MATEMÁTICA APLICADA II Segundo cutrimestre 2011 Licencitur en Físic, Universidd Ncionl de Rosrio Escios métricos 1 1. Introducción L geometrí del escio tridimensionl en el que estmos sumergidos nos result muy nturl. Concetos tles como distnci, longitud, ángulo, erendiculridd son de uso cotidino. En mtemátics frecuentemente odemos grur ciertos objetos en escios bstrctos y definir entre ellos relciones semejntes ls existentes entre los untos del escio ordinrio. El rlelismo que se estblece sí entre los escios bstrctos y el escio euclideno nos ermite visulizr y logrr un entendimiento más rofundo de estos objetos. En lguns licciones el lnteo más simle que uede usrse es el de escio métrico. Un escio métrico es un conjunto de untos en los que está definido l noción de distnci entre untos. Podemos usr l función distnci o métric r definir los concetos fundmentles del nálisis, tles como convergenci, continuidd y comcidd. Un escio métrico no necesit tener ningun clse de estructur lgebric definid en él, es decir, uede no tener sentido l sum de elementos del escio o l multilicción de un elemento or un número rel o comlejo. Sin embrgo, es muy frecuente el uso de escios métricos que son su vez escios vectoriles, con un métric derivd de un norm que mide l longitud de un vector. Tles escios serán llmdos escios normdos. Un buen rte de l mteri estrá destind l estudio de escios normdos de infinit dimensiones, incluyendo los escios funcionles en los cuáles un unto reresent un función (de llí el nombre de nálisis funcionl que recibe este áre de ls mtemátics). L intuición geométric derivd de los escios euclidenos de dimensiones finits es esencil, unque crcterístics comletmente nuevs surgen en los escios de infinits dimensiones. 2. Métrics Si y b son dos números reles, uede ensrse l número rel no negtivo b como l distnci que ser de b. Est oerción de signr distncis res de untos es recismente lo que d origen los escios métricos. L teorí básic que emn del conceto de distnci tiene que ver con ls roieddes de subconjuntos (biertos, cerrdos, comctos, conexos), sucesiones (convergentes, Cuchy) y funciones (continus), y l relción entre ests nociones. Definición: Un escio métrico es un r (X, d) donde X es un conjunto no vcío y d es un función rel definid en X X, llmd distnci o métric, y que stisfce los siguientes xioms: i) d(x, y) 0 x, y X, y d(x, y) = 0 x = y, ii) d(x, y) = d(y, x) x, y X, y iii) d(x, z) d(x, y) + d(y, z) x, y, z X. Es decir, 1 Nots rerds or Luis O. Mnuel
) Ls distncis son no negtivs y el único unto distnci cero de x es el mismo x; b) l distnci es un función simétric; c) l distnci stisfce l desiguldd tringulr: l longitud de un ldo de un triángulo es menor que l sum de ls longitudes de los otros dos ldos. Pr un ddo conjunto X es osible definir más de un métric. Cundo l métric del escio se d or sobreentendid, hblremos simlemente del escio métrico X unque sbemos que relmente éste es un r (X, d). A los elementos de X los llmremos untos del escio métrico. 3. Ejemlos de escios métricos 1. Escio métrico discreto Ddo un conjunto no vcío culquier X definimos l métric discret d en X medinte { 1 x y d(x, y) = 0 x = y. Se cheque fácilmente que (X, d) es un escio métrico. 2. L rect rel R Se X = R, d(x, y) = x y r cd x, y R. Los xioms métricos se cumlen. El conjunto de números comlejos C con l función distnci d(z, w) = z w tmbién es un escio métrico. 