ELEMENTOS DE ÁLGEBRA MATRICIAL

ELEMENTOS DE ÁLGEBRA MATRICIAL Ezequiel Uriel DEFINICIONES Matriz Ua matriz de orde o dimesió p- o ua matriz ( p)- es ua ordeació rectagular de elemetos dispuestos e filas y p columas de la siguiete forma: a a... a p a a... a p A = ()............ a a... ap A la matriz aterior la hemos desigado de forma abreviada mediate el símbolo A. E geeral, para desigar a ua matriz utilizaremos ua letra mayúscula e egrita. U elemeto geérico de la matriz A se desiga mediate a i dode el primer subídice i hace referecia a la fila e que está situado el elemeto, mietras que el segudo subídice hace referecia a la columa.

Eemplos 3 4 A = 6 5 3 4 6 B = 3 7 4 8 Ua matriz de orde es u escalar. Matriz traspuesta La traspuesta de ua matriz A ( p) es ua matriz B (p ), obteida mediate itercambio de filas y columas, de forma que Eemplos b i =a i i=,,...,p; =,,..., () E geeral, a la matriz traspuesta de A la deomiaremos A. Las traspuestas de las matrices del eemplo aterior so las siguietes: 6 A = 3 5 4 3 7 B = 4 3 4 6 8 Vector columa y vector fila U vector columa de orde es ua ordeació de elemetos dispuestos e filas y columa de la siguiete forma: a a a = (3)... a Al vector columa aterior lo hemos desigado de forma abreviada mediate el símbolo a. E geeral, para desigar a u vector columa utilizaremos ua letra miúscula e egrita. U vector fila de orde es ua ordeació de elemetos dispuestos e filas y columas. El traspuesto de u vector fila es u vector columa. E

geeral, a u vector fila le desigaremos por ua letra miúscula seguida de apóstrofe. Así, el traspuesto de a dado e (3) es Matriz cuadrada [ a a a ] a = (4)... Se dice que ua matriz es cuadrada si el úmero de filas es igual al úmero de columas. Se dice que ua matriz cuadrada es de orde si tiee filas. Eemplo de matriz cuadrada Traza de ua matriz 8 7 4 A = 0 3 9 5 E ua matriz cuadrada de orde la diagoal pricipal está formada por los elemetos a ii (i=,,...,). La traza de ua matriz cuadrada A, a la que desigaremos por tr(a), o por traza(a), es la suma de los elemetos de la diagoal pricipal. Por lo tato, Eemplo: tr( A ) = aii (5) i= La traza de la matriz A del eemplo aterior es Matriz simétrica tr ( A ) = 8+ 0+ 5= 33 Se dice que ua matriz cuadrada es simétrica si se verifica que A=A (6) 3

Eemplo: 3 4 A = 4 5 Matriz diagoal Se dice que ua matriz cuadrada es diagoal cuado todos los elemetos situados fuera de la diagoal pricipal so ulos. Es decir, e ua matriz diagoal se verifica que a i = 0 para i distito de. Así, la siguiete matriz es diagoal: Matriz escalar a 0... 0 0 a... 0 A = (7)............ 0 0... a Se dice que ua matriz diagoal es escalar cuado todos los elemetos de la diagoal pricipal so idéticos. Es decir, e ua matriz escalar se verifica que a ii = k para todo i. Matriz idetidad Ua matriz idetidad es ua matriz escalar e la que a ii =. A la matriz idetidad se le deomia I. Así, ua matriz idetidad geérica tiee la siguiete cofiguració: 0 0 0 0 I = 0 0 (8) OPERACIONES CON MATRICES Igualdad de matrices La igualdad de dos matrices A=B se cumple si, y solamete si, A y B so del mismo orde y a i =b i para todo i y todo. 4

Suma de matrices La suma de las matrices A y B de orde p es igual a ua matriz C, tambié de orde xp, defiida de la siguiete forma: Los elemetos de la matriz C se obtiee así: C=A+B (9) c i = a i +b i i=,,..., ; =,,..., p (0) orde. Para poder realizar la suma, las matrices A y B debe ser del mismo Eemplo La suma de las matrices A y B es desigada por C: 3 A = 5 6 3 B = 4 3+ + 3 4 C = = 5+ 6 4 7 Multiplicació escalar La multiplicació escalar de ua matriz A por u escalar λ se efectúa multiplicado cada elemeto de A por λ. El producto es desigado por λa. Eemplo Dado λ= 4 y 7 6 A = 3 etoces 8 4 λa = 8 5

