Por: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariaa de Veezuela Tiaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS Usted está familiarizado co alguas operacioes iversas. La adició y la sustracció so operacioes iversas, la multiplicació y la divisió so tambié operacioes iversas, así como la poteciació y la etracció de raíces. Ahora, coocerá la operació iversa la de derivació o difereciació deomiada atiderivació o atidifereciació, la cual implica el cálculo de ua atiderivada. Atiderivada. Ua fució F se deomia atiderivada de ua fució f e u itervalo I si F ( ) f ( ) para todo I. Si F es la fució defiida por modo que si +. De F( ) + +, etoces F f ( ) +, etoces f es la derivada de F, y F es la atiderivada de f. Si G es la fució defiida por f, porque G( ) + 7, etoces G tambié es ua atiderivada de +. E realidad, cualquier fució H defiida por G H ( ) + + C, dode C es ua costate, es ua atiderivada de f. Teorema. Si f y g so dos fucioes defiidas e el itervalo I, tales que f ( ) g ( ) para todo I, etoces eiste ua costate K tal que f ( ) g( ) + K para todo I. La atiderivació o atidifereciació es el proceso mediate el cual se determia el cojuto de todas las atiderivadas de ua fució dada. El símbolo deota la operació de atiderivació, y se escribe, f F + C dode F ( ) f ( ) d F( ) f ( ). y E la igualdad f ( ) F( ) + C, es la variable de itegració, f ( ) es el itegrado y la epresió F( ) + C recibe el ombre de atiderivada geeral o itegral idefiida de f. Si { F( ) C} + es el cojuto de todas las fucioes cuyas difereciales sea f ( ), tambié es el cojuto de todas las fucioes cuya derivada es f ( ).
Eleazar J. García Itegrales Idefiidas Teorema. + C. Teorema. af ( ) a f ( ), dode a es ua costate. Teorema. Si las fucioes f y g está defiidas e el mismo itervalo, etoces [ ] f ( ) + g( ) f ( ) + g( ). Teorema. Si las fucioes f, f, f,, f está defiidas e el mismo itervalo, etoces [ + + + + ] c f c f c f c f dode c, c, c,, c so costates. Teorema 6. Ejemplos. c f ( ) + c f ( ) + c f ( ) + + c f ( ), Si es u úmero racioal, etoces ) Evalúe ( 8 + 9 + 7) + + C. + 8 9 7 8 9 7 + + + + ) Calcule + 8 + 9 + 7 + C 7 C + + +
Itegrales Idefiidas Lic. Eleazar J. García t + 7 ) Determie dt t + + + + + C + + C t + 7 t t t dt dt + dt t dt + t dt + + C 7 7 7 t t t + + t t t C t C Los teoremas para las itegrales idefiidas de las fucioes trigoométricas seo, coseo, secate al cuadrado, cosecate al cuadrado, secate por tagete y cosecate por cotagete, so deduccioes imediatas de los teoremas correspodietes de difereciació. A cotiuació se preseta tales teoremas. Teorema 7. se Teorema 8. cos + C cos se + C Teorema 9. sec tg + C Teorema 0. csc cotg + C Teorema. sec tg sec + C
Eleazar J. García Itegrales Idefiidas Teorema. Ejemplos. csc cotg csc + C ) Evalúe ( sec tg csc + 8se ) ( + 8 ) + 8 sec tg csc se sec tg csc se sec cotg + 8 cos + C sec + cotg 8cos + C Las idetidades trigoométricas se emplea co frecuecia cuado se calcula itegrales idefiidas que ivolucra fucioes trigoométricas. Las ocho idetidades trigoométricas fudametales siguietes so de crucial importacia. se csc cos sec tg cotg se cos tg cotg cos se se + cos tg + sec cotg + csc ) Calcule cotg se se cotg se se cotg csc cotg se se se se csc cos + C csc + cos + C ) Determie ( tg + cotg + ) ( tg + cotg + ) ( sec ) + ( csc ) + sec + csc + tg cotg + + C
