ESTUDIO ALGEBRAICO DE LOS NÚMEROS DUALES HAYDEE JIMÉNEZ TAFUR

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1 ESTUDIO ALGEBRAICO DE LOS NÚMEROS DUALES HAYDEE JIMÉNEZ TAFUR UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS BOGOTÁ D.C. 6

2 ESTUDIO ALGEBRAICO DE LOS NÚMEROS DUALES HAYDEE JIMÉNEZ TAFUR Trbjo de grdo pr optr l título de Licencido en Mtemátics. Asesor CARLOS JULIO LUQUE ARIAS Profesor Deprtmento de Mtemátics UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS BOGOTÁ D.C. 6

3 3 A mi grn Amigo T.

4 AGRADECIMIENTOS Agrdezco l profesor Crlos Julio Luque Aris, por hber dirigido mi trbjo de grdo y contribuido en mi formción profesionl y personl. A mi fmili, por su constnte poyo. iv 4

5 RESUMEN ANALÍTICO TIPO DE DOCUMENTO: Tesis de Grdo. ACCESO AL DOCUMENTO: Universidd Pedgógic Ncionl. TÍTULO: Estudio lgebrico de los números dules. AUTOR: JIMÉNEZ TAFUR, Hydee. PUBLICACIÓN: Bogotá, Universidd Pedgógic Ncionl, 6, 99 págins. UNIDAD PATROCINANTE: Universidd Pedgógic Ncionl, Fcultd de Cienci y Tecnologí, Deprtmento de Mtemátics. PALABRAS CLAVES: Números dules, elementos nilpotentes, nillo conmuttivo con unidd, nillo de polinomios, subnillos, ideles, isomorfismos, nillo cociente. DESCRIPCIÓN: Este documento muestr un estudio lgebrico del nillo D de los números dules y del nillo de polinomios con coeficientes en los números dules. Tiene como propósito mostrr un ejemplo diferente los usules, donde buen prte de los teorems del álgebr que son presentdos en los libros de texto hbitules, están ddos pr estructurs menos generles que l de nillo, por ejemplo los nillos de polinomios se trtn suponiendo que los coeficientes están en un cmpo. 5v

6 FUENTES: Bibliogrfí: Se consultron 3 documentos entre libros y nots de clse referentes l teorí de nillos y números dules, y un sitio en internet especilizdo en mtemátics. CONTENIDOS Objetivo Generl. Elborr un documento donde se recopile el estudio lgebrico de los Números Dules teniendo en cuent, estudios previos sobre Teorí de nillos. Cpítulo I. El nillo de los números dules En el cpítulo se inici con un presentción de l estructur de *-Álgebr de los números dules; se presentn enseguid diferentes representciones que permiten l definición de potencis rcionles de números dules, lo que exige un extensión de su estructur un nillo de números dules con coeficientes complejos. Seguidmente se estudin l función exponencil dul y l función logritmo dul que permiten l definición de potencis dules de un número dul; luego se estudin ecuciones en los números dules hciendo un estudio detlldo de l ecución de segundo grdo. Finlmente se define un relción de preorden pr los números dules que es monóton pr l dición y multiplicción y se estudin los subnillos e ideles de los números dules. Cpítulo II. El nillo de polinomios D[Z] vi 6

7 En el cpítulo, se present el nillo de ls series formles con coeficientes en D y con éste el nillo de los polinomios donde se estudin sus uniddes, socidos y divisibilidd; mostrndo que se cumple el lgoritmo de l división y los teorems del residuo y del fctor; finlizndo con l presentción de los ideles en D[Z]. CONCLUSIONES: El nillo de los números dules es un ejemplo interesnte que permite ilustrr situciones lgebrics que no son frecuentes en l teorí de nillos y cmpos que se estudi en l Licencitur en Mtemátics de l Universidd Pedgógic Ncionl, un ejemplo de ello es que pesr de que D no es un dominio de integridd l propiedd cnceltiv es válid pr todos los elementos no nilpotentes; l función logritmo, que en el cso de los números complejos tiene vris rms, lo que dificult su estudio y plicción, en los números dules es un función biyectiv; en el nillo de polinomios con coeficientes en los números dules existen polinomios no constntes que tienen inverso multiplictivo, polinomios con infinits ríces diferentes y el grdo del producto de dos polinomios no en todos los csos es igul l sum de los grdos de los fctores. vii 7

8 CONTENIDO INTRODUCCIÓN... CAPÍTULO EL ANILLO DE LOS NÚMEROS DUALES..... OPERACIONES EN LOS NÚMEROS DUALES..... DIVISIÓN ENTRE NÚMEROS DUALES LOS NÚMEROS DUALES COMO ESPACIO SEMINORMADO OTRAS REPRESENTACIONES DE LOS NÚMEROS DUALES Representción mtricil Representción polr POTENCIAS RACIONALES DE UN NÚMERO DUAL El nillo conmuttivo con unidd de los números dules con coeficientes complejos El nillo conmuttivo con unidd de los complejos con coeficientes dules POTENCIAS DUALES DE UN NÚMERO DUAL ECUACIONES EN LOS NÚMEROS DUALES Ecuciones de primer grdo Un ecución con dos incógnits Ecuciones de segundo grdo CUATERNIOS DUALES PREORDEN EN LOS NÚMEROS DUALES viii 8

9 .. SUBANILLOS DE LOS NÚMEROS DUALES IDEALES DE LOS NÚMEROS DUALES... 6 CAPÍTULO EL ANILLO DE POLINOMIOS D[Z] EL ANILLO DE LAS SERIES FORMALES DE POTENCIAS SUC(D) EL ANILLO DE POLINOMIOS D[Z] Adición de polinomios Multiplicción de polinomios UNIDADES EN D[Z] DIVISIBILIDAD EN D[Z] ASOCIADOS EN D[Z] ALGORITMO DE DIVISIÓN EN D[Z] HOMOMORFISMO DE EVALUACIÓN TEOREMA DEL RESIDUO TEOREMA DEL FACTOR IDEALES EN D[Z] POLINOMIOS IRREDUCIBLES EN D[Z] CONCLUSIONES BIBLIOGRAFÍA ix 9

10 INTRODUCCIÓN El presente trbjo hce un estudio lgebrico del nillo D de los números dules y del nillo de polinomios con coeficientes en los números dules. Tiene como propósito mostrr un ejemplo diferente los usules, donde buen prte de los teorems del álgebr que son presentdos en los libros de texto hbitules, están ddos pr estructurs menos generles que l de nillo, por ejemplo los nillos de polinomios se trtn suponiendo que los coeficientes están en un dominio de integridd o en un cmpo. Otro propósito plntedo es desrrollr ctividd mtemátic en el sentido de ejercitr procesos de creción, discusión, proposición de lgoritmos, mnejo de teorís, formulción de conjeturs y en generl, ctividdes crcterístics del trbjo mtemático, que son fundmentles en l formción de un docente como mtemático elementl; este respecto se propusieron teorems inéditos como:.,.,.3,.3,.5,.6,.7,.8,.9,.3,.3,.3,.33,.34,.35,.36,.37,.38,.39,.4,.4,.4,.43,.44,.45,.46,.47,.48,.49,.5,.5,.5,.53,.54,.57,.58,.59,.6,.6,.63,.64,.68,.69,.7,.7,.7,.75,.77,.3,.4,.5,.4,.5,.6,.,.,.4,.5,.6,.7,.8,.9,.3,.3,.3. Se relizó un estudio sobre los polinomios irreducibles en D[Z] obteniéndose un conjetur de l que no se consiguió un demostrción complet cuyo bosquejo se present l finl del cpítulo. Por ejemplo en ALBIS, V. Tems de ritmétic y álgebr. Bogotá, Universidd Ncionl de Colombi pp , HERSTEIN, I. Álgebr modern. México, F. Trills. 97. pp , FRALEIGH, J. A first course in bstrct lgebr. Sixth edition. New Yor, Addison Wesley pp

11 En el cpítulo se inici con un presentción de l estructur de *-Álgebr de los números dules; se presentn enseguid diferentes representciones que permiten l definición de potencis rcionles de números dules, lo que exige un extensión de su estructur un nillo de números dules con coeficientes complejos. Seguidmente se estudin l función exponencil dul y l función logritmo dul que permiten l definición de potencis dules de un número dul; luego se estudin ecuciones en los números dules hciendo un estudio detlldo de l ecución de segundo grdo. Finlmente se define un relción de preorden pr los números dules que es monóton pr l dición y multiplicción y se estudin los subnillos e ideles de los números dules. En el cpítulo, se present el nillo de ls series formles con coeficientes en D y con éste el nillo de los polinomios donde se estudin sus uniddes, socidos y divisibilidd; mostrndo que se cumple el lgoritmo de l división y los teorems del residuo y del fctor; finlizndo con l presentción de los ideles en D[Z].

