NÚMERO DE MEDICIONES NECESARIAS

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1 Smpoo de Metrología 00 5 al 7 de Octbre NÚMERO DE MEDICIONES NECESARIAS L O. ecerra Cetro Nacoal de Metrología, Dvó de Metrología de Maa y Dedad km,5 Carretera a lo Cé, Mpo. El Marqé Tel: () 05 00, Fax: () , e-mal: lbecerra@ceam.mx Reme: El úmero de medcoe (repetcoe) eceara para realzar a medcó e a decó qe el metrólogo debe tomar coderado la certdmbre objetvo, la aportacó de la certdmbre tpo A, el to reqerdo para realzar repetcoe etre otra coderacoe. El preete trabajo preeta a fórmla qe pede er tlzada para etmar el úmero de medcoe (repetcoe) qe e pede realzar para alcazar la certdmbre objetvo, re y cado eta certdmbre objetvo ea mayor a la aportacó de la certdmbre tpo..- INTRODCCIÓN La realzacó de medcoe almete tee objetvo epecífco: la ecedad de coocer el valor de merado detro de tervalo aproxmado de cofaza (ecedad mplícta o explícta). ( A) El reltado de la medcó e el mejor etmado del merado e cojto co el etmado de la certdmbre, almete expaddo para cbrr vel de cofaza reqerdo, ver fórmla [], dode, ( y) k ( y) = () ( y) = = ( y) certdmbre expadda de y x () El mejor etmador de la certdmbre tpo A e la devacó etádar de la meda (del cojto de repetcoe), ver fórmla, y, dode, = () = = ( x x) (5) e la devacó etádar expermetal de la repetcoe (medcoe) úmero de medcoe La certdmbre tpo almete e comcada al aro como tervalo co alga dtrbcó de probabldad epecífca, múltplo de la devacó etádar (de a dtrbcó de probabldad ormal), etc. k factor de cobertra elegdo e fcó del vel de cofaza deeado y lo grado de lbertad de la etmacó certdmbre etádar combada de y Por otro lado, e la fórmla, el factor k e ( y) certdmbre etádar de la varable x x La fórmla pede er expreada como la combacó de la certdmbre tpo A co la certdmbre tpo, ya qe toda la fete de certdmbre pede er agrpada detro de eto do tpo de certdmbre, la tpo A y la tpo. ( y) ( A) + ( = ) (3) almete tomado gal al valor de t de Stdet correpodete a lo grado efectvo de lbertad evalado de la medcó []. La evalacó de lo grado efectvo de lbertad de la medcó e realza tlzado la fórmla de Welch-Satterthwate [], dode lo grado de lbertad de la fete de certdmbre mayore o la qe doma dcha evalacó, ver fórmla 6,

2 Smpoo de Metrología 00 5 al 7 de Octbre ( y) ( x ) ef = (6) ef grado efectvo de lbertad de la etmacó de la certdmbre grado de lbertad de la etmacó de la certdmbre de la varable Lo grado de lbertad de la fete de certdmbre tpo almete o grade, ya qe pede prover de certfcado de calbracó, forme o tervalo co dtrbcoe de probabldad amdo medate la expereca del Metrólogo, pero e la certdmbre tpo A, e la mayoría de lo cao, úmero de grado de lbertad e coderablemete meor a lo qe e ame para la fete de certdmbre tpo. Se debe coderar qe toda la fete de certdmbre debe de cotar co al meo grado de lbertad, lo cal gfca qe para la certdmbre tpo A, e debe realzar al meo do medcoe, = (7). PLANTEAMIENTO DEL PROLEMA El metrólogo debe decdr el úmero de repetcoe eceara para realzar a medcó. Eta decó mpacta por lado e la dmcó de lo errore aleatoro al cremetar el úmero de repetcoe, y por cogete al cremetar el úmero de repetcoe ametar la veró de to e la medcó. Por otro lado e redce el úmero de repetcoe e la medcó, e redce el to reqerdo e la medcó embargo e acrfca el úmero de grado de lbertad de la certdmbre tpo A, y como coececa e tee meor coocmeto de la dtrbcó de probabldad de la poblacó de la cal provee la metra (medcoe). La recomedacó comú a lo metrólogo e qe e realce el mayor úmero de medcoe factble, embargo o o poco lo cao e lo cale e debe realzar el úmero mímo de medcoe reqerda. 3. ESTIMACIÓN TEÓRICA Co la faldad de realzar a etmacó del úmero de medcoe reqerda de maera teórca e a medcó calqera, e platea lo gete tre valore de certdmbre expadda como certdmbre objetvo" (e dade caleqera), ( 95,5% ) =, ( 95,5% ) =,3 3( 95,5% ) =,5 La faldad e etmar cal e el úmero de réplca qe e debe realzar para alcazar eto valore de certdmbre plateada e ame qe e realza medcoe qe provee de poblacoe co dtrbcó de probabldad ormal de meda cero y lo gete valore de devacó etádar, σ = 0,; σ = 0,; σ = 0,6; σ = 0,8; σ =,0; σ =,; 5 σ =,; σ =,6; σ =,8; 7 8 σ =,0; σ =,; σ =,; 0 σ =,6; σ =,8; σ = 3,0 3 E todo lo cao e ame qe la certdmbre tpo A e etmada e fcó de la dtrbcoe mecoada arrba y erá combada co a certdmbre tpo de valor taro y co 000 grado de lbertad aocado. Como e pede ver e la fórmla, la certdmbre tpo A tede a redcre a razó de. Para etmar el úmero de medcoe reqerda para cada valor de σ, e evalúa valore de devacó etádar de la meda (certdmbre tpo A) tlzado la fórmla. Eto valore de devacó etádar de la meda e comba, como certdmbre tpo A, co el valor fjo de la certdmbre tpo para evalar valore de certdmbre etádar combada Poterormete e evalúa lo grado efectvo de lbertad coderado lo 000 grado de lbertad

