SECCIÓN DE POSGRADO ELEMENOS HÍBRIDOS DE REFFZ PARA EL ANÁLISIS DE LOSAS ESIS PARA OPAR EL GRADO DE MAESRO EN CIENCIAS CON MENCIÓN EN INGENIERÍA ESRUCURAL WILHELM JUVENAL BENAVIDES MANCILLA LIMA - PERÚ 11
ELEMENOS HÍBRIDOS DE REFFZ PARA EL ANÁLISIS DE LOSAS WILHELM JUVENAL BENAVIDES MANCILLA Prsntado a la Scción d Posgrado d la Facultad d Ingniría Civil n cumpliminto parcial d los rqurimintos para l grado d: MAESRO EN CIENCIAS CON MENCIÓN EN INGENIERÍA ESRUCURAL d la UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Fbrro dl 11 11, Wilhlm J. Bnavids Mancilla. odos los drchos rsrvados. El autor autoriza a la UNI a rproducir la tsis n su totalidad o n part, con fins strictamnt académicos. Autor: Assor: Acptado por: Bach. Wilhlm J. Bnavids Mancilla Facultad d Ingniría Civil Dr. Ing. Hugo Scaltti Farina Profsor d Posgrado CE. Ing. Francisco Coronado dl Aguila Jf d la Scción d Posgrado
A Dios.
A mis padrs: Yolanda y Juvnal. A mis hrmanos: Ruth y Raúl. A la Scción d Posgrado d la Facultad d Ingniría Civil.
AGRADECIMIENOS Dbo aquí prsar mi agradciminto al Dr. Ing. Hugo Scaltti Farina por su assoraminto, comprnsión y apoyo continuo n la ralización d la prsnt tsis, y por habrm prmitido conocr a un mastro univrsitario gnroso qu m brindó part d su timpo y d sus conocimintos a lo largo d muchas runions. D igual modo, agradzco al CE. Ing. Francisco Coronado dl Aguila y a todos quins furon mis profsors, n spcial a los dl ára d Estructuras, quins con sus nsñanzas y oportunos consjos acrcntaron mi pasión por la Ingniría Estructural. A mi familia, por su pacincia y apoyo constant n la laboración d st trabajo. Finalmnt, quiro prsar mi gratitud a mis amigos Juan Carlos Nakamatzu y Lonardo Flors por sus prsistnts y muy valiosos alintos.
ÍNDICE Página Rsumn jcutivo... v Ecutiv summary... vii Lista d símbolos... i Lista d tablas... v Lista d figuras... vii INRODUCCIÓN... 1 Importancia dl tma... 1 Rsña histórica... Objtivos d st trabajo... 4 Organización d la tsis... 5 Capítulo 1 EORÍA CLÁSICA DE LOSAS DELGADAS... 7 1.1 Introducción... 7 1. Dfinicions básicas y considracions... 8 1.3 Hipótsis fundamntals... 1 1.4 Equilibrio d furzas... 1 1.5 Rlacions dformación-dsplazaminto (compatibilidad)... 14 1.6 Rlacions sfurzo-dformación (constitutivas)... 15 1.7 Ecuación difrncial d la losa n flión transvrsal (cuación d Lagrang)... 17 1.8 Condicions d bord... 3 Capítulo ALGUNOS ÓPICOS DEL MÉODO DE LOS ELEMENOS FINIOS Y EMAS AFINES... 9.1 Introducción... 9. Los procsos d lmntos finitos y como s dsarrollaron... 9.3 Métodos d parámtros indtrminados... 31.3.1 Métodos d rsiduos pondrados... 33.3. El método d Rayligh-Ritz... 38.3.3 Métodos d lmntos finitos... 4.4 Convrgncia n un modlo d lmntos finitos... 4.4.1 Consistncia... 43.4. Continuidad... 44.5 Elmnto clásico d losas (Mlosh, 196)... 46 i
Índic Capítulo 3 ALERNAIVAS PARA LA FORMULACIÓN DE ELEMENOS FINIOS APLICADOS AL ANÁLISIS DE LOSAS... 51 3.1 Introducción... 51 3. Principios variacionals y su rlación con las cuacions difrncials... 5 3..1 Principio d mínima nrgía potncial... 55 3.. El funcional d Rissnr... 6 3..3 El funcional d nrgía complmntaria... 68 3..4 El funcional d nrgía complmntaria modificada... 71 3.3 Modlos d dsplazaminto. Intgración rducida... 78 3.4 Modlos Discrtos d Kirchhoff... 83 3.4.1 Dscripción dl lmnto DKQ cuadrilátro d losa dlgada. 86 3.5 Modlos Mitos... 91 3.5.1 Elmnto isoparamétrico mito para l análisis d losas isotrópicas... 93 3.6 Modlos Híbridos... 11 3.6.1 Modlos Híbridos d Esfurzos... 1 3.6.1.1 Elmnto rctangular para flión d losas basado n aproimacions para los sfurzos... 13 3.6. Modlos Híbridos d rfftz... 11 3.6..1 Formulación gnral dl lmnto finito híbrido d rfftz... 111 3.6.. Aplicación a flión d losas... 118 Capítulo 4 FORMULACIÓN DE UN ELEMENO HÍBRIDO DE REFFZ PARA EL ANÁLISIS DE LOSAS... 13 4.1 Introducción... 13 4. Algunas considracions d ordn práctico... 14 4..1 Sistma coordnado... 14 4.. Convnción d signos para dsplazamintos, grados d librtad... 14 4..3 Convnción d signos para momntos y corts... 14 4..4 Dfinición d los dsplazamintos y traccions d bord gnralizados... 15 4.3 Aproimacions para los campos d dsplazamintos y algunas opracions asociadas... 17 4.3.1 Aproimación para w... 17 4.3.1.1 Funcions d aproimación φ i... 17 4.3.1. Funcions d aproimación w O... 19 4.3. Aproimación para ~ v... 13 4.4 Evaluación d los vctors d bord gnralizados v y n la aproimación para l campo d dsplazaminto w considrado... 134 4.4.1 Matriz Ф y su corrspondint submatriz típica Ф... 134 4.4. Matriz θ y su corrspondint submatriz típica θ para cada bord... 135 ii WILHELM J. BENAVIDES MANCILLA
Índic O O 4.4.3 Construcción d los vctors v y... 137 O 4.5 Cálculo d la matriz d rigidz K y dl término f... 139 4.6 Comportaminto dl lmnto cuando s somtido a movimintos d curpo rígido... 141 4.7 Frcuncias naturals y modos d vibración d un lmnto aislado.. 143 Capítulo 5 EVALUACIÓN DEL ELEMENO DE FLEXIÓN DE LOSAS HR3 Y APLICACIONES... 145 5.1 Introducción... 145 5. Númro d funcions d aproimación φ i y númro d puntos d intgración numérica... 146 5.3 Algunos análisis simpls para probar la actitud dl lmnto... 159 5.3.1 Análisis stándar d losas cuadradas... 159 5.3.1.1 Análisis d dsplazamintos y sfurzos n l cntro d la losa y n la mitad dl lado... 16 5.3.1. Análisis d dsplazamintos y sfurzos n la lína cntral d la losa... 169 5.3. Análisis d losas cuadradas bajo cargas concntradas distribuidas sobr áras circulars pquñas... 174 5.3..1 Análisis d dsplazamintos y sfurzos cuando l punto d aplicación corrspond al d un nudo... 175 5.3.. Análisis d dsplazamintos y sfurzos cuando l punto d aplicación no corrspond al d un nudo... 184 5.3.3 Análisis d una losa rctangular con dos bords opustos simplmnt apoyados, uno mpotrados y l cuarto libr... 191 5.4 Aplicacions... 196 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES... 7 REFERENCIAS... 11 Apéndic A EORÍA DE LOSAS GRUESAS DE REISSNER-MINDLIN... 15 A.1 Introducción... 15 A. Ecuacions básicas... 15 Apéndic B IMPLEMENACIÓN DE LA FORMULACIÓN. LOS PROGRAMAS DE CÓMPUO FLt Y FLt-PLO... 1 B.1 Introducción... 1 B. El programa FLt... 1 B.3 El programa FLt-PLO... 3 WILHELM J. BENAVIDES MANCILLA iii
