METODOLOGÍAS AVANZADAS PARA EL MODELADO Y ANÁLISIS DE ARMONICOS Y SU IMPACTO EN LA CALIDAD DE LA ENERGIA

COMITÉ NACIONAL DE MÉXICO 36-1 BIENAL 21 METODOLOGÍAS AVANZADAS PARA EL MODELADO Y ANÁLISIS DE ARMONICOS Y SU IMPACTO EN LA CALIDAD DE LA ENERGIA Aurelo Medna Facultad de Ingenería Eléctrca Dvsón de Estudos de Posgrado Unversdad Mchoacana de San Ncolás de Hdalgo Edfco de la Dvsón de Estudos de Posgrado de la FIE Cudad Unverstara, 583 Morela, Mch., MÉXICO amedna@zeus.ccu.umch.mx Resumen: Este artculo descrbe la experenca obtenda en el desarrollo y utlzacón de dferentes técncas para el modelado y análss de sstemas de potenca con componentes no lneales y varantes en el tempo, para estudos precsos de armóncos y su mpacto en la caldad de la energía. Estas metodologías han sdo desarrolladas en los marcos de referenca del tempo, la frecuenca e híbrdo frecuenca y tempo. Se detalla su aplcacón en la obtencón de la solucón peródca en estado estaconaro de varos sstemas de prueba, menconándose sus ventajas y lmtantes en térmnos de efcenca, necesdades computaconales y precsón.. Palabras Clave: No lneal, varante en el tempo, caldad de la energía, híbrdo, estado estaconaro peródco. 1. INTRODUCCION Bajo condcones deales de operacón, un sstema eléctrco de potenca se espera sea completamente balanceado, de una frecuenca únca y constante y las formas de onda de voltaje y corrente en el sstema senodales, de ampltud especfcada y constante. La caldad de la energía obtenda es entonces perfecta. Desafortunadamente, esta operacón deal no se presenta en sstemas de potenca práctcos debdo a que todos los componentes de la red, en menor o mayor grado, poseen la ndeseable característca de dstorsonar las formas de onda senodales deales. La mayor contrbucón a este efecto dstorsonante, conocdo como dstorsón armónca de la forma de onda, provene de cargas y componentes no lneales y varantes en el tempo. Ejemplos de fuentes ben Artículo recomendado y aprobado por el comté Naconal de CIGRE Méxco para presentarse en el segundo congreso Benal, del 13 al 15 de juno del 21, en Irapuato, Gto. conocdas de dstorsón armónca son el convertdor de potenca, dspostvos FACTS y el fenómeno no lneal de saturacón en componentes de núcleo magnétco, entre otros. Esto puede resultar en un consderable efecto degradante en la caldad de la energía ocasonando, entre otros aspectos adversos, la presenca de pérddas adconales en el sstema, reduccón en la vda útl del equpo e nterferenca con equpo de proteccón, control y comuncacón. Importante experenca práctca acumulada en dstntos aspectos de la dstorsón armónca, tales como sus causas, estándares, meddas, elmnacón, así como su efecto en la caldad de la energía en sstemas de potenca ha sdo ya complada y se encuentra dsponble en la lteratura [1-2]. La deteccón y la predccón de armóncos consttuyen los dos campos prncpales del análss dgtal de armóncos, que permten hacer una evaluacón y dagnóstco de la caldad de la energía. El prmer campo determna y procesa en tempo real la nformacón del contendo armónco montoreado en la red mentras que el últmo predce la dstorsón armónca en la red medante modelos analítcos mplementados para smulacón dgtal. A la últma categoría corresponden las técncas descrtas en esta contrbucón. El domno de la frecuenca, el método más smple de análss utlza el marco de referenca de las componentes de secuenca para determnar la propagacón de correntes armóncas característcas medante nyeccón de fuentes de corrente deales en la red eléctrca [3]. En una contrbucón posteror la solucón de un sstema trfásco se obtene drectamente en el marco de referenca de las fases [4]. En los trabajos prevos se resuelve la red completa para cada armónco de nterés, consderando que los armóncos están desacoplados. Una técnca de Análss Iteratva de Armóncos (IHA), basada en susttucones sucesvas del tpo Gauss-Sedel se ha utlzado para evaluar la dstorsón armónca producda por componentes tales como el convertdor [5] y el transformador de potenca [6]. El estrecho margen de establdad y la característca de lenta convergenca de la técnca Gauss-Sedel ha lmtado su aplcacón para la