3. El escio euclídeo R n Se X = R n, el conjunto de tods ls n-uls de números reles. Si x = (x 1, x 2,, x n ) e y = (y 1, y 2,, y n ) son elementos de X, definimos l distnci d(x, y) = n (x i y i ) 2. i=1 Puede verificrse fácilmente que se cumlen los dos rimeros xioms métricos. L desiguldd tringulr se escribe como d(x, y) = n x k y k 2 n x k z k 2 + n z k y k 2 = d(x, z) + d(z, y). Si en l desiguldd nterior reemlzmos x k z k = k y z k y k = b k, or lo tnto x k y k = k + b k, y l desiguldd se escribe como n ( k + b k ) 2 n 2 k + n b 2 k. 2
Est últim desiguldd se deduce rtir de l desiguldd de Cuchy-Bunikovski-Schwrz (CBS) 2 ( n ) 2 n n k b k 2 k. b 2 k. En efecto, usndo l desiguldd CBS tenemos n ( k + b k ) 2 = n 2 k + 2 n 2 k n n 2 k + 2 k b k + n b 2 k n n b 2 k + b 2 k = n 2 k + n 4. El escio (R n, d ) Se X el mismo conjunto del item nterior, ero definimos l distnci d entre x e y medinte d (x, y) = ( n x k y k ) 1, donde es un número fijo myor o igul 1. Los xioms métricos se cumlen. Pr verificr l desiguldd tringulr hcemos el mismo reemlzo que en el ejemlo nterior, y debemos entonces demostrr l llmd desiguldd de Minkowski b 2 k. [Minkowski] ( n ) 1 ( n k + b k ) 1 ( n k + b k ) 1. Pr = 1 l desiguldd es trivil, r > 1 su demostrción se bs en l desiguldd de Hölder, que es un versión generlizd de CBS: [Hölder] ( n n ) 1/ ( n ) 1/q k b k k. b k q, (1) donde los números > 1 y q > 1 cumlen l condición 1 + 1 q = 1. A continución demostrremos (1). Consideremos l función y(t) = t α con α > 0. Puesto que y (t) = αt α 1 > 0 r t > 0, y(t) es un función creciente r t ositivos. Pr esos mismos t l función invers t = y 1/α está definid. Reresentemos gráficmente l función y, eligiendo dos números reles ositivos y b y mrcndo los untos corresondientes en los ejes t y y, resectivmente, y dibujemos lines rects rlels los ejes. 2 L desiguldd CBS se obtiene de l siguiente identidd, fácil de comrobr directmente, ( n ) 2 k b k = n 2 k. n b 2 k 1 n n ( i b j b i j ) 2. 2 i=1 j=1 3
Obtendremos dos triángulos, limitdos or ls lines, los ejes y l curv y, cuys áres son A 1 = α+1 α + 1 y A 2 = b 1 α 1 α + 1. Por otro ldo, es clro que se cumle A 1 A 2 b. Escribimos α + 1 = y 1 α + 1 = q, vle entonces 1 + 1 q = 1. Por lo tnto, r culquiers y b reles ositivos, y r conjugdo, q vle Poniendo en (2) b + bq q. (2) k = ( n i=1 i ), b = b k 1/ ( n i=1 b i q ) 1/q y sumndo sobre el índice k obtenemos l desiguldd de Hölder (1). Ahor vmos demostrr l desiguldd de Minkowski. Consideremos l identidd ( + b ) = ( + b ) 1 + ( + b ) 1 b. Reemlcemos = k, b = b k y sumemos sobre el índice k n ( k + b k ) = n ( k + b k ) 1 k + n ( k + b k ) 1 b k. Alicmos cd un de ls sums de l derech l desiguldd de Hölder y tenemos en cuent que ( 1)q =, encontrmos Dividiendo mbs rtes or obtenemos n ( k + b k ) ( n ) 1/q [ n ] 1/ [ n ] 1/ ( k + b k ) k + b k. ( n ) 1/q ( k + b k ), ( n ) 1/ ( n ( k + b k ) ) 1 ( n k + y de quí se deduce inmeditmente l desiguldd de Minkowski. Csos rticulres de los escios (R n, d ): b k ) 1, 4