RESUMEN EJECUIVO Esta tsis trata sobr l uso d los lmntos finitos, y n particular d los llamados Elmntos Híbridos d rfftz, n la solución d problmas d análisis stático linal y lástico d losas a flión somtidas a cargas transvrsals como furzas concntradas aplicadas n los nudos d la malla (como normalmnt s hac n la mayoría d formulacions d lmntos finitos) así como n puntos d ubicación arbitraria n la losa, cargas uniformmnt distribuidas o cualquir combinación d las antriors; asimismo, sujtas a condicions d bord arbitrarias qu típicamnt s ncontrarían n una formulación d dsplazamintos tradicional. Para l studio d tal tipo d lmnto, s ha dsarrollado un lmnto finito rctangular Híbrido d rfftz d 4 nudos, cuyas prsions mostradas a lo largo d la tsis trminan lugo formando part dl código d un programa d cómputo, hcho n l lnguaj d programación Fortran, para ralizar l análisis d las losas n mnción con distintas condicions d carga y d bord. Admás, como soport gráfico d los valors numéricos obtnidos con l programa d análisis, s dsarrolló un post procsador, qu prmit qu los rsultados numéricos calculados por l primr programa san lugo mostrados gráficamnt, ya sa n forma d línas d contorno d igual valor o n forma d bandas d contorno d igual ancho d valors. S prsntan rsultados obtnidos con l lmnto finito matria d sta tsis, los cuals son comparados con rsultados d otros lmntos dsarrollados con algunas d las formulacions más conocidas d lmntos finitos y, dond fu posibl, con solucions tóricamnt actas traídas d la litratura, para d s modo analizar la convrgncia y spcialmnt la actitud dl lmnto dsarrollado. Por último, s dsarrollan algunos jmplos simpls así como l d un caso un poco más ingniril qu s prsnta n l disño structural rfrido al análisis d un punt losa simplmnt apoyado sujto a un trn d cargas móvils, los cuals prmitn mostrar algunas d las vntajas d un modlo d lmntos finitos híbrido d rfftz para losas. v
EXECUIVE SUMMARY his work dals with finit lmnts, and mor spcifically with Hybrid rfftz Elmnts, for th linar lastic static analysis of plats, ithr with concntratd nodal loads (as is usual in most finit lmnt formulations) or at arbitrary points on th plat, uniformly distributd loads, or any combination of thm, with boundary conditions as usually ncountrd in traditional displacmnt formulations. For th study of such class of lmnts, a hybrid rfftz rctangular finit lmnt with 4 nods was dvlopd. h prssions dtaild at th nd of this documnt wr implmntd in a Fortran computr program for th analysis of plats with any loading and boundary conditions. Furthrmor, a graphical post procssor allows to show th numrical rsults obtaind with th main program, ithr in th form of contour lins of sam valu or as contour bands of qual rangs of valus. Rsults obtaind with th finit lmnt dvlopd in this work ar prsntd and compard with thos computd using som of th most common finit lmnt formulations and, whn it was possibl, with thortically act solutions found in th litratur, with th purpos of studying th convrgnc and accuracy of th proposd lmnt. Finally, som simpl ampls ar prsntd, including th analysis of a simpl simply-supportd slab bridg undr moving loads, which show som of th advantags of hybrid rfftz finit lmnt modls for plats. vii
LISA DE SÍMBOLOS S mustra a continuación una lista d los símbolos principals mplados n st trabajo, aún cuando todos s dfinn n la tsis a mdida qu aparcn. En algunas ocasions s utilizan otros adicionals para opracions scundarias y pud qu s rpita l mismo símbolo. Los símbolos s listan poco más o mnos d acurdo al ordn d su aparición a través d los capítulos. Las matrics y los vctors s dnotan por ltras ngritas, por jmplo K, u; G indica la transpusta d G. CAPÍULO 1, y, z coordnadas cartsianas. u, v, w componnts dl vctor d dsplazamintos n las dirccions, y y z. t spsor d la losa. σ z sfurzo normal n la dircción prpndicular al plano d la losa. p carga uniformmnt distribuida sobr la losa (furza d suprfici). γ z, γ yz dformacions d cort transvrsals. ε z dformación normal n la dircción prpndicular al plano d la losa. w dsplazaminto transvrsal (dflión) dl plano mdio d la losa. Q, Q y furzas cortants transvrsals por unidad d ancho. M, M y, M y momntos flctors y d torsión por unidad d ancho. ε, ε y, ε z dformacions unitarias normals. γ y, γ z, γ yz dformacions unitarias tangncials. u, v dsplazamintos dl plano mdio d la losa. σ, σ y, σ z sfurzos normals. τ y, τ z, τ yz sfurzos d cort. E módulo d lasticidad longitudinal. G módulo d lasticidad transvrsal o d cort. ν coficint d Poisson. κ vctor d curvaturas (componnts κ, κ y y κ y ). D rigidz flionant (o flional) d la losa. oprador d Laplac n dos dimnsions [ / + / y ]. Q * furza cortant fctiva por unidad d longitud. R rsultant d furzas concntradas n la squina d una losa rctangular. CAPÍULO L (u), B i (u) opradors qu dfinn las cuacions difrncials dl problma y las condicions d bord. Ω rgión studiada (dominio). S i bord o contorno d Ω. u función incógnita qu s solución dl problma difrncial. û aproimación d la función incógnita u. N j (j 1, m) funcions d aproimación (o d forma) conocidas. α j (j 1, m) parámtros o coficints indtrminados. m númro d términos d la aproimación; ordn d drivación qu tin la función incógnita n la formulación. N función d aproimación (vctor fila). i
Lista d Símbolos α parámtros o coficints indtrminados (vctor columna). R rror o rsiduo. w i funcions pondradas o funcions d pso. q carga uniformmnt distribuida sobr una viga. L longitud d una viga. EI rigidz a la flión d una viga. v función incógnita (dsplazaminto transvrsal n una viga). vˆ aproimación d la función incógnita v. dflión máima n una viga simplmnt apoyada cargada uniformmnt. acta solución acta para. Π un funcional o principio variacional stacionario. Π p funcional d nrgía potncial. u j (j 1, m) valors d la incógnita n los m nudos dl lmnto. u vctor columna qu agrupa los valors d la incógnita n los m nudos dl lmnto. C tipo d continuidad n l qu solamnt la función d aproimación s continua. C 1 tipo d continuidad n l qu solamnt la función d aproimación y su primra drivada son continuas. a, b longituds d los lados dl lmnto rctangular para losas d Mlosh. w n, (θ ) n, (θ y ) n GDL n cada nudo n dl lmnto d Mlosh: dsplazaminto transvrsal, giro alrddor dl j, giro alrddor dl j y. CAPÍULO 3 u función dsconocida qu hac stacionario a un cirto funcional. F función conocida d, u y d vntualmnt sus drivadas. η