solucón de problemas práctcos en sstemas de potenca. Se requere contar con una domnanca numérca de la dagonal prncpal de la matrz de parámetros del sstema para asegurar la convergenca del método. Esta, sn embargo, no es una condcón satsfecha por sstemas débles o lgeramente cargados. En otra contrbucón, se propone un método para mejorar las característcas de convergenca del método IHA [7]. Los armóncos producdos por componentes no lneales y varantes en el tempo están además acoplados. Técncas convenconales como las descrtas anterormente no pueden representar este fenómeno. Sn embargo ya ha sdo representado en modelos detallados de la máquna síncrona [8-1], el transformador de potenca [11], hornos de arco [12], TCRs [13] y convertdor [14]. Modelos analítcos en el domno de la frecuenca para descrbr el comportamento peródco de componentes lneales y no lneales han sdo combnados para formar un marco de referenca más general para análss de armóncos en sstemas de potenca. En este marco de referenca, denomnado Domno Armónco [15], los nodos, fases, armóncos y acoplamento entre armóncos se representan explíctamente, obtenéndose una solucón unfcada para la red completa medante un procedmento teratvo tpo Newton. Ahora ben, el comportamento peródco de una red eléctrca puede ser determnado drectamente en el domno del tempo medante la ntegracón de las ecuacones dferencales que descrben la dnámca del sstema una vez que la respuesta transtora ha transcurrdo y se obtene el estado estaconaro peródco [16]. Este procedmento, conocdo como de Fuerza Bruta [17] requere generalmente de ntegrar sobre un número consderable de perodos de tempo para que los transtoros decagan a proporcones desprecables. Ha sdo sugerdo úncamente para casos en que el estado estaconaro peródco pueda ser alcanzado rápdamente en pocos perodos de tempo [6]. Este caso generalmente se presenta en sstemas donde se consderan fuentes deales y que además se tene sufcente amortguamento. Se ha propuesto una técnca para obtener la solucón peródca en estado estaconaro del sstema sn requerr calcular el transtoro completo [18]. Este método esta basado en un algortmo de solucón del sstema por medo de teracones Newton. Más recentemente se ha ntroducdo una novedosa metodología para la rápda obtencón en el domno del tempo de la solucón peródca en estado estaconaro de sstemas eléctrcos con componentes no lneales y varantes en el tempo [19]. Se fundamenta en la aceleracón de la convergenca de las varables de estado al Cclo Lmte [17], uso de Mapas de Poncaré [17][2] y aplcacón de métodos teratvos del tpo Newton. Esta técnca se ha utlzado con éxto en el modelado en el domno del tempo de componentes tales como la máquna síncrona [21], transformador de potenca [22], hornos de arco [23], TCRs [24], TSCs [25] y de sstemas que contenen una combnacón de dchos componentes [26]. Sn embargo, su aplcacón se ha lmtado hasta ahora a la solucón de redes de pequeña y medana escala. Los detalles conceptuales y analítcos en que se fundamentan las metodologías antes menconadas se descrben en las sguentes seccones. 