Itegrales Idefiidas Lic. Eleazar J. García Ejercicios. Calcule las itegrales idefiidas: ( ) ( ) y + y ) u u du ) ) y y ) y se cos ) ( cos se ) 6) 7) 8) ( csc cot + sec ) cos se tg β cos β 9) ( cotg θ tg θ ) dθ 0) dβ cos β Teorema. Regla de la cadea para atiderivació. Sea g ua fució difereciable y sea el cotradomiio de g algú itervalo I. Supoga que f es ua fució defiida e I y que F es ua atiderivada de f e I. Etoces ( ) ( ) ( ) ( ) +. f g g f g d g F g C Teorema. Si g es ua fució difereciable y es u úmero racioal, etoces Ejemplos. + g g ( ) g ( ) + C. + ) Evalúe + + + y observe que si g( ) + etoces g ( ). Por lo tato, se ecesita u factor juto a para obteer g ( ). E cosecuecia, se escribe ( g( ) ) + ( + ) + ( g( ) ) + C 9 + + C + + ( g( ) ) + + + + d + ( ) g d g
Eleazar J. García Itegrales Idefiidas ) Calcule 8 + Observe que si g( ) + etoces g ( ) 6. Por lo tato, ecesitamos u factor 6 juto a para obteer g ( ) 6. Luego, se escribe g ( ) ( g ( ) ) ( g( ) ) ( g( ) ) d ( g( ) ) 8+ 8 8 8 (( + ) ) + + 6 + d 6 6 ( + ) + C 6 8 + ( ) + + C 9 + + ) Evalúe ( 8 ) Como d ( 8 ), se escribe ( ) ( ) ( 8 ) ( 8 ) ( 8 ) ( 8 ) ( 8 ) ( 8 ) 8( 8 ) Ejercicios. Resuelva: d + C + C 6 6 ( g( ) ) d ( g( ) ) y ( y ) ) y dy ) ) 9 ) + 0 ) 6) dy 7) y csc y cot y dy 8) cos + se E los teoremas que se preseta a cotiuació u es ua fució de, es decir, u f ( ). 6 Teorema. du l u + C u 6
Itegrales Idefiidas Lic. Eleazar J. García Evalúe + E este caso u +, por lo tato, du, luego se ecesita u factor juto a para obteer du. Etoces, se escribe Teorema 6. d ( + ) l + + C + + + tg u du l secu + C Calcule tg 6 u 6 Cosideremos u, teemos que du 6, luego ecesitamos u factor 6 juto a para obteer du. Por lo tato, Teorema 7. du ( 6 ) 6 6 6 6 6 tg 6 tg 6 tg d 6 l sec + C cotg u du l se u + C u du Calcule cotg ( 7 + ) Como u 7 +, etoces du 7, por lo tato, 7 7 7 u du ( 7 ) ( 7 )( 7 ) ( 7 ) ( 7 ) ( 7 ) cotg + cotg + cotg + d + l se + + C Teorema 8. secu du l secu + tg u + C 7
Eleazar J. García Itegrales Idefiidas Evalúe sec Siedo u, etoces du, luego, podemos escribir Teorema 9. sec sec sec d l sec + tg + C cscu du l cscu cotg u + C Resuelva se csc csc csc d ( ) l csc cotg + C se Ejercicios. Resuelva las itegrales idefiidas: + ( + ) cos se cos l ) ( tg sec ) ) ) ) + y ) ) ) ) ) dy y l y se t cos se 6) dt 7) cotg csc 8) 9) t y 0 dy ( + l ) t l l + + ) ) 6) ( l ) l + l + 7 tg l cotg t l 7) 8) dt 9) 0) Teorema 0. u u e du e + C 8
Itegrales Idefiidas Lic. Eleazar J. García Evalúe e Sea u, etoces, du, por lo tato u e e u u e e du e + C e + C Teorema. u u a a du + C l a Evalúe 0 du Como 0 0, se aplica el teorema co u, de dode obteemos, du, etoces u u 0 0 0 0 0 0 0 du + C + C + C l 0 l0 l 0 Ejercicios. E los siguietes ejercicios evalúe la itegral idefiida. + + e ( e ) e e e ) e ) e ) ) ) e + y y z l z y e e l ( log ) ( + ) 6) a l z dz 7) e dy 8) 9) A partir de las fórmulas de las derivadas de las fucioes trigoométricas iversas se obtiee alguas fórmulas de itegrales idefiidas. El teorema siguiete proporcioa tres de estas fórmulas. Teorema. du u du + u arcse u + C arctg u + C 9
