Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. 1º Bachillerato. Capítulo 6: Estadística

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1 118 CAPÍTULO 6: ESTADÍSTICA 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA UNIDIMENSIONAL Ya cooces de 3º y 4º de ESO mucho sobre Estadística, recueto de datos, tablas y gráficas, parámetros como media, mediaa, moda. Vamos a revisar estos coocimietos Método estadístico La Estadística es la Ciecia que se ecarga de la recopilació, represetació y el uso de los datos sobre ua o varias características de iterés para, a partir de ellos, tomar decisioes o extraer coclusioes geerales. Ejemplo 1: El gobiero desea averiguar si el úmero de hijos por familia ha descedido respecto a la década aterior. Para ello ha etrevistado a 5 familias y les ha pregutado por el úmero de hijos obteiedo los siguietes datos: Ejemplo : U uevo hotel va a abrir sus puertas e uestra ciudad. Ates de decidir el precio de sus habitacioes, el gerete ivestiga los precios por habitació de los 4 hoteles de la misma categoría que hay cerca de uestra ciudad. Los datos obteidos so: La Estadística descriptiva es la parte de la estadística que se ecarga de orgaizar, resumir y dar ua primera descripció (si coclusioes geerales) de los datos. E Estadística se sigue u método estadístico que está formado por distitas fases segú se trata la iformació recibida.. Plateamieto del problema e térmios precisos: ámbito de aplicació (població) y características a estudio (variables). 1. Recogida de datos de la població de iterés: Muestreo.. Orgaizació, presetació y resume de los datos (o de la muestra): Estadística descriptiva. 3. Modelos matemáticos: Teoría probabilidad. 4. Obteer coclusioes geerales o verificar hipótesis. Població. Es el cojuto de idividuos o etes sujetos a estudio. Ejemplo 1: Cojuto de todas las familias españolas. Ejemplo : Todos los hoteles de esta categoría de las cercaías. Alguas poblacioes so fiitas y puede coocerse e su totalidad, otras e cambio puede ser ifiitas y abstractas. Muestra: Es el úmero de datos que tomamos de la població para realizar uestro estudio. Ejemplo 1: Las 5 familias a las que se ha pregutado por el úmero de hijos. Ejemplo : Los 4 hoteles. Tamaño muestral: Número de observacioes e la muestra. Habitualmete se deotará por. Ejemplo 1: = 5. Ejemplo : = 4. Dato: Cada valor observado de la variable. Ejemplo 1: Ejemplo : Variable: Característica que estamos midiedo. Ejemplo 1: Número de hijos. Ejemplo : Precio de la habitació. Las variables suele deotarse por las letras mayúsculas X, Y Tipos de variables Cualitativas o categóricas: Aquellas que o so medibles, es decir aquellas cuyas observacioes o tiee carácter umérico. Expresa cualidades o categorías.

2 119 Ejemplos: Sexo, profesió, estado civil Cuatitativas: Aquellas que so medibles, es decir, sus observacioes tiee carácter umérico. Estas se divide e: Discretas: Toma valores uméricos fijos. Ejemplos: Número de habitacioes, úmero de hijos de ua familia, úmero de trabajadores de ua fábrica Cotiuas: Toma valores e itervalos de úmeros Ejemplos: Peso, estatura, cuado se orgaiza los datos e itervalos Distribucioes de frecuecias Observado los datos de los ejemplos es fácil adiviar cuál será el primer paso. Cosistirá e agrupar los datos que se repite varias veces. Teemos las siguietes defiicioes: Frecuecia absoluta ( i ): Es el úmero de veces que se repite e la muestra u determiado valor (x i ) de la variable. Ejemplo: E el ejemplo 1 de úmero de hijos, para el dato x 1 =, 1 = ; para el dato x 4 = 3, 4 = 15. Propiedad: La suma de todas las frecuecias absolutas es igual al tamaño muestral. i Frecuecias relativas (f i ): Es igual a la frecuecia absoluta dividida por el úmero total de datos, es decir por el tamaño muestral: f i i 15 Ejemplo: f1 ' 4 f4 ' Propiedad: La suma de todas las frecuecias relativas es igual a 1. Frecuecias acumuladas (N i ): Nos dice el úmero de datos que hay igual o iferiores a uo determiado. Se calcula sumado el úmero de frecuecias absolutas que hay ateriores a llegar a la que queremos calcular. Ejemplo: N 1 = N 4 = 4. Propiedad: La última frecuecia acumulada es igual al tamaño muestral, al úmero total de datos. Frecuecia relativa acumulada (F i ): Es el resultado de dividir cada frecuecia acumulada por el úmero total de datos: Ni Fi 4 Ejemplo: F1 ' 4 F4 ' 84 5 Propiedad: La última frecuecia relativa acumulada es siempre 1. Tabla o distribució de frecuecias de ua variable Llamamos así a ua tabla coteiedo el cojuto de diferetes valores que ha tomado ua variable (los datos si repetir) ordeados de meor a mayor co sus correspodietes frecuecias. Actividades resueltas La tabla de valores del ejemplo 1 del úmero de hijos x i i f i N i F i Cuál es el úmero de familias que tiee como máximo dos hijos? Miramos la columa seguda i: = 7 o miramos la columa cuarta, tercera fila: N i: os da 7 Cuátas familias tiee más de u hijo pero como máximo 3? Miramos la columa seguda: = 36 o miramos la columa cuarta y restamos las filas cuarta meos seguda 4 6 = 36. Qué porcetaje de familias tiee más de 3 hijos? Miramos e la columa tercera: = % o e la columas quita restado a la última fila la cuarta fila, es decir, 1 84 = %.

3 1 Distribucioes de frecuecias agrupadas Ahora vamos a trabajar co ua distribució de frecuecias agrupadas co el ejemplo del precio de ua habitació de hotel. Ejemplo : x i i f i N i F i ,5 1,5 39 3,75 4,1 4 1,5 5, ,5 6,15 4,5 8, 43 4,1 1,3 44 3,75 15, ,75 18, , ,1, ,5 3, , ,75 6,65 53,5 8,7 54 8,7 56,5 3,75 Esta tabla es demasiado grade y muy poco operativa. Cuado la variable toma muchos valores, la tabla que se obtiee es demasiado grade y por tato poco práctica. Esto os va a ocurrir frecuetemete e el caso e que la variable a estudiar sea cotiua. La solució a este problema está e agrupar los diferetes valores de la variable e itervalos o itervalos de clase. Teiedo e cueta que lo que gaamos e maejabilidad lo perdemos e iformació, es decir, los resultados será aproximados. Obteer itervalos de clase cosiste e agrupar los datos e úmeros relativamete pequeño de itervalos que cumpla: No se superpoga etre sí, de forma que o exista ambigüedad co respecto a la clase a que perteece ua observació particular. Cubra todo el rago de valores que teemos e la muestra. Llamaremos: A las froteras del itervalo, límites iferior y superior de clase y los deotaremos por l i, L i respectivamete. Marca de clase (c i ) al puto medio del itervalo, es decir, al promedio aritmético etre el límite iferior y el superior: Li li ci. Es el valor que tomaremos como represetativo del itervalo o clase. Amplitud (a i ) es la diferecia etre el extremo superior e iferior: a i = L i l i. Al úmero de observacioes de ua clase se le llama frecuecia de clase ( i ). Si dividimos esta frecuecia por el úmero total de observacioes, se obtiee la frecuecia relativa de clase (f i ), y del mismo modo que lo hacíamos para datos si agrupar defiimos (N i ) y (F i ). Cómo costruir ua distribució de frecuecias agrupada e itervalos 1. Empezamos determiado el recorrido de la variable (Re) o rago de valores que teemos e la muestra. Se defie como la diferecia etre el mayor y el meor valor de la variable.. Número de clases. Depede del tamaño de la muestra. Para muestras de tamaño moderado meor que 5, se suele elegir u úmero de clases o itervalos igual a. Para muestras mayores se utiliza la fórmula de Sturges log( ) log( ) 1, e geeral el úmero de itervalos o debe sobrepasar de 15 o, e casos de muestras muy grades. 3. Determiamos la amplitud de los itervalos. Es más cómodo que la amplitud de todas las clases sea la misma (siempre que sea posible y excepto el primero y el último), si es así a i = a = Re/º itervalos. 4. Tomaremos como regla geeral, a o ser que se idique lo cotrario, hacer que el itervalo esté cerrado por la izquierda y abierto por la derecha (excepto el último itervalo).