2. METODOLOGÍAS 2.1 Domno Armónco. Esta basado en un proceso de lnealzacón alrededor de un partcular punto de operacón de componentes no lneales y varantes en el tempo. Se obtene así una relacón lneal entre voltajes y correntes armóncas. Esta condcón es válda úncamente en una proxmdad muy cercana al punto de operacón. Como resultado del proceso de lnealzacón se obtene un equvalente Norton armónco en donde explíctamente esta representado el efecto de acoplamento entre armóncos y desbalance entre fases [15]. El cálculo de dcho equvalente puede no ser fácl y para obtener resultados precsos debe ser actualzado teratvamente. Este esfuerzo computaconal se ncrementa en proporcón drecta al tamaño del sstema analzado y al número de armóncos representados explíctamente. La solucón teratva unfcada del sstema es de la forma, I = [ Y ] V (1) en donde I es el vector de correntes ncrementales, que contene la contrbucón de componentes no lneales, V es el vector de voltajes ncrementales y [Y] es la matrz de admtancas de componentes lneales y no lneales. Estas últmas corresponden en cada caso al equvalente Norton armónco obtendo. Esta metodología ha sdo reportada como robusta numércamente y con buenas característcas de convergenca [15]. 2.2 Domno del Tempo. Es este la descrpcón general de elementos no lneales y varantes en el tempo se realza en termnos de la ecuacón dferencal sguente, x & = f ( x, t) (2) donde x es el vector de estados de m elementos. La nefcenca de la solucón convenconal de (2) medante algún proceso de ntegracón numérca, tal como el Runge-Kutta, ha mposbltado su aplcacón generalzada para obtener la solucón

perodca en estado estaconaro de sstemas eléctrcos con componentes no lneales y varantes en el tempo, aún cuando en prncpo y en ausenca de nestabldad numérca este proceso conduce a su solucón precsa o exacta [17]. 2.2.1 Convergenca al Cclo Lmte. Técncas de aceleracón de la convergenca de las varables de estado al Cclo Lmte medante métodos Newton en el domno del tempo han sdo desarrolladas con el propósto de elmnar la severa lmtante de aplcacón e nefcenca computaconal de los métodos convenconales de Fuerza Bruta para obtener las solucones peródcas de sstemas eléctrcos de potenca [19]. Fundamentalmente, para la deduccón de estos métodos Newton se parte del razonamento de que la solucón en estado estaconaro x(t) de (2) es T-peródca y puede ser representada como un Cclo Lmte para xk en térmnos de otro elemento peródco de x o en térmnos de una funcón arbtrara T- peródca, orgnandose así una orbta. Antes de alcanzar el Cclo Lmte, los cclos de la orbta transtora están muy cercanos a este. Su poscón esta descrta adecuadamente medante su ubcacón en el Plano de Poncaré [17]. Un solo cclo mapea +1 su punto de nco x a su punto fnal x y además mapea, a partr de un Cclo Base [19], un segmento de perturbacón x a x. Todos los mapeos cercanos al Cclo Lmte son quas-lneales, tal que puede utlzarse un método Newton para obtener el +1 punto de nco x del Cclo Lmte. Es posble aprovechar la lnealdad exstente en la vecndad de un Cclo Base s (2) se lnealza alrededor de una solucón x(t) de t a t + T obtenéndose el problema varaconal, x& = J ( t) x (3) donde J (t) es la matrz Jacobana T-peródca. Note que (3) permte la aplcacón de algortmos tpo Newton para extrapolar la solucón al Cclo Lmte, la cual es obtenda como [19], x = x + C( x + 1 1 donde C = ( I B). x ) (4) 2.3 Método Híbrdo. Las ventajas esencales de los domnos de la frecuenca y del tempo se utlzan en la metodología híbrda, en donde los componentes del sstema de potenca se representan drectamente en sus marcos de referenca naturales. Es decr, los lneales en el domno de la frecuenca y los no lneales y varantes en el tempo en el domno del tempo, aplcando en estos últmos las técncas de aceleracón al Cclo Lmte descrtas prevamente para la efcente determnacón de su estado estaconaro peródco. La Fgura 1 lustra la representacón conceptual