pquña variación d la función u. δπ primra variación dl funcional. δ Π sgunda variación dl funcional. U nrgía d dformación. V potncial d las cargas aplicadas. σ ij componnts d sfurzo. ε ij componnts d dformación. V rgión o mdio studiado (volumn). S bord o contorno d V. S σ part dl bord dond las traccions stán prscritas. S u part dl bord dond los dsplazamintos son conocidos. C ijkl constants lásticas qu rlacionan sfurzos con dformacions. u i componnts d dsplazaminto. u i,j drivada d la componnt d dsplazaminto u i con rlación a j. b i componnts d las furzas d curpo por unidad d volumn. t i componnts d las traccions d bord prscritas n l bord S σ. i coordnadas. G función conocida d i, u i y d vntualmnt sus drivadas. n j componnts dl vctor unitario normal al bord y hacia afura. u vctor d dsplazamintos (componnts u, v y w) n l intrior dl lmnto; vctor d dsplazamintos solamnt n los bords ntr lmntos; vctor d dsplazamintos (componnts w, θ y, y θ ) a lo largo d cada bord; vctor d dsplazamintos gnralizados. N función d intrpolación d dsplazamintos; función d aproimación para l dsplazaminto transvrsal w; función d aproimación para la función d sfurzos φ; función d intrpolación para los dsplazamintos qu corrspondn a los bords. q vctor d dsplazamintos d los nudos dl lmnto; vctor d dsplazamintos transvrsals d los nudos dl lmnto. ε vctor d dformacions unitarias (componnts ε, ε y, ε z, γ y, γ z, γ yz ); vctor d dformacions unitarias n l plano (componnts ε, ε y, γ y ). WILHELM J. BENAVIDES MANCILLA
Lista d Símbolos u dnota cirtas drivadas apropiadas d las u. B matriz asociada con cirtas drivadas apropiadas d la función d intrpolación d dsplazamintos N; matriz qu s obtin d drivar apropiadamnt la función d intrpolación dl dsplazaminto transvrsal N w. σ vctor d sfurzos (componnts σ, σ y, σ z, τ y, τ z, τ yz ); vctor d sfurzos n l plano (componnts σ, σ y, τ y ). D matriz d constants lásticas. b furzas d curpo por unidad d volumn (vctor columna). t traccions d bord prscritas n l bord S σ (vctor columna). K matriz d rigidz. f vctor d furzas nodals. oprador gradint n dos dimnsions [ /, / y]. L oprador matricial difrncial linal (κ -L w, L u f ); función d aproimación d las traccions d bord (t L β, t L Φ); función d aproimación para los momntos n l bord (M b L m). A rgión studiada (ára). Π R funcional d Rissnr. S ijkl cantidads qu rlacionan las componnts d dformación con las corrspondints componnts d sfurzo. t i componnts d traccions d bord. ū i valors conocidos d los dsplazamintos n l bord S u. S matriz qu rlaciona las mdidas d dformación con las corrspondints mdidas d sfurzo. t vctor columna qu agrupa a las componnts d traccions d bord. u vctor qu contin los valors conocidos d los dsplazamintos n l bord S u. P función d aproimación d los sfurzos. β vctor d parámtros nodals asociados a los sfurzos (componnts β 1, β, ). -H, G, G submatrics componnts d la matriz d coficints n una formulación mita. Π C funcional d nrgía complmntaria. φ función d sfurzos d Airy. φ drivadas apropiadas d φ. Φ vctor d parámtros nodals asociados a φ. Ω, Δ matriz d coficints y vctor d dsplazamintos prscritos n una formulación basada n l funcional d nrgía complmntaria. t (a) (b) i, t i componnts d tracción d bord sobr los rspctivos lados d un bord común a dos lmntos adyacnts a y b. λ i multiplicadors d Lagrang. Π mc funcional d nrgía complmntaria modificada. Subíndic indica lmnto. V volumn d un lmnto. S u bord d V dond los dsplazamintos stán prscritos. S bord intrlmnto d V. S σ bord d V dond las traccions stán prscritas. V S + S σ + S u indica todo l bord d V. Supríndic () dnota lmnto y n algunos casos como n β () nfatiza la indpndncia para cada lmnto. H (), G () matrics qu intrvinn n l cálculo d la matriz d rigidz dl lmnto n un modlo híbrido d sfurzos. K () matriz d rigidz dl lmnto. f () vctor d furzas nodals dl lmnto. θ vctor d giros (componnts d rotación θ, θ y ). β constant qu corrig la distribución dl sfurzo cortant sobr l spsor. oprador divrgncia n dos dimnsions [ /, / y]. N w función d aproimación (o d forma) para l dsplazaminto transvrsal. w vctor d dsplazamintos transvrsals n los nudos dl lmnto. función d aproimación (o d forma) para los giros. N θ WILHELM J. BENAVIDES MANCILLA i
Lista d Símbolos θ vctor d giros n los nudos dl lmnto. f w, f θ componnts dl vctor d furzas nodals f n un modlo d dsplazamintos con intgración rducida. K s, K sb, K bs, K b submatrics componnts d la matriz d rigidz K n un modlo d dsplazamintos con intgración rducida. M, Q n momntos y cortant prscritos n l bord S σ. L, QS, QL, QH lmnto cuadrilátro bilinal, cuadrático Srndípito, cuadrático Lagrangiano y Htrosis. R intgración rducida. N intgración normal. α y β coordnadas d dos puntos d una viga n dond s aplican las condicions d Kirchhoff (dformación transvrsal nula). U b nrgía d dformación dl lmnto dbida a flión. A ára dl lmnto. N i (i 1,8) funcions d intrpolación corrspondints a las d un lmnto cuadrilatral Srndípito d sgundo ordn. θ i, θ y variabls d giro corrspondints al nudo i d un lmnto. i w, i drivada dl dsplazaminto transvrsal w con rspcto a n l nudo i. s coordnada a lo largo dl bord dl lmnto. w, s k drivada dl dsplazaminto transvrsal w con rspcto a s n l nudo k. l ij longitud dl lado ij. θ n k, θ s giros normal y tangncial a un bord n l nudo k. k U n vctor columna qu contin las 1 variabls nodals finals dl lmnto DKQ. U * nrgía complmntaria. M ns, M nn componnts d momnto n las dirccions tangncial y normal al bord. θ s, θ n componnts d giro n las dirccions tangncial y normal al bord. θ n, M nn giro y momnto n dircción normal al bord, prscritos n l bord S u, S σ. Q n cort n l bord. n vctor unitario normal a un bord y hacia afura. s vctor unitario tangncial a un bord. M vctor d momntos (componnts M, M y, M y ) por unidad d ancho. Q vctor d corts (componnts Q, Q y ) por unidad d ancho. S M matriz qu rlaciona las curvaturas y los momntos. S Q matriz qu rlaciona las dformacions cortants y los corts. γ vctor d dformacions d cort vrtical (componnts γ z, γ yz ). N M función d intrpolación para las componnts d momnto. m vctor qu agrupa los momntos M, M y, M y d cada uno d los nudos dl lmnto. R matriz asociada con cirtas drivadas apropiadas d la función d intrpolación d momntos N M. N b función d aproimación para l dsplazaminto transvrsal n l bord. M b vctor d momntos n l bord (componnts M nn, M ns ) por unidad d ancho. a, b longituds d los lados dl lmnto rctangular para losas d Svrn y aylor. β i (i 1, 4) parámtros nodals asociados a los sfurzos mplados inicialmnt n l lmnto rctangular d Svrn y aylor. P 1, P funcions d intrpolación para los momntos M y corts Q rspctivamnt. A ára d un lmnto. A indica todo l bord d A. S Ω bord o contorno d la rgión studiada Ω. f vctor conjugado d furzas d curpo gnralizadas conocidas. v vctor d dsplazamintos d bord gnralizados. vctor d traccions d bord gnralizadas. v, dsplazamintos y traccions d bord conocidas n S v y S rspctivamnt. S v, S porcions d Ω n la cual o los dsplazamintos o las traccions stán prscritas. ii WILHELM J. BENAVIDES MANCILLA