4 11 Ejemplo: Represeta la distribució de frecuecias agrupadas para los datos del ejemplo del precio de las habitacioes de u hotel. Recorrido: El meor valor es 33 y el mayor es 61, la diferecia es 8 y por tato el recorrido es: Re = 8. Número de clases: N = 4, hacemos que la tabla tega 6 clases, pues 4 6. Amplitud: a = 8/6 = 4 67 Como la amplitud os sale u úmero co decimales los itervalos os va a quedar raros por tato hacemos el arreglo siguiete: Para que los itervalos os quede co amplitud 5 tomamos como primer valor el 3 5 e lugar del 33 y como último el 6 5 e lugar del 61. Amplitud: a = 5. Así pues la tabla queda: [l i, L i [ c i i f i N i F i [3 5, 37 5[ [37 5, 4 5[ [4 5, 47 5[ [47 5, 5 5[ [5 5, 57 5[ [57 5, 6 5] Cuátos hoteles tiee u precio etre 3 5 y 37 5 euros? 3 Cuátos hoteles tiee u precio superior a 47 5? = 15 Qué porcetaje de hoteles cuesta como mucho 4 5? 7 5 %. Actividades propuestas 1. Completa los datos que falta e la tabla. x i i f i N i F i Completa los datos que falta e la tabla. [l i, L i [ i f i N i [, 1[ 6 6 [1, [ 4 [, 3[ 3 17 [3, 4[ 1 [4, 5] 1.4. Gráficos La forma de la distribució de frecuecias se percibe más rápidamete y quizás se retiee durate más tiempo e la memoria si la represetamos gráficamete. Diagrama de barras Número de hijos Es la represetació gráfica usual para las variables cuatitativas 5 si agrupar o para variables cualitativas. E el eje de abscisas represetamos los diferetes valores de la variable x i. Sobre cada valor levatamos ua barra de altura igual a la frecuecia (absoluta o relativa) Diagrama de sectores o pastel 5 Es el más usual e variables cualitativas. Se represeta mediate círculos. A cada valor de la variable se le asocia el sector circular proporcioal a su frecuecia. Para hallar el águlo usamos ua regla de tres: 36º o 1 36º i águlo i f i águlo i

5 1 Ejemplo 3: E uas votacioes de ua comuidad de vecios para decidir si cambia la atea de televisió de la comuidad, de 5 vecios 5 vota a favor, 15 e cotra y 1 se abstiee. Represeta los datos mediate u diagrama de sectores. Votacioes A favor Histogramas Es la represetació gráfica equivalete al diagrama de barras para datos agrupados. E el eje de ordeadas represetamos las clases y levatamos sobre cada clase rectágulos uidos etre sí de altura igual a la frecuecia de la clase (absolutas o i f relativas) si todas las clases tiee la misma amplitud y o i si tiee distitas amplitudes. ai ai E cualquier caso, observa que, e u histograma el área de los rectágulos es proporcioal a la frecuecia represetada. El histograma o diagrama de barras proporcioa mucha iformació respecto a la estructura de los datos (y si la muestra es represetativa de la població, respecto a la estructura de la població): el valor cetral de la distribució, su dispersió y la forma de la distribució. Precio de habitació de hotel Precio de habitació de hotel 15 x i f i A favor 5 E cotra 3 Absteció 15 E cotra Absteció Polígoo de frecuecias Es la represetació habitual para datos cuatitativos agrupados de las frecuecias (absolutas o relativas, acumuladas absolutas o relativas), mediate putos se represeta las frecuecias e el eje de ordeadas y la marca de clase e el de abscisas. Después se ue estos putos por segmetos de rectas Parámetros estadísticos Para datos cualitativos, la distribució de frecuecias proporcioa u resume cociso y completo de la muestra, pero para variables cuatitativas puede complemetarse este resume utilizado medidas descriptivas uméricas extraídas de los datos. Estas medidas so valores uméricos calculados a partir de la muestra y que os resume la iformació coteida e ella. Media aritmética Es el promedio aritmético de las observacioes, es decir, el cociete etre la suma de todos los datos y el úmero de ellos. (Teiedo e cueta que si u valor se repite hay que cosiderar estas repeticioes). k i xii x x f i i 1 Si los datos está agrupados e itervalos utilizaremos las marcas de clase, c i, e vez de x i. Es la medida de cetralizació más importate. Ejemplo 1. Número medio de hijos x ' 5 hijos. 5 5 Utilizado los datos de las frecuecias relativas. x ' 41' 8 ' 4 3' ' 5' 6' ' 5 hijos. i

6 13 Ejemplo. Precio medio. Como teemos los datos agrupados e itervalos utilizamos las marcas de clase: x 46' O equivaletemete: x ' 4' 45' ' 551 ' 615 ' '. Propiedades. 1. Si a todos los valores de ua variable les sumamos ua costate, la media aritmética queda aumetada e esa costate.. Si a todos los valores de ua variable los multiplicamos por ua costate, la media aritmética queda multiplicada por la misma costate. 3. Si cosideramos y i = a + bx i siedo a y b dos costates cualesquiera, la ueva media aritmética quedaría y a bx 4. La suma de todos los valores de la variable restádoles la media es cero. Mediaa Es aquel valor que, al ordear las observacioes de meor a mayor, ocupa el lugar cetral, dividiedo al cojuto de observacioes e dos partes iguales. Es decir, que deja a su derecha y a su izquierda el 5 por cieto de las observacioes. Si el tamaño de la muestra,, es impar, ecesariamete existe u dato que ocupa el lugar cetral, cocretamete el dato que al ordearlos está e la posició (+1)/; pero si es par, so dos los datos que ecotramos e el lugar cetral, los que ocupa los lugares / y (/)+1, calculado etoces la mediaa como el puto medio etre ambos datos. Ejemplo 4: Si teemos los datos de 3 valores sobre el peso de los estudiates de 1º de bachillerato ordeados de meor a mayor Como = 3 es par, la mediaa será el valor medio de los valores que ocupa las posicioes 15 y 16 e la tabla: Mediaa = Me = ( )/ = 68 3 kg. Ejemplo 5: Las 13 primeras observacioes correspodietes al úmero de chocolatias cosumidas e u día por los estudiates de ua clase so: El dato que ocupa el valor cetral, es el que ocupa el lugar séptimo ya que hay 13 valores, ese dato es la mediaa. Por tato la mediaa es : Me =. Moda Es aquel valor que tiee mayor frecuecia. E el caso de las frecuecias agrupadas e itervalos se toma el itervalo que más veces se repite como la moda Ejemplo 5: Para la variable cosumo de chocolatias del ejemplo 5 la moda es Mo = Ejemplo : Para los datos del ejemplo es el itervalo [4 5, 47 5). Percetiles El percetil p-ésimo es aquel valor que verifica la codició de que el p % de los datos so meores o iguales a él. Así, el percetil 7 supoe que el 7 % de los datos so meores o iguales a él. Ejemplo: Queremos calcular el percetil 3 de los datos del ejemplo 5, tedremos e cueta que el 3 % de 3 datos que hay es 9, así buscamos el dato que ocupa esa posició e la ordeació del ejemplo 5, que es Si queremos calcular el percetil 15, teemos e cueta que el 15 % de 3 es 4 5, pero como este dato o perteece a igua posició tomamos la aproximació por exceso, o sea tomamos el dato que ocupa la posició 5 por tato el percetil 15 seria el dato Tambié es posible aproximarlo mejor mediate ua iterpolació lieal. Nota: Los percetiles 5, 5 y 75 recibe el ombre de primer cuartil, segudo cuartil y tercer cuartil. Además el segudo cuartil que es el percetil 5 coicide co la mediaa. Si los datos está ordeados e itervalos tomamos el itervalo correspodiete al porcetaje del percetil como valor del percetil correspodiete.