Multiplicació de matrices Si A es ua matriz de orde m y B es ua matriz de orde m p, etoces el producto de estas dos matrices se defie de la siguiete forma AB=C () siedo la matriz producto C, ua matriz de orde p, cuyo elemeto geérico c i viee dado por Eemplos c = a b. () i ik k k = a a b b b3 ( ab + ab) ( ab + ab) ( ab3 + ab3) a a b b b = ( a b + a b ) ( a b + a b ) ( a b + a b ) 3 3 3 4 9 3 5 7 6 6 (4 + 7) (4 9 ) (4 + 6) = (3 5 7) (3 9 5 ) (3 5 6) + + ( + 6 7) ( 9 6 ) ( + 6 6) 8 3 6 = 38 7 33 44 6 38 Determiate de ua matriz El determiate de ua matriz cuadrada A, al que se desiga por A, es u escalar que se obtiee por la suma de! térmios, cada uo de los cuales es el producto de elemetos. Se obtiee mediate la siguiete fórmula: A = ±a... a a (3) l q E la expresió aterior cada sumado se obtiee permutado el segudo subídice. Obsérvese que el úmero de permutacioes de elemetos es!. El sigo de cada sumado es + o - segú que el úmero de permutacioes realizado a partir de la ordeació origial sea par o impar. Si A =0 se dice que la matriz A es sigular. 6

Eemplos A a a = aa aa a a = B b b b 3 = b b b = b b b b b b + b b b b b b + b b b b b b 3 33 33 3 3 3 3 3 3 3 3 b b b 3 3 33 Matriz iversa Ua matriz cuadrada A tiee iversa, a la que se se le desiga por A - si se cumple que AA = A A = I (4) Cuado ua matriz tiee iversa se dice que es ivertible o o sigular. Eemplo viee dada por La iversa de la matriz A 4 A = 3 3 A = 0 4 Vamos a ver expoer u algoritmo para el cálculo de la iversa de ua matriz de orde 3, tato de forma simbólica y como su aplicació a u eemplo. Este algoritmo es geeralizable a matrices de cualquier orde, Sea la matriz a a a 3 A = = 3 a a a 3 3 4 a3 a3 a 33 Para ivertir esta matriz hay que realizar las siguietes operacioes: 7

) Se calcula la matriz de meores. El meor del elemeto a i, al que deomiaremos m i, es igual al determiate que se obtiee de la matriz después de elimiar la fila i y la columa m m m m m m m m m 3 3 3 3 33 4 3 3 4 6 5 3 3 = = 5 4 3 3 4 3 3 4 ) Se calcula la matriz de cofactores. Cada cofactor se calcula de acuerdo co la siguiete fórmula: c i ( ) = i + m i Es decir, el sigo de m i o cambia si i+ es para y cambia si i+ es impar c c c 6 5 3 c c c 3 = c3 c3 c 33 5 4 3) Se calcula la matriz de adutos. Esta matriz es iguual a la traspuesta de la matriz de cofactores c c c 6 5 ad( A ) = c c c = 5 4 3 3 c3 c3 c 33 4) Se calcula el determiate de la matriz A A = ± aal... aq = a a a + a a a + a a a + a a a + a a a + a a a = + 3+ + 8 8 4 = 33 3 3 3 3 3 3 33 3 3 5) La matriz iversa es igual a la matriz de adutos dividido por el determiate de la matriz A: 8

A Secomprueba de forma imediata que A A c c c3 6 5 = ad( A) = c c c = 5 4 A A 3 c3 c3 c 33 6 5 3 0 0 = 5 4 3 4 0 0 = = I 0 0 Eemplo La iversa de la matriz A 4 A = 3 se calcula de la siguiete forma ) Matriz de meores m m 3 m m = 4 ) Matriz de cofactores c c 3 c c = 4 3) Matriz de adutos 4) Determiate de A ad( A ) c c 3 c c 4 = = A = ± a a... a = a a a a a = = 0 l q 3 5) Matriz iversa de A: 9

A c c 3 ad( ) 0 4 = A = = A A c c La iversa de ua matriz diagoal es igual a la matriz e la que cada elemeto es el recíproco del correspodiete elemeto de la matriz origial. Eemplo es la siguiete La iversa de la matriz A Idepedecia lieal 3 0 0 A = 0 5 0 0 0 8 A 0 0 3 = 0 0 5 0 0 8 Sea u couto de m vectores { a a a } solució de la ecuació,,, m m m, de orde. Si la úica γ x + γ x + + γ x = 0 (5) es γ = γ = = γ m = 0 a, a,, am so liealmete idepedietes. Si existe otras solucioes etoces se dice que so liealmete depedietes. Eemplos los vectores { } a) Los vectores 5 y 8 solo se satisface para γ = γ = 0. so liealmete idepedietes, ya que (5) 0