12 CAPÍTULO EL ANILLO DE LOS NÚMEROS DUALES.. OPERACIONES EN LOS NÚMEROS DUALES Definición.: Se D el plno crtesino R, con l dición de (, b) y (c, d) definid componente componente, (,b)(c,d) = ( + c, b + d) y l multiplicción definid por (, b)(c, d) = (c, d + bc). Definición.: Dos elementos z = (, b) y w = (c, d) en D son igules si y sólo si = c y b = d. Teorem.: Con ls dos operciones nteriores D es un nillo conmuttivo, con elemento idéntico (, ). A est estructur se le conoce como Números Dules o Números de Study 3. El conjunto de los números dules con l dición y l multiplicción no formn un dominio de integridd, debido l existenci de elementos divisores de cero, es decir elementos Todos los teorems que se enuncin sin demostrción son consecuenci direct de ls definiciones. 3 YAGLOM, I. (979) A simple non Eucliden geometry nd its physicl bsis, Springer Verlg, New Yor, p. 65.

13 diferentes de (, ) tles que su producto es (, ). En D los divisores de cero corresponden elementos de l form (, b) pr culquier número rel b. Teorem.: L propiedd cnceltiv se cumple en elementos de l form z = (, b) con. Si z, z, z 3 D y z = (, b), z = (x, y), z 3 = (u, v) con : z z = z 3 z (z z 3 ) z = (, ) Donde (z z 3 ) = w = (c, d), entonces z w = (c, d + bc) = (, ) y por definición de iguldd entre números dules se tiene que: c = d + bc = como y, b, c, d son números reles, se obtiene que c = y d =. Entonces luego x = u, y = v y z z 3 = (x u, y v) = (, ) z = z 3. 3

14 Si z = (, b), z = (x, y), z 3 = (u, v), b, se tiene que: z z = z 3 z (x, y) (, b) = (u, v) (, b) Luego (, xb) = (, ub) xb = ub x = u Entonces si z z = z 3 z y z es nilpotente, sólo se puede segurr que l primer componente de z es igul l de z 3. Teorem.3: El nillo de los números dules es de crcterístic. Ddo un entero positivo m tl que m(, ) = (, ) implic que m =. Teorem.4: El conjunto de los números dules de l form (, ) es isomorfo con los números reles. L función θ : R D (,) es un homomorfismo inyectivo entre R y D, y que 4

15 θ ( + b) = ( + b, ) = (, ) + (b, ) = θ () + θ (b) θ (b) = (b, ) = (, ) (b, ) = θ () θ (b) y el núcleo de θ es igul l conjunto cuyo único elemento es. Así, R img(θ). Teorem.5: D tiene estructur usul de espcio vectoril rel de dimensión. Si n = (, ) y se not x(, ) = (x, ) con el número rel x, se escribe (x, y) = x + yn con n =. Teorem.6: D es un álgebr socitiv. D es un nillo conmuttivo con unidd y l multiplicción por esclr y el producto son comptibles, es decir: (zw) = (z)w = z(w) en R; z, w en D. Definición.3: El conjugdo de un número dul z = (, b) es z = (, b). Teorem.7: El álgebr socitiv D con l función definid por : D D que cd z = (, b) le sign su conjugdo dul z = (, b), es un Algebr 4. Teorem.8: Pr todo z en D, se cumple que (z) = z. 4 D no es un C* Álgebr porque su seminorm no es un norm. 5

16 Teorem.9: Pr todo z, w en D, se tiene que ( zw ) = zw. Ddo z = (, b) y w = (c, d) en D, el producto es su conjugdo es zw = (c, d + bc), zw = (c, (d + bc)) = (c, d bc) y por definición de multiplicción en D y definición de conjugdo zw = (, b)(c, d) = z w. Teorem.: Pr todo z, w en D y en R, se tiene que ( z w) = z + w +. Teorem.: z = z si y sólo si z es un número rel. Teorem.: Pr todo número nturl m y todo número dul z, () z m m z =. Por inducción sobre m. Se verific pr m =. Si z = (, b), como consecuenci inmedit del teorem.9, se tiene que ( z) z =. Ahor se supone que se cumple pr lgún m = ; es decir que, z = ( z) 6

17 Se debe probr que Pero, por el teorem.9 por l hipótesis de inducción z z ( z) + + = + = = = ( z z) ( z ) z ( z ) z y de cuerdo con l definición de potencición con un número nturl. = ( z ) + Por lo tnto, l fórmul es válid pr todo número nturl m. Definición.4: Un elemento (x, y) en D es un unidd o es invertible si existe un (w, t) en D tl que (x, y)(w, t) = (, ), éste elemento (w, t) es único y es el inverso de (x, y) denotdo tmbién por (x, y). Teorem.3: Ls uniddes en D son de l form (, b) con y = (, b ). (, b) = (, b) Teorem 5.4*: El conjunto de ls uniddes U(D), es un grupo belino con l operción de multiplicción de D. 5 Este teorem se cumple en culquier nillo conmuttivo con identidd. De quí en delnte este tipo de teorems estrán mrcdos con *. 7

18 Teorem.5: U(D) con l multiplicción estructur de cusigrupo 6. Ls funciones L : U(D) U(D) y R : U(D) U(D) z z z z son funciones biyectivs en U(D); dicho de otr form si pr todo y b en U(D), ls ecuciones z = b w = b tienen soluciones únics 7... DIVISIÓN ENTRE NÚMEROS DUALES Definición.5: L división entre dos números dules z = (, b) y w = (c, d) en U(D), es: y en términos de sus componentes: que se puede escribir como z = zw w z w =,, c z w = (, b ) ( c, d ) ( b) ( c d ) ( c d ) ( c d ),,. 6 L definición de cusigrupo se debe B.A. HAUSMANN y O. ORE (HAUSMANN, B., ORE, O., Theory of qusigroups, Amer. J. Mth. 59 (937), ), bsdos en el estudio de ls estructurs no socitivs de R. MOUFANG (95 977) quién descubrió en 937 l relción entre los plnos proyectivos no desrguesinos y est estructur. 7 Est propiedd form prte de los xioms de Hilbert pr los números reles en HILBERT, D. Fundmentos de l Geometrí. Mdrid, Publicciones del Instituto Jorge Jun de Mtemátics p.p