7 14 Parámetros estadísticos de dispersió Las medidas de posició estudiadas e el apartado aterior, os da ua iformació icompleta, por parcial, acerca de los datos. Veamos u ejemplo: Supogamos las otas de matemáticas de los estudiates perteecietes a dos clases distitas clase A y clase B, co 1 estudiates cada ua. Clase A 4, 3, 5, 6, 4, 5, 5, 7, 5, 6 Clase B 1, 4, 3, 5, 6, 8,, 7, 5, 9 Clase A Clase B E los dos casos la media, como podemos calcular es 5, pero sus diagramas de frecuecias so muy distitos. Los diagramas de frecuecias ateriores os muestra que los valores se distribuye simétricamete respecto a la ota 5, pero e la clase A existe ua meor dispersió que e la clase B. Cómo medir la distita maera e que los valores se agrupa alrededor de la media? Las distitas medidas de dispersió proporcioa esta iformació. Al igual que ocurre para la posició, existe diversas formas para medir la dispersió, de etre ellas estudiaremos: rago, desviació típica, variaza y rago itercuartílico. Rago Es la diferecia etre el dato mayor y el dato meor. Así por ejemplo El rago de las otas de la clase A vale 7 3 = 4 y el rago e la clase B vale 9 1 = 8, deotado mayor dispersió de la variable e la clase B. La variaza y la desviació típica Puesto que se trata de medir cómo se agrupa los datos alrededor de la media, podríamos utilizar como criterio las desviacioes de dichos datos respectos aquella, es decir, las diferecias etre la media y los datos y más cocretamete la media de esas diferecias. Auque a primera vista la sugerecia pueda ser buea, vamos a aplicarla a los valores de las otas de clase para evideciar el icoveiete isalvable que ua medida de este tipo tiee. E los cuadros aparece las otas de cada clase y e columas sucesivas sus desviacioes respecto a la media y el cuadrado de estas desviacioes, al que aludiremos más tarde. Al tratar de obteer la media de las diferecias, que recordemos es la suma de todas ellas divididas por su úmero, os ecotramos que dicha media es e ambos casos, porque existiedo desviacioes positivas y egativas, uas aula los efectos de las otras. E realidad eso os ocurrirá co cualquier otro cojuto de datos, porque puede demostrarse que esa es ua propiedad que tiee las desviacioes respecto de la media. Clase A Clase B Nota x i x d i Nota x i x d i Suma 1 Suma 6 E las tablas aparece las desviacioes respecto de la media y sus cuadrados para las otas de las dos clases. Puesto que el uso de las desviacioes respecto de la media parece razoable, cómo resolver el problema de que las sumas

8 15 de? Ua secilla maera de hacerlo es utilizar, o las desviacioes, sio sus cuadrados. Al ser éstos catidades positivas, su suma uca podrá ser cero. De acuerdo co esto la variaza se defie por la fórmula. k x x x suma del cuadrado de las desviacioes 1 Variaza = s i La desviació típica se defie como la raíz cuadrada de la variaza y la desigaremos por s. s = Variaza Ejemplo: Para el ejemplo de las otas de las clases. i i k i1 i i x 1 Clase A s 1' 33 s 1 ' 33 1' Clase B s 6' 66 s 6 ' 66 ' 58 9 Que poe de maifiesto la diferete distribució de los valores e u caso y e el otro. Propiedad de la desviació típica 1. Aproximadamete el 68 % de los datos dista como mucho ua desviació típica de la media.. Aproximadamete el 95 % de los datos dista como mucho dos desviacioes típicas de la media. 3. Aproximadamete más del 99 % de los datos dista como mucho tres desviacioes típicas de la media. Rago itercuartílico. Se defie como la diferecia etre el tercer y el primer cuartil. El itervalo itercuartílico es el itervalo defiido por los cuartiles primero y tercero, cuya logitud es, el rago itercuartílico. Este itervalo así defiido cotiee el 5 % de los datos. Coeficiete variació Si queremos comparar dos secuecias de datos, y decir e cual hay mayor dispersió, sobre todo e el caso e que sea datos expresados e diferetes uidades, co los parámetros defiidos, desviació típica, itervalo itercuartílico, lo teemos complicado, por eso se hace ecesario defiir el coeficiete de variació como, s CV 1 x Ejemplo: E el ejemplo de las calificacioes de dos clases os permite comparar las dos secuecias de datos. Clase A CV = (1 15/5)1 = 3 %. Clase B CV = ( 58/5)1 = 51 6 %. Llegado a la misma coclusió que percibíamos e los histogramas ya que la clase B tiee ua mayor dispersió de las otas. Actividades propuestas 3. Clasifica las siguietes variables como cualitativas o cuatitativas, y estas últimas como cotiuas o discretas. a) Iteció de voto de u partido b) Número de correos electróicos que recibes e u mes. c) Número de calzados d) Número de kilómetros recorridos e fi de semaa. e) Marcas de cerveza f) Número de empleados de ua empresa g) Altura h) Temperatura de u efermo. 4. Muchas persoas que ivierte e bolsa lo hace para coseguir beeficios rápidos, por ello el tiempo que matiee las accioes es relativamete breve. Pregutada ua muestra de 4 iversores habituales sobre el tiempo e meses que ha mateido sus últimas iversioes se recogiero los siguietes datos: Costruye ua tabla de frecuecias que recoja esta iformació y haz algua represetació gráfica. 5. Ivestigados los precios por habitació de 5 hoteles de ua provicia se ha obteido los siguietes resultados Determiar: a) Distribució de frecuecia de los precios, si agrupar y agrupado e 5 itervalos de la misma amplitud; b) Porcetaje de hoteles co precio superior a 75; c) Cuátos hoteles tiee u precio mayor o igual que 5 pero meor o igual a 1? d) Represeta gráficamete las distribucioes del apartado a). 6. El gobiero desea saber si el úmero medio de hijos por familia ha descedido respecto a la década aterior. Para ello se

