Lemas fuertes de Van der Corput

Lems fuertes de Vn der Corput (Trbjo de Fin de Máster) 2 CARLOS A. CATALÁ DE LA TORRE Deprtmento de Mtemátics Máster en Mtemátics y Aplicciones Dirigido por Fernndo Chmizo Lorente junio 205 MSC:Primry L03, Secondry 42A99. 2 Keywords: Sums exponenciles. Integrles osciltoris.

Índice generl. Introducción 3.. Motivción...................................... 3.2. Sumndo con integrles............................... 4.3. El lem de Abel.................................... 6.4. Sumción de Poisson en intervlos finitos..................... 7.5. Ls integrles de Stieltjes.............................. 9.6. Not biográfic.................................... 0 2. Los teorems de vlor medio pr integrles 3 2.. El primer Teorem del Vlor Medio......................... 3 2.2. El teorem de diferencición............................. 4 2.3. El primer Teorem del Vlor Medio (versión Riemnn).............. 5 2.4. El segundo Teorem del Vlor Medio. Fórmul de Bonnet............ 5 2.5. Un teorem de vlor medio complejo........................ 6 3. Los lems fuertes 9 3.. El primer lem de vn der Corput y l cot más fuerte.............. 9 3.2. Un nuev demostrción............................... 2 3.3. L primer prueb del lem............................. 25 3.4. El n-ésimo lem de Vn der Corput y l cot más fuerte............. 26 3.5. L definitiv integrción por prtes......................... 28 3.6. Alguns consecuencis................................ 29 Bibliogrfí 30 i

Agrdecimientos y un declrción previ Quisier grdecer mi Tutor cdémico, Dr. Fernndo Chmizo, su lectur pciente de nteriores versiones del presente trbjo de fin de Máster (TFM) sí como sus comentrios, que hn enriquecido notblemente el texto. Tmbién quisier grdecer l Coordindor del Máster, Dr. Drgn Vukotic, por el poyo que me h brinddo pr l terminción del presente TFM. Deseo tmbién dr ls grcis Mrí Jesús, mi espos, por su poyo incondicionl, sin el cul nd de esto hbrí sido posible. El trbjo presentdo quí está bsdo (prcilmente) en el cpítulo segundo de l Tesis Doctorl [3] del Prof. K.M. Rogers (University of New South Wles, (2005)) (ctulmente en el ICMAT-CSIC) y tmbién está bsdo (en su totlidd) en el rtículo A New Proof for Shrp vn der Corput s Lemm, Amer. Mth. Monthly 22, no. 02 (205) publicdo por el utor en febrero del ño en curso. Por tnto, éste es el único contenido originl presentdo en este TFM. Todo lo demás es mteril estándr contenido en l Bibliogrfí. Crlos A. Ctlá de l Torre. En Mdrid, 0 de junio de 205. http://dx.doi.org/0.469/mer.mth.monthly.22.02.38. i

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Resumen En este trbjo se exponen los lems de Vn der Corput, que se usn pr estimr sums exponenciles en intervlos finitos de extremos enteros positivos. En el primer cpítulo se reliz un introducción los principles métodos de sumción que se usn en teorí nlític de números (hy lguns omisiones importntes pr no lrgr excesivmente l introducción: sumción Euler-McLurin, método de Weyl y Vn der Corput,...). En el segundo cpítulo se enumern (y se pruebn) los dos teorems de vlor medio pr integrles reles (Stieltjes y Riemnn) que serán importntes pr el siguiente cpítulo. Especilmente interesnte es l versión complej. L finlidd de este cpítulo es, fundmentlmente, pr hcer l exposición lo más utocontenid posible. El tercer cpítulo es el más importnte, pues en él se demuestr de tres modos distintos el primer lem de Vn der Corput, que es l bse de los siguientes lems del mismo nombre. Un de ls pruebs fue obtenid (y recientemente publicd [6]) por el utor del presente trbjo. Se exponen y se demuestrn los demás lems, enumerndo brevemente lgun de ls plicciones en el vsto cmpo de l Teorí Anlític de Números.

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Cpítulo Introducción.. Motivción En l Teorí Anlític de Números precen ls sums exponenciles (complejs) de mner bstnte nturl. Pr ponerlo de mnifiesto, consideremos un de ls conjeturs más fmoss de l Teorí de Números: l conjetur de los Primos Gemelos. Como es bien sbido, dich conjetur firm que hy infinitos pres de números primos que se diferencin en 2 uniddes. Los mtemáticos ingleses Hrdy y Littlewood fueron cpces de dr un predicción heurístic sobre l sintótic de l función π 2 (x) que d l cntidd de números primos gemelos p, p+2 x. Lo hicieron medinte el método del círculo, que fue desrrolldo por ellos y por Rmnujn en el primer tercio del siglo XX. L ide básic de este método es que uno puede distinguir el número 0 de culquier otro número entero n puesto que si n = 0 e(nt) dt = 0 0 si n 0 donde, pr culquier número rel t, se define e(t) := e 2πit = cos 2πt + i sen 2πt, como es usul en Teorí Anlític de Números. Mntendré est notción en quells secciones relcionds explícitmente con Teorí de Números. Est integrl es, literlmente hblndo, un integrl sobre el círculo unidd, de quí el nombre del método. Pr determinr si dos números primos p y q difieren en 2 uniddes (!), simplemente hy que determinr cuánto vle l siguiente integrl 0 e((p q 2)t) dt. Ahor, si summos est integrl sobre todos los números primos p, q menores o igules que x encontrmos l siguiente fórmul exct que d l cntidd de números primos gemelos p, p + 2 x: e((p q 2)t) dt = P (t) 2 e( 2t) dt p,q x 0 3 0