19 Teorem.6: U(D) tiene estructur de cusigrupo con l división..3. LOS NÚMEROS DUALES COMO ESPACIO SEMINORMADO Teorem.7: L función : D R z = (, b) z = define un seminorm 8 en D. Se desprende de ls propieddes del vlor bsoluto de los números reles que pr todo z, w en D y c en R, se cumple que:. z. z = z 3. z z = z 4. zw = z w 5. z + w z + w 6. cz = c z Pr todo z un número dul nilpotente, se tiene que z = unque z. Teorem.8: L función d: D D R + {} (z, w) d(z, w) = w z = c donde z = (, b), w = (c, d), define un seudométric 9 en D. 8 Rowlnd, Todd. Seminorm. From MthWorld A Wolfrm Web Resource, creted by Eric W. Weisstein. 9

20 Se desprende de ls propieddes del vlor bsoluto de los números reles que pr todo z, w en D se cumple que:. d(z, w). d(z, w) = d(w, z) 3. d(z, t) + d(t, w) d(z, w). Si dos números dules z y w tienen igul l primer componente, entonces d(z, w) = unque z w..4. OTRAS REPRESENTACIONES DE LOS NÚMEROS DUALES.4.. Representción mtricil Un número dul puede representrse con un mtriz con entrds en R, medinte el homomorfismo inyectivo definido por δ: D M puesto que (, b) b δ [(, b) + (c, d)] = δ [( + c, b + d)] + c = b + d + c c = + b d c 9 Brile, Mrgherit. Pseudometric. From MthWorld A Wolfrm Web Resource, creted by Eric W. Weisstein.

21 y = δ [(, b)] + δ [(c, d)] δ [(, b)(c, d)] = δ [(c, d + bc)] c = d + bc c c = b d c = δ [(, b)]δ [(c, d)]. Además es inyectiv y que el núcleo de δ es igul l conjunto cuyo único elemento es..4.. Representción polr Tmbién es posible representr un número dul utilizndo un nálogo ls coordends polres del plno complejo, definiendo l noción de circunferenci, ángulo y funciones trigonométrics dules. Definición.6: Un circunferenci dul con centro en z = (, b ) y rdio un número rel r es el conjunto de puntos z = (, b), tles que o se z z = r = r cuy representción gráfic está dd por dos línes verticles = + r y = r

22 Nótese que tod circunferenci tiene infinitos centros, porque todos los puntos sobre l verticl que contiene z están l mism distnci r de los puntos sobre l circunferenci. Si se piens en un número dul z = (, b), no nilpotente, como un segmento rectilíneo dirigido o vector, desde el origen (, ) l punto (, b), l mgnitud dul del vector es su seminorm z =. Definición.7: El ángulo dul θ entre el vector y l prte positiv del eje rel, que se llmrá tmbién rgumento dul del número es θ = b A diferenci de los números complejos, el rgumento dul de un número dul z = (, b) con, es único. Definición.8: El coseno dul del ángulo dul θ es: L plbr mgnitud no signific lo mismo que en geometrí euclidin, se us por nlogí.

23 cosd θ = = si > si < Definición.9: El seno dul del ángulo dul θ es: send θ = b = θ Definición.: L representción polr de un número dul z = (, b) no nilpotente es: z = r (cosd θ + n send θ) donde r = y = r cosd θ b = r send θ z tmbién puede escribirse como: siempre que nθ z = r e nθ e = cosd θ + n send θ 3

24 esto es equivlente : nθ e = + n θ si > nθ e = + n θ si < Y finlmente, culquier número dul no nilpotente se represent en form polr como o z = r (cosd θ + n send θ) z = (, b) = r ( + n θ) si > z = (, b) = r ( + n θ) si <. El significdo geométrico de l multiplicción se obtiene de multiplicr z = + nb y w = c + nd en form polr, con los siguientes resultdos o o o zw = r r ( + n (θ + θ )) si ( > y c > ) zw = r r ( n (θ + θ )) si ( < y c < ) zw = r r ( n (θ θ )) si ( > y c < ) zw = r r ( + n (θ θ )) si ( < y c > ). Un resultdo nálogo l resultdo en los números complejos. Como l mgnitud dul del elemento idéntico de l multiplicción es y su rgumento es, entonces El inverso multiplictivo de un número dul no nilpotente 4

25 z = + nb = r ( + n θ) si > es z = + nb = r ( + n θ) si < z = r ( n θ) si > z = r ( n θ) si <. Y como el cociente, cundo existe, entre dos números dules z = + bn y w = c + dn es el producto entre el primero y el inverso multiplictivo del segundo, entonces, si z = r ( + n θ ) cundo > y se tiene que z = r ( + n θ ) cundo < w = r ( + n θ ) cundo c > w = r ( + n θ ) cundo c < z r = ( + n (θ θ )) si ( > y c > ) w r o z r = ( n (θ θ )) si ( < y c < ) w r o z r = ( n (θ + θ )) si ( > y c < ) w r o z r = ( + n (θ + θ )) si ( < y c > ) w r 5

26 En el cso en que z se nilpotente no se le sign un representción polr que teng l mism form que en el cso nterior pues tiene mgnitud dul igul..5. POTENCIAS RACIONALES DE UN NÚMERO DUAL Definición.: Se z un elemento de D y n un número nturl, el elemento nz es: Si n = nz = (, ) Si n > (n + )z = nz + z Definición.: Se z un elemento de D y n un número nturl, el elemento z n es: Si n = z n = (, ) Si n > z n + = z n z Teorem.9*: Se z, w elementos en D y m, n números nturles, se cumple que:. m(z + w) = mz + mw.. (m + n)z = mz + nz. 3. m(nz) = (mn)z. 4. (zw) m = z m w m. 5. z m+n = z m z n. 6. (z m ) n = z mn. Teorem.: Ls potencis nturles de un número dul culquier z = (, b) están dds por l fórmul Un detlle curioso es que l primer componente sólo depende de y en l segund componente prece l derivd de l primer componente, multiplicd por b. Pr más informción vése LUQUE, C. El cálculo 6

27 z = (, b) = (, b). donde > es un número nturl. Se recurre l inducción sobre. Pr inicir se observ cundo = : y cundo = : z = (, b) = (, b) z = (, b) = (, b)(, b) = (, b). Se supone que l firmción se cumple pr : z = (, b) = (, b) y se debe demostrr que se cumple pr + : por l definición. z + = (, b) + z + = (, b) (, b) plicndo l hipótesis de inducción y l definición. se tiene que z + = (, b) (, b) por l definición de multiplicción en los números dules y l propiedd distributiv de los números reles z + = ( +, b + b) un versión sin el concepto de límite. En: Memoris VIII Coloquio Distritl de Mtemátics y Estdístic. Bogotá, Universidd Pedgógic Ncionl

28 = ( +, (n + ) b). En representción polr, z = r ( + nθ) con > o z = r ( + nθ) con < entonces z = r ( + nθ) cundo > o z = r (( ) + n( ) - θ) cundo <. Definición.3: Pr todo entero positivo m, y todo z en D, mz = m( z) Definición.4: Pr todo entero positivo m, y todo z en D no nilpotente z m = (z ) m. Definición.5: Ddo z = (, b) no nilpotente, w = (c, d) en D, si w = z pr culquier número nturl >, w se llm un ríz -ésim de z. Teorem.: Un ríz -ésim de z = (, b) con >, es: θ = w r + n. Por el teorem.9 w r θ = + n 8

29 9 w = n r + θ Por l definición de potencición en los números reles y el teorem. w = + n r θ w = r( + nθ) = z. Por tnto w es un ríz -ésim de z, que se notrá como z. Teorem.: Un ríz -ésim de z = (, b) con < y impr, es: + = n r z θ n r z + = θ Por el teorem.9 z = n r + θ Por l definición de potencición en los números reles y el teorem. z = ( ) ( ) + n r θ z = r(( ) + ( ) nθ)