9 16 ha ecuestado a 5 familias respecto al úmero de hijos y se ha obteido los datos siguietes a) Costruye la tabla de frecuecias co estos datos. b) Cuátas familias tiee exactamete 3 hijos? c) Qué porcetaje de familias tiee exactamete 3 hijos? d) Qué porcetaje de familias de la muestra tiee más de dos hijos? Y meos de tres? e) Costruye el gráfico que cosideres más adecuado co las frecuecias o acumuladas. f) Costruye el gráfico que cosideres más adecuado co las frecuecias acumuladas. 7. E u hospital se desea hacer u estudio sobre los pesos de los recié acidos. Para ello se recoge los datos de los 4 bebes y se tiee: a) Costruye la tabla de frecuecias. b) Si sabemos que los bebes que pesa meos de 3 kilos lo hace prematuramete Qué porcetaje de iños prematuros ha acido etre estos 4? c) Normalmete los iños que ace prematuros que pesa más de 3 kilos y medio o ecesita estar e icubadora. Puedes decir que porcetaje de iños está e esta situació? d) Represeta gráficamete la iformació recibida. 8. E ua fica de vecios de Beicasim, se reúe la comuidad de vecios para ver si cotrata a ua persoa para que les lleve la cotabilidad. El resultado de la votació es el siguiete: 5 vecios a favor de la cotratació, 15 vecios e cotra y 5 vecios se abstiee. Represeta la iformació mediate u diagrama de sectores 9. Se toma ocho medicioes del diámetro itero de los aillos para los pistoes del motor de u automóvil. Los datos e mm so: Calcula la media y la mediaa de estos datos. Calcula tambié la variaza, la desviació típica y el rago de la muestra. 1. Dada la distribució de datos co frecuecias 4, 8, 4, 3, 8, halla la media de la distribució. 11. La distribució de los salarios e la idustria turística española es la que figura e la tabla. Calcula: a) El salario medio por trabajador (marcas de clase del último itervalo b) El salario más frecuete. c) El salario tal que la mitad de los restates sea iferior a él. [l i, L i [ i [,15[ 145 [15, [ 15 [, 5[ 84 [5, 3[ 955 [3, 35[ 111 [35, 4[ 34 [4, 5[ 61 [5, 1[ Calcula la mediaa, la moda, primer y tercer cuartil y oagésimo percetil de la distribució: x i Se ha diseñado dos uidades gemelas de platas pilotos y ha sido puestas e fucioamieto e u determiado proceso. Los resultados de los diez primeros balaces e cada ua de las uidades ha sido los siguietes: Uidad A Uidad B a) Haz ua represetació gráfica de estas muestras; b) Determia las medias y las variazas. 14. E cierto barrio se ha ecotrado que las familias residetes se ha distribuido, segú su composició de la forma i

10 17 siguiete: Composició Nº de familias a) Cuál es el úmero medio de persoas por familia? b) Cuál es el tamaño de la familia más frecuete? c) Si solo hubiera plazas de aparcamieto para el 75 % de las familias y estas se atediera por familias de mayor tamaño a meor, qué compoetes tedría que teer ua familia para etrar e el cupo? d) Número de miembros que tiee como máximo el 85 % de las familias. 15. Al lazar veces u dado se obtuvo la siguiete distribució de frecuecias. x i i a b 35 Halla la mediaa y la moda de la distribució, sabiedo que la media aritmética es Los siguietes datos so medidas de la capacidad craeal de u grupo de homíidos: 84, 49,61, 4, 83, 67, 45, 66, 7, 69, 8, 58, 68, 6, 67, 7, 73, 7, 57, 63, 7, 78, 5, 67, 53, 67, 75, 61, 7, 81, 76, 79, 75, 76, 58, 31. a) Calcula la media y la mediaa muestrales. b) Halla los cuartiles primero y tercero. c) Halla los percetiles cicueta y oveta. d) Calcula el rago muestral. e) Calcula la variaza muestral y la desviació estádar muestral. 17. Los siguietes datos procede de u estudio de cotamiació del aire a) Costruye u histograma. b) Determia los cuartiles. c) Calcula la media y la desviació típica.. ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL.1. Itroducció. Tablas de cotigecia Ejemplo 1: Co el fi de hacer u estudio de aceptació sobre dos modelos de impresoras 3D de reciete fabricació, se cosideraro el úmero de vetas efectuado por u determiado distribuidor durate 5 días. Modelo A: Modelo B: E muchos procesos de la vida se hace ecesario estudiar simultáeamete dos características, dos variables. Su estudio cojuto permite determiar las relacioes etre ellas. Supodremos iicialmete que estamos observado dos variables auque el tratamieto que se preseta se geeraliza si dificultad a cualquier úmero de variables. Notació. Cotiuado co el ejemplo vamos a llamar: X úmero de impresoras del modelo A vedidas e u día. Y úmero de impresoras del modelo B vedidas e u día. umero de pares de observacioes. x i Cada dato diferete observado e la muestra de X. K úmero de valores distitos de X. y j Cada dato diferete observado e la muestra de Y. h úmero de valores distitos de Y... Distribució de frecuecias cojutas Cuado queremos describir cojutamete dos variables, el primer paso al igual que e el caso uivariate, será la represetació de los datos e ua tabla de frecuecias. Frecuecia absoluta cojuta ( i j ) Número de veces que se preseta e la muestra el valor x i de la variable X co el valor y j de la variable Y.

11 18 Ejemplo 1: Para el par de valores x 1 =, y 3 =, 13 = 1 Propiedad: La suma de las frecuecias absolutas es igual a. Frecuecia relativa cojuta ij fij Ejemplo 1: 1 f13 ' 4 5 Propiedad La suma de las frecuecias relativas es igual a la uidad. Tabla de frecuecias cojuta Llamamos así a ua tabla de doble etrada dode se represeta e la primera columa los diferetes valores observados para la variable X ordeados de meor a mayor y e la primera fila los diferetes valores observados para la variable Y, y e el cetro de la tabla sus correspodietes frecuecias cojutas, tato absolutas como relativas. Ejemplo 1: x i / y j 1 3 i f i / / 1/ 4 / / / / 1/ / 3/ 1 5/ / / 8/ 3 4/ 16 / / 4 / 8 / / 3 1 i f i Qué porcetaje de días vederemos ua impresora del modelo A y 3 del modelo B? 4 % Qué porcetaje de días vederemos más impresoras del modelo B que del modelo A? 8 %; NOTA: E el caso e que las variables sea cualitativas la tabla de distribució cojuta tambié recibe el ombre de tabla de cotigecia. Ejemplos de tablas de cotigecia. 1.- Se quiere estudiar el efecto de tres fármacos e el tratamieto de ua efermedad ifecciosa. Para ello se dispoe de u grupo de pacietes ifectados, distribuyédose al azar e tres grupos de tratamieto. Tratamieto A Tratamieto B Tratamieto C Total Si mejora No mejora Total E u estudio se ha aplicado durate u año ua terapia basada e la ejercitació metal para frear el deterioro cogitivo observado e 3 efermedades degeerativas, e la tercera edad. Para evaluar el grado e que la terapia es efectiva, se ha registrado los resultados observados al cabo de u año de tratamieto e cada tipo de efermedad, teiedo e cueta que la evolució atural al cabo de u año, de estas efermedades, es el empeoramieto. Empeora Estable Mejora Total Parkiso seil Alzheimer Demecia vascular Total Distribució de frecuecias margiales Para distiguir las frecuecias de cada variable al estudiarlas aisladamete llamaremos frecuecias margiales a las de cada variable por separado. De esta forma tedríamos dos distribucioes uidimesioales a partir de las cojutas. Frecuecia absoluta margial Para la X (x i ) sería el úmero de veces que se repite el valor x i si teer e cueta los valores de Y, la represetamos por i. Para la Y (y j ) sería el úmero de veces que se repite el valor y j si teer e cueta los valores de la X, la represetamos por j. Nota: 1.-Co las defiicioes de media, desviació típica y variaza del apartado de distribucioes uidimesioales, utilizado para la X los valores x i y el úmero de veces que se repite i y N el úmero total de pares observados, y para la Y los valores y j y