) Si = 1 se obtiene l llmd métric de Mnhttn d 1 (x, y) = n x k y k. Este métric mide l distnci recorrid or un etón de un unto otro en un ciudd cudriculd. b) Si = 2 recobrmos el escio euclídeo. c) Si l distnci result d (x, y) = máx 1 i n x i y i. 5. El escio de ls sucesiones l Se X el conjunto de ls sucesiones de números reles {x n } n N tles que x n <, n=1 r un número fijo 1. Definimos l distnci entre x = {x n } n N e y = {y n } n N como d (x, y) = ( n=1 x n y n ) 1. (3) Otr vez, los dos rimeros xioms métricos son directos. De cuerdo con l desiguldd de Minkowski, r n culquier vle ( n Por hiótesis ls series ) 1 ( n x k y k x k, ) 1 ( n x k + y k convergen, or lo tnto, sndo l límite r n, obtenemos ( ) 1 ( x k y k ) 1 ( x k + y k ) 1. y k ) 1 <. Esto demuestr que l distnci (3) tiene sentido r culquier x, y l, demás muestr que se stisfce l desiguldd tringulr. El escio l 2 es llmdo el escio de Hilbert de ls coordends. Pr < los elementos de l son sucesiones que necesrimente deben converger cero, los elementos de l sólo necesitn estr cotdos, d (x, y) = su n N { x n y n }. 6. El escio de ls funciones continus C([, b]) Se X el conjunto de ls funciones continus definids en el intervlo [, b]. Introducimos un métric en X medinte d(f, g) = máx f(t) g(t). t [,b] 5
Est función stisfce los xioms métricos. En C([, b]) odemos definir un métric diferente medinte b d 2 (f, g)) = (f(t) g(t)) 2 dt. 7. El escio de ls funciones de otenci integrbles, L Se E un escio rovisto de un medid µ. Consideremos el conjunto de tods ls funciones de otenci integrbles ( 1) en E, es decir, quells funciones que cumlen f dµ <. E Simbolizremos este escio como L (E), L or Lebesgue. Definimos en estos escios l métric ( ) 1 d(f, g) = f(t) g(t) dt. E Dos funciones equivlentes (es decir, funciones cuyos vlores sólo difieren en un conjunto de medid nul) serán considerds l mism función r oder stisfcer el rimer xiom de escio métrico. Esto signific que los elementos de los escios L no son relmente funciones, sino clses de equivlenci de funciones. Clrmente estos escios no son r usr cundo lgo de significnci deende del vlor de l función en un unto reciso. Sin embrgo, son de utilidd en físic, orque nunc odemos medir un cntidd en un osición exct en el escio o el tiemo. Usulmente medimos cierto romedio locl. L métric stisfce l desiguldd tringulr, l cul se demuestr utilizndo l desiguldd de Minkowski r integrles ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 f(t) + g(t) dt f(t) dt + g(t) dt. E E E Est desiguldd se rueb en form nálog l cso (R n, d ), bst reemlzr en quell demostrción el índice discreto k or l vrible de integrción t y ls sums sobre k or ls integrles sobre E. L desiguldd de Minkowski demuestr, demás, que si f, g L (E) entonces f + g tmbién es de otenci integrble. El escio L 2 es llmdo el escio de Hilbert funcionl y jueg un rol esencil en l físic: es el escio nturl de l mecánic cuántic. 4. Definiciones toológics Ahor que tenemos definid un distnci entre untos de un escio métrico, odemos dr lguns definiciones toológics. Se (X, d) un escio métrico, A un subconjunto de X. 1. Un entorno o bol biert de rdio r y centro x es el conjunto B r (x) = {y X : d(x, y) < r}, donde x X y r > 0. 2. Un entorno o bol cerrd de rdio r y centro x es el conjunto B r (x) = {y X : d(x, y) r}, donde x X y r > 0. 3. X es un unto de cumulción de A si cd entorno bierto de centro contiene l menos un unto de A distinto de, es decir, si (A {}) B r () r culquier r > 0. 6
