. E geeral, al primer hueco de cada fila sólo llega u camio, igual que al último y a cada uo de los otros huecos llega tatos camios como la suma de los camios que llega a los dos huecos que tiee justo ecima. Matemáticas 4º B de ESO. Capítulo : Combiatoria

17 99 Combiatoria: 4ºB de ESO Comprueba que para llegar al hueco de la fila m hay m camios. E resume, el úmero de camios aleatorios que llega a cada hueco se calcula igual que los úmeros e el triágulo de Tartaglia. Si uestro aparato de Galto tiee 9 filas, el úmero de camios que llega a cada uo de los compartimetos de salida es el que se obtiee co la ovea fila del Triágulo de Tartaglia: , de u total de 9 = 5 camios diferetes que puede realizar la bola. Así que cuado echamos e el aparato 4 bolas, habrá aproximadamete bolas que haga cada uo de los 5 recorridos posibles, ya que todos tiee la misma probabilidad de ocurrir. Por tato el úmero de bolas que podemos esperar que caiga e cada compartimeto es el siguiete: Compartimeto Número aproximado de bolas 4 9 = = = 7 84 = 68 6 = 5 6 = 5 84 = 68 Vemos que o se deposita el mismo úmero de bolas e todos los compartimetos. Mietras que e los extremos habrá aproximadamete bolas, e los cetrales habrá uas 5. De acuerdo co ley de los grades úmeros, los resultados experimetales será más parecidos a los teóricos cuato mayor sea el úmero de veces que se realiza el experimeto (es decir, cuato mayor sea el úmero de bolas). E Youtube buscado la expresió máquia de Galto puedes ver muchos vídeos e que se realiza el experimeto y se verifica este hecho. 6 = 7 9 = 8 Número de éxitos Actividades resueltas E ua sesió de tiro al plato se realiza sucesivamete disparos. Cuátas posibilidades habrá de acertar e el blaco exactamete tres veces (teer tres éxitos)? So las C, = =. E resume m = Número de combiacioes de m elemetos tomados de e = Número de camios posibles para llegar al hueco de la fila m del aparato de Galto = Número de subcojutos de elemetos tomados e u cojuto de m elemetos = Número de sucesos e los que obteemos éxitos e m pruebas = Números de muestras si ordear de tamaño e ua població de tamaño m. Matemáticas 4º B de ESO. Capítulo : Combiatoria

18 4 Combiatoria: 4ºB de ESO.. Biomio de Newto Vamos a calcular las sucesivas potecias de u biomio. Ya sabes que: (a + b) = (a + b) = a + b (a + b) = a + ab + b (a + b) = a + a b + ab + b Para calcular (a + b) 4 multiplicamos (a + b) por (a + b). (a + b) 4 = (a + b) (a + b) = (a + a b + ab + b ) (a + b) = a 4 + a b + a= ba 4 + ab a b + + a a b + ba + bab +ab + + b 4 = a 4 + 4a b + 6a b + 4ab a b + a b 4 b + ab + b 4 (a + b) 4 = a 4 + 4a b + 6a b + 4ab + b 4 = a 4 + 4a b + 6a b + 4ab + b 4 Observa que para hallar cada uo de los coeficietes de (a + b) 4, excepto el primero y el último que vale, se suma los coeficietes igual que e el triágulo de Tartaglia. Se obtiee cada elemeto sumado los dos que tiee ecima. Actividades resueltas Serías capaz de calcular (a + b) 5 sólo observado? Fíjate que siempre aparece todos los posibles térmios del grado que estamos calculado, por lo que para calcular la quita potecia tedremos: a 5, a 4 b, a b, a b, ab 4 y b 5. Los expoetes está ordeados de maera que los de a va descediedo desde 5 hasta, y los de b va aumetado desde hasta 5 (recuerda a =). El coeficiete del primer y último térmio es. Los coeficietes se obtiee sumado los de los térmios de la fila aterior, como e el Triágulo de Tartaglia. So la quita fila del Triágulo de Tartaglia. Luego (a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + a b + a b + 5ab 4 + b 5. Podemos escribirlo tambié utilizado úmeros combiatorios: (a + b) 5 = 5 a a 4 b + 5 a b + 5 a b + 5 ab b 5. 5 Actividades propuestas 5. Desarrolla (a + b) 6 E geeral: (a + b) = a + a b + a b + + ab + b. Esta igualdad se deomia Biomio de Newto. Matemáticas 4º B de ESO. Capítulo : Combiatoria