Lista d Símbolos Ω subrgión (lmnto finito). u solución sobr cada subrgión Ω. O u solución particular d la cuación difrncial gobrnant (función d dsplazaminto dpndint d la carga). φ i (i 1, m) solucions homogénas apropiadas a la cuación difrncial gobrnant. m númro d funcions d aproimación φ i usado n un lmnto híbrido d rfftz. a vctor d coficints indtrminados a i. φ matriz d funcions d aproimación φ i. v~ dsplazaminto intrlmnto indpndint (función marco). N función d intrpolación para la función marco v~. d vctor d dsplazamintos nodals. vctor d furzas nodals quivalnts. f O f part d f qu rprsnta l fcto dl término particular K matriz d rigidz para un lmnto híbrido d rfftz. Ω bord o contorno d Ω. S I porción intrlmnto d Ω. S S S Sv + S S porción d Ω n la cual u satisfac a priori las condicions d bord prscritas. S v y S porcions d Ω n la cual o los dsplazamintos ( v v) o las traccions d bord ( ) stán prscritas (pro no vrificadas a priori). J funcional típico mplado n una formulación híbrida d rfftz. δ oprador d variacions. O O v, rsultados d la sustitución dl término particular u n los vctors d bord gnralizados v y rspctivamnt. Φ, θ matrics qu s obtinn al sustituir φ a n los vctors d bord gnralizados v y rspctivamnt. H, G, h, g matrics y vctors obtnidos para cada lmnto, ncsarios para l cálculo d la O matriz d rigidz K y l vctor f n un modlo híbrido d rfftz. n, r númros d GDL y d los términos d moviminto d curpo rígido d un lmnto híbrido d rfftz. O w solución particular d la cuación d Lagrang 4 w p/d (función d dsplazaminto dpndint d la carga). φ i (i 1, m) solucions homogénas a la cuación d Lagrang. α ángulo qu dfin la dircción dl vctor unitario normal n a un cirto bord. Q n, M n, M ny componnts dl vctor d traccions d bord gnralizadas para un cirto bord. P carga concntrada sobr la losa. O O u. CAPÍULO 4 a, b longituds d los lados dl lmnto rctangular para losas HR3. w, θ y, θ grados d librtad n cada nudo dl lmnto HR3. 1-, 3-4, 1-3, -4 particularizacions dl vctor d traccions d bord para cada bord dl lmnto rctangular HR3. m númro d funcions d aproimación φ i mplado n l lmnto HR3. z variabl complja. φ 1, φ, φ 3, φ 4 polinomios biarmónicos utilizados como funcions d aproimación φ i n l lmnto HR3. k númro ntro mplado n la gnración d las funcions φ i así como n la d sus drivadas. (r, θ) coordnadas polars dl punto (, y) qu corrspond a un númro compljo z. ( p, y p ) coordnadas cartsianas dl punto d aplicación d la carga concntrada P. r distancia dl punto (, y) al punto d aplicación d la carga concntrada P. WILHELM J. BENAVIDES MANCILLA iii
Lista d Símbolos R radio dl círculo pquño sobr l cual s distribuy uniformmnt la carga P. c, ρ, β parámtros utilizados n la función w O para l caso d una carga concntrada P. s /a cambio d variabl qu prmit simplificar algunas prsions d intrpolación. N 1- función d intrpolación para la función marco v~ corrspondint al bord 1- dl lmnto HR3. Φ submatriz típica d Φ para un particular valor d k. θ submatriz típica d θ para l bord 1- y para un spcífico valor d k. O 1 vctor d n Φ Λ a 1 O particularizado para l bord 1- dl lmnto HR3., d, d b vctors d dsplazamintos nodals corrspondints a movimintos d curpo c rígido. númro d GDL dl lmnto. matriz qu almacna los vctors propios φ i (i 1, n) d un lmnto. matriz diagonal qu almacna los valors propios λ i (i 1, n) d un lmnto. CAPÍULO 5 a, b longituds d los lados d una losa rctangular. M dnsidad d una cirta malla d lmntos finitos. C indica l cntro d la losa studiada. grp. grupo d funcions d aproimación φ i stándar. pto. punto d intgración numérica. a longitud dl lado d una losa cuadrada. α, β coficints adimnsionals típicamnt ncontrados n la litratura para algunos casos sncillos d análisis d losas. B indica l punto n la mitad dl lado d la losa studiada. r radio dl círculo pquño sobr l cual s distribuy uniformmnt la carga P. E punto d ubicación arbitraria n l cuarto d losa cuadrada studiada. A indica la squina d la losa cuadrada; punto mdio dl bord libr d la losa rctangular studiada. A 1, A áras d contacto d las llantas dl camión HS d las spcificacions AASHO stándar [1]. L luz dl punt losa studiado. APÉNDICE A w Π p (w, θ) dsplazaminto transvrsal d la suprfici mdia. funcional d nrgía potncial para losas grusas. iv WILHELM J. BENAVIDES MANCILLA
LISA DE ABLAS CAPÍULO 3 Página abla 3.1 Elmntos stándar d losa híbridos d rfftz triangulars y cuadrilátros [15]... 11 CAPÍULO 5 abla 5.1 Comparación dl dsplazaminto transvrsal w (n l cntro d la losa d la Figura 5.1) y d su corrspondint porcntaj d rror para l lmnto HR3 mplando grupos d funcions φ i y númro variabl d puntos d intgración para distintas dnsidads d malla con la solución n sris d imoshnko y l valor tórico acto [1]... 148 abla 5. Comparación dl momnto flctor M (n l cntro d la losa d la Figura 5.1) y d su corrspondint porcntaj d rror para l lmnto HR3 mplando grupos d funcions φ i y númro variabl d puntos d intgración para distintas dnsidads d abla 5.3 malla con la solución n sris d imoshnko y l valor tórico acto [1]... 149 Comparación dl momnto flctor M y (n l cntro d la losa d la Figura 5.1) y d su corrspondint porcntaj d rror para l lmnto HR3 mplando grupos d funcions φ i y númro variabl d puntos d intgración para distintas dnsidads d malla con la solución n sris d imoshnko y l valor tórico acto [1]... 15 abla 5.4 Comparación dl dsplazaminto transvrsal w (n l cntro d la losa d la Figura 5.1) y d su corrspondint porcntaj d rror para l lmnto HR3 mplando 3 grupos d funcions φ i y númro variabl d puntos d intgración para distintas dnsidads d malla con la solución n sris d imoshnko y l valor tórico acto [1]... 