4. Un unto x X ertenece l interior de A si existe r > 0 tl que x B r (x) A. 5. x es un unto isldo de A si existe r > 0 tl que (A {x}) B r (x) =. 6. El conjunto que se obtiene de gregr A todos sus untos de cumulción es el conjunto clusur de A, simbolizdo [A]. Es decir, x ertenece [A] si cd entorno bierto que contiene x tiene un intersección no vcí con A. 7. A es cerrdo si A = [A]. L clusur de A es el conjunto cerrdo más equeño que contiene A. 8. A es bierto si su comlemento X A es cerrdo. Tmbién: A es bierto si r todo x A existe r > 0 : B r (x) A. 9. A es denso en B X si B [A]. De otr mner: A es denso en B si r cd y B cd entorno bierto que contiene y tiene intersección no vcí con A. O tmbién: A es denso en B si r cd y B existe un sucesión {x n } n N contenid en A que converge hci y. 10. A es siemre denso si [A] = X. 11. A es nunc denso en el escio X si cd entorno bierto de X contiene un entorno bierto cuy intersección con el conjunto A es el conjunto vcío. 12. Un escio X es serble si contiene un conjunto siemre denso y numerble. En otrs lbr, si existe en X un sucesión {x 1, x 2, } tl que r cd x X existe un subsucesión {x n1, x n2, } tl que converge x. 5. Definiciones nlítics 1. Un elemento x de un escio métrico X es llmdo límite de un sucesión {x n } n N de X si d(x n, x) 0 cundo n. Lo simbolizmos como x n x o x = lím n x n. Vemos que x es el límite de un sucesión {x n } n N sí y sólo si cd entorno bierto de centro x contiene todos los untos de l sucesión rtir de cierto índice n. Cundo un sucesión tiene límite se dice que es convergente. 2. Un sucesión {x n } n N de elementos de X es un sucesión de Cuchy o fundmentl si r cd ɛ > 0 existe un índice n ɛ tl que d(x n, x m ) < ɛ r todos m, n n ɛ. Tod sucesión convergente es de Cuchy, este hecho es un consecuenci inmedit de l desiguldd tringulr, ero no tod sucesión de Cuchy es convergente. 3. Si tod sucesión de Cuchy de un escio métrico X tiene un límite en X, entonces X es llmdo un escio métrico comleto. Es decir, un escio métrico X es comleto si cd unto que deberí estr, está. 4. Ddos (X, d X ) y (Y, d Y ) escios métricos, un función f : X Y es continu en x 0 X sí y sólo si r todo ɛ > 0 existe δ > 0 tl que d Y (f(x), f(x 0 )) < ɛ si d X (x, x 0 ) < δ. Ejemlo: se X, y definimos f : X R medinte f(x) = d X (x, ). Entonces f es continu en X, es decir l función distnci es un función continu. 5. Existe un mner útil de crcterizr ls funciones continus en escios métricos: diremos que un función f : X Y es secuencilmente continu en x X si r tod sucesión {x n } que converge x en X, l sucesión {f(x n )} converge f(x) en Y. 7
Proosición: Un función es continu en x sí y sólo si es secuencilmente continu en x. Demostrción: Suongmos que f es continu en x, y que x n x. Se ɛ > 0 ddo. Debido l continuidd de f, odemos elegir δ > 0 tl que si d(x, x n ) < δ entonces d(f(x), f(x n )) < ɛ. Por l convergenci de {x n }, odemos elegir N tl que n N imlic que d(x, x n ) < δ. Por lo tnto, n N imlic d(f(x), f(x n )) < ɛ y f(x n ) f(x). Pr robr l imlicnci ouest, mostrremos que si f es discontinu, entonces no es secuencilmente continu. Si f es discontinu en x, existe luego un ɛ > 0 tl que r cd n N existe x n X con d(x, x n ) < 1/n y d(f(x), f(x n )) ɛ. L sucesión {x n } converge x ero {f(x n )} no converge f(x). 