de la metodología híbrda. Los voltajes V en los nodos de carga en que los componentes no lneales se encuentran conectados se obtenen teratvamente. Partendo de valores estmados de V se calculan las correntes I L de la parte lneal para cada armónco h utlzando [ Y h ]. Para la parte no lneal, V se consdera en el domno del tempo como la funcón peródca v(t) para obtener (t), la cual es transformada a I N en el domno de la frecuenca. La solucón teratva para todo el sstema es de la forma de la Ecuacón (1). En convergenca I = I L + I N tende a cero. Parte Lneal (Red) Y h I L V I I N Parte No Lneal (Carga) Fg. 1 Sstema vsto desde nodos de carga 3. CASOS DE ESTUDIO 3.1 Aplcacón del Domno Armónco. El potencal del Domno Armónco como marco de referenca para el análss de armóncos y su mpacto en la caldad de la energía de sstemas de potenca se demuestra con su aplcacón al sstema de transmsón práctco Jaguara-Taquarl [27], modfcado para nclur una carga al fnal de la línea de transmsón de 398 km., según se lustra en la Fgura 2(a). Modelos polfáscos detallados en el Domno Armónco de generador, transformador de potenca y línea de transmsón se han utlzado para este estudo de la determnacón de la nteraccón de armóncos entre el sstema de generacón y transmsón. Los detalles de la formulacón y datos de prueba de estos componentes han sdo reportados prevamente y se encuentran dsponbles en la lteratura [15]. El modelo del generador ncorpora los efectos de nteraccón armónca entre estator y rotor y saturacón magnétca [1]. El modelo general del transformador consdera el núcleo magnétco de columnas múltples (3 o 5), en donde el fenómeno de saturacón se representa en sus dstntas regones [11]. Se ncorporan además los efectos de acoplamento de armóncos y de conexones eléctrcas de devanados. La línea de transmsón esta representada con un modelo

dependente de la frecuenca en donde se toma en consderacón el efecto de línea larga [15]. La Fgura 2(b) lustra la respuesta obtenda en el nodo 4, al fnal de la línea de transmsón. Las formas de onda dstorsonadas de voltaje y su contendo armónco mostrado en la Fgura 2(c) lustran el efecto combnado del desbalance ntrínsco del sstema, saturacón e nteraccón de armóncos entre estator-rotor en el generador, saturacón del transformador, núcleo magnétco (3 columnas), confguracón eléctrca (estrella aterrzada-delta) y efecto de la línea de transmsón. 1 2 3 4 3.2 Aplcacón de Técncas de Aceleracón al Cclo Lmte. La Fgura 3 lustra el caso de una red de 3 nodos con ramas magnetzantes y hornos de arco conectados en los nodos 2 y 3, respectvamente, dos capactores en dervacón y tres líneas de transmsón. La dnámca del sstema se representa por medo de once ecuacones dferencales ordnaras. La fuente se consdera senodal de 1. p.u. de ampltud. El Cclo Lmte se localza dentro de un error máxmo de 1 1 p. u. 1 flux 1 r 1 r 2 l 62 l 1 r 3 l 3 2 ~ 3 C1 C2 flux 5 r 5 flux 6 r 4 rh2 rh1 (a) Fg. 3 Sstema de prueba 2. Voltaje (% de Fund.) 1 8 6 4 2 (b) 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 Orden Armónco FASE A FASE B FASE C PHASE A PHASE B PHASE C 1 8 6 4 2 La solucón en estado estaconaro peródco del sstema se obtene en 79 perodos de tempo utlzando el método de Fuerza Bruta (FB) y en 56 utlzando los métodos Newton de aceleracón de la convergenca al Cclo Lmte basados en los procesos de Aproxmacón Drecta (AD) y Dferencacón Numérca (DN) respectvamente [19], ver Tabla 1. El voltaje a través del capactor C1 y su contendo armónco se muestran en las Fguras 4(a) y (b), respectvamente. Se observa una consderable dstorsón armónca en el voltaje del capactor, ver Fgura 4(a), debdo prncpalmente a la fuerte nyeccón de armóncos del los horno de arco. Para este caso en partcular se tene un contendo cosderable de armóncos de orden superor. Para este caso el armónco 15 es aproxmadamente 3% de la fundamental. Tabla 1. Errores en convergenca de métodos AD y DN. NFC Fuerza Bruta Método AD Método DN 8 2.454e-2 2.454e-2 2.454e-2 2 6.6126e-4 9.4284e-3 9.4284e-3 32 2.7154e-5 4.2512e-5 4.251e-5 44 1.115e-6 8.6676e-1 8.6957e-1 56 4.4521e-8 8.4932e-15 1.1643e-14 : : 79 9.48e-11 (c) Fg. 2. Caso de estudo 1. (a) Sstema de prueba 1; (b) Voltajes en nodo 4; (c) Contendo armónco de voltajes en nodo 4