12 19 el úmero de veces que se repite j y N el úmero total de pares observados, calcularemos las medias margiales, desviacioes típicas margiales y variazas margiales..- Si os fijamos bie podemos relacioar el ombre de frecuecias margiales co el hecho de que tato los valores de las variables, x i e y j como las veces que aparece cada uo de estos datos, i y j los ecotramos e los márgees de la tabla de distribució cojuta. Frecuecias relativas margiales A partir de las ateriores, y del mismo modo, se costruirá estas frecuecias f i y f j. La distribució de frecuecias margiales puede colocarse e ua tabla separadamete. Pero si deseamos teer toda la iformació e ua misma tabla lo que se suele hacer es colocar: E la última columa de la tabla cojuta, las frecuecias margiales de X es decir, i, añadiedo tatas columas como otros tipos de frecuecias margiales se desee añadir. E la última fila de la tabla cojuta, las frecuecias margiales de Y, es decir, j añadiedo tatas filas como otros tipos de frecuecias margiales se desee añadir..4. Distribució de frecuecias codicioadas A partir de la distribució de frecuecias cojutas podemos defiir otro tipo de distribucioes uidimesioales, tato para X como para Y. Estas distribucioes se obtedrá al fijar el valor de la otra variable y recibe el ombre de distribucioes codicioadas. Frecuecia absoluta codicioada para X (x i ) dado que Y (y j ) es el úmero de veces que se repite el valor x i teiedo e cueta solo aquellos valores e que Y (y j ); así es i(j) = ij para todo i = 1,,, k. Frecuecia absoluta codicioada para Y (y j ) dado que X (x i ) es el úmero de veces que se repite el valor y j teiedo e cueta solo aquellos valores e que X (x i ); así es (i)j = ij para todo j = 1,,, h. E las distribucioes codicioadas o se suele utilizar las distribucioes absolutas, puesto que como sabemos, estas depede del úmero de datos y el úmero de datos será diferete para cada distribució, pues depederá de la frecuecia del valor que fijamos de la otra variable. So mucho más útiles las frecuecias codicioadas que se defie: Frecuecia relativa codicioada para X dado que Y = y j es Frecuecia relativa codicioada para Y dado que X = x i es ij fi( j ) j ij f( i ) j i Ejemplo: Distribució de frecuecias de X codicioada a Y = 1 x i i() f i() Nota: Si la tabla resulta muy grade deberemos agrupar ua o las dos variables e itervalos de clase del mismo modo que lo hacíamos e el apartado de ua variable. E este caso todas las defiicioes se aplica tal como las hemos visto e dicho apartado..5. Idepedecia estadística Defiició 1: Dos variables X e Y se dice que so idepedietes estadísticamete cuado la frecuecia relativa cojuta es igual al producto de las frecuecias relativas margiales, es decir, para todo i, j: fij ij j f f i i j Defiició : Dos variables X e Y se dice que so idepedietes estadísticamete cuado todas las frecuecias relativas codicioadas so iguales a sus correspodietes frecuecias margiales, es decir: f i(j) = f i para todo j y f (i)j = f j para todo i..6. Diagrama de dispersió. Nube de putos Se obtiee represetado cada par observado (x i, y j ), como u puto del plao cartesiao. Se utiliza co los datos si agrupar y sobre todo para variables cotiuas. Si los datos está agrupados se toma las marcas de clase. Es más útil porque os permite ver visualmete la relació etre las dos variables.

13 13 3,5 3,5 1,5 1,5 o relació COVARIANZA 3.1. Idea correlació. Covariaza Al aalizar dos variables cuatitativas de forma cojuta, el objetivo que se pretede es, por lo geeral, determiar si existe o o algú tipo de variació cojuta o covariaza etre ellas: si ua variable aumeta, la otra tambié o lo cotrario. La catidad se deomia covariaza S xy y tiee la siguiete expresió: i j( xi x ) ( yi y ) ij i jxi yi ij Sxy 3,5 3,5 1,5 1,5 relació lieal iversa x y Ayuda a aalizar la covariaza etre dos variables de la forma siguiete: Cuado el resultado es positivo, hay ua tedecia a que a mayores observacioes de X correspoda mayores observacioes de Y. Por ejemplo A mayor catidad de agua de lluvia e u año, suele correspoder ua mejor cosecha. Cuado el resultado es egativo, la tedecia resulta cotraria; es decir a mayores valores de la variable X solemos ecotrar meores valores de la variable Y. Por ejemplo, A mayor reta per cápita e los países suele ecotrarse ua meor mortalidad ifatil. 3.. Coeficiete correlació lieal El valor de la covariaza depederá de los valores de las variables, por tato de sus uidades. Para poder elimiar las uidades y teer ua medida adimesioal utilizamos el coeficiete de correlació r xy : S xy rxy sx s y Siedo tambié ivariate frete a trasformacioes lieales (cambio de orige y escala) de las variables. Citamos las siguietes propiedades: Es u coeficiete adimesioal. Toma valores etre 1 y 1. Si hay relació lieal positiva el valor será positivo y próximo a 1. Si hay relació lieal egativa el valor será egativo y próximo a 1. Si o hay relació el valor se aproxima a cero. Si X e Y so idepediete el valor del coeficiete es cero. Pero o al cotrario. Puede ocurrir que el coeficiete de correlació valga cero y las variables sea depedietes Recta regresió lieal El diagrama de dispersió o ube de putos os permitía visualizar la relació etre dos variables X e Y. Al represetar el diagrama de dispersió podemos ecotrar las siguietes situacioes: Distribucioes estadísticas para las que la ube de putos se dispoe de tal forma que existe ua fució matemática cuyos putos so ua parte de su represetació gráfica. Si coicidir sus putos co los de ua gráfica de ua fució matemática, se aproxima a ella co mayor o meor itesidad. La ube de putos preseta u aspecto tal que o existe cocetració de putos hacia igua grafica matemática, distribuyédose de ua forma uiforme e ua regió del plao. E el primer caso se dice que existe ua depedecia fucioal o exacta etre las variables X e Y, es decir existe ua fució matemática tal que y = f(x). E el segudo caso se dice que existe ua depedecia estadística o aproximada etre,5 1,5 1,5 relació lieal directa 1 3

14 131 las dos variables, Y aproxima f(x). Y e el último caso decimos que las variables so idepedietes. Es el segudo caso del que se ocupa la teoría de regresió. Las técicas de regresió tiee por objeto modelar, es decir, ecotrar ua fució que aproxime lo máximo posible la relació de depedecia estadística etre variables y predecir los valores de ua de ellas: Y (variable depediete o explicada) a partir de los valores de la otra (u otras): X (variable idepediete o explicativa). Llamamos regresió Y sobre X a la fució que explica la variable Y (depediete) para cada valor de la X (idepediete). Llamamos regresió de X sobre Y a la fució que explica la variable X (depediete) para cada valor de la Y (idepediete). La recta de regresió que estudiamos es ua fució lieal por que el modelo de fució de regresió seleccioado es ua recta. S xy Recta de regresió Y sobre X es y = a + bx dode a y bx y b =. s Recta de regresió de X sobre Y es x = a + b y dode a' x b' y y b = Los valores de b y b so los correspodietes coeficietes de regresió para cada ua de las rectas. Hay que teer e cueta que la recta de regresió de x sobre y o se obtiee despejado x de la recta de regresió de y sobre x Predicció y causalidad El objetivo último de la recta de regresió es la predicció de ua variable para u valor determiado de la otra. La predicció de Y para X = x, será simplemete el valor obteido e la recta de regresió de Y sobre X al sustituir el valor de x por x. Es claro que la fiabilidad de esta predicció será tato mayor cuato mayor sea la correlació etre las variables, es decir mayor sea el valor de r xy Coeficiete determiació El coeficiete de determiació represeta el porcetaje de la variabilidad de la variable Y explicada por la recta de regresió, es decir por su relació co la variable X. El coeficiete determiació es el cuadrado del coeficiete de correlació: R El coeficiete determiació complemeta el coeficiete de correlació para evaluar ua predicció hecha mediate la recta de regresió. Refleja el porcetaje de variabilidad de los datos que es capaz de explicar la recta de regresió. R 1 Si R = 1 el ajuste es perfecto, si R = el ajuste es iadecuado. Nota aclaratoria: U coeficiete de correlació r = 75 podría idicar que existe ua depedecia lieal apreciable etre ambas variables. Si embargo, R = r = 566 que refleja que la recta de regresió sólo es capaz de explicar u 56 % de variabilidad de los datos y, por tato el ajuste mediate ua recta o es bueo. Ejemplo: Coocida la recta de regresió del gasto e fució de la reta y = x, determiar el gasto para este año si la reta es de 7 56 milloes de euros. Dar ua medida de la bodad de la predicció. Cuál es el porcetaje de variabilidad e el gasto atribuible a la reta de los cosumidores? Como la reta esta medida e milloes de euros, la predicció del gasto será: y = = milloes de euros. Ua medida de la bodad de la predicció os vedrá dada por el coeficiete de correlació lieal etre las variables: s xy ' 193 r ' 99 predicció muy fiable. s x s y ' 11 ' 3349 El porcetaje de variabilidad e el gasto atribuible a la reta de los cosumidores os viee dado por el coeficiete determiació: R rxy ' 99 ' 98 r xy x S s xy y.