19 4 Combiatoria: 4ºB de ESO Actividades resueltas Cómo calcularías (a b)? Basta aplica la fórmula del Biomio de Newto a (a +( b)). Recuerda ( b) elevado a u expoete par tiee sigo positivo y elevado a u expoete impar lo tiee egativo. Por tato (a b) = a alterativamete positivos y egativos. Actividades propuestas 6. Desarrolla a) (a b) 6 ; b) (x ) 4 ; c) (x + ) 7 ; d) ( x + ) 5. a b + a b + + ( ) b. Los sigos so 7. Calcula el coeficiete de x 7 e el poliomio que se obtiee al desarrollar x x 5 8. Expresa co radicales simplificados el poliomio que se obtiee al desarrollar x 5 4. OTROS PROBLEMAS DE COMBINATORIA 4.. Resolució de problemas Recuerda: para resolver u problema es coveiete teer e cueta las siguietes fases: Fase : Ates de empezar a actuar, iteta eteder bie el problema Léelo hasta asegurarte de haber compredido el euciado, qué datos te da?, qué te pide? Fase : Busca ua buea estrategia. Si el problema es de Combiatoria ua posible buea estrategia puede ser aalizar si es u problema de permutacioes, de variacioes o de combiacioes y, e ese caso, aplicar la fórmula que ya cooces. Esta estrategia podríamos llamarla: Mira si tu problema se parece a alguo que ya coozcas Pero otra posible buea estrategia, que o excluye la aterior, es comezar a hacer u diagrama e árbol. A esta estrategia podemos llamarla: O bie: Experimeta, juega co el problema Haz u diagrama, u esquema, ua tabla... Matemáticas 4º B de ESO. Capítulo : Combiatoria

20 4 Combiatoria: 4ºB de ESO La fase siguiete a seguir es: Fase : Lleva adelate tu estrategia Seguro que utilizado estas estrategias, resuelves el problema. Por último, cuado ya lo hayas resuelto: Fase 4: Piesa si es razoable el resultado. Comprueba la estrategia. Geeraliza el proceso. 4.. Permutacioes circulares Vamos a utilizar estas técicas, u otras distitas, para resolver u problema: Actividades resueltas Diez amigos y amigas va a comer y e el restaurate les sieta e ua mesa redoda. De cuátas formas puede setarse? Si e lugar de ua mesa fuera u baco, ya sabemos resolver el problema, es u problema de Permutacioes. La solució sería! formas distitas. Pero es ua mesa redoda, o tiee u primer asieto i u último asieto. Tampoco es secillo, por el mismo motivo, diseñar el diagrama e árbol. Qué hacemos? Piesa. Busca ua buea estrategia. Ua buea estrategia quizás sea: Hazlo más fácil para empezar Diez so muchos. Piesa e tres: A, B y C. Si fuera u baco, las posibilidades sería! = 6. Siétalos ahora e ua mesa redoda. La posibilidad ABC, es ahora la misma que BCA y que CAB. Nos queda sólo dos formas distitas de setarlos. Llamamos PC a esa permutació circular. Teemos pues que P =! = y PC = ; P =! = 6 y PC =. Cómo podemos setar a 4 persoas e ua mesa circular? La permutació ABCD ahora es la misma que BCDA, y que CDAB y que DABC, luego si P 4 = 4! = 4, etoces PC 4 = P 4 /4 = 6. Sabemos ya resolver uestro problema iicial? Es PC = P / = P 9 = 9! Razoa esta respuesta. Actividades propuestas 9. Tres amigos A, B y C está jugado a las cartas. Cada uo pasa ua carta al que está a su derecha. Uo es español, otro italiao y el otro portugués. A le pasa ua carta al italiao. B se la ha pasado al amigo que se la ha pasado al español. Cuál de los amigos es español, cuál italiao y cuál portugués? Ayuda: Haz u diagrama circular como el aterior. 4. Aa y Alejadro ivita a cear a amigos y amigas, cuátas formas tiee de colocarse e ua mesa redoda? E cuátas está jutos Aa y Alejadro? E cuátas o hay dos chicos i dos chicas jutos? 4. Cuátas poligoales cerradas se puede dibujar co los 8 vértices de u octógoo? 4.. Permutacioes co repetició C A B B A C Matemáticas 4º B de ESO. Capítulo : Combiatoria

21 4 Combiatoria: 4ºB de ESO Actividades resueltas Cuátas palabras 8 letras, co setido o si él, se puede formar o las letras de la palabra RASTREAR? Observamos que la letra R se repite tres veces y la letra A, dos veces. Si las 8 letras fuera distitas el úmero de palabras que se podría formar sería 8!, pero etre estas 4 palabras observamos que todas aquellas e las que está permutadas las dos letras A so iguales, por lo tato teemos la mitad de las palabras 6. Además al cosiderar las tres letras R que hemos cosiderado distitas y que so iguales teemos que por cada palabra diferete hay 6, es decir!, que so iguales, por lo tato el úmero de palabras diferetes es 6. Por tato, las permutacioes de 8 elemetos de los que uo se repite veces y otro será: PR 8,, = 8!!! = 6. Observa que el úmero de las permutacioes de dos elemetos de los que uo se repite k veces y el otro k veces coicide co el úmero combiatorio k. Actividades propuestas 4. Co los dígitos,, y cuátos úmeros distitos de 7 cifras puedes formar co tres veces la cifra, dos veces la cifra y dos veces la cifra. 4. Co las letras de la palabra CARCAJADA, cuátas palabras co estas 9 letras, co setido o si él, se puede formar? 44. Teemos dos fichas blacas, tres egras y cuatro rojas, de cuátas formas distitas podemos apilarlas? E cuátas o queda las dos fichas blacas jutas? 45. El cadado de mi maleta tiee 7 posicioes e las que se puede poer cualquiera de los dígitos del al 9. Cuátas cotraseñas diferetes podría poer? Cuátas tiee todos sus úmeros distitos? Cuátas tiee algú úmero repetido? Cuátas tiee u úmero repetido dos veces? Ayuda: Observa que para calcular las que tiee algú úmero repetido lo más fácil es restar del total las que tiee todos sus úmeros distitos Combiacioes co repetició Actividades resueltas U grupo de amigos se va de excursió y uo de ellos se ecarga de comprar ua bebida para cada uo, pudiedo elegir etre agua, batido o refresco. De cuatas maeras diferetes puede realizarse el ecargo? Para resolver este problema teemos que formar ua secuecia de elemetos, de u cojuto formado por los tres elemetos A, B, R. Está claro que o importa el orde e que se compre las bebidas, por lo que se trata de combiacioes. Pero cada elemeto puede aparecer e la combiació más de ua vez. Por ejemplo ua solució formada por dos de agua, tres de batido y cico de refresco, se represetaría AABBBRRRRR. Cualquier otra combiació tedrá que difereciarse de ella por al Matemáticas 4º B de ESO. Capítulo : Combiatoria