4. CONCLUSIONES 1.5 voltaje C1 p.u. -.5 Voltage C1(% of Fund.) -1.185.19.195.2.25.21.215 tempo, s 35 3 25 2 15 1 5 (a) 2 5 8 11 14 17 2 23 Harmonc Order (b) Fg. 4. Voltaje y contendo armónco en capactor C1.(a) Voltaje v C1; (b) Contendo armónco. 3.3 Aplcacón de Metodología Híbrda. El método híbrdo se ha aplcado con éxto para obtener la solucón peródca en estado estaconaro de sstemas grandes [19]. Sn embargo, hasta ahora el análss se ha realzado con sstemas de prueba monofascos, tales como los sstemas de prueba del IEEE 14, 3, 57 y 118 nodos [28]. En la Tabla 2 se reproducen los resultados obtendos y reportados en [19] con el sstema de prueba de 118 nodos. Se ndcan tres nodos del sstema en donde se han conectado cargas no lneales, del tpo de rama magnetzante de un transformador. La convergenca fué obtenda en 4 teracones con un crtero de convergenca de 1 6 p. u. Tabla 2. Voltajes armóncos, sstema IEEE-118. Armónco Nodo 7 Nodo 17 Nodo 118 1.98913.99158.9511 3 2.637e-3 2.35e-3 1.786e-3 5 3.294e-5 1.265e-4 6.6e-5 Se han descrto los prncpos en que se fundamentan las metodologías para el análss de armóncos, desarrolladas en los marcos de referenca de la frecuenca, el tempo e híbrdo frecuenca-tempo. Se ha dado de manera concsa el detalle de su formulacón analítca y proceso teratvo. Se han presentado varos casos de estudo para lustrar la aplcacón práctca de las dstntas metodologías para obtener la solucón peródca en estado estaconaro de sstemas eléctrcos con componentes no lneales y varantes en el tempo, ndcándose los aspectos relevantes asocados con su precsón y efcenca computaconal. Se ha analzado el potencal de las metodologías y marcos de referenca utlzados para la predccón de la dstorsón armónca en sstemas de potenca y el mpacto que este análss tene en la caldad de la energía. El Domno Armónco es un marco de referenca en que se han desarrollado modelos polfáscos rgurosos de componentes no lneales y lneales del sstemas de potenca. Sn embargo, aún cuando es robusto, su aplcacón para la obtencón de la solucón peródca no senodal de sstemas de potenca puede requerr de dmensones consderables para su representacón. Metodologías convenconales desarrolladas en el domno del tempo para la determnacón del estado estaconaro peródco de sstema eléctrco son generalmente una alternatva nefcente y que puede resultar poco confable, sobre todo en la solucón sstemas pobremente amortguados. Se ha demostrado como alternatva, el potencal de las técncas Newton de aceleracón de la convergenca al Cclo Lmte en el domno del tempo. Se ha lustrado que la metodología híbrda de solucón es una opcón de solucón potencal nteresante en vrtud de que permte representar los elementos del sstema de potenca en sus marcos de referenca naturales, hacendo efcente, robusta y precsa la solucón en el domno del tempo y de toda la red. Se ha aplcado a la fecha a la solucón de sstemas monofascos, estando en proceso su aplcacón a sstemas polfáscos. AGRADECIMIENTOS El autor agradece a la Unversdad mchoacana de San Ncolás de Hdalgo, a través de la Dvsón de Estudos de Posgrado de la Facultad de Ingenería Eléctrca por las facldades brndadas para el desarrollo de este trabajo de nvestgacón.