151 abla 5.5 abla 5.6 abla 5.7 abla 5.8 abla 5.9 Comparación dl momnto flctor M (n l cntro d la losa d la Figura 5.1) y d su corrspondint porcntaj d rror para l lmnto HR3 mplando 3 grupos d funcions φ i y númro variabl d puntos d intgración para distintas dnsidads d malla con la solución n sris d imoshnko y l valor tórico acto [1]... 15 Comparación dl momnto flctor M y (n l cntro d la losa d la Figura 5.1) y d su corrspondint porcntaj d rror para l lmnto HR3 mplando 3 grupos d funcions φ i y númro variabl d puntos d intgración para distintas dnsidads d malla con la solución n sris d imoshnko y l valor tórico acto [1]... 153 Particulars númros d puntos d intgración numérica para cada númro d grupos d funcions φ i obtnidos por primntación numérica utilizando l lmnto HR3 para la losa d la Figura 5.1... 154 Comparación dl porcntaj d rror n l dsplazaminto transvrsal w (n l cntro d la losa d la Figura 5.1) para l lmnto HR3 mplando, 3,... y hasta 1 grupos d funcions φ i con sus corrspondints númros óptimos d puntos d intgración para distintas dnsidads d malla... 156 Comparación dl porcntaj d rror n l momnto flctor M (n l cntro d la losa d la Figura 5.1) para l lmnto HR3 mplando, 3,... y hasta 1 grupos d funcions φ i con sus corrspondints númros óptimos d puntos d intgración para distintas dnsidads d malla... 157 abla 5.1 Comparación dl porcntaj d rror n l momnto flctor M y (n l cntro d la losa d la Figura 5.1) para l lmnto HR3 mplando, 3,... y hasta 1 grupos d funcions φ i con sus corrspondints númros óptimos d puntos d intgración para distintas dnsidads d malla... 158 abla 5.11 Dflions n l cntro d una losa cuadrada con distintas condicions d bord y d carga para algunos tipos d lmntos finitos y valors tóricos, ν.3... 16 v
Lista d ablas abla 5.1 Momntos flctors M n l cntro d una losa cuadrada simplmnt apoyada o mpotrada n todos sus bords pro uniformmnt cargada para algunos tipos d lmntos finitos y valors tóricos, ν.3... 164 abla 5.13 Momntos flctors M n la mitad dl lado d una losa cuadrada y mpotrada n todos sus bords con carga uniform o carga concntrada para algunos tipos d lmntos finitos y valors tóricos, ν.3... 166 abla 5.14 Dflions a lo largo d la lína cntral (y) d una losa cuadrada con distintas condicions d bord y d carga para algunos tipos d lmntos finitos (M5) y valors tóricos, ν.3... 17 abla 5.15 Giros a lo largo d la lína cntral (y) d una losa cuadrada con distintas condicions d bord y d carga para algunos tipos d lmntos finitos (M5) y valors tóricos, ν.3... 171 abla 5.16 Momntos flctors M a lo largo d la lína cntral (y) d una losa cuadrada simplmnt apoyada o mpotrada n sus cuatro bords pro uniformmnt cargada para algunos tipos d lmntos finitos (M5) y valors tóricos, ν.3... 17 abla 5.17 Corts Q a lo largo d la lína cntral (y) d una losa cuadrada simplmnt apoyada o mpotrada n sus cuatro bords pro uniformmnt cargada para algunos tipos d lmntos finitos (M5) y valors tóricos, ν.3... 173 abla 5.18 Dflions n l cntro d una losa cuadrada, simplmnt apoyada o mpotrada, sujta a una carga puntual P aplicada n l cntro pro qu s distribuida sobr un ára circular pquña (lmnto HR3)... 177 abla 5.19 Momntos flctors M n l cntro d una losa cuadrada, simplmnt apoyada o mpotrada, sujta a una carga puntual P aplicada n l cntro pro qu s distribuida sobr un ára circular pquña (lmnto HR3)... 179 abla 5. Momntos flctors M n la mitad dl lado d una losa cuadrada, con apoyo simpl o mpotrada, sujta a una carga puntual P aplicada n l cntro pro qu s distribuida sobr un ára circular pquña (lmnto HR3)... 181 abla 5.1 Furzas cortants Q n la mitad dl lado d una losa cuadrada, con apoyo simpl o mpotrada, sujta a una carga puntual P aplicada n l cntro pro qu s distribuida sobr un ára circular pquña (lmnto HR3)... 183 abla 5. Momntos flctors M máimos (n azul los máimos absolutos) obtnidos para cada una d las 1 posicions d dsplazaminto longitudinal dl trn d cargas HS, mplando la malla d 8318 lmntos HR3 d la Figura 5.56... abla 5.3 Rsultados d dsplazamintos y sfurzos n los puntos C y B, obtnidos con los lmntos EFM8, DKE y HR3 corrspondints al primr análisis y para la posición longitudinal dl camión HS dond s obtuvo l máimo momnto flctor M... abla 5.4 Rsultados d dsplazamintos y sfurzos n los puntos C y B, obtnidos con los lmntos EFM8, DKE y HR3 corrspondints al sgundo análisis y para la posición longitudinal dl camión HS dond s obtuvo l máimo momnto flctor M... vi WILHELM J. BENAVIDES MANCILLA
LISA DE FIGURAS CAPÍULO 1 Página Figura 1.1 Una losa dlgada n su stado libr d cargas; sistma d coordnadas... 9 Figura 1. Dformación d un pdazo d losa dlgada... 9 Figura 1.3 Ordn d magnitud dl sfurzo normal σ z... 11 Figura 1.4 Furzas qu actúan n un lmnto difrncial d losa. a) Furzas d suprfici y Figura 1.5 cortants. b) Momntos flionants y d torsión... 1 Esfurzos y rsultants d sfurzos n losas. a) Distribución d los sfurzos qu actúan n las sccions transvrsals a los js y d un lmnto difrncial d losa cuyo matrial s homogéno y lástico linal. b) Furzas y momntos rsultants (vistos dsd arriba) producto d la intgración d tals sfurzos. Furzas y qu actúan n l sntido positivo y ngativo dl j z rspctivamnt... 19 Figura 1.6 Rprsntación d los bords d la losa n dibujos y squmas... 3 Figura 1.7 Sustitución d los momntos d torsión por pars quivalnts d furzas vrticals. a) Momntos d torsión. b) Pars quivalnts d furzas vrticals qu simulan l fcto d torsión. c) Los mismos pars quivalnts junto con los cortants; admás, las furzas qu actúan n la squina d la losa... 6 CAPÍULO Figura.1 Una viga simplmnt apoyada con carga uniformmnt distribuida... 35 Figura. Mdio studiado dscompusto n una sri d subrgions o lmntos triangulars... 41 Figura.3 Mdio studiado monodimnsional y difrnciación d una función con la primra drivada discontinua (continuidad C )... 45 Figura.4 Elmnto rctangular para losas d Mlosh. a) Gomtría dl lmnto. b) Grados d librtad n cada nudo... 46 CAPÍULO 3 Figura 3.1 Barra somtida a una furza rpartida aial... 5 Figura 3. Equilibrio d las traccions d bord a lo largo d un bord intrior... 7 Figura 3.3 Algunos primros lmntos compatibls para losas grusas. a) cuadrilátro bilinal (L). b) cuadrático Srndípito (QS). c) cuadrático Lagrangiano (QL). d) Htrosis (QH)... 