22 44 Combiatoria: 4ºB de ESO meos u elemeto de su composició. Así que viedo que cada secuecia empieza co ua repetició del elemeto A, sigue co otra del elemeto B y termia co repeticioes del elemeto R, siedo e total los elemetos que se toma, podemos represetarlas por ua serie de huecos co dos guioes de separació etre ellos. A A B B B R R R R R (Combiació que represeta dos de agua, tres de batido y cico de refresco) R R R R R R R R R R (Combiació que represeta sólo diez de refresco) B B B B R R R R R R (Combiació que represeta cuatro de batido y seis de refresco) Así que cada ua de las combiacioes se correspode co ua forma de elegir dóde colocar los guioes, es decir de posibles posicioes elegir dos. Como o importa e qué orde se coloque los guioes y o puede estar los dos e la misma posició, ese úmero será igual a las combiacioes de elemetos tomados de e, por lo tato será: E geeral,!!! Se llama combiacioes co repetició de m elemetos tomados de e y se desiga CR m, a los grupos de elemetos que se puede formar a partir de u cojuto de m elemetos diferetes etre sí, de modo que cada grupo se diferecie de los demás por los elemetos que lo forma y co la posibilidad de que cada elemeto aparezca más de ua vez. Coicide co el úmero de secuecias que se puede formar de m huecos y guioes, por tato: m CR m,= 66 Actividades propuestas 46. E ua caja hay bolas rojas, egras y azules. Si metemos la mao e la caja y sacamos 8 bolas, de cuátas formas posibles puede realizarse la extracció? 47. De cuátas maeras posibles se puede comer cuatro amigos caramelos iguales? Problemas de ampliació Actividad resuelta Si rectas de u mismo plao se corta dos a dos e putos que so todos distitos, se parte así el plao e regioes distitas. Cuál es el úmero de esas regioes? Cuátos segmetos hay? Cuátos putos aparece? Fase : Ates de empezar a actuar, iteta eteder bie el problema Para eteder bie el problema dibuja rectas e el plao para ir cotado putos, regioes y segmetos Matemáticas 4º B de ESO. Capítulo : Combiatoria

23 45 Combiatoria: 4ºB de ESO Fase : Busca ua buea estrategia. Ua buea estrategia cosiste e experimetar co casos particulares: Se observa que: Co rectas hay 4 regioes, puto y 4 segmetos ifiitos (semirrectas). Co rectas: Al añadir la tercera recta Tres de las regioes se ha dividido e dos: 4 + = 7 regioes. Se añade los putos e los que esa recta corta a las ateriores + =. Se tiee 5 segmetos más: fiitos + semirrectas: = 9. E particular las semirrectas ha aumetado e dos: 4 + = 6 Co 4 rectas: Al añadir la cuarta recta: Cuatro de las regioes se ha dividido e dos: = regioes Se añade los putos e los que esa recta corta a las ateriores + = 6. Se tiee 7 segmetos más: 5 fiitos + semirrectas: = 6. E particular las semirrectas ha aumetado e dos: 6 + = 8 Otra buea estrategia es elaborar ua tabla co los resultados obteidos: Rectas Putos Regioes Segmetos Semirrectas = 4 + = = = = + 5 = = = 6 Fase : Lleva adelate tu estrategia E esta fase buscamos expresioes e fució del úmero de rectas,, para poder calcular el úmero Matemáticas 4º B de ESO. Capítulo : Combiatoria