6. Convergenci Como existe más de un mner de medir l distnci entre dos elementos de un escio métrico, l convergenci de un sucesión de, or ejemlo, funciones f n l función límite f no es tn simle como el conceto de convergenci de un sucesión de números reles x n l límite x. Convergenci signific que l distnci entre f n y l función límite f se hce cd vez más equeñ medid que n ument, or lo que cd métric nos d un nuev noción de lo que signific converger. Est distinción entre distints forms de convergenci no es mermente cdémic: or ejemlo, los ingenieros deben ser recisos cerc del tio de errores que están rerdos r tolerr, o sino, los edificios que diseñn odrín colsr. Ests son lguns de ls forms más comunes de convergenci en escios funcionles: (i) Si, r todo x en su dominio de definición D, el conjunto de números f n (x) converge f(x), decimos que l sucesión converge untulmente. (ii) Si l máxim serción (iii) Si su f n (x) f(x) x D v hci cero medid que n, decimos que f n converge f uniformemente en D. D f n (x) f(x) dx v cero cundo n, decimos que f n converge en medi f en D. L convergenci uniforme imlic l convergenci untul, ero no ocurre lo contrrio. Si D es un intervlo finito, entonces l convergenci uniforme imlic l convergenci en medi, ero l convergenci en medi no imlic ni l convergenci uniforme, ni siquier l convergenci untul. El ejemlo clásico es l sucesión f n = x n y D = [0, 1). A medid que n ument f n (x) 0 untulmente en D, ero l convergenci no es uniforme orque su f n (x) f(x) = 1 x D r todo n. Ahor, si D = [0, 1], entonces f n no converge ni uniforme ni untulmente cero, ero si lo hce en medi. Consideremos l convergenci en el escio de funciones continus C([, b]) con l métric del máximo. Ddo un sucesión {f n (t)} n N de elementos de C [,b] que converge f(t), tenemos que d(f n, f) 0 cundo n. Es decir, ddo ɛ > 0 existe n ɛ tl que máx t N f n (t) f(t) < ɛ r n n ɛ. Por lo tnto, f n (t) f(t) < ɛ r todo n n ɛ y r todo t [, b]. Esto signific que 8
{f n (t)} converge uniformemente hci f(t). Entonces l convergenci determindo or l métric del máximo en C [,b] es l convergenci uniforme en el intervlo [, b]. Se hor {f n (t)} n N un sucesión de funciones de L ([, b]) que converge f(t), entonces b f n (t) f(t) dt 0 cundo n. Decimos entonces que l sucesión de funciones {f n (t)} converge en medi l -otenci de l función f(t). Pr = 2 diremos que l convergenci es en medi o cudrátic. 7. Métrics equivlentes Veremos hor que el hecho de que un función se continu o no, o que un sucesión se o no convergente no deende de un métric esecífic, sino de clses equivlentes de métrics. Notemos que un ddo conjunto X uede tener muchs métrics. Por ejemlo, si d es un métric, tmbién lo será αd r cd α ositivo. Definición: Dos métrics d 1 y d 2 en un conjunto X son equivlentes si existen α, β > 0 tl que αd 1 (x, y) d 2 (x, y) βd 1 (x, y) r todos x, y X. Ejercicio: Sen d 1 y d 2 métrics equivlentes en X. Si f : X R es continu resecto de d 1, tmbién lo será resecto d 2. 8. Serbilidd Serbilidd del escio euclídeo n-dimensionl El conjunto Q n que consiste de todos los untos de R n con coordends rcionles es numerble y siemre denso en R n. Serbilidd de C [0,1] En el escio de ls funciones continus C [0,1] consideremos el subconjunto C 0 de todos los olinomios coeficientes rcionles. C 0 es numerble y debemos demostrr que tmbién es siemre denso en C [0,1]. Si tommos un función rbitrri f C [0,1], de cuerdo l teorem de Weierstrss, ddo un ɛ ositivo, existe un olinomio P tl que máx t [0,1] f(t) P (t) < ɛ 2. Obvimente existe otro olinomio P 0 coeficientes rcionles tl que máx P (t) P 0(t) < ɛ t [0,1] 2. Por lo tnto, d(f, P ) = máx t [0,1] f(t) P 0 (t) < ɛ. 9. Comcidd L comcidd es uno de los concetos más imortntes del nálisis. Puede ensrse l comcidd como un finitud roximd, o como un generlizción de l noción de finitud los escios de infinits dimensiones. Un mner simle y útil r definir conjuntos comctos en escios métricos es medinte sucesiones. Definición: Un subconjunto K de un escio métrico X es secuencilmente comcto si cd sucesión en K tiene un subsucesión convergente cuyo límite ertenece K. 9