30 y como es impr, entonces z = r( + nθ) = z. Cundo es pr, z no tiene ríces -ésims, pues según lo nterior: z = r θ + n y como es pr = r(( ) + ( ) nθ) = r( nθ) z. Si se quiere encontrr un estructur donde teng solución el problem, se puede extender el nillo de los números dules de dos mners nturles:.5.. El nillo conmuttivo con unidd de los números dules con coeficientes complejos Definición.6: El conjunto D[i] = {(z, w) z, w C} donde C es el conjunto de los números complejos, con l dición definid componente componente y l multiplicción definid por (z, w)(z, w ) = (zz, zw + wz ) se llm el conjunto de los números dules con coeficientes complejos. 3

31 Teorem.3: D[i] es un nillo conmuttivo con unidd ((, ), (, )). Teorem.4: D[i] es representble como un conjunto de cuterns ordends de números reles: D[i] = {(, b, c, d), b, c, d R} con dición y multiplicción definids por: (, b, c, d) + (, b, c, d ) = ( +, b + b, c + c, d + d ) (, b, c, d) (, b, c, d ) = ( bb, b + b, c bd + c db, d + bc + cb +d ) y con unidd (,,, ). Teorem.5: D[i] es representble como un conjunto D[i] = {( + bi + cn + d), b, c, d R} con l dición definid por ( + bi + cn + d) + ( + b i + c n + d ) = ( + ) + (b + b )i + (c + c )n + (d + d ) y l multiplicción cumple l propiedd distributiv y ls siguientes igulddes: i = n = = in = ni = Se = (,,, ) i = (,,, ) n = (,,, ) = (,,, ) 3

32 con esto, cd cutern se escribe en l form: (, b, c, d) = (,,, ) + (b,,, ) i + (c,,, ) n + (d,,, ) y como el subnillo {(t,,, ) t R} es isomorfo con R, el elemento (,,, ) se puede escribir como. Teorem.6: El conjunto de ls cuterns de l form (,, c, ) = + cn formn un subnillo isomorfo con D. Teorem.7: El conjunto de ls cuterns de l form (, b,, ) = + bi formn un subnillo isomorfo con C..5.. El nillo conmuttivo con unidd de los complejos con coeficientes dules Definición.7: El conjunto C[n] = {(z, w) z = (, b), w = (c, d); z, w D} con l dición definid componente componente y l multiplicción definid por (z, w)(z, w ) = (zz ww, zw + wz ) se llm el conjunto de los números complejos con coeficientes dules. Teorem.8: C[n] es un nillo conmuttivo con unidd ((, ), (, )). 3

33 Teorem.9: C[n] es representble como un conjunto de cuterns ordends de números reles: C[n] = {(, b, c, d), b, c, d R} con dición y multiplicción definids por: (, b, c, d) + (, b, c, d ) = ( +, b + b, c + c, d + d ) (, b, c, d)(, b, c, d ) = ( cc, b + b dc cd, c + c, d + bc + cb + d ) y con unidd (,,, ). Teorem.3: C[n] es representble como un conjunto C[n] = {( + bn + ci + d), b, c, d R} con l dición definid por ( + bn + ci + d) + ( + b n + c i + d ) = ( + ) + (b + b )n + (c + c )i + (d + d ) y l multiplicción cumple l propiedd distributiv y ls siguientes igulddes: i = n = = in = ni = Se = (,,, ) n = (,,, ) i = (,,, ) = (,,, ) con esto, cd cutern se escribe en l form: 33

34 (, b, c, d) = (,,, ) + (b,,, ) n + (c,,, ) i + (d,,, ) y como el subnillo {(t,,, ) t R} es isomorfo con R, el elemento (,,, ) se puede escribir como. Teorem.3: El conjunto de ls cuterns de l form (,, c, ) = + ci formn un subnillo isomorfo con C. Teorem.3: El conjunto de ls cuterns de l form (, b,, ) = + bn formn un subnillo isomorfo con D. Teorem.33: Los nillos D[i] y C[n] son isomorfos. L función f : D[i] C[n] (, b, c, d) f(, b, c, d) = (, c, b, d) Es un homomorfismo de nillos pues f [(, b, c, d) + (x, y, u, v)] = f ( + x, b + y, c + u, d + v) = ( + x, c + u, b + y, d + v) = (, c, b, d) + (x, u, y, v) = f (, b, c, d) + f (x, y, u, v). y f [(, b, c, d)(x, y, u, v)] = f(x by, y + bx, u bv + cx dy, v + bu + cy + dx) = (x by, u bv + cx dy, y + bx, v + bu + cy + dx) 34

35 = (, c, b, d) (x, u, y, v) = f (, b, c, d) f (x, y, u, v) demás es inyectiv pues el núcleo de f es igul l conjunto cuyo único elemento es y es sobreyectiv. Retomndo el problem de hllr ls ríces -ésims de un número dul, se puede escoger uno de los nillos nteriores, por ejemplo D[i]. Teorem.34: Un ríz -ésim de z = (, b) en D[i] con < y pr de l form 4t +, es: z z θ = r i n. r i n θ = Por l definición de potencición en los números complejos y el teorem. z = r n i θ z nθ = ri z = ri ( nθ) como es de l form 4t +, entonces i = y por tnto 35

36 36 z = r( + nθ) = z. Si w es un ríz cudrd de z tmbién lo es w, pues en culquier nillo se cumple que ( w) = w. Teorem.35: Si w es un ríz -ésim de z en D[i], entonces αw es un ríz de z, donde α es un ríz -ésim de l unidd en C. Teorem.36: Un ríz -ésim de z = (, b) en D[i] con < y pr de l form 4t, con t impr, es: ( ) + = n i r z θ. ( ) n i r z + = θ ( ) n i r z + = θ y como ( + i) = ( ) π π isen cos = cosπ t + isenπ t = entonces z = n r θ = r( + nθ) = z.

37 Teorem.37: Si z en D[i] es nilpotente w = z pr todo número nturl >, no tiene solución. Se supone que existe w tl que w = z con z nilpotente, entonces w debe ser nilpotente, porque si no lo fuer w no serí nilpotente, y esto contrdice l hipótesis. Lo que signific que w = pr todo número nturl > y esto tmbién contrdice l hipótesis. Por lo tnto no existe w que cumpl l condición. Definición.8: Pr todo número nturl y m, con m, y todo z en D no nilpotente m z = z m..6. POTENCIAS DUALES DE UN NÚMERO DUAL Definición.9: Pr todo z = (, b) en D, e z = (e, e b). Teorem.38: Pr todo z = (, b) en D, e z. z Teorem.39: Pr todo z = (, b ), z = (, b ) en D, e z e z = z e +. Por l definición.9 se tiene que En D[i] los elementos nilpotentes son de l form (, t) con y t números complejos. 37

38 z e z e = ( ) ( ) e,e b e,e b ( ) ( ) = ( ) e e,e e b + b = ( ) + + e,e b + b z = z e + Teorem.4: Pr todo z = (, b ), z = (, b ) en D, e e z z z = z e. Teorem.4: Pr todo z = (, b) en D y todo número nturl, (e z ) = e z. Por l definición.9 por el teorem. y por l definición.9 (e z ) = (e, e b) (e z ) = ((e ), (e ) e b) (e z ) = (e, e b) (e z ) = e z. Teorem.4: Pr todo z = (, b) en D y todo número nturl, (e z ) = e z. Por l definición.4 (e z ) = ((e z ) ) Como (e z ) = ( ) ( e, e b) e, entonces (e z ) = ( ) ( ) e, e b e 38