15 13 Actividades propuestas 18. Los datos siguietes so las calificacioes obteidas por los estudiates de u grupo de 5 de 1º de bachillerato e las asigaturas de Matemáticas y Legua. Matemáticas Legua Matemáticas Legua a) Escribe la tabla de frecuecias cojuta. b) Proporció de estudiates que obtiee más de u cico e ambas asigaturas, proporció de estudiates que obtiee más de u cico e Matemáticas, proporció estudiates que obtiee más de u cico e Legua. c) So idepedietes las calificacioes de Matemáticas y Legua? d) Represeta gráficamete. e) Calcula el coeficiete correlació. 19. Para realizar u estudio sobre la utilizació de ua impresora e u determiado departameto, se midió e u día los miutos trascurridos etre las sucesivas utilizacioes X y el úmero de págias impresas Y, obteiédose los siguietes resultados. X Y a) Escribe la distribució de frecuecias cojuta. Porcetaje de veces que trascurre más de ueve miutos desde la aterior utilizació y se imprime meos de doce págias. Número de veces que se imprime meos de doce págias y trascurre ueve miutos desde la utilizació aterior. b) Frecuecias margiales. Veces que se imprime como mucho doce págias. Número de págias que se imprime e el 8 % de las ocasioes. c) Calcula la distribució del úmero de págias impresas codicioada a que ha trascurrido ueve miutos etre sucesivas utilizacioes. d) Dibuja el diagrama de dispersió.. Las estaturas de los 3 iños acidos e ua materidad durate ua semaa fuero los siguietes: Estatura Peso a) Costruye ua tabla de doble etrada, agrupado los pesos e itervalos de 5 kg. b) Es la estatura idepediete del peso? 1. E el exame de ua asigatura que costa de parte teórica y parte práctica, las calificacioes de ueve alumos fuero: Teoría Práctica Calcula la covariaza y el coeficiete de correlació lieal. Dibuja la ube de putos. Cometa los resultados.. Se desea ivestigar el gaado caprio y el gaado ovio de u país. E la tabla de doble etrada adjuta se preseta los resultados de u estudio de 1 explotacioes gaaderas, seleccioadas aleatoriamete del ceso agropecuario. Se proporcioa las frecuecias cojutas del úmero de cabezas (e miles) de cabras X y ovejas Y que posee las explotacioes. X / Y a) Halla las medias, variazas y desviacioes típicas margiales. b) Halla el úmero medio de ovejas codicioado a que e la explotació hay cabras. c) Halla el úmero medio de cabras que tiee aquellas explotacioes que sabemos que o tiee ovejas. d) Halla la covariaza y el coeficiete de correlació etre ambas variables.

16 El volume de ahorro y la reta del sector familias e milloes e euros costates de 5 para el periodo 5-14 fuero. Años Ahorro Reta a) Recta regresió del ahorro sobre la reta. b) Recta de regresió de la reta sobre el ahorro. c) Para el año 15 se supoe que la reta era de 4.1 milloes de euros. cuál será el ahorro esperado para el año 15? d) Estudiar la fiabilidad de la predicció aterior. 4. Se midió el tiempo e segudos que tardaro e grabarse los mismos 4 ficheros e u lápiz USB X y e u disco duro exterior Y. X Y X Y a) Costruye la tabla de frecuecias cojuta. Cuál es el porcetaje de ficheros que tarda meos de 1 5 segudos e el primer tipo y más de 1 4 e el segudo? Cuátos ficheros tarda e grabarse etre 6 y 1 segudos e el primer tipo de memoria? Cuáto tiempo tarda como mucho e gravarse al meos el 9 % de los ficheros e el segudo tipo de memoria? b) Halla la tabla de frecuecias codicioadas de los tiempos del segudo tipo de memoria de aquellos programas que tardaro 1 e el primer tipo de memoria. Cuál es la proporció de estos programas que tarda e grabarse más de 1 5 segudos e el segudo tipo de memoria? c) Represeta gráficamete los datos y cometa el resultado obteido. d) Si u fichero tarda 8 segudos e grabarse e el primer tipo de memoria, cuatos segudos tardara e grabarse e el segudo tipo? Dar ua medida de fiabilidad. Cofirma esta medida lo cometado e el apartado c)? 5. De u muelle se cuelga pesos y obteemos los alargamietos siguietes. Peso gr X Alargamieto cm Y Ecuetra la recta de regresió de Y sobre X y estima el alargamieto que se coseguirá co pesos de 1 y 5 gr. Cuál de las dos estimacioes es más fiable? 6. La tabla siguiete muestra el úmero de gérmees patógeos por cetímetro cubico de u determiado cultivo segú el tiempo trascurrido. Número de horas Número de gérmees a) Calcula la recta de regresió para predecir el úmero de gérmees por cetímetro cubico e fució del tiempo. b) Qué catidad de gérmees por cetímetro cubico es previsible ecotrar cuado trascurra 6 horas? Es buea esta predicció? 7. E u depósito cilídrico, la altura del agua que cotiee varía a medida que pasa el tiempo segú los datos recogidos e la tabla: Tiempo: h Altura: m a) Ecuetra el coeficiete correlació etre el tiempo y la altura. Da ua iterpretació de él. b) Qué altura se alcazara cuado haya trascurrido 4 horas? c) Cuado la altura alcaza m suea ua alarma. Cuáto tiempo tiee que pasar para que suee la alarma? 8. La evolució del IPC (ídice de precios al cosumo) y la tasa de iflació e los meses idicados de u determiado año, va ser: Eero Febrero Marzo Abril Mayo Juio IPC Tasa iflació a) Represeta la ube de putos. b) Calcula el coeficiete de correlació etre el IPC y la tasa de iflació. c) Se puede estimar la tasa de iflació a partir del IPC?