Ejemlo: El escio de los números reles R no es secuencilmente comcto. Por ejemlo, l sucesión {x n } con x n = n no tiene ningun subsucesión convergente orque x m x n 1 r todo m n. El intervlo cerrdo y cotdo [0, 1] es un subconjunto secuencilmente comcto en R. El intervlo semibierto (0, 1] no es secuencilmente comcto, orque l sucesión {1/n} converge 0, y or lo tnto no tiene ningun subsucesión con límite en (0, 1]. Sin embrgo, el límite ertenece [0, 1]. L imortnci de los conjuntos comctos estrá clrmente estblecid en los escios normdos infinito dimensionles. Conviene sin embrgo comenzr con el cso finito-dimensionl. Los subconjuntos comctos de R n tiene un crcterizción simle y exlícit de cuerdo l teorem de Heine-Borel. Teorem de Heine-Borel: Un subconjunto de R n es secuencilmente comcto sí y sólo si es cerrdo y cotdo. El hecho de que los subconjuntos cerrdos y cotdos de R n son secuencilmente comctos es un consecuenci del siguiente teorem, llmdo teorem de Bolzno-Weierstrss. Teorem de Bolzno-Weierstrss: Tod sucesión cotd de R n tiene un subsucesión convergente. El siguiente criterio r determinr l comcidd secuencil en escios métricos es usulmente más fácil de verificr que l definición dd nteriormente. Se A un subconjunto de un escio métrico X. Decimos que un colección (numerble o no) {G α } de subconjuntos de X es un cubrimiento de A si su unión contiene A, es decir A α G α. Si cd G α es bierto, decimos que {G α } es un cubrimiento bierto. Se ɛ > 0. Un subconjunto {x α } es llmd un esilon-red del subconjunto A si l fmili de entornos {B ɛ (x α ) es un cubrimiento bierto de A. Si el conjunto de untos {x α } es dinito, decimos que es un esilon-red finit. Definición: Un subconjunto de un escio métrico es totlmente cotdo si tiene un esilon-red finit r cd ɛ > 0, es decir, r cd ɛ > 0 existe un conjunto finito de untos {x 1, x 2,, x n } en X tl que A n B ɛ(x α ). Teorem: Un subconjunto de un escio métrico es secuencilemente comcto sí y sólo si es comleto y totlmente cotdo. Otr mner de crcterizr l comcidd es en término de conjuntos biertos. Decimos que un cubrimiento {G α } de A tiene un subcubrimiento finito si existe un colección finit de conjuntos {G α1, G α2,, G αn } tl que A n i=1 G α i. Definición: Un subconjunto K de un escio métrico X es comcto si todo cubrimiento bierto de K tiene un subcubrimiento finito. Ejemlos: El escio de los números reles R no es comcto orque el cubrimiento bierto {(n 1, n + 1) : n N} de R no tiene ningún subcubrimiento finito. El intervlo semibierto (0, 1] no es comcto orque el cubrimiento {(1/2n, 2/n) : n N} no tiene subcubrimiento finito. Pr los escios métricos l comcidd y l comcidd secuencil son equivlentes. Teorem:Un subconjunto de un escio métrico es comcto sí y sólo si es secuencilmente comcto. Definición: Un subconjunto A de un escio métrico X es recomcto o reltivmente comcto si su clusur en X es comct. Est definición nos dice que A es recomcto si tod sucesión en A tiene un subsucesión convergente (cuyo límite odrí no ertenecer A). 10