81 Figura 3.4 Comportaminto d lmntos. a) cuadráticos Srndípitos (QS) y b) cuadráticos Lagrangianos (QL), al variar la rlación L/t; carga uniform n una losa cuadrada con una subdivisión normal 434 n un cuarto. R s intgración rducida 3 y N s intgración normal 333... 8 Figura 3.5 Elmnto d viga con una intrpolación indpndint para w y θ con la condición w/ θ aplicada n los puntos X. a) stado original dl lmnto d viga con 3 nudos. b) stado final con la liminación dl nudo cntral... 85 Figura 3.6 Gomtría inicial dl lmnto DKQ... 88 Figura 3.7 Poca snsibilidad d los modlos discrtos d Kirchhoff a las distorsions d los lmntos. a) malla irrgular. b) malla rgular... 91 Figura 3.8 Algunas considracions a lo largo dl bord d un lmnto. a) componnts dl vctor momnto n dircción tangncial y normal al bord. b) vctors unitarios normal y tangncial a dicho bord... 94 Figura 3.9 Elmnto finito mito isoparamétrico [6]. a) gomtría. b) incógnitas nodals... 97 vii
Lista d Figuras Figura 3.1 Elmntos híbridos [31]... 1 Figura 3.11 Elmnto híbrido d sfurzos para losas d Svrn y aylor [5]. a) Gomtría. b) Grados d librtad n cada nudo. c) Accions sobr los lados dl lmnto... 13 Figura 3.1 Malla típica d lmntos híbridos d rfftz sofisticados [15]: A) Singularidads dbido a cargas concntradas; B) Concntracions d sfurzos dbido a agujros circulars o a squinas ntrants rdondadas; C) Singularidads d squinas angulars 113 Figura 3.13 Elmntos híbridos d rfftz [15]: a) Rgular. b) D propósito spcial prforado y con cort d forma d V agudo... 114 Figura 3.14 Método altrnativo para la dfinición d las traccions d bord gnralizadas para los lmntos d flión d losa... 119 CAPÍULO 4 Figura 4.1 Elmnto finito híbrido d rfftz para losas dsarrollado n sta tsis. a) Gomtría y convnción d signos para los dsplazamintos. b) Grados d librtad n cada nudo. c) Accions sobr los lados dl lmnto... 15 Figura 4. Distribución práctica d cargas concntradas... 131 Figura 4.3 Rprsntación gráfica dl producto matricial θ Φ utilizada n l cálculo d la matriz H... 14 Figura 4.4 Elmnto unitario mplado para vrificar la consistncia dl lmnto HR3 y para obtnr los valors y vctors propios d un lmnto aislado... 141 Figura 4.5 Movimintos d curpo rígido aplicados al lmnto unitario d la Figura 4.4 y utilizados para vrificar la consistncia dl lmnto d losa rctangular d cuatro nudos HR3. a) raslación pura. b) raslación y rotación alrddor dl j y. c) raslación y rotación alrddor dl j... 14 Figura 4.6 Valors y vctors propios dl lmnto d losa rctangular d cuatro nudos HR3. a 1., b 1., t 1., E 1., ν.3... 144 CAPÍULO 5 Figura 5.1 Figura 5. Figura 5.3 Figura 5.4 Figura 5.5 Figura 5.6 Figura 5.7 Cuarto d una losa rctangular (ára sombrada) mpotrada cargada uniformmnt, utilizada para l studio numérico dl númro d funcions d aproimación φ i y númro d puntos d intgración numérica para l lmnto HR3... 146 Curvas d convrgncia asociadas a la abla 5.1, corrspondints a los porcntajs d rror n l dsplazaminto cntral d la losa d la Figura 5.1, obtnidas con l lmnto HR3 utilizando grupos d funcions φ i con 1 o puntos d intgración numérica... 148 Curvas d convrgncia asociadas a la abla 5., corrspondints a los porcntajs d rror n l momnto flctor M n l cntro d la losa d la Figura 5.1, obtnidas con l lmnto HR3 utilizando grupos d funcions φ i con 1 o puntos d intgración numérica... 149 Curvas d convrgncia asociadas a la abla 5.3, corrspondints a los porcntajs d rror n l momnto flctor M y n l cntro d la losa d la Figura 5.1, obtnidas con l lmnto HR3 utilizando grupos d funcions φ i con 1 o puntos d intgración numérica... 15 Curvas d convrgncia asociadas a la abla 5.4, corrspondints a los porcntajs d rror n l dsplazaminto cntral d la losa d la Figura 5.1, obtnidas con l lmnto HR3 utilizando 3 grupos d funcions φ i con o 3 puntos d intgración numérica... 151 Curvas d convrgncia asociadas a la abla 5.5, corrspondints a los porcntajs d rror n l momnto flctor M n l cntro d la losa d la Figura 5.1, obtnidas con l lmnto HR3 utilizando 3 grupos d funcions φ i con o 3 puntos d intgración numérica... 15 Curvas d convrgncia asociadas a la abla 5.6, corrspondints a los porcntajs d rror n l momnto flctor M y n l cntro d la losa d la Figura 5.1, obtnidas con l lmnto HR3 utilizando 3 grupos d funcions φ i con o 3 puntos d intgración numérica... 153 viii WILHELM J. BENAVIDES MANCILLA
Lista d Figuras Figura 5.8 Figura 5.9 Figura 5.1 Figura 5.11 Figura 5.1 Figura 5.13 Figura 5.14 Figura 5.15 Figura 5.16 Figura 5.17 Figura 5.18 Figura 5.19 Figura 5. Figura 5.1 Figura 5. Figura 5.3 Figura 5.4 Figura 5.5 Figura 5.6 Figura 5.7 Figura 5.8 Figura 5.9 Curvas d convrgncia asociadas a la abla 5.8, corrspondints a los porcntajs d rror n l dsplazaminto cntral d la losa d la Figura 5.1, obtnidas con l lmnto HR3 utilizando l númro óptimo d puntos d intgración numérica para cada númro d grupos d funcions φ i analizadas... 156 Curvas d convrgncia asociadas a la abla 5.9, corrspondints a los porcntajs d rror n l momnto flctor M n l cntro d la losa d la Figura 5.1, obtnidas con l lmnto HR3 utilizando l númro óptimo d puntos d intgración numérica para cada númro d grupos d funcions φ i analizadas... 157 Curvas d convrgncia asociadas a la abla 5.1, corrspondints a los porcntajs d rror n l momnto flctor M y n l cntro d la losa d la Figura 5.1, obtnidas con l lmnto HR3 utilizando l númro óptimo d puntos d intgración numérica para cada númro d grupos d funcions φ i analizadas... 158 Cuarto d una losa cuadrada (ára sombrada ABCD) con distintas condicions d bord y carga, mplada para ralizar algunos análisis comparativos y studios d convrgncia con distintos lmntos finitos y particularmnt con l lmnto HR3. 16 Losa cuadrada con apoyo simpl cargada uniformmnt: porcntaj d rror n l dsplazaminto cntral... 163 Losa cuadrada con apoyo simpl sujta a una carga concntrada n l cntro: porcntaj d rror n l dsplazaminto cntral... 163 Losa cuadrada mpotrada cargada uniformmnt: porcntaj d rror n l dsplazaminto cntral... 163 Losa cuadrada mpotrada sujta a una carga concntrada n l cntro: porcntaj d rror n l dsplazaminto cntral... 