4 CAPÍTULO. INTRODUCCIÓN donde P (t) := p x e(pt). Éste es un ejemplo de sum de exponenciles (complejs) (o de sums trigonométrics si seprmos ls prtes rel e imginris). L sum recorre todos los números primos p x. Ls sums de este tipo juegn un ppel relevnte en l búsqued de demostrciones pr ést y otrs conjeturs en Teorí de Números. L ide es cómo estimr ests sums y otrs similres en intervlos finitos..2. Sumndo con integrles En lguns situciones, es útil escribir un sum medinte un integrl Proposición.2.. Sen y b dos números nturles ( < b) y un función rel f(x) de vrible rel f : [, b] R monóton en [, b]. Entonces, hy lgún número rel c (que dependerá, en generl, de y b) con c pr el cul se verific: (.) f(n) = <n b f(t) dt + c(f(b) f()) Demostrción. Si suponemos que l función f(x) es monóton decreciente, podemos ver geométricmente que 0 < f(t) dt <n b f(n) < n b f(n) Si f(x) es monóton creciente, el rgumento es nálogo. <n b f(n) = f() f(b). Por ejemplo, si ponemos el logritmo neperino f(x) = log x, podemos usr l fórmul nterior pr estimr log n! log n! = n log k = k= n log t dt + c(log n log ) = n log n n + O(log n) Aquí hemos utilizdo l notción de Lndu por l cul, dds dos funciones f(x), g(x) definids en [, + ) con 0 y g(x) > 0, escribiremos f(x) = O(g(x)) si hy dos constntes M > 0 y x 0 tl que f(x) < Mg(x) pr todo x x 0. (Un notción equivlente es l de Vinogrdov, o se f(x) g(x).) En el cso concreto de log n!, l proximción de Stirling (que se usrá en el cpítulo tercero) es ún mejor que ést. Sin embrgo, es posible obtener un expresión sintótic más precis [0] en el cso en que l función f : [, + ) R + se continu y decreciente con lím x + f(x) = 0 Por ejemplo, cundo x + se tiene x = O(x 2 ), sen x = O(), log x = O(x /0 ), x sen x = O(), x 4 = O(e x ), e x sen x = O(e x x ), 3 + 7 = O(), 2x 2 + x x 3 +x 2 3 x2

.2. SUMANDO CON INTEGRALES 5 Proposición.2.2. Con ls condiciones recién mencionds, existe un constnte A tl que (.2) n x f(n) = x f(t) dt + A + O(f(x)). Demostrción. Pr demostrr este resultdo, comprmos ls áres correspondientes ls expresiones n x f(n) y x f(t) dt. Hy que ver que l Diferenci D(N) := N f(t) dt 2 n N f(n) (con N entero positivo) tiende un constnte positiv cundo N. Clrmente, D(N) 0 pr cd entero N 2, entonces bst probr que n=n+ ( n n ) f(t) dt f(n) = O(f(N)) Pr ello, observemos que pr cd pr de enteros positivos M y N con M N + 3 tenemos que de form que M n=n+ 0 < De quí se sigue que 2 : M n=n+ f(n) + f(m) < 0 ( n n n=n+ M N f(t) dt < f(n) + M n=n+ f(n) ) f(t) dt f(n) < f(n) f(m) < f(n). ( n n ) f(t) dt f(n) f(n) Por tnto vemos que es posible proximr sums de funciones por integrles de dichs funciones cundo ésts son monótons. Si pedimos otro tipo de condiciones (en vez de monotoní) por ejemplo, que f(x) teng derivd continu, se puede usr l fórmul de Euler-McLurin, que no incluiremos quí (vése [0],[7]). De todos modos, podemos decir, l mner del grn Groucho Mrx, éstos son mis métodos de sumr, si no le gustn... tengo otros. 2 En rigor, csi todos los < en est págin son, pues f podrí ser constntemente en [N, M] pr ciertos N y M.

6 CAPÍTULO. INTRODUCCIÓN.3. El lem de Abel El siguiente lem [8] [0] es l conocid fórmul de sumción de N.H. Abel, que es fundmentl en Teorí Anlític de Números: Proposición.3.. Sen { n } n un sucesión rbitrri de números complejos y f : [, + ) C un función complej de vrible rel con derivd continu pr cd número rel x. Entonces se verific x (.3) n f(n) = A(x)f(x) A(t)f (t) dt donde A(x) := n x n n x Demostrción. Supongmos que x = N es un número entero positivo. Entonces podemos escribir n f(n) = A()f() + ( A(2) A() ) f(2) + + ( A(N) A(N ) ) f(n) = n N = A() ( f() f(2) ) + + A(N ) ( f(n ) f(n) ) + A(N)f(N). Como f(k + ) f(k) = k+ k f (t) dt pr k =,..., N, y A(t) es constnte en el intervlo [k, k + ), se tiene n N N n f(n) = A(N)f(N) A(k) = A(N)f(N) = A(N)f(N) N k= N k= k= k+ k N k+ k A(t)f (t) dt = A(t)f (t) dt. f (t) dt = En el cso en que x no se un entero positivo, pongmos N = x, es decir, el myor entero menor o igul que x. Como A(t) es constnte en el intervlo [N, x], el miembro derecho de l fórmul de Abel puede escribirse sí x x N A(x)f(x) A(t)f (t) dt = A(x)f(x) A(t)f (t) dt A(t)f (t) dt = = A(x)f(x) A(N) x N N f (t) dt = A(x)f(x) A(N) ( f(x) f(n) ) N N A(t)f (t) dt = A(t)f (t) dt = N = A(N)f(N) A(t)f (t) dt = n f(n) n N

.4. SUMACIÓN DE POISSON EN INTERVALOS FINITOS 7.4. Sumción de Poisson en intervlos finitos En est sección se incluye un interesnte fórmul de sumción pr funciones ritmétics grcis l Análisis Armónico. Dich fórmul será útil en el tercer cpítulo. En efecto, si en l fórmul de sumción de Abel obtenid en l sección nterior ponemos n = y x = N es un número entero positivo, entonces A(x) := n x n = n x = x, A(N) = N, y por ello N f(n) = Nf(N) x f (x) dx n N Ahor, si expresmos l función Prte Enter x de x en términos de {x} := x x 2, que es l Prte frccionri de promedio nulo de x obtenemos f(n) = Nf(N) n N N que, medinte integrción por prtes es igul = N = Nf(N) [ (x 2 )f(x)] N + N (x 2 )f (x) dx + f(x) dx + N N {x}f (x) dx {x}f (x) dx = f(x) dx + Nf(N) (N 2 )F (N) + ( N 2 )f() + {x}f (x) dx = = N f(x) dx + ( ) N f(n) + f() + {x}f (x) dx 2 por lo que obtenemos sí un importnte identidd: (.4) f(n) = n N N f(x) dx + ( ) N f(n) + f() + {x}f (x) dx 2 En este punto, recurrimos l Análisis Armónico [7] pr incorporr l identidd nterior el desrrollo de Fourier de l función {x} (válido pr todo x R\Z) siguiente {x} = = i 2π i 2π n Z\{0} e(nx) n n ( e(nx) e( nx) ) = n= = π = i ( e(nx) 2π n n= n= i 2π + n= e( nx) ) = n n ( 2i sen (2πnx) ) = n= sen (2πnx) n entonces, suponiendo que f C 2 (pr poder intercmbir sum e integrl) f(n) = n N N f(x) dx + 2 ( f(n) + f() ) + N ( π n= sen (2πnx) ) f (x) dx = n