Ls funciones continus en los conjuntos comctos tienen hermoss roieddes. Sbímos que l continuidd imlic l continuidd secuencil, result or lo tnto que ls funciones continus reservn l comcidd. Teorem:Se f : X Y continu en K, donde K es un escio métrico comcto e Y es un escio métrico culquier. Entonces f(k) es comcto. 10. Teorem de l contrcción Definición: Se (X, d) un escio métrico. Un función T : X X es un contrcción si existe un constnte c con 0 c < 1 tl que d(t (x), T (y)) cd(x, y) (4) r todos los elementos x, y X Por lo tnto, un contrcción cerc los untos del escio métrico. En rticulr, r cd x X y r culquier r > 0, todos los untos y en el entorno B r (x) son medos dentro de un entorno B s (T (x)), con s < r. De l ecución (4) se deduce que un contrcción es uniformemente continu. Si T : X X, entonces un unto x X tl que T (x) = x (5) es llmdo un unto fijo de T. El teorem de l contrcción dice que un contrcción en un escio métrico comleto tiene un único unto fijo. El teorem de l contrcción es uno más de un conjunto de teorems de unto fijo. Existen tmbién teorems de unto fijo que trtn el cso cundo c = 1, y otros que trtn el cso de licciones continus rbitrris en ciertos escios métricos. Por ejemlo, el teorem del unto fijo de Schuder dice que un licción continu en un subconjunto convexo comcto de un escio de Bnch tiene un unto fijo. En generl, se necesit l condición que c se estrictmente menor uno r robr l unicidd y l existenci de un unto fijo. Por ejemlo, si X = {0, 1} es el escio métrico discreto con l métric determind or d(0, 1) = 1, entonces l licción T definid medinte T (0) = 1 y T (1) = 0 stisfce l condición 4 con c = 1, ero T no tiene ningún unto fijo. Por otro ldo, l licción identidd en culquier escio métrico stisfce 4 con c = 1 y cd unto del escio es un unto fijo. Vle notr que 5 y sus soluciones, no deenden de l métric d. Por lo tnto, si odemos encontrr en culquier métric en X tl que X se comleto y T se un contrcción en X. Teorem de l contrcción: Si T : X X es un contrcción en un escio métrico comleto (X, d), entonces existe exctmente un solución x X de l ecución T (x) = x. Demostrción: L rueb de este teorem es contructiv, es decir, exlicitmente se contruirá un sucesión que converj l unto fijo. Se x 0 un unto culquier de X. Definimos un sucesión {x n } en X medinte x n+1 = T (x n ) r n 0. Denotmos l enésim iterción de T medinte T n, entonces x n = T n (x 0 ). En rimer lugr, mostrmos que {x n } es un sucesión de Cuchy. Si n m 1, entonces or?? y l desiguldd tringulr, tenemos d(x n, x m ) = d(t n (x 0 ), T m (x 0 )) c m d(t n m (x 0 ), x 0 ) c m [ d(t n m (x 0 ), T n m 1 (x 0 )) + d(t n m 1 (x 0 ), T n m 2 (x 0 )) +... + d(t (x 0 ), x 0 ) ] 11
[ n m 1 ] [ ] ( ) c c m c k d(x 1, x 0 ) c m c k m d(x 1, x 0 ) d(x 1, x 0 ), 1 c k=0 k=0 lo que imlic que {x n } es de Cuchy. Como X es un escio comleto {x n } converge un límite x X, El hecho de que el límite x es un unto fijo de T se deduce de l continuidd de l contrcción T : T (x) = T ( lím x n) = lím T (x n) = lím x n+1 = x. n n n Finlmente, si x e y son dos untos fijos entonces 0 d(x, y) = d(t (x), T (y)) cd(x, y). Como c < 1, tenemos d(x, y) = 0 y or lo tnto x = y y el unto fijo es único.. 