17 134 RESUMEN Ejemplos Histograma Represetació gráfica de los datos agrupados e itervalos. 5 Media aritmética x i xi i k x i 1 i fi x 5 ' 5 5 Mediaa Moda Valor tal que e la distribució hay tatos datos meores que él como mayores que él. Dato co mayor frecuecia, el que más veces se repite. Variaza s x x x i 1 i i1 i f i x Desviació típica s = Variaza Covariaza Coeficiete correlació Depedecia lieal Recta regresió Y sobre X i j( xi x ) ( yi y ) ij i jxi yi ij S xy x y S xy rxy 1 r 1 sx s y r = 1 depedecia fucioal lieal egativa 1 < r < depedecia egativa r = o existe depedecia lieal, i fucioal < r <1 depedecia positiva r = 1 depedecia fucioal lieal positiva S xy y y ( x x ) sx

18 135 EJERCICIOS Y PROBLEMAS Estadística descriptiva uidimesioal 1. Se cooce el volume semaal de residuos sólidos recogidos e m 3 durate 1 semaas, e u muicipio pequeño: 5'5, 7'1, 31'8, 34', 38'9, 1'3, 8'7, 33', 36'5, 39'6 Calcula: a) Las medidas de cetralizació: la media, mediaa, moda b) Las medidas de dispersió: desviació típica, variaza, coeficiete de variació, valor míimo, valor máximo, recorrido, primer cuartil, tercer cuartil e itervalo itercuartílico. c) Haz ua represetació gráfica e serie temporal, que permita observar tedecias, ciclos y fluctuacioes. Recuerda que e ua serie temporal, e el eje de abscisas está el tiempo de observació y e el eje de ordeadas la magitud de observació.. Ua compañía de seguros desea establecer ua póliza de accidetes. Para ello, seleccioa al azar a 1 propietarios y les preguta cuátos euros ha gastado e reparacioes del automóvil. Se ha agrupado e itervalos los valores de la variable obteidos: Euros [, 1) [1, ) [, 4) [4, 6) [6, 8) [8, 3) Número de persoas 1 1 a) Calcula las marcas de clase y escribe e tu cuadero ua tabla de frecuecias absolutas, frecuecias relativas, frecuecias acumuladas absolutas y frecuecias relativas acumuladas. b) Represeta los datos e u diagrama de barras, otro de líeas y uo de sectores. c) Represeta u histograma de frecuecias relativas. Cuidado: Los itervalos o so todos iguales. d) Calcula la media y la desviació típica. e) Calcula la mediaa y los cuartiles. 3. Se ha pregutado a 4 alumos por el úmero de hermaos que teía, y se ha obteido Número de hermaos o más Número de veces a) Represeta u diagrama de barras de frecuecias absolutas y u diagrama de líeas de frecuecias relativas. b) Calcula la media, la mediaa y la moda. 4. Se ha pregutado a 5 estudiates de 1º de Bachillerato por el úmero de hermaos que teía, y se ha obteido: Número de hermaos o más Número de veces a) Represeta los datos e u diagrama de barras de frecuecias absolutas, e u diagrama de líeas de frecuecias relativas, y e u diagrama de sectores. b) Haz u histograma. c) Calcula la media, la mediaa y la moda. Calcula los cuartiles. d) Calcula la variaza, la desviació típica, el recorrido y el itervalo itercuartílico. Utiliza ua hoja de cálculo co el ordeador Se cooce el volume semaal de residuos sólidos recogidos e m 3 durate las 5 semaas de u año, e u muicipio pequeño: 5'5, 7'1, 31'8, 34', 38'9, 1'3, 8'7, 33', 36'5, 39'6, 5', 4'7, 3', 3'3, ', 6'4, 6'7, 9'6, 31'3, 3'5, 8'3, 9'1, 6'7, 5', 4'5, 3'7, 5'4, 7', 31'7, 34'5, 38'4, 1', 8'1, 33'7, 36'8, 39'9, 31'7, 34'4, 38', 1'9, 8'1, 33'5, 5', 4'7, 3', 3'3, ', 6'4, 5'9, 4'1, 3', 3'6, 6'4. 5. Calcula, utilizado Excel u otra hoja de cálculo: Parámetros estadísticos a) Las medidas de cetralizació: la media, mediaa, moda b) Las medidas de dispersió: desviació típica, variaza, coeficiete de variació, valor míimo, valor máximo, recorrido, primer cuartil, tercer cuartil e itervalo itercuartílico. c) Otros coeficietes: coeficiete de asimetría y coeficiete de curtosis que ecuetres. Ivestiga las posibilidades del ordeador para obteer parámetros estadísticos. d) Haz ua represetació gráfica e serie temporal, que permita observar tedecias, ciclos y fluctuacioes. Recuerda que e ua serie temporal, e el eje de abscisas está el tiempo de observació y e el eje de ordeadas la magitud de observació. Para ello, escribe e la casilla A1, 1, e A13,, y arrastra para escribir el orde de las semaas, hasta que aparezca el 5. Escribe e la columa B el volume recogido cada semaa. E la casilla A11 u título, por ejemplo, Residuos sólidos. E la casilla C1 escribe Media, y e la casilla D1 calcúlala usado la fució PROMEDIO. De igual forma calcula los otros

19 136 parámetros. Observa u trozo de patalla co alguos resultados: 6. Los datos de la práctica aterior se quiere represetar e u histograma para mejor determiar su distribució. Para ello: a) Idica el úmero total de datos, N, el meor valor: X m, el mayor valor, X M, y el recorrido R. b) La catidad de barras del histograma, k, se suele tomar, para meos de 5 datos, etre 5 y 7. Para N etre 5 y 1, etre 6 y 1. Para N etre 1 y 5, etre 7 y 1. Y para N mayor de 5, etre 1 y. E este caso N es igual a 5, luego el úmero de barras podría ser etre 6 y 1. Al dividir R etre 1 se obtiee 1,87 que sería el itervalo de clase. Para facilitar la divisió e clases fijamos el itervalo de clase, h, e, y el úmero de barras, k, e 1. Para o teer valores e los límites de clase tomamos el iicio del primer itervalo e. Así, los itervalos so: (, ), de valor cetral: 1; [, 4), de valor cetral 3... Ahora ya se puede costruir la tabla de frecuecias y dibujar el histograma. c) Calcula y represeta e el histograma los putos m, m s, m s, m 3s, dode m y s so la media y la desviació típica, respectivamete Vamos a ivestigar qué ocurre al hacer u cambio de variables. Dijimos que si cosideramos y i = a + bx i siedo a y b dos costates cualesquiera, la ueva media aritmética quedaría y a bx. a) Abre Excel. Itroduce los datos: X = 55, 71, 318, 34, 389,... e la columa A, a partir de la fila 11. Qué cambio de variable se ha hecho? Observa: x = X/1. b) E la columa C, a partir de la fila 11 escribe los límites de clase, e la columa D el valor medio, e la columa E vamos a cotar las frecuecias absolutas y e la columa F las frecuecias acumuladas. Utiliza la fució CONTAR.SI para cotar. Por ejemplo, escribe e E11, CONTAR.SI(A11:A63; <). E F11 escribe =E11. E E1 escribe CONTAR.SI(A11:A63; <4)-F11. Completa la tabla de frecuecias. Escribe títulos e la fila 1. c) Calcula la media y la desviació típica. Para ello escribe e la fila 3 y 4, columa B, las fucioes =PROMEDIO(A11:A63) y =DESVEST(A11:A63). Escribe los resultados co decimales. d) Cómo obtiees ahora la media y la desviació típica de los datos reales? Cómo deshaces el cambio? Si o lo recuerdas, o o tiees seguridad, ivestígalo. Calcula la media y la desviació típica, ates y después del cambio. Escribe este resultado, e geeral, para u cambio de variables lieal y = ax+b. e) Dibuja el histograma. No olvides uca idicar las uidades e ambos ejes, y toda la iformació que ayude a compreder el gráfico. Añade siempre el tamaño, N, y los valores de la media y la desviació típica. f) Discute el resultado. Es grade la dispersió? La distribució, es simétrica? Otra ivestigació: Vamos a ivestigar la distribució de la media. Para ello vamos a tomar muestras de tamaño 5. Utiliza la columa G. E G11 escribe =PROMEDIO(B11:B15), e G1 la media de B16 a B, y así hasta el fial. Teemos calculadas las 1 medias de muestras de tamaño 5. Calcula la media y la desviació típica de estas medias. Compara co los resultados ateriores. Escribe e tu cuadero las coclusioes.