39 y por los teorems.9 y. (e z ) = ( e ) ( e ), ( e ) e b) (e z ) = ( e, e b) e (e z ) = ( e, e b) (e z ) = e z. Teorem.43: Pr todo z = (, b) en D y todo número nturl m, con m, ( e z ) m z m = e. Como e z = (e, e b) por el teorem. z ( e ) m = ( e, e b) m z ( e ) m = ( e ) m e b, m e z ( e ) m = e m, e m b m z ( e ) m z m = e. Teorem.44: Pr todo z = (, b) en D, z z e = e. Teorem.45: L función es biyectiv. f : D D + = {(x, y) D : x > } z f (z) = e z 39

40 ) Ddo z = (, b) y w = (c, d) en D, si e z = e w entonces (e, e b) = (e c, e c d), por lo tnto e = e c de donde = c y b = d. Luego z = w, lo que prueb que f es inyectiv. b) Ddo z = (, b) con > existe w = (c, d) en D, tl que e c = y e c d = b con c = ln y d = b, lo que prueb que f es sobre. L función invers de f permite l siguiente Definición.: Ddo z = (, b) en D + = {(x, y) D : x > } y w = (c, d) en D, log z = w si y sólo si e w = z. Teorem.46: Pr todo z = (, b) en D +, se cumple que i. e log z = z ii. log (e z ) = z Teorem.47: Pr todo z = (, b) en D +, log z = b ln,. Si log z = w = (c, d) entonces c = ln y d = b y por lo tnto e w = e ln, e ln b = (, b) = z. Teorem.48: Pr todo z, w en D +, log(zw) = log z + log w. 4

41 Ddo q = log z y r = log w entonces por l definición. e q = z y e r = w, luego zw = e q + r y por tnto q + r = log(zw). Teorem.49: Pr todo z, w en D +, log z w = log z log w. Teorem.5: Pr todo z en D + y todo número nturl n, log(z n ) = n log z. Se z = (, b) en D +, por el teorem. log(z n ) = log ( n, n n b ) n n b n = ln( ), n b = nln, = n log z. Teorem.5: Pr todo z = (, b) en D + y todo número nturl n, Como >, el teorem. estblece que n log z = log z. n luego z n = n n b, n n log z = log n n b, n 4

42 n log z log z n n b n = ln, n n b = ln, n n n log z = log z. n Teorem.5: Pr todo z = (, b) en D +, log z = log z. Definición.: Pr todo z en D + y w en D, z w = e w logz. Teorem.53: Pr todo z en D + y w, s en D, z w + s = z w z s. Por l definición. por l propiedd distributiv en D por el teorem.39 y por l definición. z w + s (w + s) logz = e z w + s w logz + s logz = e z w + s = e w logz e s logz z w + s = z w z s. Teorem.54: Pr todo z, v en D + y w en D, (zv) w = z w v w. 4

43 Por l definición. por el teorem.48 (zv) w = e w log(zv) (zv) w w (logz + logv) = e por l propiedd distributiv en D y el teorem.39 y por l definición. (zv) w = e w logz e w logv (zv) w = z w v w..7. ECUACIONES EN LOS NÚMEROS DUALES.7.. Ecuciones de primer grdo Teorem.55: L ecución z + b = donde y b están en D,, tiene un únic solución. Si se prte de z + b = y se sum ( b) mbos ldos de l iguldd, (estbilidd de l iguldd), se obtiene: (z + b) + ( b) = + ( b) l usr ls propieddes socitiv de l sum y del inverso ditivo, se lleg z = b 43

44 Ahor, como si se multiplic mbos ldos de l iguldd por, se consigue, ( z) ( b) = Y l plicr ls propieddes socitiv y del elemento idéntico de l multiplicción, se tiene que b z = y ést es l únic solución pr l ecución plnted..7.. Un ecución con dos incógnits Teorem.56: L ecución z + bw = c donde, b y c están en D,, b, tiene infinits soluciones dds por c z w =. b El resultdo que se obtiene es, que pr cd vlor que se elij pr z en los números dules, se consigue un vlor pr w, tmbién dentro de los números dules, siempre que tods ls operciones que se hgn estén definids; demás, no se puede grficr en un solo plno, se requieren dos plnos dules uno pr z y otro pr w, vrindo z como se quier; por ejemplo, si se tiene l ecución entonces si notmos z = (x, y) (, )z + w = (, 3) w = (, )z + (, 3) w = (, )(x, y) + (, 3) 44

45 w = (x, y x) + (, 3) w = (x +, y x + 3) y si se elige z lo lrgo de l rect sus imágenes estrán en l rect y = x + 3 w = (x +, (x + 3) x + 3) si notmos w = (u, v) y w = (x +, x + 9) u = x + v = x + 9 despejndo x en términos de u y reemplzndo en v se obtiene v = u +7 Entonces en el plno z se grfic l rect y = x + 3: 45

46 Y en el plno w se grfic l rect v = u +7 :.7.3. Ecuciones de segundo grdo Teorem.57: L ecución z + bz + c = donde, b y c están en D[i] y si se cumple uno de los csos: i. = (, ), b = (b, b ), y c = (c, c ) son números no nilpotentes y ii., c son no nilpotentes y b nilpotente iii., b son no nilpotentes y c nilpotente tiene dos soluciones dds por b 4 c b b 4c z = y z b + b 4c =. i. Se prte de l ecución z + bz + c = donde = (, ), b = (b, b ), y c = (c, c ) son números no nilpotentes en D[i] y b 4 c, luego pr resolver l ecución se sum ( c) mbos ldos de l ecución y se obtiene (z + bz + c) + ( c) = + ( c) 46

47 47 z + bz = ( c) Como, tiene inverso y se multiplic por mbos ldos de l ecución pr conseguir ( ) ( ) c bz z = + c z b z = + Ahor se sum b mbos ldos de l ecución, con el propósito de formr un cudrdo perfecto, + = + + b c b z b z y como + + b z b z = + b z Al reemplzr en l ecución, y l utilizr que b b =, se obtiene que: 4 b c b z + = b c b z + = c b b z = +

48 Y l sumr l expresión b 4c 4 mbos ldos de l iguldd, Como se tiene que z b + b 4c = 4 ( x y)( x y) x y = +, x = t signific que x = t, y l definición de rdicción 4 = se consigue que, 4 4 b b c b b c z + z + + =. Como b 4 c, ( 4c) b existe y es no nilpotente, demás puesto que, c entonces c y ( ) b 4 c b. Luego b b 4c = u y b b 4c + = v son no nilpotentes. Entonces pr que se cumpl que debe drse que o (z + u)(z + v) = z = u y z = v z + u = h y z = v 48

49 o o z = u y z + v = j z + u = l y z + v = m donde h, j, l y m son elementos nilpotentes en D[i]. Pero pr que u + h se un ríz de l ecución z + bz + c = es necesrio que ( u + h) + b( u + h) + c = (u uh + h ) bu + bh + c = y como u bu + c = y h = entonces uh + bh = h( u + b) = y como u, y b son no nilpotentes, u + b es no nilpotente, luego h = (, ). Por tnto ls soluciones de l ecución z + bz + c = se reducen b b 4c z = y z b + b 4c =. ii. Se prte de l ecución z + bz + c = donde = (, ), c = (c, c ) son números no nilpotentes y b = (, b ) es nilpotente en D[i], luego pr resolver l ecución se reliz el procedimiento nterior hst obtener que 4 4 b b c b b c z + z + + =. 49

50 Como b = y, c entonces b 4c, por tnto ( 4c) nilpotente. Luego b existe y es no b b 4c = u y b b 4c + = v son no nilpotentes. Entonces pr que se cumpl que debe drse que o o o (z + u)(z + v) = z = u y z = v z + u = h y z = v z = u y z + v = j z + u = l y z + v = m donde h, j, l y m son elementos nilpotentes en D[i]. Y por l mism rzón presentd en el cso nterior, ls soluciones de l ecución z + bz + c = se reducen b b 4c z = y z b + b 4c =. iii. Se prte de l ecución z + bz + c = donde = (, ), b = (b, b ) son números no nilpotentes y c = (, c ) es nilpotente en D[i], luego pr resolver l ecución se reliz el procedimiento nterior hst obtener que 5