b) Los vectores 3 y 6 9 so liealmete depedietes, ya que (5) se satisface para γ = 3; γ =. Es decir, Rago de ua matriz 6 0 3 3 = 9 0 El rago de ua matriz A m, al que deomiaremos ρ( A ), es el umero máximo de filas o columas que so liealmete idepedietes. Se verifica que ρ( A ) mi( m, ). Si el rago de ua matriz cuadrada A es se dice que es de rago completo. E este caso la matriz A es o sigular y, por tato, A 0. Eemplos a) La matriz 4 7 A = 5 3 tiee el rago igual a (e igú caso podría ser 3), ya que las columas de A so liealmete idepedietes. b) La matriz 6 A = 3 9 tiee el rago igual a, ya que las columas de A so liealmete depedietes. 6 0 3 3 = 9 0 3 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON MATRICES Sea A, B y C matrices y α, β y γ escalares.

Multiplicació Trasposició a) E geeral, AB b) [ ] BA α + β + γ A= αa+ βa+ γa= Aα + Aβ + A γ c) A(B + C) = AB + AC d) A0 = 0A = 0 a) α = α b) ( α A) = αa = A α c) ( A+B) = A +B d) ( AB) = B A Determiates BA + CA a) El determiate de ua matriz cuadrada es igual al determiate de su traspuesta, es decir, A = A (6) b) El determiate del producto de matrices cuadradas es igual al producto de los determiates de cada ua de las matrices. Así, ABC = A B C (7) que, c) Si se multiplica ua matriz A de orde por ua costate h se verifica h A = h A (8) e) Si ua matriz A tiee dos filas, o dos columas, idéticas, etoces A =0. Traza a) tr( A) = tr ( A )

Iversa b) tr( α) = tr( α ) = α c) tr( A+B) = tr( A) + tr( B ) d) tr( αa) = αtr( A ) e) tr( AB) = tr( BA ) a) La iversa de u producto de matrices cuadradas o sigulares ABC es igual a ( ) ABC = C B A (9) decir, b) La traspuesta de ua iversa es igual a la iversa de la traspuesta, es ( ) A ) = (A (0) c) El determiate de la iversa de ua matriz es igual al recíproco del determiate de la matriz origial. Es decir, A = A () 4 CÁLCULO DE DERIVADAS DE UN ESCALAR RESPECTO A UN VECTOR Derivada de ua forma lieal respecto a u vector Sea a a a = y... a x x x... x = etoces 3

ax = a x () Demostració x x ax = [ a a... a ] = a x + a x +... + a x... x Derivado la expresió aterior respecto cada uo de los elemetos de x se obtiee que ax = a x ax = a x : : ax = a x Reuiedo e u vector las derivadas del escalar a x co respecto a cada elemeto de x, teemos la derivada de dicho escalar co respecto al vector x. Por lo tato, ax x a a... a = = Derivada de ua forma cuadrática respecto a u vector Siedo a 4

A a a... a a a... a............ a a... a = y x el vector defiido ateriormete, etoces se verifica que xax = ( A+ A ) x x (3) Demostració [ x x... x ] a a... a x a a... a x xax = =............... a a... a x = a x + a x x +... + a x x + a x x + a x +... + a x x +... + + +... + a xx axx ax Derivado la expresió aterior respecto a cada uo de los elemetos de x se tiee que xax = a x + ( a + a ) x +... + ( a + a ) x x xax = ( a + a ) x + a x +... + ( a + a ) x x............................. xax = ( a + a ) x + ( a + a ) x +... + a x x Reuiedo e u vector las derivadas del escalar x'ax co respecto a cada elemeto de x, teemos la derivada de dicho escalar co respecto al vector x. Por lo tato, 5

a a... a a a... a x a a... a a a... a x xax = + = x........................... a a... a a a... a x = ( A+ A ) x Si la matriz A es simétrica se verifica que ' xax = Ax x (4) 5 RAÍCES Y VECTORES PROPIOS Determiació de las raíces y vectores característicos El problema que se platea e este epígrafe es la determiació de uos escalares (λ ) y de uos vectores (u ) tales que satisfaga la siguiete ecuació: Au = λ u (5) dode A es ua matriz dada de orde. Es decir, A debe ser ua matriz cuadrada. A los escalares λ que satisface la ecuació (5) se les deomia raíces características y a los correspodietes vectores u se les deomia vectores característicos. Para las raíces características se utiliza tambié las deomiacioes de valores propios o autovalores. Para los vectores característicos se utiliza alterativamete la expresió de vectores propios. La ecuació (5), mediate ua simple maipulació algebraica, la podemos expresar de la siguiete forma: ( A I) u = 0 (6) λ Si deamos aparte la solució trivial u =0, para que la ecuació (6) tega solució debe cumplirse que A λ I = 0 (7) 6