8 CAPÍTULO. INTRODUCCIÓN = N f(x) dx + 2 ( f(n) + f() ) π que, trs un integrción por prtes es igul = N f(x) dx+ 2 ( f(n)+f() ) π n ( N n= n ( [ ] N f(x) sen (2πnx) } {{ } n= 0 ) f (x) sen (2πnx) dx N ) 2πn f(x) cos (2πnx) dx. Al relizr ls oportuns simplificciones y tener en cuent que cos (2πnx) = ( e(nx)+e( nx) ) /2 y que e(0) = obtenemos sí l siguiente identidd: N f(n) = ( ) + f(n) + f() + 2 n= n= N f(x)e(nx) dx. L convergenci de l serie nterior hy que entenderl como lím M n <M. Si no se grupn positivos y negtivos, puede hber problems. Armdos con est identidd podemos enuncir un fórmul de sumción de Poisson pr intervlos finitos. Proposición.4.. Sen dos números enteros positivos N, M con M > N y un función complej de vrible rel x con f C 2. Entonces M f(n) = ( ) + f(m) + f(n) + 2 n=n Demostrción. Es suficiente con drse cuent de que M f(n) = n=n n= n= n= M N f(x)e(nx) dx. M ( N ) f(n) f(n) f(n), cmbir N por M en l identidd nterior, restr ls identiddes y usr l propiedd elementl M N = M N de integrles. Un plicción de est fórmul de sumción es el cálculo excto (vése [7]) de ls sums de Guss: N e(n 2 /N) = + ( i)n N, i n= donde N es un número entero positivo culquier. De est evlución, que costó muchos esfuerzos Guss, se puede deducir l ley de reciprocidd cudrátic [7].

.5. LAS INTEGRALES DE STIELTJES 9.5. Ls integrles de Stieltjes A veces, es conveniente escribir cierts sums finits como integrles de Stieltjes. Recordemos que se define l integrl de Stieltjes I de un función f sobre un intervlo cerrdo [, b] respecto l función g como el siguiente límite [0]: I = f dg = f(t) dg(t) = lím 0 k= n f(ξ k ) ( g(t k ) g(t k ) ) con = (t 0, t,, t n ), = t 0, b = t n, := máx k n (t k t k ) y ξ k [t k, t k ] pr todo k =,, n. Cundo g(x) = x, recupermos l integrl de Riemnn usul de f I = f(t) dt. Si ponemos l siguiente función: 0 si x m g(x) = si m < x b entonces I = f(m). Por tnto, si quisiésemos estimr l sum x f(), donde indic que l sum se hce sobre vlores A N y f es un función continu en [, x], se entonces el número de elementos de A menores o igules que x entonces x f(t) da(t) = n x A(x) := { x : A}, n + n f(t) da(t) = n x n + f(t) da(t) = f(n). n n x

0 CAPÍTULO. INTRODUCCIÓN.6. Not biográfic Figur.: J.G. Vn der Corput ( c The University of Groningen) El mtemático holndés Johnnes G. Vn der Corput [4] nció en Rotterdm (Píses Bjos) en 890. Estudió Mtemátics en l Universidd de Leyden entre los ños 908 y 94. En est universidd enseñb Teorí Anlític de Números J. Kluyver, quien fue el primer mtemático en introducir el Análisis Mtemático moderno en l Teorí de Números en los Píses Bjos. Vn der Corput tuvo que servir en el ejército como oficil en l Primer Guerr Mundil y desde 97 hst 920 trbjó como profesor de Mtemátics en Institutos de Enseñnz Secundri en Utrecht y otrs locliddes próxims. Durnte este periodo trbjó en su tesis doctorl en l Universidd de Leyden bjo l supervisión de Kluyver. Trbjó tmbién con E. Lndu en Göttingen. Obtuvo diversos puestos de profesor en ls universiddes de Utrecht, Freiburg (Suiz) y Groningen. Permneció en Groningen de 923 hst 946, trsldándose Amsterdm hst 953. Desde este momento, obtuvo vrios puestos en universiddes estdounidenses (Berkeley, Stnford, Mdison). Como profesor emérito, regresó Holnd y flleció en Amsterdm en 975, los 85 ños de edd. Relizó su tesis doctorl en el cmpo de l Teorí Anlític de Números. Su trbjo consistió en ider métodos pr relizr estimciones fins del número de puntos del retículo en un círculo. Tmbién trbjó en este mismo problem cmbindo el círculo por recintos limitdos por un hipérbol equiláter y sus síntots (Problem de Dirichlet). Sus resultdos, por su grn precisión, llmron l tención de E. Lndu, quien er uno de los expertos en dicho cmpo de investigción en quellos tiempos.

.6. NOTA BIOGRÁFICA Sus estudios sobre sums trigonométrics en Teorí de Números dieron lugr sus fmosos Lems (92), los cules son fundmentles pr estimr sums de exponenciles (complejs) con integrles osciltoris. Estos lems son el tem principl de este TFM, sí como sus mejors en los primeros ños del siglo XXI. Hst 940 proximdmente, Vn der Corput trbjó muy ctivmente en Aproximción diofántic, el método de Vinogrdov pr el problem de Goldbch, en sus vrintes, y tmbién en Geometrí de Números. El problem del orden de crecimiento de l función zet de Riemnn fue uno de los problems los que se enfrentó con sus métodos. Tmbién trbjó en el método de l fse estcionri, de grn interés no sólo en Teorí Anlític de Números, sino tmbién en un cmpo tn lejdo de ls Mtemátics Purs como pueden ser l Mecánic Cuántic o l Cosmologí en Físic. Como profesor, Vn der Corput fue un profesor estimulnte. Alentó sus lumnos colborr con él en sus mejores ides. Promovió tmbién l creción en 946 de un Instituto de investigción pur y plicd en mtemátics con el objetivo de sentr ls bses pr el desrrollo industril post-bélico en Holnd. Este centro de Mtemátics proporcionó dichs bses especilmente en ls áres de Estdístic y Computción. Vn der Corput fue su primer director durnte siete ños. Fue elegido miembro de l Rel Acdemi de Ciencis Holndes en 929 y fue editor desde 936 de Act Arithmetic, un de ls más importntes revists de Teorí de Números.