163 Losa cuadrada con apoyo simpl cargada uniformmnt: porcntaj d rror dl momnto flctor n l cntro d la losa... 165 Losa cuadrada mpotrada cargada uniformmnt: porcntaj d rror dl momnto flctor n l cntro d la losa... 165 Losa cuadrada mpotrada cargada uniformmnt: porcntaj d rror dl momnto flctor M n la mitad dl lado... 167 Losa cuadrada mpotrada sujta a una carga concntrada n l cntro: porcntaj d rror dl momnto flctor n la mitad dl lado... 167 Losa cuadrada mpotrada sujta a una carga concntrada n l cntro: porcntaj d rror dl cort Q n la mitad dl lado... 168 Losa cuadrada mpotrada y cargada uniformmnt: a) Dflions a lo largo d la lína cntral b) Porcntajs d rror n w a lo largo d la lína cntral... 17 Losa cuadrada mpotrada y cargada uniformmnt: a) Giros a lo largo d la lína cntral b) Porcntajs d rror n los giros a lo largo d la lína cntral... 171 Losa cuadrada mpotrada y cargada uniformmnt: a) Momntos flctors M a lo largo d la lína cntral b) Porcntajs d rror n M a lo largo d la lína cntral... 17 Losa cuadrada simplmnt apoyada y cargada uniformmnt: a) Corts Q a lo largo d la lína cntral b) Porcntajs d rror n Q a lo largo d la lína cntral... 173 Losa cuadrada con apoyo simpl sujta a una carga sudo concntrada n l cntro: porcntaj d rror n l dsplazaminto cntral... 177 Losa cuadrada mpotrada sujta a una carga sudo concntrada n l cntro: porcntaj d rror n l dsplazaminto cntral... 177 Losa cuadrada con apoyo simpl sujta a una carga sudo concntrada aplicada n l cntro: a) Momnto flctor M n l cntro d la losa. b) Porcntaj d rror dl momnto flctor... 179 Línas d contorno dl momnto flctor M para l cuarto d losa analizada (Figura 5.11), simplmnt apoyada y: a) Con carga concntrada P idal. b) Con carga concntrada P uniformmnt distribuida sobr un ára circular pquña d radio r a/1; n ambos casos aplicadas n l cntro d la losa, mplando una malla rgular d 838 lmntos HR3... 18 Línas d contorno dl momnto flctor M para l cuarto d losa analizada (Figura 5.11), mpotrada y: a) Con carga concntrada P idal. b) Con carga concntrada P uniformmnt distribuida sobr un ára circular pquña d radio r a/1; n ambos WILHELM J. BENAVIDES MANCILLA i
Lista d Figuras Figura 5.3 Figura 5.31 Figura 5.3 Figura 5.33 Figura 5.34 Figura 5.35 Figura 5.36 Figura 5.37 Figura 5.38 Figura 5.39 Figura 5.4 Figura 5.41 Figura 5.4 Figura 5.43 Figura 5.44 Figura 5.45 Figura 5.46 Figura 5.47 Figura 5.48 Figura 5.49 casos aplicadas n l cntro d la losa, mplando una malla rgular d 838 lmntos HR3... 18 Losa cuadrada con apoyo simpl sujta a una carga sudo concntrada n l cntro: momnto flctor M n la mitad dl lado... 181 Losa cuadrada mpotrada sujta a una carga sudo concntrada n l cntro: porcntaj d rror dl momnto flctor M n la mitad dl lado... 181 Losa cuadrada con apoyo simpl sujta a una carga sudo concntrada n l cntro: porcntaj d rror dl cort Q n la mitad dl lado... 183 Losa cuadrada mpotrada sujta a una carga sudo concntrada n l cntro: porcntaj d rror dl cort Q n la mitad dl lado... 183 Cuarto d una losa cuadrada (ára sombrada ABCD) con bord trior simplmnt apoyado o mpotrado somtido a una carga concntrada céntrica P d ubicación arbitraria con rspcto a los nudos d la malla (punto E) pro uniformmnt distribuida sobr una rgión circular pquña d radio r... 184 Losa cuadrada con apoyo simpl sujta a 4 cargas sudo concntradas simétricas P ubicadas arbitrariamnt: porcntaj d rror n l dsplazaminto cntral... 186 Losa cuadrada mpotrada sujta a 4 cargas sudo concntradas simétricas P ubicadas arbitrariamnt: porcntaj d rror n l dsplazaminto cntral... 186 Línas d contorno dl dsplazaminto transvrsal w para l cuarto d losa analizada (Figura 5.34), mpotrada y con carga concntrada P aplicada n l punto d ubicación arbitraria (X,Y)(11a/6,11a/6) pro distribuida sobr un ára circular pquña d radio r a/1; mplando una malla rgular d 838 lmntos HR3... 186 Losa cuadrada con apoyo simpl sujta a 4 cargas sudo concntradas simétricas P ubicadas arbitrariamnt: porcntaj d rror dl momnto flctor M n l cntro d la losa... 188 Losa cuadrada mpotrada sujta a 4 cargas sudo concntradas simétricas P ubicadas arbitrariamnt: porcntaj d rror dl momnto flctor M n l cntro d la losa... 188 Línas d contorno dl momnto flctor M para l cuarto d losa analizada (Figura 5.34), simplmnt apoyada y con carga concntrada P aplicada n l punto d ubicación arbitraria (X,Y)(11a/6,11a/6) pro distribuida sobr un ára circular pquña d radio r a/1; mplando una malla rgular d 16316 lmntos HR3... 188 Losa cuadrada con apoyo simpl sujta a 4 cargas sudo concntradas simétricas P ubicadas arbitrariamnt: porcntaj d rror dl momnto torsor M y n la squina d la losa... 189 Losa cuadrada mpotrada sujta a 4 cargas sudo concntradas simétricas P ubicadas arbitrariamnt: porcntaj d rror dl momnto torsor M y n la squina d la losa... 189 Línas d contorno dl momnto torsor M y para l cuarto d losa analizada (Figura 5.34), mpotrada y con carga concntrada P aplicada n l punto d ubicación arbitraria (X,Y)(11a/6,11a/6) pro distribuida sobr un ára circular pquña d radio r a/1; mplando una malla rgular d 16316 lmntos HR3... 189 Losa cuadrada con apoyo simpl sujta a 4 cargas sudo concntradas simétricas P ubicadas arbitrariamnt: porcntaj d rror dl cort Q n la mitad dl lado... 19 Losa cuadrada mpotrada sujta a 4 cargas sudo concntradas simétricas P ubicadas arbitrariamnt: porcntaj d rror dl cort Q n la mitad dl lado... 19 Línas d contorno d la furza cortant Q para l cuarto d losa analizada (Figura 5.34), simplmnt apoyada y con carga concntrada P aplicada n l punto d ubicación arbitraria (X,Y)(11a/6,11a/6) pro distribuida sobr un ára circular pquña d radio r a/4; mplando una malla rgular d 16316 lmntos HR3... 19 Losa rctangular con rlación d lados b/a.5 y con dos bords opustos simplmnt apoyados, uno mpotrado y l cuarto libr, sujta a dos distintos stados d carga... 19 Losa rctangular con 3 tipos d apoyos n su contorno, cargada uniformmnt n toda l ára: porcntaj d rror para l dsplazaminto w n la mitad dl bord libr... 194 Losa rctangular con 3 tipos d apoyos n su contorno, somtida a una carga concntrada n l cntro: porcntaj d rror para l dsplazaminto w n la mitad dl bord libr... 194 WILHELM J. BENAVIDES MANCILLA