24 46 Combiatoria: 4ºB de ESO de putos, segmetos y regioes segú los valores de. La fórmula para las semirrectas parece la más fácil de obteer porque aparetemete es el doble que el úmero de rectas y además cada vez que añadimos ua recta teemos semirrectas más. Si llamamos SS al úmero de semirrectas que aparece co rectas teemos que SS =. Para calcular el úmero de segmetos (icluidas las semirrectas) que se obtiee co rectas, a partir de los datos de la tabla, parece plausible sugerir que es el cuadrado del úmero de rectas, es decir, si S desiga al el úmero de segmetos (los fiitos y las semirrectas) etoces: S =. Para determiar el úmero de putos, e la tabla se observa ua ley de recurrecia, el úmero de putos, para cualquier úmero de rectas, es igual al úmero de putos aterior más el úmero de rectas tambié de la fila aterior. Si deomiamos P al úmero de putos que se tiee al cortarse rectas etoces: P = P + Por otra parte observamos que si umeramos las rectas co,,,, y ombrado los putos por el par de rectas que determia cada uo teemos que so: (, ), (, ), (, 4), (, ), (, ), (, 4), (, ), (, 4) El úmero de estos pares de elemetos coicide co las combiacioes de elemetos tomados de e, es decir, P = C, =. La ley de recurrecia que os sugiere la tabla para obteer el úmero de regioes que se obtiee cuado se corta rectas, es que el úmero de regioes de cualquier fila de la tabla es igual al úmero regioes de la fila aterior más el úmero de rectas de su fila, por tato si R el úmero de regioes que se obtiee al cortarse rectas etoces: R = R +. Para obteer ua fórmula observamos que: R = = + ( + ) + ( ) = + ( ). Sumado , obteemos que: R = + ( ) y por lo tato R = + o bie y por cosiguiete R = + ( ) ( ) = + + R = + + Fase 4: Piesa si es razoable el resultado. Comprueba la estrategia. Geeraliza el proceso. E esta fase se trata de justificar o demostrar que todas las cojeturas que hemos realizado so ciertas: Matemáticas 4º B de ESO. Capítulo : Combiatoria

25 47 Combiatoria: 4ºB de ESO Co respecto al úmero de semirrectas es secillo comprobar que es el doble del úmero de rectas ya que por cada recta teemos dos semirrectas, es decir: SS := El úmero de segmetos es el cuadrado del úmero de rectas ya que como e cada ua de las rectas hay putos teemos segmetos (fiitos y semirrectas) y como hay rectas se tiee que S = Como cada puto es la itersecció de dos rectas se tiee que P = recurrecia P = P +. Aplicado las propiedades de los úmeros combiatorios: P + = = P, esta fórmula cumple la ley de Respecto a las regioes veamos que la hipótesis R = +, cumple la ley de recurrecia: R = R +. Si R = +, etoces R = +, y por las propiedades de los úmeros combiatorios: R + = + + = + + = + = R E esta fase tambié se puede geeralizar el problema: Qué ocurriría si p de las rectas fuera paralelas? Y si q rectas de las rectas coverge e u mismo puto? Actividades propuestas 48. De cuátas maeras se puede itroducir 7 bolas idéticas e 5 cajas diferetes colocádolas todas si igua caja puede quedar vacía? Y si podemos dejar algua caja vacía? Ayuda: Ordea las bolas e ua fila separadas por 4 putos así queda divididas e 5 partes, que idica las que se coloca e cada caja. 49. Cuátas pulseras diferetes podemos formar co 4 bolas blacas y 6 rojas? Ayuda: Este problema es equivalete a itroducir 6 bolas iguales e 4 cajas idéticas pudiedo dejar cajas vacías. 5. Cuátas formas hay de colocar el rey blaco y el rey egro e u tablero de ajedrez de forma que o se ataque mutuamete. Y dos alfiles? Y dos reias? Matemáticas 4º B de ESO. Capítulo : Combiatoria

26 48 Combiatoria: 4ºB de ESO CURIOSIDADES. REVISTA E el año 494 aparece la primera obra impresa que tiee cuestioes sobre Combiatoria. Es Summa escrita por Luca Pacioli. ( Te acuerdas del Número de Oro?). Uo de los problemas que platea es el de calcular el úmero de formas distitas e que persoas puede setarse e ua mesa redoda. Problema que ya hemos resuelto e el apartado 4.. E el año 559 escribió Buteo e Fracia el libro Logística, quae et Aritmética vulgo dicitur, uo de los primeros libros que trata sobre Combiatoria. E este libro aparece el siguiete problema: U cerrajero fabrica cadados formados por 7 discos, y e cada disco hay 6 letras. Cuátos cadados es posible fabricar de forma que cada uo tega ua combiació diferete para abrir? A B U gato se ecuetra e A y u rató e B. El gato avaza de cetro de casilla e cetro de casilla moviédose hacia la derecha o hacia abajo, uca retrocede. Cuátos camios distitos puede recorrer el gato para cazar al rató? Por esta razó de idepedecia, el amor al estudio es de todas las pasioes la que más cotribuye a uestra felicidad. Mme. de Châtelet Matemáticas 4º B de ESO. Capítulo : Combiatoria