2 CAPÍTULO. INTRODUCCIÓN

Cpítulo 2 Los teorems de vlor medio pr integrles 2.. El primer Teorem del Vlor Medio A lo lrgo de este cpítulo J := [, b] será un intervlo cerrdo en l rect rel R; f, g serán funciones reles cotds de vrible rel definids en el compcto J. L myorí de los resultdos enumerdos en este cpítulo se refieren l integrl de Riemnn usul en los cursos de Cálculo diferencil e integrl. Algunos resultdos se referirán l integrl de Stieltjes, lgo más generles. Seguiremos fielmente l referenci clásic [2]. Vemos dos resultdos previos sin demostrción. 2... El teorem de integrbilidd Teorem 2... Si f es continu en J y g es monóton creciente entonces, f es integrble en J respecto g, es decir, existe l integrl de Stieltjes f dg. 2..2. Lem de estimción de l integrl Con l notción f := sup{ f(x) : x J} y f pr l función cuyo vlor bsoluto en x es f(x), se tiene el siguiente lem Lem 2..2. Se f continu y g monóton creciente en J. Entonces f dg f dg f (g(b) g()) Si m f(x) M pr todo x en J, entonces m(g(b) g()) f dg M(g(b) g()). Este cpítulo es elementl, y se incluye quí por rzones de completitud, de modo que el presente trbjo se lo más utocontenido posible. Se incluyen lguns demostrciones y otrs quedrán referencids. 3

4 CAPÍTULO 2. LOS TEOREMAS DE VALOR MEDIO PARA INTEGRALES Ahor estmos en condiciones de probr el siguiente primer teorem del vlor medio (TVM) Teorem 2..3. Si g es creciente en J y f : J R es continu, entonces existe un número c en J tl que f dg = f(c) dg = f(c) (g(b) g()) Demostrción. Del teorem de integrbilidd se obtiene que f es integrble respecto g y por el lem de estimción nterior m(g(b) g()) f dg M(g(b) g()) donde m = ínf{f(x) : x J} y M = sup{f(x) : x J}. Si g(b) = g(), l fórmul del TVM es trivil; pero si g(b) > g(), entonces por el teorem del vlor intermedio de Bolzno existe un número c J tl que f(c) = f dg g(b) g(). 2.2. El teorem de diferencición Teorem 2.2.. Supongmos que f es continu en J y que g es creciente en J con derivd en un punto c J. Entonces, l función F, definid pr x en J medinte F (x) := x es derivble en x = c y demás F (c) = f(c) g (c). f dg, Demostrción. Pongmos que h > 0 de mner que c + h esté en J, como se verific c f dg + b c f dg = f dg, por el TVM podemos escribir F (c+h) F (c) = c+h f dg c f dg = c+h f dg+ c f dg = c+h c f dg = f(c ) (g(c+h) g(c)), pr lgún c [c, c + h]. Pr h < 0 se cumple lgo nálogo. Como f es continu y g tiene derivd en c, entonces F (c) existe y vle F (c) = f(c) g (c). En el cso especil e importnte de l integrl de Riemnn (g(x) = x) el teorem recién probdo conduce l teorem fundmentl del cálculo integrl ordinrio. Si un función f es continu en J, un función F en J stisfce l relción F (x) F () = x f dx pr x J si y sólo si F = f en J. Se cumple tmbién el Teorem de reducción de integrbilidd de Stieltjes Riemnn con ls propieddes usules como l integrción por prtes, cmbios de vrible, etc: Teorem 2.2.2. Si existe l derivd g = h y es continu en J y demás f es integrble respecto g, entonces el producto fh es integrble Riemnn y se cumple f dg = fh dx A prtir de quí, ls integrles se entienden en sentido Riemnn.

2.3. EL PRIMER TEOREMA DEL VALOR MEDIO (VERSIÓN RIEMANN) 5 2.3. El primer Teorem del Vlor Medio (versión Riemnn) Enuncimos y probmos hor el TVM ordinrio. Teorem 2.3.. Si f y h son continus en J y h es no negtiv, entonces existe un punto c J tl que f(x)h(x) dx = f(c) h(x) dx. Demostrción. Definmos l función g(x) := x h(t) dt pr x J. Como h 0, g es creciente, y por el teorem de diferencición y el de reducción de integrbilidd, respectivmente, se tiene que g = h y f dg = fh dx, bst usr hor el TVM visto nteriormente, por el cul hy un punto c en J tl que f dg = f(c) h dx. 2.4. El segundo Teorem del Vlor Medio. Fórmul de Bonnet El resultdo de est sección es importnte pr l siguiente y tmbién pr el próximo cpítulo. Es el segundo Teorem del vlor medio pr integrles (TVM2). Teorem 2.4.. () Si f es creciente y g es continu en J, entonces existe un punto c en J tl que (2.) c f dg = f() dg + f(b) dg. c (b) Si f es creciente y h es continu en J, entonces existe un punto c en J tl que (2.2) fh dx = f() c h dx + f(b) c h dx. (c) (Fórmul de Bonnet) Si f es no negtiv, creciente y h es continu en J, entonces existe un punto c en J tl que (2.3) fh dx = f(b) c h dx.

6 CAPÍTULO 2. LOS TEOREMAS DE VALOR MEDIO PARA INTEGRALES Demostrción. Ls hipótesis, junto l teorem de integrbilidd implicn que g es integrble respecto f en J. Por el primero de todos los TVM se cumple g df = g(c) (f(b) f()) Trs un integrción por prtes, obtenemos que f es integrble respecto g, y por tnto f dg = (f(b)g(b) f()g()) g(c) (f(b) f()) = = f() (g(c) g()) + f(b) (g(b) g(c)) = f() c dg + f(b) dg c que y prueb (). Pr probr (b), bst definir g(x) := x h dt en J, con g = h y plicr () y el teorem de reducción de integrbilidd. Pr probr (c), definimos F como l función que coincide con f en x J\{} y definimos F () = 0, entonces plicrímos (b) F. Obvimente, hy un resultdo correspondiente pr el cso de funciones decrecientes, que es completmente nálogo y se usrá en el próximo cpítulo (vése l sección 3.2). En este momento, quizá conveng señlr ([2], [3]) que es un problem bierto l extensión de estos resultdos dimensiones superiores. Se sbe poco l respecto. 2.5. Un teorem de vlor medio complejo El siguiente teorem es un versión complej del Segundo Teorem del Vlor Medio pr integrles. Es uno de los resultdos más importntes en este trbjo, junto l de l sección nterior. Como punt K. Rogers en [3], serí imprudente sugerir que un resultdo clásico como el siguiente es nuevo, pero no prece ser muy conocido: Teorem 2.5.. Supongmos que l función f : [, b] R es monóton y que l función complej de vrible rel g : [, b] C es continu. Se demás l integrl complej I = f(x)g(x) dx = I e iθ entonces existe un número rel c [, b] pr el cul l integrl nterior se puede escribir de este modo: I = e iθ[ c ) )] f()re (e iθ g(x) dx + f(b)re (e iθ g(x) dx Por lo que, medinte desigulddes elementles entre l prte rel y el módulo de números complejos se tiene demás: I f() c g(x) dx + f(b) c c g(x) dx