REFERENCIAS [1] J. Arrllaga, D.A. Bradley, P.S. Bodger, Power System Harmoncs, John Wley and Sons, 1985. [2] M.H.J. Bollen, Understandng Power Qualty Problems, IEEE Press, 2. [3] A.A. Mahmoud, R.D. Schultz, A Method for Analyzng Harmonc Dstrbuton n A.C. power Systems, IEEE Transactons on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-11, No. 6, 1982, Págs. 1815-1824. [4] T.J. Demsem, P.S. Bodger, J. Arrllaga, Three Phase Transmsson System Modellng for Harmonc Penetraton Studes, IEEE Transactons on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-13, No. 2, Febrero, 1984, Págs. 31-317. [5] C.D. Callaghan, J. Arrllaga, Convergence Crtera for Iteratve Harmonc Analyss and ts Applcaton to Statc Convertors, IEEE/ICHPS IV Internatonal Conference on Harmoncs n Power Systems, Budapest, Hungría, Octubre 4-6, 199, Págs. 38-43. [6] H.W. Dommel, A Yan, S. We, Harmoncs from Transformer Saturaton, IEEE Transactons on Power Systems, Vol. PWRD-1, No. 2, Abrl, 1986, Págs. 29-214. [7] C.D. Callaghan, J. Arrllaga, A Double Iteratve Algorthm for Iteratve Harmonc Analyss and Harmonc Flows at ac-dc Termnals, Proceedngs of the IEE, Vol. 136, No. 6, Págs. 319-324. [8] J.D. Roark, C.A. Gross, Unbalanced Synchronous Machne Analyss Usng Frequency Doman Methods, Artculo 78 SM 524-1 presentado en IEEE/PES Summer Power Meetng 1978. [9] W.W. Xu, J.R. Mart, H.W. Dommel, A Synchronous Machne Model for Three-Phase Harmonc Analyss and EMTP Intalzaton, IEEE Transactons on Power Systems, Vol. 6, No. 4, Novembre 1991, Págs. 153-1538. [1] A. Medna, J. Arrllaga, J.F. Eggleston, A Synchronous Machne Model n the Harmonc Doman, IEEE ICEM92 Internatonal Conference on Electrcal Machnes, Manchester, UK, Septembre 15-17, 1992, Págs. 647-651. [11] Generalsed Modellng of Power Transformers n the Harmonc Doman, IEEE Transactons on Power Delvery, Vol. 7, No. 3, Julo 1992, Págs. 1458-1465. [12] E. Acha, A. Semlyen, N. Rajakovc, A Harmonc Doman Computatonal Package for Nonlnear Problems and ts Applcaton to Electrc Arcs, IEEE Transactons on Power Delvery, Vol. 5, No. 3, July 199, Págs. 139-1397. [13] E. Acha, J.J. Rco, S. Acha, M. Madrgal, Harmonc Doman Modellng of the Three Phase Thyrstor-Controlled Reactors by Means of Swtchng Vectors and Dscrete Convolutons, IEEE Transactons on Power Delvery, Vol. 11, No. 3, 1996, Págs. 1678-1684. [14] B.C. Smth, A. Wood, J. Arrllaga, A Steady State Model of the AC-DC Converter n the Harmonc Doman, IEE Proceedngs Generaton, Transmsson and Dstrbuton, Vol. 142, No. 2, 1995, Págs. 19-118. [15] A. Medna, Power System Modellng n the Harmonc Doman, PhD Thess, Unversty of Canterbury, New Zealand, 1992. [16] H. W. Dommel, Dgtal Computer Soluton of Electromagnetc Transents n Sngle and Multphase Networks, IEEE Transactons on Power Apparatus and Systems,Vol. PAS-88, No. 4, Abrl 1969, Págs. 388-399. [17] T.S. Parker, L.O. Chua, Practcal