A la ecuació aterior se le deomia ecuació característica de A. Resolviédola se halla raíces características λ. A cada raíz característica va asociado u vector característico u. Cada vector característico puede multiplicarse arbitrariamete por ua costate si afectar al resultado, debido a que la matriz (A-λ.I) de (6) es sigular por la codició impuesta e (7). E muchas aplicacioes, para soslayar la arbitrariedad del resultado, se procede a ormalizar cada vector característico impoiedo la codició uu = (8) De todas formas, aú después de ormalizar subsiste ua arbitrariedad e el sigo, de forma que si u es ua solució, (-)u tambié lo es. Es coveiete e muchas aplicacioes defiir ua matriz U e la que cada columa es u vector característico u. Por lo tato, u u... u... u u u... u... u U = u u... u... u = (9).................. u u... u... u Propiedades de las raíces y vectores característicos. a) Las raíces características de ua matriz diagoal so los elemetos de la diagoal. b) Las matrices A y A tiee las mismas raíces características, pero o ecesariamete los mismos vectores característicos. c) Si λ es es ua raíz característica de A, etoces /λ es ua raíz característica de A -. d) Desigado a las raíces características de A por λ, λ,..., λ, etoces se verifica que tra = λ (30) = A = λ (3) = 7

Si la matriz A es real y simétrica, etoces las raíces y vectores característicos cumple tambié otras propiedades. Ua propiedad relevate e el aálisis multivariate de ua matriz real y simética es la siguiete: e) Ua matriz A real y simétrica de orde, da lugar a vectores que so ortogoales etre sí. Se dice que los vectores u y u h so ortogoales, si se verifica que uu = 0 (3) h U couto de vectores se dice que so ortoormales, si además de la codició aterior está ormalizados segú el criterio (8). La matriz U formada por vectores característicos ormalizados de ua matriz simétrica, es decir, por vectores ortoormales, se deomia ortoormal y cumplirá la siguiete propiedad: UU = I (33) Eemplo de cálculo de raíces y vectores carcterísticos de ua matriz o simétrica Sea la matriz 4 3 A = Aplicado la ecuació (6) a la matriz aterior, se tiee que : 4 3 0 U 0 λ = 0 U 0 La correspodiete ecuació característica viee dada por 4 λ 3 λ = 0, es decir, λ 6λ + 5= 0 Co la resolució de esta ecuació de segudo grado (A es de orde x), se obtiee dos raíces características: 8

λ = 5; λ = λ = 5; λ = Sustituyedo λ e la ecuació (6), se obtiee es decir, 4 3 0 U 0 5 = 0 U 0 3 U 0 = 3 U 0 dode U y U so los elemetos del vector u. De la expresió aterior se obtiee dos ecuacioes U + 3U = 0 U 3U = 0 que so proporcioales debido al carácter sigular de la matriz ( A λ I). Por esta razó, co estas ecuacioes sólo podemos determiar la relació etre U y U, pero o sus valores exactos. Esta relació es U = 3U Co esta relació y la ecuació de ormalizació U + U = se tiee u sistema de dos ecuacioes. Resolviédolo se obtiee u 3 0 = 0 Obsérvese que (-)u tambié es solució al sistema aterior. 9

Sustituyedo la seguda raíz λ e la ecuació (6), se obtiee 4 3 0 U 0 = 0 U 0 3 3 U 0 = U 0 De la expresió aterior se obtiee la relació etre U y U : U = U Co esta relació y la ecuació de ormalizació se obtiee los valores del vector u : u = E este caso, la matriz U será la siguiete: 3 0 U = 0 Eemplo de cálculo de raíces y vectores característicos de ua matriz simétrica Sea la matriz A = La aplicació de la ecuació (A-) da lugar a la siguiete expresió: 0 U 0 λ = 0 U 0 obteiédose la ecuació característica 0

λ λ = 0 es decir, λ λ 3= 0 Co la resolució de esta ecuació de segudo grado (A es de orde x), se obtiee dos raíces características: λ = 3; λ = Realizado las sustitucioes pertietes e este caso, llegamos a = u u E este caso la matriz U será la siguiete: U = = Puede comprobarse fácilmete que U es ua matriz ortoormal y, por lo tato, se cumple que = UU I