2.5. UN TEOREMA DE VALOR MEDIO COMPLEJO 7 Además, si l función f(x) es de signo constnte y f(x) es decreciente, entonces hy un número rel c [, b] pr el cul c I = f()re (e iθ ) g(x) dx f() c g(x) dx. Demostrción. Descompongmos g(x) en sus prtes rel e imginri g(x) = w(x) + iv(x) de modo que I = Ie iθ = (cos θ) = f(x)w(x) dx + (sen θ) f(x) ( (cos θ)w(x) + (sen θ)v(x) ) dx, f(x)v(x) dx = donde θ es el rgumento del número complejo I. Al ser f(x) monóton y por ser x (cos θ)w + (sen θ)v continu, entonces se verific por el Segundo Teorem del Vlor Medio pr integrles reles que existe un vlor c [, b] tl que: I = f() c ( ) b ( ) (cos θ)w + (sen θ)v (x) dx + f(b) (cos θ)w + (sen θ)v (x) dx = c = f()re (e iθ ) g(x) dx + f(b)re c (e iθ c ) g(x) dx Pr cbr con el último párrfo del teorem, si f(x) es de signo constnte y f(x) es decreciente, definimos l función h(x) de modo que coincid idénticmente con f(x) en el intervlo semibierto [, b) y que se 0 en x = b. Bst plicr el mismo rgumento con l función h(x) en vez de f(x). Clrmente, hy un resultdo correspondiente cundo f(x) es creciente.

8 CAPÍTULO 2. LOS TEOREMAS DE VALOR MEDIO PARA INTEGRALES

Cpítulo 3 Los lems fuertes 3.. El primer lem de vn der Corput y l cot más fuerte 3... Preliminres. Los conocidos lems de vn der Corput [3] son de especil interés principlmente en Teorí Anlític de Números. Dichos lems fueron formuldos pr ser útiles en l teorí de sums trigonométrics sí como en el cmpo más mplio de l estimción sintótic de integrles osciltoris, y en el contexto del Análisis Armónico. El propósito de este cpítulo consiste en proporcionr un nuev y sencill demostrción, por métodos elementles, de un versión mejord del primer lem de Vn der Corput debid K. Rogers [2] en 2005. El llmdo segundo lem de Vn der Corput se sigue del primero. Por ello el primer lem mejordo, más fuerte, conduce cots óptims en el segundo lem y sus generlizciones. Tl como prece en [9], enunciemos el conocido primer lem de Vn der Corput: Lem 3... Se F (x) un función rel diferencible con función derivd F (x) monóton tl que F (x) λ > 0 o F (x) λ < 0 pr x b. Entonces e if (x) dx 4 λ. Demostrción. Se puede dr un demostrción medinte el Segundo Teorem del Vlor Medio pr integrles reles [9]. Tmbién podemos intentr un prueb más direct [4] medinte integrción por prtes del siguiente modo: Supongmos, sin pérdid de generlidd, que F (x) > 0 puesto que el complejo conjugdo de eif (x) dx es e if (x) dx. Entonces, si usmos l monotoní de F (x), se obtiene : e if (x) dx = [ = if (x) eif (x)] b i if (x) if (x)e if (x) dx = ( ) e if (x) dx F (x) Est demostrción necesit, en principio, más regulridd que ser derivble, pues hy que usr (/F ). 9

20 CAPÍTULO 3. LOS LEMAS FUERTES Figur 3.: J.G. vn der Corput, c. 952 ( c The Dolph Briscoe Center for Americn History, UT-Austin) 2 ( λ + ) 2 dx = F (x) λ + = 2 [ λ + ] b F (x) 4 λ. ( ) dx = F (x) Hy que señlr quí que l constntes dds por Vn der Corput [3], Zygmund [5] y Stein [4] son, respectivmente 2 2, 4 y 3. 3..2. L cotción más fuerte. Es fácil comprobr que l prte izquierd de l desiguldd en el lem nterior puede llegr tomr el vlor 2 λ. Es suficiente elegir l función F (x) = πx b Sin embrgo, K. Rogers [2] fue cpz de mostrr que el 4 en l cot superior se podí rebjr hst 2 sin hipótesis dicionles. Así, podrímos enuncir un nuevo lem mejordo, más fuerte, el nuevo lem de Vn der Corput-Rogers con est cotción más fuerte (the shrp bound ). Lem 3..2. Se F (x) un función rel diferencible con función derivd F (x) monóton tl que F (x) λ > 0 o F (x) λ < 0 pr x b. Entonces e if (x) dx 2 λ. En l próxim sección presentmos un nuev prueb de este lem mejordo medinte el segundo teorem del vlor medio pr integrles reles, con un ingrediente extr...

3.2. UNA NUEVA DEMOSTRACIÓN 2 3.2. Un nuev demostrción L prueb que vmos dr quí está bsd en l referenci [6]. Repsemos (hor sin demostrción) l siguiente versión (fórmuls de Bonnet) del Segundo Teorem del Vlor Medio pr integrles reles [9]. Teorem 3.2.. Sen f : R R + un función positiv y decreciente (creciente) y g : R R un función integrble. Entonces hy un número rel c con < c < b tl que f(x)g(x) dx = f() c g(x) dx = ( f(b) c ) g(x) dx. Demostrción. (del primer lem fuerte de Vn der Corput) Como y se explicó nteriormente, podemos suponer sin pérdid de generlidd que F (x) > 0. Se t un constnte rel rbitrri. Éste es el ingrediente extr l que hicimos referenci nteriormente. Como el número complejo e it es de módulo uno y zw = z w pr culquier pr de números complejos, podemos reescribir el miembro izquierdo de l desiguldd del lem de l siguiente mner: e if (x) dx = e it e if (x) dx = e i(f (x)+t) dx. Est ecución es válid pr todo número t R. Est observción será útil posteriormente. Expresemos l últim integrl en sus prtes rel e imginri medinte l fórmul de Euler e iα = cos α + i sin α y z 2 = zz : e i(f (x)+t) dx 2 = cos (F (x) + t) dx + i sin (F (x) + t) dx 2 = ( ) 2 ( 2. (3.) = cos (F (x) + t) dx + sin (F (x) + t) dx) Consideremos primermente l siguiente integrl, que define un función diferencible U(t) := cos (F (x) + t) dx. Podemos intentr un prueb direct como en l últim sección. Sólo pr simplificr, consideremos que F (x) es monóton creciente, (después veremos qué ps si es monóton decreciente) entonces U(t) := b F (x) F (x) cos (F (x) + t) dx = F d(sin (F (x) + t)). (x) F (x) es positiv y monóton creciente, luego /F (x) es tmbién positiv y decreciente, por tnto según el Segundo Teorem del Vlor Medio hy un número rel (posiblemente dependiente de t) c(t) con < c(t) < b tl que U(t) = F () c(t) d(sin (F (x) + t)) =