Numercal Algorthms for Chaotc Systems, Sprnger-Verlag, 1989. [18] T.J. Aprlle, T.N. Trck, A Computer Algorthm to Determne the Steady State Response of Nonlnear Oscllators, IEEE Transactons on Crcut Theory, Vo. 9, No. 4, 1972, Págs. 354-36. [19] A. Semlyen, A. Medna, Computaton of the Perodc Steady State n Systems wth Nonlnear Components Usng a Hybrd Tme and Frequency Doman Methodology, IEEE Transactons on Power Systems. [2] J. Guckenhemer, P. Holmes, Nonlnear Oscllatons, Dynamcal Systems and Bfurcatons of Vector Felds, Sprnger-Verlag, 1997. [21] O. Rodríguez, A. Medna, Fast Perodc Steady State Soluton of a Synchronous Machne Model n Phase Coordnates Incorporatng the Effects of Magnetc Saturaton and Hysteress, Proceedngs of the IEEE PES 21 Wnter Meetng, Enero-Febrero 21, Columbus, Oho, USA. [22] S. García, Modelo del Transformador Trfasco en el Domno del Tempo y Análss de su Operacón en Estado Transtoro y Estado Estaconaro Peródco, Tess de Maestría, UMSNH, Morela, Méxco, 2. [23] A. Medna, N. García, Dynamc Análss of Electrc Arcs Usng a Tme Doman Newton Technque, Proceedngs of the IEEE Internatonal Power Electroncs Congress, Octubre 1998, Morela, Méxco, Págs. 82-88. [24] N. García, A. Medna, Effcent Computaton of the Perodc Steady-State Soluton of Systems Contanng Nonlnear and Tme-Varyng Components. Applcaton to the Modelng of TCRs, Proceedngs of the IEEE ICHQP, Orlando FL, USA; 2, Vol. 2, Págs. 673-678. [25] N. García, A. Medna, Fast Perodc Steady State Soluton of Systems Contanng Thyrstor Swtched Capactors, Proceedngs of the IEEE PES 2 Summer Meetng, Seattle, Julo 2, Vol. 2, Págs. 1127-1132. [26] A. Medna, N. García, Newton Methods for the Fast Computaton of the Perodc Steady-State Soluton of Systems wth Nonlnear and Tme-Varyng

Components, Proceedngs of the IEEE PES 1999 Summer Meetng, Edmonton, Alberta, Canada, Julo 1999, Págs. 664-669. [27] H. W. Dommel, A. Yan, R.J.O. de Marcano, Case Studes for Electromagnetc Transents, Internal Report, Department of Electrcal Engneerng, Unversty of Brtsh Columba, Vancouver, Canada, 1983. [28] L.L. Frers, A.M. Sasson, Investgaton of the Load Flow Problem, Proceedngs of the IEE, Vol. 115, No. 1, Octubre 1968, Págs. 145-146. BIOGRAFIA Aurelo Medna. Obtuvo su Doctorado de la Unversdad de Canterbury, Chrstchurch, Nueva Zelanda en 1992. Ha trabajado como Post-Doctoral Fellow en la Unversdad de Canterbury, Chrstchurch, Nueva Zelanda (1 año) y en la Unversdad de Toronto (2 años). Actualmente es Profesor Investgador de Tempo Completo en la Facultad de Ingenería Eléctrca de la Unversdad Mchoacana de San Ncolás de Hdalgo, en donde ocupa el puesto de Jefe de la Dvsón de Estudos de Posgrado. Sus ntereses de nvestgacón se centran en el análss dnámco y en estado estaconaro de sstemas de potenca, con énfass especal en armóncos y caldad de la energía y modelado y análss de fuentes renovables de energía