3 Smpoo de Metrología 00 5 al 7 de Octbre de la certdmbre tpo y lo grado de lbertad correpodete a la devacó etádar de la meda coderada (-), fórmla 6. E fcó de lo grado efectvo de lbertad reltate e eleccoa el valor de la t de Stdet qe ampla el vel de cofaza de la certdmbre expadda a aproxmadamete el 95,5%. Para cada grpo de valore e determa cal e el úmero mímo de grado de lbertad co lo cale debe cotar la certdmbre tpo A para cmplr co lo dferete valore de certdmbre objetvo plateado, edo /. = (8) ( p) k e la devacó etádar de dode e podría amr provee la réplca, determado prevamete drate la calbracó del eqpo e la codcoe de o ormal (repetbldad), (p) e la Icertdmbre expadda al vel de cofaza deeado, k e el factor de cobertra aocado al vel de cofaza deeado amedo tpo de dtrbcó ormal (k=, para ete cao partclar) y e la varaza de la compoete tpo de la certdmbre. La codcó / e debe mateer. Co la faldad de detfcar eto valore e le detfcara como proveete del ejercco teórco. Lo reltado e preeta e la tabla. El valor pede reltar e úmero o etero, por. APROXIMACIÓN lo qe e deberá redodear al valor etero próxmo peror. S e ame qe la certdmbre etádar combada tee aocada tpo de dtrbcó de probabldad ormal, e podría tlzar la gete expreó para etmar el úmero de medcoe reqerda para alcazar a certdmbre expadda objetvo coocedo la certdmbre tpo y la devacó etádar de la qe provee la medcoe, coderado a como el etmado de σ, medate la fórmla 8. A ete ejercco e le detfcará como aproxmacó. Lo úmero mímo de medcoe qe e tee qe realzar para alcazar la certdmbre objetvo propeta e preeta e la tabla. =, 95,5% ( 95,5% ) =,3 =,5 3 95,5% σ teórco aproxmacó teórco aproxmacó teórco aproxmacó Tabla. Etmacó del Número Mímo de Medcoe qe e debe realzar para obteer lo valore de certdmbre objetvo propeto (e dade calqera). 3

4 Smpoo de Metrología 00 5 al 7 de Octbre De la tabla e pede aprecar la mltd etre lo reltado obtedo del ejercco teórco y de la aproxmacó, la dfereca provee del hecho de qe e el cao teórco el valor de la t de Stdet e eleccoado e fcó de lo grado efectvo de lbertad y e el ejercco de aproxmacó el factor de cobertra k re e gal a do. 5. EJEMPLO NMÉRICO Se deea realzar la medcó de la maa de cldro de broce medate el o de a balaza cya reolcó e de d = mg realzado medcó de lectra drecta. La certdmbre expadda reqerda e = 5 mg co factor de cobertra k =. La balaza ha do calbrada y de la cal e obtee lo gete valore certfcado, certdmbre aocada a la correccó C = 0,000 5 g (k = ) y a devacó etádar = 0,005 g (co úmero fcetemete grade de grado de lbertad). La certdmbre debda a la correccó del je del are e, = 0,00 3 g (k=) ete valor e obtee coderado la certdmbre aocada a la dedad de la pea patró, la dedad del materal del objeto bajo preba y la dedad del are. S el modelo de medcó de eta determacó de maa e el gete, dode L e la lectra del trmeto, m x = C + L + ε + ε (9) La certdmbre tpo, e obtee de la combacó de la certdmbre debda al je del are, la reolcó del trmeto y a la correccó del trmeto (Calbracó) = + + = 0,00 g d ttyedo e la fórmla 8 para etmar el úmero de medcoe eceara para alcazar la certdmbre reqerda e, C d 0,005 = = 0,005 0,00 k = 5,0, 5 ( p) Por lo qe para alcazar la certdmbre reqerda e ecearo realzar aproxmadamete 5 repetcoe. S e logra dmr la devacó etádar de la balaza para la medcó a = 0,00 g (p.e. cambado la bcacó de la balaza y realzado evamete calbracó), y coderado qe la certdmbre tpo o camba debdo a ete movmeto, e evalúa el úmero de medcoe eceara para alcazar la certdmbre reqerda co eta eva codcó, 0,00 = 0,005 0,00 = 8,6, 9 Se etma qe co 9 repetcoe e fcete para alcazar la certdmbre reqerda 6. DISCSIÓN La evalacó de lo grado efectvo de lbertad medate la fórmla de Welch Satterthwate (W-S) ha do aalzada por Hall, Wllk y allco e [, 3]; e repectvo trabajo preeta lmtacoe e coteca qe e geera e la evalacó de lo grado efectvo de lbertad e combacoe de certdmbre (evalacoe de certdmbre etádar combada) cado exte cotrbcoe domate co úmero peqeño de grado de lbertad, o cado la cotrbcoe domate o provee de dtrbcoe de probabldad ormal y a la cale e le aga alto úmero de grado de lbertad (p.e. qe provee de dtrbcoe de probabldad forme o traglar). Eta lmtacoe de la etmacó de lo grado efectvo de lbertad medate W-S afecta prcpalmete a la valdez del tervalo de cofaza qe e declarare e la medcó, prodcto de la eleccó del factor de cobertra para expadr la certdmbre, baado e eta etmacó.