Eleazar J. García Itegrales Idefiidas Teorema. du arc secu + C u u El teorema siguiete proporcioa alguas fórmulas más geerales. Ejemplos. du u arcse + C a u a du u arctg + a C a + u a du u arc sec a C u u a a + ) Evalúe 9 ( ) d arcse + C 9 ) Evalúe + + ( ) + Co la fialidad de completar el cuadrado de se suma, y como está 9 multiplicado por e realidad se suma es al deomiador, de modo que para que la epresió del deomiador persista, es decir, o se altere, se resta tambié. Por lo tato, se tiee + + + + + 9 9 arcta + C arcta + C ( ) + ( ) 0
Itegrales Idefiidas Lic. Eleazar J. García ) Evalúe 6 + 6 6 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + 6 arc sec + C Las fórmulas de itegració idefiida del teorema siguietes so cosecuecia imediata de las fórmulas de las derivadas de las fucioes hiperbólicas. Teorema. Ejemplos. Ejercicios. sech u tgh u du sech u + C csch u cotgh u du csch u + C seh u du cosh u + C cosh u du seh u + C sech u du tg u + C csch u du cotgh u + C ) Evalúe seh cosh cosh seh cosh d cosh cosh + C ) Evalúe ( ) tgh sech sech tgh + C
Eleazar J. García Itegrales Idefiidas ) seh cosh ) cosh seh ) csch ) cotgh ) tgh l cosh 6) sech tgh Ates de estudiar los diferetes métodos de itegració, se preseta ua lista umerada de las fórmulas típicas de itegració idefiida las cuales debe ser memorizadas por el estudiate para u mejor desevolvimieto.... + + + u. u du + C + du. l u + C u u u a 6. a du + C dode a > 0 y a l a 7. du u + C a du au + C a R f u g u du f u du g u du u u e du e C + 8. se u du cos u + C 9. cos u du se u + C 0. sec u du tg u + C. csc u du cotg u + C. sec u tg u du sec u + C
Itegrales Idefiidas Lic. Eleazar J. García. cscu cotg u du cscu + C. tg u du l secu + C. cotg u du l se u + C 6. secu du l secu + tg u + C 7. cscu du l cscu cotg u + C du u 8. arcse + C dode a > 0 a u a du u 9. du a arctg + C dode a > 0 a + u a du u 0. a arc sec + C u u a a. seh u du cosh u + C. cosh u du seh u + C. sech u du tgh u + C. csch u du cotgh u + C. sech u tgh u du sech u + C 6. csch u cotgh u du csch u + C dode a > 0 Empredamos el estudio de los métodos de itegració. Uo de los métodos más ampliamete usados e la resolució de itegrales es la itegració por partes.
Eleazar J. García Itegrales Idefiidas INTEGRACIÓN POR PARTES. La fórmula de la itegració por partes es la siguiete: Esta fórmula epresa a la itegral u dv uv v du u dv e térmios de la itegral v du. Mediate ua elecció adecuada de u y dv, puede evaluarse más fácilmete itegral v du. Ejemplos. ) Evaluar l Tomemos u l y dv, por lo tato, du y l l l l + C ) Evaluar e ( ) e e e d e e e e e d e e + C v, luego, Sea u y dv e d ( ), etoces, du y v e, por lo tato, ( ) Ejercicios. Evalúe las itegrales idefiidas. ( l t ) e t ( + ) ) dt ) arctg ) sec tg ) ) se l y dy 6) se z l cos z dz 7) e 8)
Itegrales Idefiidas Lic. Eleazar J. García INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS. Las itegrales trigoométricas implica operacioes algebraicas sobre fucioes trigoométricas. CASO. (i) se o (ii) cos, dode es u úmero etero positivo impar. (i) Se hace la trasformació se se se ( se ) ( se ) ( cos ) ( se ) (ii) Se hace la trasformació cos cos cos ( cos ) ( cos ) ( se ) ( cos ) Ejemplos. ) Calcule se cos + cos d ( cos ) cos d ( cos ) ( ) ( ) se se se cos se cos + cos se se cos se + cos se cos + cos cos + C ) Calcule cos