51 Como c =, entonces Luego 4 4 b b c b b c z + z + + =. b 4 c = b, por tnto ( 4c) b existe y es no nilpotente. es nilpotente y b b 4c = u b b 4c + = v es no nilpotente. Entonces pr que se cumpl que debe drse que o o o (z + u)(z + v) = z = u y z = v z + u = h y z = v z = u y z + v = j z + u = l y z + v = m donde h, j, l y m son elementos nilpotentes en D[i]. Pero pr que u + h se un ríz de l ecución z + bz + c = es necesrio que ( u + h) + b( u + h) + c = (u uh + h ) bu + bh + c = 5

52 5 y como u bu + c = y h = entonces uh + bh = h( u + b) = y puesto que u es nilpotente, u es nilpotente, pero como b es no nilpotente, u + b es no nilpotente, luego h = (, ). Por tnto ls soluciones de l ecución z + bz + c = se reducen c b b z 4 = y c b b z 4 + =. Ejemplo. L ecución (, 3)z + (, )z + (, ) = tiene por soluciones ( ) ( ) ( )( ) ( ) 3 3 4,,,,, z ± = ( ) ( ) ( ) 6 4 4,,, z ± = ( ) ( ) ( ) 6 4,,, z ± = lo que signific que ls dos ríces son: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = + =,,,,,,,, z

53 (, ) (, ) ( 4, 6) (, ) ( 4, 6) 3 3 z = = = (, ), =, CUATERNIOS DUALES Definición.: El conjunto H D = {(, b, c, d), b, c, d R} donde R es el conjunto de los números reles, con l dición y multiplicción definids por: (, b, c, d) + (, b, c, d ) = ( +, b + b, c + c, d + d ) (, b, c, d) (, b, c, d ) = (, b + b, c + c, d + bc cb + d ) se llm el conjunto de los números cuternios dules. Teorem.58: H D es un nillo conmuttivo con unidd 3 (,,, ). Teorem.59: H D es representble como un conjunto H D = {( + bn + cm + d), b, c, d R} con l dición definid por ( + bn + cm + d) + ( + b n + c m + d ) = ( + ) + (b + b )n + (c + c )m + (d + d ) Y l multiplicción cumple l propiedd distributiv y ls siguientes igulddes: 3 Relmente form un álgebr de Grssmnn pues, junto con su estructur de espcio vectoril, sus elementos generdores: n, m y s nticonmutn. (LUQUE, C., DUQUE, O. Introducción ls Álgebrs de Grssmnn. En ls memoris del VII Encuentro de Geometrí y sus Aplicciones pp. 7-5). 53

54 es definid por n = m = = = nm = mn ( + bn + cm + d) ( + b n + c m + d ) = ( ) + (b + b )n + (c + c )m + (d + bc cb + d ). Se = (,,, ) n = (,,, ) m = (,,, ) = (,,, ) con esto, cd cutern se escribe en l form: (, b, c, d) = (,,, ) + (b,,, ) n + (c,,, ) m + (d,,, ) y como el subnillo {(t,,, ) t R} es isomorfo con R, el elemento (,,, ) se puede escribir como, luego (, b, c, d) = + bn + cm + d. El conjunto de los números cuternios dules con l dición y l multiplicción no formn un dominio de integridd, debido l existenci de elementos divisores de cero, que corresponden elementos de l form (, b, c, d) pr culquier número rel b, c y d. Teorem.6: El elemento inverso multiplictivo de q = + bn + cm + d, con es q q = = q q ( bn cm d) 54

55 55 donde se h definido q = bn cm d y q = q q =. Teorem.6: H D es representble como un conjunto de mtrices 4 4 con entrds en R H D = R d c,,b, : c b d b c con l dición y multiplicción usul de mtrices. Se define l función δ: H D M 4 4 ( ) c b d b c d c,,b, que es un homomorfismo inyectivo puesto que δ [(, b, c, d) + (, b, c, d )] = δ [( +, b + b, c + c, d + d )] = ( ) ' c' c b' b d' d ' b' b ' c' c '

56 c = b d b c ' c' + b' d' ' b' ' c' = δ [(, b, c, d)] + δ [(, b, c, d )] ' δ [(, b, c, d) (, b, c, d )] = δ [(, b + b, c + c, d + bc cb + d )] ' c' + c' ' = b' + b' ' ( ) d' + d' + bc' cb' b' + b' c' + c' ' c = b d b c ' c' b' d' ' b' ' c' = δ [(, b, c, d)] δ [(, b, c, d )]. ' Además es inyectiv y que el núcleo de δ es igul l conjunto cuyo único elemento es..9. PREORDEN EN LOS NÚMEROS DUALES Teorem.6: En los números dules no existe un conjunto de números positivos P. Si existier un conjunto de números positivos P, entonces debe cumplirse que: Si n, entonces n P o n P. Pero, si n P entonces n = debe pertenecer P y P. Y si n P, entonces ( n) = debe pertenecer P y P. 56

57 Definición.3: Un subconjunto H de D se llmrá de números D-Positivos si se cumple:. Si y b pertenecen H entonces + b y b pertenecen H.. Si es un número dul, se cumple exctmente un de ls tres situciones: H, =, H Definición.4: Pr todo, b en D, < b si y solo si b H. > b si y solo si b < b si y solo si < b o = b b si y solo si > b o = b Si < se dice que es D-Negtivo. Teorem.63: L relción < es trnsitiv. Pr todo, b en D, si < b y b < c entonces b H y c b H, por tnto su sum (b ) + (c b) H, es decir c H, luego < c. Teorem.64: L relción es un preorden 4 sobre D. Dos números sobre l mism fibr verticl; es decir, con l primer componente igul, no son comprbles. L relción de preorden, permite definir un relción de equivlenci sobre D, cuys clses son ls fibrs verticles, es decir, los elementos que no son comprbles: 4 Clrson, Michel. Preorder. From MthWorld A Wolfrm Web Resource, creted by Eric W. Weisstein. 57

58 ~ b si y sólo si y b tienen l mism primer componente. Si y b son números dules, se cumple exctmente un de ls siguientes condiciones: < b, ~ b, b < Esto se debe que el número b está en un sol de ls situciones: b >, ó (b ) =, ó b < Teorem.65 (Monotoní de l dición): Ddos números dules culesquier x, y, z, y w si x < y y z < w entonces 5 : x + z < y + w. Si se supone que x < y y z < w entonces (y x) H y (w z) H y su sum (y x) + (w z) H pero est sum puede escribirse como lo que signific que (y + w) (x + z) H x + z < y + w. Teorem.66 (Monotoní de l multiplicción): Pr todo x, y en D y z en H, si x < y entonces xz < yz. 5 A pesr de que no todo pr de elementos son comprbles, si x e y son comprbles y z y w tmbién, entonces x + z es comprble con y + w. 58

59 Si se supone que x < y entonces (y x) H. Como z está en H, z(y x) H, esto es (zy zx) H, lo que signific que xz < yz. Teorem: Pr todo x, y en D y z es D-Negtivo, si x < y, entonces xz > yz. Teorem.67: Pr todo x, y, z en D, si x + z < y + z entonces x < y. Un ejemplo de un conjunto de números D-Positivos pr los números dules es el conjunto: H = {(x, y) D: x > }... SUBANILLOS DE LOS NÚMEROS DUALES Teorem.68: Los siguientes subconjuntos de D son subnillos propios: i. S = {(, b) D: b R} es un nillo conmuttivo con elementos nilpotentes. ii. S = {(, ) D: R} es un dominio de integridd isomorfo con R. iii. S 3 = {(, b) D:, b Q} es un nillo conmuttivo con unidd y con elementos nilpotentes. iv. S 4 = {(, b) D:, b Z} es un nillo conmuttivo con unidd y con elementos nilpotentes. v. S 5 = {(, b) D: b Q} es un nillo conmuttivo con elementos nilpotentes. vi. S 6 = {(, b) D: b Z} es un nillo conmuttivo con elementos nilpotentes. vii. S 7 = {(, ) D: Q} es un dominio de integridd isomorfo con Q. viii. S 8 = {(, ) D: Z} es un dominio de integridd isomorfo con Z. 59