5 Smpoo de Metrología 00 5 al 7 de Octbre Por otro lado, e el Aexo E de la GM [] e mecoa qe la varaza de la devacó etádar expermetal de la meda de a metra ( x) etmado para metra, como el etmado de la devacó etádar de la meda poblacoal σ ( x), e aproxmadamete, σ x σ [ ( x) ] (0) dode = o lo grado de lbertad de x. Eta dperó rge de la lmtacoe del metreo y pede er my grade, e la tabla e preeta e porcetaje la razó de la devacó etádar expermetal de la meda obre la devacó etádar poblacoal de la meda, Nmero de Obervacoe σ [ ( x) ] % σ ( x) Tabla.- Valore exacto (e porcetaje) para la σ [ ( x) ] razó [] σ x Se pede aprecar qe el grado de decoocmeto de σ ( x) e de hata el 76 % cado úcamete e tee do medcoe ( grado de lbertad), lo cal dfclta realzar predccoe acertada obre tervalo de cofaza e etmacoe dode tervega fete co úmero peqeño de grado de lbertad, y prcpalmete cado eta fete de certdmbre e domate e la evalacó. Por lo aterormete mecoado e debe aclarar qe la faldad del preete trabajo o e garatzar qe co el úmero de medcoe etmado e alcace la certdmbre objetvo co el vel de cofaza deeado, pero preetar a forma práctca de etmar el úmero de medcoe míma eceara co la cale e podría alcazar la certdmbre objetvo, prevo a la medcó mma y a todo el cálclo correpodete de la etmacó de la certdmbre de la medcó. Co la etmacó del úmero mímo de medcoe reqerda, e pretede por lado ecoomzar el to vertdo e la evalacó de la certdmbre etádar combada e dode la certdmbre tpo e mcho mayor qe la cotrbcó de la certdmbre tpo A, y por otro lado, qe el métrologo ete cocete de qe cado la cotrbcó de la certdmbre tpo A e ma grade qe la cotrbcó de la certdmbre tpo e la evalacó de la certdmbre etádar combada, mpacta de mayor forma la eleccó del úmero de medcoe a realzar. 7. CONCLSIONES Co la tlzacó de la fórmla 8 e pede obteer a prmera aproxmacó al úmero de medcoe reqerda (repetcoe) qe e pede realzar para alcazar la certdmbre objetvo qe e platea coocedo el valor de la compoete de certdmbre tpo aí como la devacó etádar htórca del trmeto. a vez eleccoado el úmero de medcoe reqerda e debe proceder a realzar la medcoe y evalar el mejor etmado del merado aí como certdmbre aocada co lo dato expermetale tlzado el método de la GM [] o algú otro método valdado p.e. el Método de Mote Carlo (Método Nmérco) []. REFERENCIAS [] IPM, IEC, IFCC, ISO, IPAC, IPAP, OIML - Gde to the expreo of certaty o mearemet- Reprted o 995. [].D. Hall ad R. Wllk Doe Welch- Satterthwate make a good certaty etmate Metrologa, 00, 38, pag. 9-5 [3] M. allco Lmtato of the Welch- Satterthwate approxmato for mearemet certaty calclato- Metrologa, 000, 37 pag. 6-6 [] ISO/TC 3 N 659 Gde to the expreo of certaty mearemet (GM) Spplemet : mercal method for the propagato of dtrbto