27 49 Combiatoria: 4ºB de ESO RESUMEN Ejemplos Permutacioes Variacioes co repetició Variacioes si repetició Se cosidera sólo el orde. P =! Se cosidera el orde y los elemetos. Los elemetos puede repetirse. VR m, = m. Ifluye el orde y los elemetos. Los elemetos NO puede repetirse. m! V m, = m (m ) (m ) (m + ) = ( m )! P 4 = 4! = 4 = 4. VR,4 = = 4 = 6 V 6, = = 6! =! Combiacioes Ifluye sólo los elemetos. C m, = V m, P ( m m! )!! = m C 9,7 = 9 9! = 6 7! 7! Propiedades de los úmeros combiatorios m m m m = ; = ; = ; m m m m m = = =; = =; = + = Triágulo de Tartaglia. Biomio de Newto (a+b) = a + a b+ a b + + ab + b (a+b) 4 =a 4 +4a b+6a b +4ab +b 4 Los PowerPoit siguietes so u bue resume: Variacioes y permutacioes; Combiacioes. Matemáticas 4º B de ESO. Capítulo : Combiatoria

28 4 Combiatoria: 4ºB de ESO Permutacioes EJERCICIOS Y PROBLEMAS.. Tres adadores echa ua carrera. De cuátas formas puede llegar a la meta si o hay empates? Y si so 8 adadores?. Loli, Paco, Aa y Jorge quiere fotografiarse jutos, de cuátas maeras puede hacerse la fotografía? Quiere situarse de maera que altere chicos co chicas, de cuátas maeras puede ahora hacerse la fotografía?. De cuátas maeras se puede itroducir 6 objetos distitos e 6 cajas diferetes si sólo se puede poer u objeto e cada caja? 4. E ua parada de autobús hay 5 persoas, e cuátos órdees distitos puede haber llegado a la parada? Al llegar ua ueva persoa se apuesta co otra a que adivia el orde de llegada, qué probabilidad tiee de gaar? 5. Siete chicas participa e ua carrera, de cuátas formas puede llegar a la meta? No hay empates. Cuál es la probabilidad de acertar el orde de llegada a la meta? 6. Cuátos úmeros distitos y de cico cifras distitas puede formarse co los dígitos, 4, 5, 6, y 7? Cuátos puede formarse si todos empieza por 5? Y si debe empezar por 5 y termiar e 7? Variacioes 7. Cuátas baderas de frajas horizotales de colores distitos se puede formar co los colores rojo, amarillo y morado? Y si se dispoe de 5 colores? Y si se dispoe de 5 colores y o es preciso que las tres frajas tega colores distitos? 8. Cuátos úmeros de 4 cifras distitas se puede escribir co los dígitos:,,, 4, 5 y 6? Cuátos de ellos so impares? Cuátos so múltiplos de 4? Recuerda: U úmero es múltiplo de 4 si el úmero formado por sus dos últimas cifras es múltiplo de Cuátos úmeros de 4 cifras, distitas o o, se puede escribir co los dígitos:,,, 4, 5 y 6? Calcula la suma de todos ellos. Sugerecia: Ordéalos de meor a mayor y suma el primero co el último, el segudo co el peúltimo, el tercero co el atepeúltimo y así sucesivamete. A Mario le ecata el cie y va a todos los estreos. Esta semaa hay seis, y decide ir cada día a uo. De cuátas formas distitas puede ordear las películas? Mala suerte. Le aucia u exame y decide ir al cie solamete el martes, el jueves y el sábado. Etre cuátas películas puede elegir el primer día? Y el segudo? Y el tercero?. Co los dígitos,,,, 4, 5, cuátos úmeros de cuatro cifras diferetes se puede formar? (Observa: Si comieza por o es u úmero de cuatro cifras). Cuátos so meores de?. Co las letras de la palabra ARQUETIPO Cuátas palabras de 6 letras se puede formar que o tega dos vocales i dos cosoates jutas? a) Si todas las letras so distitas. b) Si se puede repetir letras. Matemáticas 4º B de ESO. Capítulo : Combiatoria

29 4 Combiatoria: 4ºB de ESO. Cuátos úmeros de tres cifras, diferetes o o, se puede formar? De éstos, cuátos so mayores que? 4. El leguaje del ordeador está escrito e secuecias de ceros y uos (dígitos biarios o bits) de tamaño fijo. E el cotexto de la iformática, estas cadeas de bits se deomia palabras. Los ordeadores ormalmete tiee u tamaño de palabra de 8, 6, ó 64 bits. El código ASCII co el que se represetaba iicialmete los caracteres para trasmisió telegráfica teía 7 bits. Después se aplicó a los ordeadores persoales, ampliádolo a 8 bits que es lo que se deomia u byte o ASCII extedido. Más tarde se sustituyo por Uicode, co ua logitud variable de más de 6 bits. Cuátos bytes diferetes (8 dígitos) se puede formar? E u ordeador cuya logitud de palabra tuviera 6 dígitos, cuátas se podría formar que fuese diferetes? Si existiera u ordeador cuya logitud de palabra tuviera 4 dígitos, se podría escribir co ellos las letras del alfabeto? Combiacioes 5. Escribe dos úmeros combiatorios co elemetos diferetes que sea iguales y otros dos que sea distitos. 6. Tiees siete bolas de igual tamaño, cuatro blacas y tres egras, si las colocas e fila. De cuátas formas puede ordearlas? 7. Co 5 latas de pitura de distitos colores, cuátas mezclas de colores podrás hacer? 8. Calcula: a) ; b) ; c) ; d) ; e) Calcula: a) C 9, ; b) C,6 ; c) C 8,4 ; d) C,9 ; e) C 47,.. De cuátas maeras se puede elegir ua delegació de 4 estudiates de u grupo de? Y e tu propio grupo?. Cuátos productos diferetes se puede formar co los úmeros:, /, 7, 5 y π tomádolos de e? Cuátos de esos productos dará como resultado u úmero etero? Cuátos u úmero racioal o etero? Cuátos u úmero irracioal?. Cuátas aleacioes de metales puede hacerse co 7 tipos distitos de metal?. Calcula: a) b) c) Cuál es la forma más fácil de calcular cada uo de los úmeros combiatorios? si calcular Matemáticas 4º B de ESO. Capítulo : Combiatoria