Lista d Figuras Figura 5.5 Bandas d contorno dl dsplazaminto transvrsal w para la mitad d la losa rctangular mostrada n la Figura 5.47 con las condicions d bord indicadas pro sujta a una carga uniformmnt distribuida p n toda l ára, mplando una malla rgular d 838 lmntos HR3... 194 Figura 5.51 Losa rctangular con 3 tipos d apoyos n su contorno, cargada uniformmnt n toda l ára: porcntaj d rror dl momnto flctor M y n la mitad dl bord mpotrado... 195 Figura 5.5 Losa rctangular con 3 tipos d apoyos n su contorno, somtida a una carga concntrada n l cntro: porcntaj d rror dl momnto flctor M y n la mitad dl bord mpotrado... 195 Figura 5.53 Bandas d contorno dl momnto flctor M y para la mitad d la losa rctangular mostrada n la Figura 5.47 con las condicions d bord indicadas pro sujta a una carga concntrada P (n ralidad sudo concntrada con r lado promdio/1) aplicada n l cntro d la losa, mplando una malla rgular d 838 lmntos HR3. 195 Figura 5.54 Scción transvrsal dl punt losa analizado... 197 Figura 5.55 Camión stándar HS... 198 Figura 5.56 Malla d 144 lmntos HR3 y trn d cargas HS ubicado n la 8va. posición longitudinal (n color azul), así como n la tórica posición también longitudinal para l máimo momnto flctor M n una viga simplmnt apoyada (n color rojo)... 199 Figura 5.57 Diagrama d línas d contorno dl momnto flctor M corrspondint al primr análisis, mplando una malla d 144 lmntos HR3, para la posición dl camión dond s obtuvo l rspctivo máimo momnto flctor M... 199 Figura 5.58 Malla d 144 lmntos finitos mplada para l análisis con los lmntos DKE y EFM8 utilizando l camión HS n la misma 8va. posición longitudinal d la Figura 5.56... 1 Figura 5.59 Malla d 64 lmntos finitos (utilizada para l análisis con los lmntos DKE y EFM8), provnint d aqulla d la Figura 5.58 a causa d un sncillo rfinaminto local n l vcindario d las cargas concntradas... 3 Figura 5.6 Línas d contorno dl dsplazaminto transvrsal w corrspondint al primr análisis, mplando la malla d 144 lmntos HR3, para la 8va. posición d dsplazaminto longitudinal dl camión HS... 3 Figura 5.61 Bandas d contorno dl momnto torsor M y corrspondint al primr análisis, mplando la malla d 144 lmntos HR3, para la 8va. posición d dsplazaminto longitudinal dl camión HS... 4 Figura 5.6 Línas d contorno dl momnto flctor M corrspondint al sgundo análisis, mplando la malla d 144 lmntos HR3, para la 8va. posición d dsplazaminto longitudinal dl camión HS... 4 Figura 5.63 Línas d contorno dl momnto flctor M y corrspondint al sgundo análisis, mplando la malla d 144 lmntos HR3, para la 8va. posición d dsplazaminto longitudinal dl camión HS... 5 Figura 5.64 Bandas d contorno dl cort Q corrspondint al sgundo análisis, mplando la malla d 144 lmntos HR3, para la 8va. posición d dsplazaminto longitudinal dl camión HS... 5 APÉNDICE A Figura A.1 APÉNDICE B Figura B.1 Dfinición d variabls para la aproimación d losas grusas. a) Dsplazamintos y giros. b) Momntos y furzas cortants... 16 Gráfico dl tipo Númro fijo d Bandas d Contorno, utilizado n st caso para mostrar los momntos flctors M n forma d bandas d contorno d igual ancho d valors... 4 WILHELM J. BENAVIDES MANCILLA i
INRODUCCIÓN IMPORANCIA DEL EMA S utilizan los lmntos finitos como hrraminta d análisis n situacions n las qu, por la compljidad d la gomtría o d las accions aplicadas, las técnicas tradicionals tinn limitacions o no dan bunos rsultados. Por jmplo, si s tuvira qu analizar una prsa d arco, un modlo constituido por barras, qu n l pasado pudo plantars, sría dmasiado pobr n l contto actual, n qu lo más apropiado sría utilizar una técnica d lmntos finitos. En l tma d análisis d losas, s cunta con solucions analíticas mayormnt basadas n sris d Fourir, y rsultados obtnidos con tals técnicas, prsados n gráficos y tablas. Casi la totalidad d sos trabajos s rfirn a losas rctangulars, o n algunos casos circulars, con condicions d apoyo y d carga rlativamnt simpls. A partir d la década d 196 s dsarrollaron lmntos finitos rctangulars para l análisis d losas y más adlant lmntos triangulars o cuadrilátros d forma arbitraria. La mayor part d tals lmntos, incluyndo aqullos incorporados n los programas d cómputo más conocidos, rquirn utilizar mallas muy finas para consguir rsultados adcuados para fins d ingniría, particularmnt al studiars los fctos d cargas móvils concntradas n áras rlativamnt pquñas. Es por lo tanto d mucho intrés para l ingniro contar con lmntos finitos más actos y ficints, qu prmitan al usuario rducir l timpo y l sfurzo d cómputo, 1
Introducción spcialmnt n l contto dl análisis no linal, n dond s rquir una buna prdicción d los sfurzos para l adcuado control dl procso incrmntal itrativo qu prmita satisfacr las condicions d quilibrio, d continuidad y constitutivas. Los modlos Híbridos d rfftz ofrcn bunas prspctivas frnt a muchos problmas y/o limitacions d las formulacions más tradicionals d lmntos finitos, spcialmnt para l caso dl análisis d losas. Los rsultados d varios studios numéricos, ntr otros los d la prsnt tsis, mustran la clnt actitud y ficincia dl tipo d modlo prsntado n st trabajo. En los modlos Híbridos d rfftz s utilizan, como funcions d aproimación, ntr otras, las solucions actas n una losa infinita cuando s tin una furza distribuida sobr un ára circular pquña (carga sudo concntrada), las cuals prmitn dsarrollar lmntos finitos qu pudn aproimar bastant bin las condicions qu s dan bajo una carga concntrada puntual, solucionando al mismo timpo y n forma práctica l problma tórico dl valor infinito d momnto qu s daría bajo dicha carga, admás d prmitir qu la ubicación d la carga no ncsariamnt coincida con algún nudo d la malla. En los lmntos finitos tradicionals, como los llamados modlos d dsplazaminto, ist un problma muy srio, pus cuando s quir tnr prcisión n la zona qu stá inmdiatamnt dbajo d la carga concntrada s rquir rfinar mucho la malla. El concntrar lmntos s una solución factibl mintras qu las cargas stén n un mismo sitio, pro cuando las cargas son móvils y por tanto pudn star n cualquir lugar, s tndría qu concntrar los lmntos n cualquir sitio dond la carga concntrada pudira star, y al sr sa carga móvil s tndría qu tnr una malla muy fina n prácticamnt toda la losa. La calidad d las aproimacions obtnidas con los modlos Híbridos d rfftz s mjor, y s tin la vntaja con rspcto a otras formulacions altrnativas d qu su forma final s la tradicional prsión d rigidz. RESEÑA HISÓRICA El análisis d losas fu una d las primras aplicacions dl método d lmntos finitos n los inicios d la década d 196. En aqul timpo no s aprciaron las divrsas dificultads qu s pondrían n vidncia más tard y por sta razón n st tma s dsarrolló y s WILHELM J. BENAVIDES MANCILLA