22 CAPÍTULO 3. LOS LEMAS FUERTES (3.2) = [ ] F sin (F (c(t)) + t) sin (F () + t) = [ ] () F sin (u(t)) sin (F () + t) () donde u(t) := F (c(t)) + t. Consideremos hor l segund integrl, que tmbién define un función diferencible V (t) := sin (F (x) + t) dx. Si repetimos el mismo proceso pr V (t), obtenemos V (t) := F (x) F (x) sin (F (x) + t) dx = F d( cos (F (x) + t)). (x) F (x) es positiv y monóton creciente, luego /F (x) es tmbién positiv y decreciente, sí por el Segundo Teorem del Vlor Medio hy un número rel (posiblemente dependiente de t) c(t) con < c(t) < b tl que V (t) = F () c(t) d( cos (F (x) + t)) = (3.3) = [ ] F cos (F ( c(t)) + t) + cos (F () + t) = [ ] () F cos (v(t)) + cos (F () + t) () donde v(t) := F ( c(t)) + t. reuniendo (2) y (3) en l ecución (), obtenemos (3.4) = e if (x) dx 2 = U(t) + iv (t) 2 = [( ) 2 ( ) 2 ] (F ()) 2 sin (u(t)) sin (F () + t) + cos (v(t)) + cos (F () + t). Obvimente, este vlor no puede depender de t. 3.2.. Continuidd. Por el Teorem de l Convergenci Domind, mbs funciones U(t) y V (t) son continus y diferencibles en R. Si clculmos sus derivds respecto t (denotds por un punto), obtenemos U(t) = t(cos (F (x) + t)) dx = V (t) y nálogmente V (t) = U(t).En consecuenci, U(t) y V (t) tienen derivds continus, es decir, pertenecen C (R). Por iterción, resultn ser diferencibles en culquier orden. Por ello, tnto U(t) como V (t) son de clse C (R). Por otr prte, si tommos en cuent (3.2) y (3.3), result que cos (v(t)) y sin (u(t)) se pueden escribir respectivmente como combinción linel de dos funciones diferencibles con continuidd en R. En consecuenci, ls funciones compuests cos (v(t)) y sin (u(t)) son tmbién diferencibles con continuidd en R, sin importr cuán discontinus puedn ser v(t) y u(t).

3.2. UNA NUEVA DEMOSTRACIÓN 23 3.2.2. Un sistem de Ecuciones Diferenciles Ordinris. Trs sustituir (3.2) y (3.3) en ls ecuciones U(t) = V (t) y V (t) = U(t), obtenemos el siguente sistem de dos ecuciones diferenciles ordinris: d ( ) sin (u(t)) = cos (v(t)) dt (3.5) d ( ) cos (v(t)) = sin (u(t)) dt donde (cos (v(t)), sin (u(t))) [, ] [, ] pr todo t R. Señlemos que mbs funciones coordends cos (v(t)) y sin (u(t)) tomn vlores en el intervlo cerrdo [, ]. L solución más generl del sistem (3.5), válid pr todo t R, está dd por: sin (u(t)) = r sin (t + k) (3.6) cos (v(t)) = r cos (t + k) donde r y k son constntes reles. 3.2.3. L Continuidd, escen. Si considermos cos (v(t)) nd sin (u(t)) como funciones coordends crtesins,vemos que ls ecuciones (3.6) por sí misms describen prmétricmente circunferencis centrds en el origen de coordends (0, 0) con rdio r. El hecho resltdo nteriormente de que cos (v(t)) y sin (u(t)) tomn vlores en el intervlo cerrdo [, ], oblig r stisfcer l desiguldd 0 r 2. Sin embrgo, l vlidez de e if (x) dx = e i(f (x)+t) dx pr todo t R y l y probd continuidd de ls funciones coordends pr todo t en R, implicn un notble reducción en el cmpo de vlidez pr r desde 0 r 2 hst 0 r. En efecto, pr cd vlor r que stisfg < r 2, ls ecuciones en (3.6) describen cutro rcos de circunferenci desconexos dentro de un cudrdo centrdo en (0, 0) y con vértices en (, ±) y (, ±),violndo sí l continuidd de cos (v(t)) y sin (u(t)) en todo R. Sólo cundo r tenemos relmente circunferencis complets dentro del cudrdo [, ] [, ]. 3.2.4. El pso finl. Tenemos, pues, l solución generl (3.6) pr el sistem (3.5). El número rel r está en el intervlo cerrdo [, ] y k es un número rel rbitrrio. Si introducimos l solución generl (3.6) en (3.4) obtenemos l interesnte fórmul: (3.7) e if (x) dx 2 = [ ] (F ()) 2 r 2 + 2r cos (F () k)

24 CAPÍTULO 3. LOS LEMAS FUERTES sin dependenci explícit de t, como er de esperr. Observemos que k en cos (F () k) puede ser siempre elegido propidmente de modo que se obteng culquier número del intervlo cerrdo [, ]. De hecho, l cot más fuerte obtenid por K. Rogers [2] se obtiene poniendo (respectivmente) r = ± y k de form que cos (F () k) =. Podemos entonces hllr el máximo bsoluto de l función r 2 + 2r cos (F () k) pr demostrr es cot superior más fuerte. Así, dds ls restricciones r, cos (F () k), y l desiguldd tringulr, obtenemos r 2 + 2r cos (F () k) r 2 + + 2 r cos (F () k) 4. El máximo bsoluto se lcnz respectivmente en r = ± y cos (F () k) = con el mismo resultdo 4. Concluimos, por tnto, que r 2 + 2r cos (F () k) 4 que, su vez, implic que: e if (x) dx 2 = [ ] (F ()) 2 r 2 + 2r cos (F () k) 4 λ 2. 4 (F ()) 2 Si suponemos que F (x) es positiv y monóton decreciente, l conclusión sigue siendo l mism. Pr ver que eso es sí, bst coger l otr versión del Segundo Teorem del Vlor Medio. Sencillmente, intercmbimos F () y F (b) y tenemos en cuent l conocid propiedd (3.8) c g(x) dx = c b g(x) dx. Luego y b son intercmbibles en ls fórmuls nteriores. El signo negtivo en el miembro derecho de (3.8) no fect en bsoluto ls ecuciones (3.4) ni (3.5).