30 4 Combiatoria: 4ºB de ESO 4. De cuátas formas puedes separar u grupo de estudiates e dos grupos de y 7 estudiates respectivamete? 5. Ua asigatura se compoe de temas y se va a realizar u exame e el que cae pregutas de dos temas. Cuátas posibilidades hay para elegir los temas que cae? Si sólo has estudiado 6 temas. Cuátas posibilidades hay de que te toque dos temas que o te sepas? Cuál es la probabilidad de que te toque dos temas que o te sepas? Y la de que te toque sólo u tema que o te sepas? 6. U grupo de alumos de 4º de ESO va a visitar u museo e el que puede elegir etre dos actividades diferetes. Cuátas formas distitas puede haber de formar los grupos de alumos? 7. Desarrolla el biomio a) (4 x) 5 ; b) ( x) 4 ; c) (ab c) 6 x ; d) ( x). 8. Calcula x e las siguietes expresioes: a) 6 6 x 4 x x b) x x c) 7 7 x 4 x x d) x x a) d) 9. Escribe el valor de x e las igualdades siguietes: =, x ; b) =, x ; c) = + ; x x x x 5 = ; e) x 5 x = 6 x ; f) x x. Calcula e fució de la suma de los siguietes úmeros combiatorios: a) + 4 b) c) +. Halla el sexto térmio e el desarrollo de: a x. Halla el coeficiete de x e el desarrollo de: ( 5x) 9.. Cuátas opcioes hay para elegir cuatro asigaturas etre siete optativas? 4. Se juega ua partida de tiro al plato e la que se laza sucesivamete doce platos. Cuál es el úmero de sucesos e los que se obtiee cuatro éxitos, es decir se acierta cuatro veces e el blaco? E el mismo caso aterior, cuál es la probabilidad de teer éxito e el último tiro? Problemas 5. E Curiosidades y Revista tiees el problema de Buteo. Co 7 discos y 6 letras e cada disco, cuátas combiacioes distitas se puede hacer? Ayuda: E el primer disco podemos poer cualquiera de las 6 letras. Lo mismo e el segudo. Y e el tercero? Pero si es facilísimo! Si ya Matemáticas 4º B de ESO. Capítulo : Combiatoria

31 4 Combiatoria: 4ºB de ESO sabemos resolverlo. 6. E u restaurate hay 5 primeros platos, 4 segudos y 6 postres, de cuátas formas diferetes se puede combiar el meú? 7. Lazamos ua moeda y luego u dado, Cuátos resultados distitos podemos obteer? Y si lazamos dos moedas y u dado? Y si fuese moedas y dados? 8. Se está eligiedo los actores y actrices para hacer de protagoistas e ua teleserie. Se ha presetado 6 chicos y 8 chicas. Cuátas parejas distitas podría formarse? 9. Ua caja de u coocido juego educativo tiee figuras rojas, amarillas y azules, que puede ser triágulos, círculo o cuadrados, y de dos tamaños, grades y pequeñas. De cuátas piezas costa la caja? 4. E u restaurate hay 8 primeros platos y 5 segudos, cuátos tipos de postres debe elaborar el restaurate para poder asegurar u meú diferete los 65 días del año? 4. E ua reuió todas las persoas se saluda estrechádose la mao. Sabiedo que hubo 9 saludos. Cuátas persoas había? Y si hubo 45 saludos, cuátas persoas había? 4. De cuátas maeras se puede itroducir 5 objetos distitos e 5 cajas diferetes si sólo se puede poer u objeto e cada caja? Y si se puede poer varios objetos e cada caja colocado todos? Cuál es la probabilidad de que e la primera caja o haya igú objeto? 4. La mayor parte de las cotraseñas de las tarjetas de crédito so úmeros de 4 cifras. Cuátas posibles cotraseñas podemos formar? Cuátas tiee algú úmero repetido? Cuátas tiee u úmero repetido dos veces? 44. Teemos rectas e el plao que se corta a, es decir, o hay rectas paralelas. Cuátos so los putos de itersecció?, y si tiees 5 rectas?, y si tiees rectas? 45. Cuátas diagoales tiee u octógoo regular?, y u polígoo regular de lados? 46. Cuátas diagoales tiee u icosaedro regular?, y u dodecaedro regular? Ayuda: Recuerda que el icosaedro y el dodecaedro so poliedros duales, es decir, el úmero de caras de uo coicide co el úmero de vértices del otro. Para saber el úmero de aristas puedes utilizar la Relació de Euler: C + V = A Cuátos úmeros diferetes de 5 cifras distitas puedes formar co los dígitos,,, 5 y 7? Cuátos que sea múltiplos de 5? Cuátos que empiece por? Cuátos que además de empezar por termie e 7? 48. Co 5 bolas de colores distitos, a) Cuátas filas diferetes puedes formar? b) Cuátas pulseras distitas puedes formar? 49. Hace muchos años las placas de matrícula era como esta: M 67757; luego fuero como ésta: M 4 AB; y actualmete como ésta: 668 BPD. Ivestiga qué vetajas tiee cada uo de estos cambios respecto al aterior. 5. Co los dígitos,,, 4, 5, cuátos úmeros de cico cifras distitas se puede formar? Calcula Matemáticas 4º B de ESO. Capítulo : Combiatoria