20 137 Estadística descriptiva bidimesioal 7. E ua muestra de 1 persoas miramos su color de ojos y pelo y ecotramos que hay 5 moreos de ojos marroes, 1 moreo de ojos verdes, 3 rubios de ojos azules y 1 rubio de ojos verdes. A) Represeta e ua tabla de doble etrada esta situació. B) Escribe la tabla de frecuecias relativas. C) Escribe las frecuecias absolutas y relativas margiales. D) Escribe la distribució de frecuecias codicioadas. 8. Lola ha calculado los coeficietes de correlació de las tres ubes de putos adjutas, y ha obteido: 8, 85 y 3, pero ahora o recuerda cuál es de cada ua. Puedes ayudar a decidir qué coeficiete correspode co cada ube? A B C E ua tieda quiere estudiar las vetas del pa de molde e fució del precio. Para ello prueba cada semaa co u precio distito y calcula las vetas realizadas. Ha obteido los siguietes datos: Precio (euros) Vetas (medias) a) Represeta los datos e u diagrama de dispersió (ube de putos) e idica a qué coclusioes crees que se va a llegar. b) Calcula la covariaza, el coeficiete de correlació, la recta de regresió y el coeficiete de determiació c) Decide poer u precio de 1 4 euros, cuáles opias que sería las vetas medias semaales? 1. Ua compañía aérea realiza u estudio sobre la relació etre las variables X, tiempo de u vuelo, e horas; e Y, cosumo de combustible (gasóleo) para dicho vuelo, e litros, y se ha obteido los siguietes datos. X (horas) Y (litros) a) Represeta los datos e u diagrama de dispersió. b) Calcula la covariaza y el coeficiete de correlació etre ambas variables. Iterpreta los resultados. c) Calcula la ecuació de las rectas de regresió. d) Calcula el coeficiete de determiació. 11. Pregutamos a 1 estudiates de 1º de Bachillerato por sus calificacioes e Matemáticas, por el úmero de miutos diarios que ve la televisió, por el úmero de horas semaales que dedica al estudio, y por su estatura e cetímetros. Los datos se recoge e la tabla adjuta. Calificacioes de Matemáticas Miutos diarios que ve la TV Horas semaales de estudio Estatura (e cm) Queremos estudiar la relació etre las calificacioes de Matemáticas y las otras tres variables. Para ello dibuja los diagramas de dispersió, y calcula los coeficietes de correlació y determiació. Calcula las rectas de regresió. 1. Haz u trabajo. Pasa ua ecuesta a tus compañeros y compañeras de clase. Elige ua muestra de 1 persoas y hazles dos pregutas co datos uméricos, como por ejemplo, cuáto mide su mao, qué úmero de zapato calza, el úmero de libros que lee e u mes, el úmero de horas que ve la televisió a la semaa, diero que gasta al mes e comprar música, la calificació e Matemáticas de su último exame Represeta los datos obteidos e ua tabla de doble etrada. Haz u estudio completo. Puedes utilizar el ordeador: a) Escribe e tu cuadero ua tabla de doble etrada de frecuecias absolutas, frecuecias relativas. Obté las distribucioes margiales y codicioadas. b) Co las distribucioes uidimesioales, dibuja los diagramas de barras, diagramas de líeas y diagramas de sectores. Calcula las medias, mediaas y modas. Calcula las variazas y las desviacioes típicas. Calcula los cuartiles y los itervalos itercuartílicos. c) Co las distribucioes bidimesioales, dibuja u diagrama de dispersió, y calcula la covariaza, el coeficiete de correlació y la recta de regresió. d) Reflexioa sobre los resultados y escribe u iforme

21 138 Utiliza ua hoja de cálculo co u ordeador 13. El objetivo de esta práctica es estudiar la dispersió etre dos variables, mediate ua ube de putos o diagrama de dispersió, el coeficiete de correlació y la recta de regresió. E 1 países se aota los igresos medios, e euros, por habitate y año, y el porcetaje medio e los residuos sólidos de comida. Se obtiee: x i ( ) y i (%) a) Abre ua hoja de cálculo. Copia los datos. Calcula la media y la desviació típica de las x, y la media y la desviació típica de las y. b) Represeta la ube de putos. Seleccioa los datos, icluyedo a las medias. Aprieta el botó de asistete de gráficos y elige XY (Dispersió). E títulos escribe como Título del gráfico Correlació, e Eje de valores (X) describe la variable x si olvidar decir las uidades, escribe: Igresos/habitate ( ), e Eje de valores (Y) describe la variable y si olvidar decir las uidades, escribe: Porcetaje de residuos de comida e los RSU (%). E Leyeda elige o mostrar leyeda. c) Observa que si x x e y y tiee el mismo sigo queda e los cuadrates I y III y si lo tiee distito e II y IV. Cueta los putos que queda e los cuadrates I y III, cueta los que queda e los cuadrates II y IV. Nos puede dar ua idea de la correlació. Va a ser positiva o egativa? Es ua correlació fuerte o débil? Etre que valores puede variar el coeficiete de correlació? Estima a ojo u valor para esa correlació. d) Orgaiza e Excel ua hoja de cálculo que te permita calcular la correlació. Escribe los datos e las filas 3 y 4. E L3 y L4 calcula las medias utilizado la fució PROMEDIO. E M3 y M4 calcula la desviació típica utilizado la fució DESVEST. E N3 calcula el coeficiete de correlació, utilizado la fució: COEF.DE.CORREL(B3:K3;B4:K4) e) Ahora vamos a mejorar uestro gráfico. Observa que si colocas al rató ecima de u puto idica las coordeadas. Traza las rectas x = x, y = y que idica las medias. Utiliza para ello la paleta de dibujo. Dibújalas e color rojo. sy f) La recta de regresió es la recta que hace míimas las distacias de la ube de putos. Es la recta: y = y + (x - x s ). Calcula e N4 la pediete de la recta. Escribe la ecuació de la recta. Observa el gráfico. Cómo la habrías estimado a ojo? Evalúa la pediete y la ordeada e el orige. 14. Se recoge e ua tabla la altura (e metros) de u padre y de la de su hijo co 15 años de edad. Padre Hijo a) Utiliza el ordeador para represetar el diagrama de dispersió. Copia los datos e ua hoja de cálculo e las columas A y B. Señala las dos series y elige isertar gráfico de dispersió. Automáticamete verás que aparece el diagrama de dispersió (ube de putos). Juega co las opcioes para modificar el título, el formato, la escala de los ejes b) Dibuja la recta de regresió. Picha sobre u puto de la ube, y elige Agregar líea de tedecia. Para que dibuje el ordeador la recta de regresió la líea de tedecia debe ser Lieal. E la patalla que aparece marcamos la casilla que dice: Presetar ecuació e el gráfico y la casilla que dice Presetar el valor de R cuadrado e el gráfico. Al fial, si lo has hecho bie, el dibujo debe ser más o meos algo similar a esto: c) Utiliza la recta para determiar que altura del hijo correspodería a ua altura del padre de 1 75 m.,5 1,5 1,5 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 x