3.3. LA PRIMERA PRUEBA DEL LEMA 25 3.3. L primer prueb del lem K. Rogers, en su tesis doctorl [3] defendid en 2005, expone l primer prueb del primer lem con l constnte 2 en l cot superior. Dich demostrción se bs en un versión complej del Segundo Teorem de Vlor Medio pr integrles del que hblmos en el cpítulo nterior. Es interesnte presentr est prueb, pues unque es más concis que l expuest en l sección nterior, su concisión se debe fundmentlmente un teorem csi desconocido. Tnto es sí que este utor, en su tesis doctorl, no lleg decir que es versión complej se nuev sino que es poco conocid incluso entre los propios expertos. En este sentido, l demostrción dd en l sección nterior sí se bs explícitmente en el Segundo teorem del Vlor Medio pr integrles reles hciéndose l prueb lgo más lrg pero tmbién un poco más sencill. 3.3.. Un versión complej Recordemos quí el enuncido de est versión complej (visto en el cpítulo nterior) del Segundo Teorem del Vlor medio pr integrles, sin l demostrción, con propósito de consult: Teorem 3.3.. Supongmos que l función f : [, b] R es monóton y que l función complej de vrible rel g : [, b] C es continu. Se demás l integrl complej I = f(x)g(x) dx = I e iθ entonces hy un número rel c [, b] pr el cul l integrl nterior se puede escribir de este modo: I = e iθ[ c ) )] f()re (e iθ g(x) dx + f(b)re (e iθ g(x) dx Por lo que, medinte desigulddes elementles entre l prte rel y el módulo de números complejos se tiene demás: I f() c g(x) dx + f(b) c c g(x) dx Además, si l función f(x) es de signo constnte y f(x) es decreciente, entonces hy un número rel c [, b] pr el cul c I = f()re (e iθ ) g(x) dx f() c g(x) dx. Demostrción. (del primer lem fuerte) (Rogers, 2005) Ahor, siguiendo l referenci [3] se tiene que, reemplzndo F (x) por F (x) si es preciso, puede suponerse que F (x) λ > 0 donde F (x) es diferencible con función derivd monóton. Igulmente, se puede suponer

26 CAPÍTULO 3. LOS LEMAS FUERTES por sencillez, que l función F (x) es monóton creciente (pues el rgumento pr monóton decreciente serí similr). Después reliz el cmbio de vrible y = F (x): I = e if (x) dx = F (b) F () e iy F (F (y)) dy Ahor bien, como es de signo positivo (constnte) y es obvimente monóton decreciente, el teorem nterior nos permite grntizr que existe un número rel c [, b] F (F (y)) tl que: I = ( c F (F (F ())) Re e iθ y por tnto se sigue de quí que: (3.9) I F () ) e iy dy = F (sen(c θ) sen(f () θ)) () + sen(θ F ()) λ 2 λ 3.3.2. Un extensión sencill Es posible extender, según [9], el primer lem pr incluir un función rel G(x) positiv y monóton en el intervlo [, b] tl que G(x) G en dicho intervlo: Proposición 3.3.2. Se F (x) un función rel diferencible con función derivd F (x) monóton tl que F (x) λ > 0 o F (x) λ < 0 pr x b. Se tmbién un función rel G(x) positiv, monóton con G(x) G en el intervlo [, b]. Entonces G(x)e if (x) dx 4G λ. L prueb es completmente idéntic l dd pr el cso G(x) =. Por otr prte, nótese que l mplitud G(x) siempre puede ser elimind porque en un intervlo [, b] puede extrerse medinte el Segundo Teorem del Vlor Medio pr integrles o medinte integrción por prtes 2. 3.4. El n-ésimo lem de Vn der Corput y l cot más fuerte Tomndo como bse el primer lem se puede enuncir [3] el llmdo n-ésimo lem de Vn der Corput como sigue: Lem 3.4.. (Rogers, 2005) Supongmos que F : (, b) R es un función rel n veces diferencible, con n 2 y con F (n) (x) λ > 0 en (, b). Entonces (3.0) e if (x) dx n C n λ /n, donde C n 2 5/3 pr todo n 2 y demás C n 4e cundo n. 2 Sin embrgo, como en este trbjo sólo nos interesn cotciones fuertes en intervlos finitos, no está clro cuál serí el resultdo óptimo l plicr esto, pues podrín perderse constntes.

3.4. EL N-ÉSIMO LEMA DE VAN DER CORPUT Y LA COTA MÁS FUERTE 27 Este lem es un versión ún más precis de lo que se conoce como (n-ésimo) lem de Vn der Corput, siendo el primer lem l piedr ngulr de todos ellos. En l referenci [] de 980 se publicó l mejor cot n Cn hst 2005 con vlor C λ /n n = 2 5/2 π /n ( n ). L prueb dd por K. Rogers en 2005 requiere el siguiente resultdo previo sobre tmños de conjuntos de subniveles en intervlos ( sublevel sets ): Proposición 3.4.2. (Estimción de conjuntos de subniveles) Se un función rel f : (, b) R diferencible n veces, con n y con f (n) (x) λ > 0 en (, b). Entonces {x (, b) : f(x) α} K n (α/λ) /n donde K n = (n!2 2n ) /n. Pr ver un prueb, consúltese [3]. Nótese que K n 2n pr todo n, y por l fórmul de Stirling 3 tenemos que: K n lím n n = lím (n!2 2n ) /n n n ( 2πnn n e n 2 2n ) /n = lím n n ( πn ) /2n4e = lím = 4e n 2 Ahor y se puede probr el lem de est sección utilizndo el primer lem fuerte de Vn der Corput y l proposición nterior: Demostrción. (del lem fuerte n-ésimo de Vn der Corput ) En efecto, siguiendo [3], relizmos l integrción seprdmente sobre los conjuntos complementrios en (, b) siguientes E := {x (, b) : F (x) α} y E 2 := {x (, b) : F (x) > α} Si ponemos f(x) = F (x), entonces f (n ) (x) λ, y por l proposición nterior se verific E ((n )!2 2(n ) ) /(n ) (α/λ) /(n ) por lo que obtenemos e if (x) dx ((n )!2 2n 3 ) /(n ) (α/λ) /(n ) E Por otr prte, el conjunto E 2 está compuesto de, como mucho, 2(n ) intervlos en cd uno de los cules F (x) α y F (x) es monóton en cd uno, por lo que según el primer lem de Vn der Corput tenemos que e if (x) dx 2(n ) 2 E 2 α 3 n! = 2πnn n e n e rn con r n ((2n + ), (2n) ) pr n =, 2,... De modo que, cunto más grnde se n, el fctoril se proxim cd vez mejor 2πnn n e n. Vése [].