32 44 Combiatoria: 4ºB de ESO la suma de todos estos úmeros. C 5. Calcula x e los siguietes casos: a) V x, = C x, b) V x,5 = 6 V x, c) C 5. Iker y María juega al teis y decide que gaa aquel que primero gae sets. Cuál es el úmero máximo de sets que tedrá que disputar? Cuátos desarrollos posibles puede teer el ecuetro? 5. Pedro cooció ayer a ua chica. Lo pasaro muy bie y ella le dio su úmero de móvil, pero él o llevaba su móvil i bolígrafo. Pesó que se acordaría, pero sólo recuerda que empezaba por 656, que había otras cuatro que era todas distitas etre sí y meores que 5. Calcula cuátas posibilidades tiee de acertar si marca u úmero. Demasiadas. Hace memoria y recuerda que las dos últimas so 77. Cuátas posibilidades hay ahora de acertar haciedo ua llamada? 54. U club de alpiistas ha orgaizado ua expedició al Kilimajaro formada por persoas, 7 expertos y 4 que está e formació. E u determiado tramo sólo puede ir expertos y que o lo sea, de cuátas formas puede estar compuesto ese equipo de 5 persoas? Tu eres u experto, y vas a ir e ese tramo, cuátas formas hay ahora de compoerlo? 55. E u festival de cortometrajes co 5 participates, se reparte euros e premios. Idica el úmero de formas diferetes de realizar el reparto, segú cada ua de las tres modalidades propuestas. a. Modalidad A: Se reparte tres premios de euros a tres cortometrajes elegidos por u jurado. b. Modalidad B: Se realiza ua votació y se etrega 5 euros al más votado, al segudo y 5 al tercero. c. Modalidad C: Se etrega tres premios de euros cada uo e tres categorías: mejor guió, mejor realizació y mejor iterpretació. Nota: Podría ocurrir que u cortometraje fuera el mejor e varias categorías. 56. E los billetes de ua líea de autobuses va impresos los ombres de la estació de partida y de la de llegada. Hay e total 8 posibles estacioes. Cuátos billetes diferetes tedría que imprimir la empresa de autobuses? Ahora quiere cambiar el formato y sólo imprimir el precio, que es proporcioal a la distacia. Las distacias etre las estacioes so todas distitas. Cuátos billetes diferetes tedría que imprimir e este caso? 57. Ua pareja tiee u hijo de años que etra e la guardería a las 9 de la mañaa. El padre trabaja e ua fábrica que tiee turos mesuales rotativos: de a 8, de 8 a 6 y de 6 a 4 horas. La madre trabaja e u supermercado que tiee dos turos rotativos mesuales, de 8 a 4 y de 4 a horas. Cuátos días al año, por térmio medio, o podrá iguo de los dos llevar a su hijo a la guardería? 58. U tiro al blaco tiee caballitos umerados que gira. Si se acierta a uo de ellos se eciede ua luz co el úmero del caballito. Tiras veces, de cuátas maeras se puede eceder las luces? Y si el primer tiro o da a igú caballito? x 4, x, 7 Matemáticas 4º B de ESO. Capítulo : Combiatoria