60 .. IDEALES DE LOS NÚMEROS DUALES Teorem.69: Se (, b) en D, el conjunto de todos los elementos nilpotentes es un idel principl en D. (, b) = {x (, b) : x D} Si (, i), (, j) (, b) entonces (, i) (, j) = (, i j) (, b). Y si (, c) D y (, j) (, b) entonces (, c)(, j) = (, j) (, b). Al idel (, b) se le llmrá N. Teorem.7: El idel nuldor de N es N. Teorem.7: Si (x, y) es no nilpotente en D, entonces (x, y) = {(z, w)(x, y) : (z, w) D} = D. El nillo D tiene sólo tres ideles que son {}, D y N. Definición.5: Un idel mximl en D es un idel propio M que no está contenido en un idel propio estrictmente myor. 6

61 Teorem.7*: M es un idel mximl de D si, y sólo si M D e M, = D pr todo que no está en M. Se supone que M es un idel mximl del nillo D y un elemento que no pertenece M. Si M, es el idel generdo por el conjunto M {}, se cumple que M M, D. Ests inclusiones implicn que si M es idel mximl, M, = D. Ahor se supone que I es un idel en D tl que M I D, y si es un elemento de I que no está en M, entonces M M, I. Pero como M, = D entonces I = D y con esto se concluye que M es un idel mximl de D. Teorem.73*: M es un idel mximl en D si y sólo si D M es un cmpo. Se supone que M es un idel mximl del nillo D, y como D M es un nillo conmuttivo con identidd, se necesit encontrr el inverso multiplictivo de un elemento + M de D M, donde + M es distinto del elemento cero, es decir no está en M. Como M es mximl, entonces por el teorem.7 se tiene que M, = D pr todo que no está en M: D = M, = { m + x m M, x D}. Como está en D, se puede escribir de l form = m + x pr determindos m en M y x en D, luego x está en M, es decir 6

62 + M = x + M = (x + M) ( + M) Con lo que se demuestr que x + M es el inverso multiplictivo de + M. Ahor se supone que D M es un cmpo y que I es un idel en D tl que M I D. Como M es un subconjunto propio de I existe un elemento de I que no está en M, entonces + M tiene inverso multiplictivo ( + M) (x + M) = pr x + M en D M. Entonces x está en M I y como x está en I pues es un idel, l sum está en I, es decir, está en I, luego I = D. Con lo que se demuestr que M es un idel mximl en D. Teorem.74: El idel N es un idel mximl en D. Teorem.75: D N es isomorfo con R. Se define l función ϕ: D N R (, b) + N que es un homomorfismo puesto que ϕ[((, b) + N) + ((c, d) + N)] = ϕ[( + c, b + d) + N] = + c = ϕ[((, b) + N)] + ϕ[((c, d) + N)] 6

63 ϕ[((, b) + N) ((c, d) + N)] = ϕ[(c, d + bc) + N] = c = ϕ[((, b) + N)] ϕ[((c, d) + N)] Además ϕ es inyectiv pues N ϕ = {N} y ϕ es sobreyectiv pues ddo en R, existe (x + y) + N en D N tl que x = e y es culesquier número rel. Definición.6: Un idel primo en D es un idel propio J tl que pr todo z y w en D se tiene que si zw está en J entonces z está en J o w está en J. Teorem.76*: J es un idel primo en D si y sólo si D J es un dominio de integridd. Se supone que J es un idel primo del nillo D, y como identidd, se necesit demostrr que no tiene divisores de cero. D J es un nillo conmuttivo con Ddos z + J y w + J en D J, si (z + J)(w + J) = + J entonces zw + J = + J lo que signific que zw = zw está en J, y como J es un idel primo, entonces z está en J o w está en J, luego uno de los fctores es el elemento cero J en D J. Ahor se supone que D J es un dominio de integridd, luego si zw está en J, entonces (z + J)(w + J) es el elemento cero J en D J z está en J o w está en J., siempre que z + J = J o w + J = J, es decir, Teorem.77: El idel N es un idel primo en D. 63

64 CAPÍTULO EL ANILLO DE POLINOMIOS D[Z].. EL ANILLO DE LAS SERIES FORMALES DE POTENCIAS SUC(D) Definición.: Se Suc(D) el conjunto de tods ls sucesiones infinits que se pueden formr con elementos de D, luego un elemento de Suc(D) es de l form: con en D. q = (,,,,, ) Definición.: Dos elementos p = (,,,,, ) y q = (b, b, b,, b, ) de Suc(D) son igules si y sólo si = b pr todo. Definición.3: En Suc(D) se definen dos operciones, dición y multiplicción 6, como: p + q = ( + b, + b, + b,, + b, ) pq = (c, c, c,, c, ) pr todo, en el cul cd c está ddo por: 6 No signific lo mismo que en Z, Q, R. 64

65 c = ib j = b, b, b,, b donde i, j. i+ j= Teorem.*: Con ests dos operciones Suc(D) es un nillo conmuttivo con unidd. L sucesión con todos sus elementos igules, (,,, ), es el elemento idéntico pr l dición, l sucesión (,,,, ) es el elemento idéntico pr l multiplicción y el inverso ditivo de un elemento p = (,,,,, ) de Suc(D) es p = (,,,,, ). Teorem.*: En el nillo Suc(D) de ls sucesiones con coeficientes en D, el conjunto F ={(,,,...) D} con l sum y multiplicción de ls sucesiones es un subnillo de Suc(D). Teorem.3: F es isomorfo con D. L función f : D F tl que cd elemento de D se le sign f() = (,,,, ), es biyectiv y se cumple que: f ( +b) = f () + f (b) f (b) = f ()f (b). Los elementos de D considerdos como sucesiones se llmn constntes. 65

66 En Suc(D) se utiliz el símbolo Z pr distinguir el elemento Z = (,,,,,...) que tiene un comportmiento prticulr: si se multiplic por él mismo, se obtiene: si se insiste, result y sí sucesivmente Z = Z Z = (,,,,,...) Z 3 = Z Z Z = (,,,,,,...) Z n = Z Z Z = (,,,...,...,,...) donde está en l posición n +. Con este resultdo se puede escribir un sucesión culquier como t = (,,,, i, ) t = (,,,...) + (,,,,...) + (,,,,,...) + + (,,, i,,, ) + o lo que es igul t = (,,,...) + (,,,,...) + (,,,,,...) i (,,,,,, ) +... o se que culquier elemento del nillo Suc(D) se puede escribir como t = + Z + Z + 3 Z i Z i

67 expresión que se denomin serie forml de potencis sobre D y los elementos,,..., i coeficientes de t. Otr form de escribir l serie es: t = t(z) = jz j El elemento Z es usulmente llmdo indetermind. El nillo Suc(D) tmbién recibe el nombre de D[[Z]]... EL ANILLO DE POLINOMIOS D[Z] Definición.4: El conjunto de tods ls series formles de D[[Z]] pr ls que existe un número nturl n, con n tl que pr todo número nturl, > n, se tiene que = se denot como D[Z]. Entonces D[Z] = { + Z + Z + 3 Z n Z n : i D, n } Un elemento de D[Z] se llm polinomio con coeficientes en D. Definición.5: Los polinomios q(z) = + Z + Z + 3 Z n Z n y g(z) = b + b Z + b Z + b 3 Z b Z en D[Z], son igules si y solo si i = b i pr todo vlor de i. El myor vlor de i pr el cul i no es cero, es llmdo grdo del polinomio.... Adición de polinomios Definición.6: L sum de dos polinomios en D[Z], se define componente componente. 67