28 CAPÍTULO 3. LOS LEMAS FUERTES Pr finlizr bst optimizr respecto l vrible α y sí se obtiene lo que querímos demostrr: ( e if (x) (n )!2 2n ) /n n dx (n ) n 2 λ /n = n C n λ /n Y sólo es un simple comprobción, desde los primeros términos de l sucesión C n, que siempre son menores o igules que 2 5/3. Además, si usmos l fórmul de Stirling, lím n C n = 4e, como y se h visto ntes. 3.5. L definitiv integrción por prtes Acbremos el presente cpítulo con l prueb ( otr más!?) 4 del primer lem fuerte de Vn der Corput que puede verse en [5]. Acbrá como empezmos, con un prueb direct medinte integrción por prtes, sólo que en est referenci se exige (en relidd se necesit C 2 ) que F (x) se infinitmente diferencible. Lem 3.5.. Se F (x) un función rel F (x) C (, b) con función derivd F (x) monóton tl que F (x) λ > 0 o F (x) λ < 0 pr x b. Entonces e if (x) dx 2 λ. Demostrción. Fijmos λ > 0 y suponemos, sin pérdid de generlidd que F (x) es creciente y que F (x) λ > 0 con x [, b], por continuidd. Integrndo por prtes se obtiene de quí se tiene, por un ldo e if (x) dx = [ = if (x) eif (x)] b i if (x) if (x)e if (x) dx = ( ) e if (x) dx F (x) [ if (x) eif (x)] b F (b) + F () y por otro i = ( F (x) ( F (x) ) e if (x) dx ) dx = F (b) = F () F (b) ( ) dx = F (x) F = () 4 Obtuve est prueb justo después de l publicción del rtículo [6]... pr posteriormente (oh!) descubrir que y precí en [5]. Probblemente K. Rogers pensó en est demostrción cundo nos propuso en clse probr el primer lem fuerte de Vn der Corput en el curso 202-203.

3.6. ALGUNAS CONSECUENCIAS 29 y que si F (x) es un función monóton, /F (x) tmbién lo es, y entonces (/F ) tiene signo constnte. Reuniendo mbs prtes se obtiene un cncelción, pues [ e if (x) dx = if (x) eif (x)] b i ( ) e if (x) dx F (x) F () F (b) + F (b) + F () = 2 F () 2 λ. 3.6. Alguns consecuencis Lo norml en muchs plicciones en teorí de números es que ls sums trigonométrics o exponenciles prezcn sin regulrizr, es decir, no suelen ser del tipo n g(n)e(f(n)) con g infinitmente diferencible en R con soporte compcto. Hy tod un teorí de regulrizción y trtmiento de integrles osciltoris en R (trnsformds de Fourier, principio de l fse estcionri, etc) que no trtremos quí por su enorme extensión (vése [5], pr un estudio detlldo). Por tnto, con l referenci [7] como guí, enumermos brevemente lguns consecuencis útiles (pr sums no regulrizds, en intervlos finitos) que se derivn de l fórmul de sumción de Poisson pr intervlos finitos y tmbién de los lems de Vn der Corput. Proposición 3.6.. Se f un función dos veces diferencible con continuidd en el intervlo [, b], con, b, α, β enteros 5 tl que α < f < β; entonces n b e(f(n)) = α n β e(f(x) nx) dx + O(log (β α + )). Demostrción. Podemos suponer α = 0, pues se puede cmbir f(n) por f(n) αn. Este cmbio no lter el vlor de l sum. Si integrmos por prtes en l fórmul de sumción de Poisson pr sums finits (cmbindo n por n), result (3.) e(f(n)) = n b e(f(x)) dx + n 0 n f (x)e(g(x)) dx + O(), donde g(x) := f(x) nx. Si n > β o n < α = 0, g (x) 0 en [, b] y es posible relizr un integrción por prtes pr conseguir 2π f (x)e(f(x) nx) dx f () g + f (b) () g + (b) 5 en el cso de α, β; sólo pr simplificr. ( f g ) dx 2β β n.

30 CAPÍTULO 3. LOS LEMAS FUERTES En l últim desiguldd hemos utilizdo el hecho de que f /g es monóton por ser composición de f y un función monóton, y por ello se puede meter l integrl del finl dentro del vlor bsoluto (como en l prueb de los lems de Vn der Corput). De este modo segurmos l convergenci bsolut de l serie de est Proposición. En efecto, l contribución de los términos con n > β y n < 0 está cotd por n= β n(n β) + n=β+ β n(n β) n >2β βn 2 + 0 n 2β n log (β + 2), donde se hn proximdo sums por integrles. Al sustituir más rrib se obtiene Como n b e(f(n)) = e(f(x)) dx + f (x)e(g(x)) dx n 0<n β n f (x)e(g(x)) dx + O(log (β + 2)). e(g(x)) dx = ( ) e(g(b)) e(g()) = O() 2πi despejndo y sustituyendo est primer integrl se obtiene lo que querímos demostrr. Como corolrio de lo nterior, si f /2 en [, b], poniendo α = = β y estimndo ls integrles de n = ± con el primer lem de Vn der Corput, se lleg que n b e(f(n)) = e(f(x)) dx + O(). Y, pr finlizr, enuncimos el siguiente resultdo, que es consecuenci direct del segundo lem de Vn der Corput: Teorem 3.6.2. Se f C 2 ([, b]) con, b enteros. Si 0 < λ f λ, entonces e(f(n)) (b )λ /2 + λ /2. n b Demostrción. El teorem del vlor medio plicdo f implic que, en l proposición nterior pueden elegirse α, β de modo que β α λ(b )+. Por el segundo lem de Vn der Corput, cd integrl es O(λ /2 ), luego e(f(n)) (λ(b ) + )λ /2 + log (λ(b ) + 2). n b Así, si λ el primer término domin l logritmo; y si λ > el teorem es trivil. Como ejemplo, si =, b = N y f(n) = n 2 /N se obtiene un cotción pr ls sums de Guss del orden correcto y demás, se obtiene que ls sums prciles de ls misms son O(N /2 ), lo cul en modo bsoluto er obvio. 99

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