10.1. Puntos fijos en sistems dinámicos Un sistem dinámico describe l evolución en el tiemo del estdo de un sistem. Los sistems dinámicos surgen en modelos en muchs discilins diferentes, incluyendo físic, químic, biologí y economí. Un sistem dinámico está definido medinte un escio de estdos X, cuyos elementos describen los distintos estdos en los cuáles uede estr el sistem, y un rescrición que relcion el estdo en el tiemo t, x t X, con el estdo en tiemo revio. Llmmos un sistem dinámico continuo o discreto, deendiendo si l vrible tiemo es continu o discret. Pr un sistem dinámico continuo, el tiemo t ertenece un intervlo en R, y l dinámic del sistem está tiicmente descrit or un ecución diferencil ordinri de l form ẋ = f(x), donde el unto simboliz un derivd temorl y f es un elemento de X. Pr un sistem dinámico discreto, odemos considerr que el tiemo t = n es un entero, y l dinámic está definid medinte l licción (o m) T : X X que relcion el estdo x n+1 en el tiemo n + 1 con el estdo x n en el tiemo n, 10.2. Ecuciones integrles x n+1 = T x n. Un ecución integrl de Fredholm de segund clse, donde l incógnit es l función f : [, b] R, es un ecución de l form f(x) b k(x, y)f(y)dy = g(x), (6) donde k : [, b] [, b] R y g : [, b] R son funciones dds. Un ecución integrl de Fredholm de rimer clse es un ecución de l form b k(x, y)f(y)dy = g(x). (7) L ecución integrl (6) uede ser escrit como un ecución de unto fijo T (f) = f, donde l licción T está definid medinte T f(x) = g(x) + b 12 k(x, y)f(y)dy.
Teorem: Suongmos que k : [, b] [, b] R es un función continu tl que stisfce { } b k(x, y) dy < 1, (8) su x b y g : [, b] R es un función continu. Existe entonces un únic función continu f : [, b] R que stisfce l ecución (6). Demostrción: Vmos robr este resultdo demostrndo que si se cumle (8), el oerdor T es un contrcción en el escio normdo C([, b]) con l norm uniforme.. Sbemos que el escio C([, b]) con est norm es comleto. Además, T es un contrcción y que r culquiers f 1, f 2 C([, b]), tenemos b T f 1 T f 2 = su x b k(x, y)(f 1(y) f 2 (y))dy donde c = su x b b k(x, y) f 1(y) f 2 (y) dy f 1 f 2 su x b { b k(x, y) dy } c f 1 f 2, su x b { } b k(x, y) dy < 1. L existenci de un únic solución sigue del teorem de l contrcción.. De l demostrción del teorem de l contrcción odemos obtener el unto fijo f como un límite, f = lím T n f 0, (9) n r culquier f 0 C([, b]). Es interesnte reinterretr este límite como un serie. Definimos l licción K : C([, b]) C([, b]) medinte Kf = b k(x, y)f(y)dy. Est licción es denomind oerdor integrld de Fredholm, y l función k es llmd núcleo de K. L ecución integrl (6) uede ser escrit como (I K)f = g, donde I es el oerdor identidd. L licción contrcción T está dd or T f = g + Kf, lo que imlic que T n f 0 = g + K(g + + K(g + Kf 0 )) = g + Kg + + K n g + K n+1 f 0. Usndo l ecución (9), encontrmos que f = K n g. n=0 13
Como f = (I K) 1 g, odemos escribir formlmente est ecución como (I K) 1 = K n. (10) Est serie es llmd serie de Neumnn. El uso de sums rciles de est serie r roximr l invers se llm roximción de Born. Exlícitmente, tenemos = f(x) + b n=0 (I + K + K 2 + )f(x) k(x, y)f(y)dy + b b k(x, y)k(y, z)f(z)dydz + L serie de Neumnn es similr l serie geométric. De hecho, l ecución (??) es relmente un serie geométric que es bsolutmente convergente con resecto determind norm del oerdor cundo K < 1. Esto exlic orqué no necesitmos ningun imoner lgun condición sobre g, l ecución (8) es un condición que segur que I K es invertible, y ést sólo deende de l función k. 11. Bibliogrfí Culquier libro de nálisis funcionl o rel contiene los tems desrrolldos quí. En rticulr: Kolmogórov y Fomín Stkgold Griffel, discute otros teorems de unto fijo. etc etc 14