68 Si q(z) = + Z + Z + + n Z n y g(z) = b + b Z + b Z + + b Z Entonces q(z) + g(z) = c + c Z + c Z + + c m Z m donde c i = i + b i pr todo vlor de i. O se que q(z) + g(z) = ( + b ) + ( + b )Z + ( + b ) Z + + ( m + b m ) Z m donde m máx{n, }. El elemento idéntico 7 pr l sum es = (, ) + (, ) Z + (, )Z + + (, )Z j + (, )Z j El inverso ditivo de en D[Z], es q(z) = + Z + Z + + n Z n q(z) = Z Z n Z n.... Multiplicción de polinomios Definición.7: L multiplicción de q(z) = + Z + Z + + n Z n y g(z) = b + b Z + b Z + + b Z en D[Z], es q(z) g(z) = c + c Z + c Z + + c q Z q 7 Como de costumbre, se us el símbolo, con significdos nálogos pero diferentes. 68

69 en el que cd p c p = = b p y q n +, donde q es el grdo de p(z) q(z), n es el grdo del polinomio q(z) y es el grdo de g(z). A diferenci de lo que ocurre en los dominios de integridd, en D[Z] no se tiene l iguldd debido l existenci de elementos nilpotentes en D, pues si ddos dos polinomios cd uno con coeficientes principles nilpotentes, el grdo del producto será menor que l sum de los grdos de cd uno. Ejemplo: Al multiplicr p(z) = (, ) + (, )Z y q(z) = (, ) + (, )Z se tiene que p(z) q(z) = (, 5) + (, 4)Z + (, )Z + (, )Z = (, 5) + (, 5)Z Donde el grdo(p(z) q(z)) < grdo(p(z)) + grdo(q(z)). L iguldd se d cundo lguno de los dos polinomios tiene el coeficiente principl no nilpotente. Ejemplo: Si se multiplic p(z) = (, 3) + (, )Z + (, )Z y q(z) = (, 4) + (, )Z se obtiene que p(z) q(z) = (, 3) + (, )Z + (, 9)Z + (, )Z 3. Teorem.4: Con ls dos operciones nteriores D[Z] es un nillo conmuttivo con unidd. 69

70 El elemento idéntico pr l multiplicción es = (, ) + (, )Z + (, )Z + + (, )Z j + (, )Z j El conjunto de los polinomios con l dición y l multiplicción no formn un dominio de integridd, debido l existenci de elementos divisores de cero, es decir, elementos diferentes de = (, ) + (, ) Z + (, )Z + + (, )Z j + (, )Z j tles que su producto es. En D[Z] los divisores de cero corresponden polinomios de l form g(z) = b + b Z + b Z + + b Z con b i en D nilpotente, pr todo i..3. UNIDADES EN D[Z] Teorem.5: Ls uniddes en D[Z] son de l form u(z) = u + u Z + u Z + + u n Z n donde u es un número dul no nilpotente y u i es un número dul nilpotente pr todo i >. El polinomio u(z) con u un número dul no nilpotente y u i un número dul nilpotente pr todo i >, definido por: u(z) = u u u u Z u Z u... u n Z n u(z) = u ( u u Z u Z u n Z n ) 7

71 está en D[Z] y es el inverso de u(z), puesto que donde u(z) u(z) = c + c Z + c Z + + c r Z r c = u u = los c i con i > son pues en cd uno el primer término es el inverso ditivo del último y en los demás se present un producto de dos números nilpotentes que siempre es : c = u u + u u u c = u u u... + u u u + u u u c p = u p u + u u p u + u u p + + up u u Por tnto u(z) u(z) = + Z + Z + + Z r. Ejemplo: i. En D[Z] el polinomio p(z) = 5 + (, 3)Z + (, 4) Z + (, ) Z 3 tiene como inverso p(z) = (, 3) Z (, 4 ) Z (, ) Z

72 ii. En D[Z] el polinomio tiene como inverso p(z) = (, ) + (, ) Z + (, ) Z 3 p(z) = (, ) (, ) Z (, ) Z 3. Teorem.6*: El conjunto de uniddes U(D[Z]) de D[Z], es un grupo belino pr l operción de multiplicción en D[Z]..4. DIVISIBILIDAD EN D[Z] Definición.8: Ddos dos polinomios p(z) y q(z) en D[Z], se dice que p(z) divide q(z), o que p(z) es un divisor de q(z), o que q(z) es un múltiplo de p(z) (representdo como p(z) q(z)) si existe un polinomio t(z) en D[Z] tl que q(z) = p(z) t(z). Teorem.7*: L relción de divisibilidd es reflexiv y trnsitiv. Teorem.8*: Ddos p(z), q(z), s(z) y t(z) en D[Z], si p(z) q(z) y t(z) s(z) entonces p(z)t(z) q(z) s(z). Teorem.9*: Pr todo p(z), q(z) y s(z) en D[Z], si p(z) q(z) y p(z) s(z), entonces p(z) (q(z) + s(z)). Teorem.*: Pr todo p(z), q(z) y s(z) en D[Z], si p(z) q(z), entonces p(z) q(z) s(z). Teorem.*: Ls uniddes dividen todo elemento de D[Z]. Si u(z) es un unidd, culquier elemento p(z) de D[Z] se expres como p(z) = u(z)(u(z) p(z)), 7

73 luego u(z) p(z). Teorem.*: Los divisores de ls uniddes son ls uniddes. Si u(z) es un unidd y p(z) u(z), entonces existe un q(z) en D[Z] tl que u(z) = p(z) q(z), luego = p(z) q(z) u(z), es decir, p(z) es un unidd..5. ASOCIADOS EN D[Z] Definición.9: Un elemento p(z) en D[Z] es un socido de un elemento s(z) en D[Z] si existe un unidd u(z) en D[Z] tl que p(z) = u(z)s(z), en otrs plbrs, p(z) y s(z) son socidos si p(z) s(z) y s(z) p(z). Teorem.3*: L relción de socición es un relción de equivlenci sobre D[Z]. Teorem.4: Los polinomios socidos un polinomio nilpotente n(z) = c + c Z + c Z + + c n Z n en D[Z] son polinomios nilpotentes de l form u n(z) donde u es un elemento en D no nilpotente. Como tod unidd en D[Z] es de l form u(z) = u + u Z + u Z + + u Z donde u es no nilpotente y u i es nilpotente pr todo número nturl i, donde u(z) n(z) = b + b Z + b Z + + b r Z r b = c u b = c u + c u b = c u + c u + c u 73

74 b 3 = c u 3 + c u + c u + c 3 u... b p = c u p + c u p + c u p + + c p u y como el producto de dos nilpotentes es igul, b = c u b = c u b = c u b 3 = c 3 u... b p = c p u luego u(z) n(z) = u n(z). Teorem.5: Los polinomios socidos un polinomio h(z) = c + c Z + c Z + + c n Z n en D[Z] de grdo n > donde existe un único i n tl que c i es no nilpotente y pr todo j n con i j, c j es nilpotente, son polinomios de l form u h(z) + c i Z i (u(z) u ) donde u(z) = u + u Z + u Z + + u Z es un unidd. El producto u(z) h(z) = b + b Z + b Z + + b r Z r donde r = + i tiene como coeficientes 74