33 45 Combiatoria: 4ºB de ESO 59. E ua fiesta hay 7 chicas y 7 chicos. Jua baila siempre co Aa. Atoio es el más decidido y siempre sale a bailar el primero, de cuátas formas puede elegir pareja e los próximos 4 bailes? 6. Co los dígitos,,,, 4, 5: a) Cuátos úmeros de cico cifras se puede formar? b) Cuátos hay co dos veces la cifra y tres la cifra? c) Calcula la suma de todos estos últimos úmeros. 6. Cuátas palabras, co o si setido, se puede formar co las letras de la palabra puerta que o tega dos vocales i dos cosoates jutas? 6. Cuátos úmeros capicúas de dos cifras existe? Y de tres cifras? Y de cuatro cifras? 6. Co las letras de la palabra ARGUMENTO Cuátas palabras de 5 letras se puede formar que o tega dos vocales i dos cosoates jutas? a) Si todas las letras so distitas. b) Si se puede repetir letras. 64. Cuátos úmeros hay etre el 6 y el 9 que tega todas sus cifras distitas? 65. Ua fábrica de juguetes tiee a la veta 8 modelos distitos. Cuátos muestrarios distitos puede hacer de 4 juguetes cada uo? Cuál es la probabilidad de que el último modelo de avió fabricado llegue a u determiado cliete? Si se quiere que e esos muestrarios siempre esté el último modelo de juguete fabricado, cuátos muestrarios distitos puede hacer ahora? 66. La primera obra impresa co resultados de Combiatoria es Summa de Luca Pacioli, de 494. E esta obra se propoe el siguiete problema: De cuátas formas distitas puede setarse cuatro persoas e ua mesa circular? 67. Cuátos úmeros de cuatro cifras tiee al meos u 5? 68. E ua compañía militar hay soldados, cuátas guardias de soldados puede hacerse? Uo de los soldados es Alejadro, e cuátas de estas guardias estará? Y e cuátas o estará? 69. La ecargada de u guardarropa se ha distraído, y sabe que de los cico últimos bolsos que ha recogido a tres bolsos les ha puesto el resguardo equivocado y a dos o. De cuátas formas se puede haber producido el error? Y si fuese dos los equivocados? 7. Co las letras de la palabra SABER, cuátas palabras, co o si setido, de letras diferetes, se puede formar que o tega dos vocales i dos cosoates jutas. Lo mismo para las palabras CORTE, PUERTA y ALBERTO. 7. Co las letras de la palabra GRUPO, cuátas palabras de 5 letras co o si setido se puede formar que tega algua letra repetida? 7. U jove tiee e su armario camisetas, 5 pataloes y tres pares de zapatillas. Sabiedo que tiee que hacer el equipaje para u campameto y solo puede meter e la mochila cuatro camisetas, tres pataloes y dos pares de zapatillas, de cuátas maeras diferetes podrá llear la mochila? 7. Co los dígitos, y 5, cuátos úmeros meores de 6 se Matemáticas 4º B de ESO. Capítulo : Combiatoria

34 46 Combiatoria: 4ºB de ESO puede formar? Cuátos hay co 4 cifras que tega dos veces la cifra 5? 74. Camios e ua cuadrícula: a) Cuátos camios hay para ir de A hasta B si sólo podemos ir hacia la derecha y hacia arriba? b) Si o podemos atravesar el cuadrado verde, i camiar por sus lados, cuátas formas teemos ahora para ir desde A hacia B? c) Si o podemos atravesar el rectágulo verde, i camiar por sus lados, cuátas formas teemos ahora para ir desde A hacia B? Geeralizació d) Cuátos camios hay e ua cuadrícula cuadrada co cuadrados e cada lado? e) Cuátos camios hay e ua cuadrícula rectagular co m cuadrados verticales y horizotales? Matemáticas 4º B de ESO. Capítulo : Combiatoria

35 47 Combiatoria: 4ºB de ESO AUTOEVALUACIÓN. Tiees ueve moedas iguales que colocas e fila. Si cuatro muestra la cara y cico la cruz De cuátas formas distitas puedes ordearlas? a) V 9,4 b) P 9 c) C 9,5 d) VR 9,5. E ua compañía aérea hay diez auxiliares de vuelo, y u avió ecesita llevar cuatro e su tripulació, de cuátas formas se puede elegir? a) V,4 b) P c) C,4 d) VR,4. Cuátos productos distitos puede obteerse co tres factores diferetes elegidos etre los dígitos:,, 5 y 7? a) V 4, b) P 4 c) C 4, d) VR 4, 4. Teemos cico objetos distitos y queremos guardarlos e cico cajas diferetes, poiedo u objeto e cada caja, de cuátas formas podemos hacerlo? a) V 5, b) P 5 c) C 5,5 d) VR 5, 5. Permutacioes de +4 elemetos dividido etre permutacioes de + elemetos es igual a: a) (+4) (+) (+) = ( ( 4)! )! b) V +4,+ c) 6. Las variacioes de elemetos tomados de 6 e 6 es igual a a) VR 6, b) V,6 = = 7. Idica qué afirmació es falsa! 6! ( 4)!! c) V,6 = =! 4! d) V +4,+ / C +4,+ d) V 6, = = a)! = b) V m, = m (m ) (m ) (m ) c) VR m, = m d) P =! 6!! 8. El valor de los siguietes úmeros combiatorios 5 9 4,, es: 9 a),, y b), 9 y 4 c), y 4 d) 5, 9 y 4 9. El valor de x, distito de 4, e la igualdad 7 7 = es: 4 x a) b) 7 c) d). El coeficiete del térmio cuarto del desarrollo del Biomio de Newto de (a + b) 7 es: 7 7 a) b) c) d) V 7,4 4 Matemáticas 4º B de ESO. Capítulo : Combiatoria