Eleazar J. García Itegrales Idefiidas ( ) cos cos cos se cos cos se cos CASO. se se d se se se + C m se cos, dode al meos uo de los epoetes es u úmero etero positivo impar. E la solució de este caso se utiliza u método semejate al empleado e el caso. (i) Si es impar, etoces se cos se cos se ( se ) cos ( se ) ( cos ) cos ( se ) (ii) Si m es impar, etoces m m se cos se cos cos m m ( ) se cos cos se se cos ( ) se cos se cos se cos cos d cos 6 7 cos d cos + cos d cos cos + cos + C 7 Cuado iguo de los epoetes de las potecias seo y coseo es impar, o se puede seguir los procedimietos epuestos e los casos y. E tal caso se debe tomar muy e cueta las idetidades siguietes: se cos + cos cos 6
Itegrales Idefiidas Lic. Eleazar J. García CASO. (i) se, (ii) cos o (iii) m se cos, úmeros eteros positivos pares. dode m y so (i) Se hace la trasformació ( se ) se cos (ii) Se hace la trasformació ( cos ) cos + cos (iii) Se hace la trasformació Ejemplos. m se cos se cos m cos + cos cos ) se cos cos d se + C cos cos cos ( ) m + cos ) cos ( cos ) ( + cos + cos ) cos + + + + d + + se + + cos + se + + cos d 8 8 8 + se + 8 se + C 7
Eleazar J. García Itegrales Idefiidas CASO. (i) tg o (ii) cotg, dode es u úmero etero positivo. (i) Se hace la trasformació tg tg tg ( sec ) tg (ii) Se hace la trasformació cotg cotg cotg Ejemplos. ( csc ) cotg ) Evalúe tg ( ) tg tg tg tg sec tg sec tg tg d tg tg tg l sec + C ) Evalúe cotg cotg cotg cot cotg csc cotg csc cotg cotg d cotg csc cot csc d + cot cot + + C 9 9 CASO. (i) sec o (ii) csc, dode es u úmero etero positivo par. 8
Itegrales Idefiidas Lic. Eleazar J. García (i) Se hace la trasformació ( sec ) ( sec ) ( tg ) ( sec ) sec sec sec + (ii) Se hace la trasformació CASO 6. ( csc ) ( csc ) ( cotg ) ( csc ) csc csc csc Evalúe + 6 csc ( cotg + cotg + ) d ( cotg ) 6 csc csc csc cotg + sec cotg d cotg cotg d cotg d cotg cotg cotg cotg + C par. m m (i) tg sec o (ii) cotg csc, dode m es u etero positivo (i) Se hace la trasformació m m m tg sec tg sec sec (ii) Se hace la trasformació tg sec sec tg tg + sec 9
Eleazar J. García Itegrales Idefiidas m m m cotg csc cotg csc csc Evalúe tg sec cotg csc csc cotg cotg + csc tg sec tg sec sec tg tg + d tg 7 8 tg d tg + tg d tg tg + tg + C 8 6 CASO 7. impar. m m (i) tg sec o (ii) cotg csc, dode m es u etero positivo i) Se hace la trasformació m tg sec tg sec sec tg ( tg ) m sec ( sec tg ) ( sec ) m sec ( sec tg ) (ii) Se hace la trasformació m m cotg csc cotg csc csc cotg ( cotg ) m csc ( csc cotg ) ( csc ) m csc ( csc cotg ) 7 Evalúe tg sec 0
Itegrales Idefiidas Lic. Eleazar J. García 7 6 6 ta sec tg sec sec tg tg sec sec tg 6 6 ( sec ) sec d ( sec ) ( sec sec ) sec d ( sec ) + 0 8 6 sec d sec sec d sec + sec d sec 9 7 sec sec + sec + C 9 7 CASO 8. (i) sec o (ii) csc, dode es u úmero etero positivo impar. Aplique itegració por partes. (i) Cosidere (ii) Cosidere u sec u csc y y dv sec dv csc Evalúe Sea sec u sec du sec sec tg sec tg dv sec v tg Aplicado el método de itegració por partes teemos: sec tg sec + sec Luego, sec sec tg + sec sec sec tg sec tg sec tg sec sec I Evaluemos la itegral I aplicado el método de itegració por partes:
Eleazar J. García Itegrales Idefiidas Sea u sec du sec tg dv sec v tg Etoces, sec sec tg sec tg sec tg sec sec sec tg sec + sec sec tg sec + l sec + tg + C Por lo tato, E coclusió, sec sec ta + l sec + ta + C sec sec tg + sec tg + l sec + tg + C sec tg + sec tg + l sec + tg + C 8 8 CASO 9. m (i) tg sec o m (ii) cotg csc, dode es u etero positivo par y m es u etero positivo impar. Eprese el itegrado e térmios de potecias impares de la secate o cosecate y después siga las sugerecias del caso 8. (i) Se hace la trasformació ( sec ) m m tg sec tg sec (ii) Se hace la trasformació ( csc ) sec m m cotg csc cotg csc csc m m
Itegrales Idefiidas Lic. Eleazar J. García Evalúe tg sec ( ) tg sec sec sec sec sec Las itegrales A y B las resolvimos e el ejemplo del caso 8. La solució de A es: sec sec tg + sec tg + l sec + tg + C 8 8 La solució de B es: sec sec tg + l sec + tg + C Por lo tato, tg sec sec tg + 7 sec tg + 7 l sec + tg + C, C C + C 8 8 A B CASO 0. (i) cos m cos, (i) se m cos o (iii) se m se, m. (i) Se hace la trasformació cos m cos cos( m + ) + cos( m ) (ii) Se hace la trasformació se m cos se ( m ) se + + ( m ) (iii) Se hace la trasformació se m se cos ( m ) cos + + ( m ) Evalúe se cos
Eleazar J. García Itegrales Idefiidas ( + ) + se cos se se se se se d + se cos cos + C 0 0 Ejercicios. Determie las itegrales idefiidas idicadas a cotiuació. ) se cos ) se cos ) cos se 6 ) cos se ) cos z se z dz 6) se cos 7) 8) cos cos 8 9) se se y y dy t t dt se sec ( l ) ( ) ) csc ) 0) cot csc ) ) e tg e ) tg cotg se w dw cos w INTEGRACIN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA Se mostrará co tres casos cómo el cambio de variable mediate sustitució trigoométrica permite co frecuecia evaluar ua itegral que cotiee ua epresió de ua de las formas siguietes dode a > 0: CASO. Ejemplos. a b a + b b a El itegrado cotiee ua epresió de la forma a b, dode a > 0. a Se itroduce ua ueva variable θ cosiderado b se θ, dode θ 0 π si 0 y π θ < 0 si < 0 ) Evalúe 6
Itegrales Idefiidas Lic. Eleazar J. García Sabemos que: 6 Hagamos el cambio seθ y difereciemos el primer miembro co respecto de y al segudo miembro co respecto de θ, etoces, cos θ dθ. Sustituyedo obteemos: ( seθ ) ( cosθ θ ) se θ ( cosθ θ ) d d 6 6 6 6 Ahora, como se ( cos ) 6 cos 6 + cos θ θ θ dθ θ dθ dθ 8 dθ + cos θ d θ 8θ + se θ + C 6 θ arcse y se θ seθ cos θ, etoces, 6 6 8 arcse + + C Otra maera de resolver. Observemos la siguiete figura: θ 6 - Es evidete por trigoometría que: cosθ 6 6 cosθ se θ, luego, despejado se obtiee: seθ cos θ dθ. Por lo tato, y
Eleazar J. García Itegrales Idefiidas 6 ( cos )( cos ) 6 cos 6 + cos θ θ θ dθ θ dθ dθ 8 dθ + cos θ d θ 8θ + se θ + C Como hemos idicado ateriormete, 6 θ arcse yse θ seθ cos θ, etoces 6 6 8arcse + + C ) Evalúe Como cos θ dθ. Por lo tato,, haciedo el cambio seθ teemos: d se ( se ) se se θ θ θ θ cosθ θ cosθ dθ cosθ dθ seθ cosθ cscθ dθ l cscθ cotgθ + C Pero, cscθ y cotg θ, e coclusió. l + C Resolvamos teiedo e cueta la figura siguiete: 6
Itegrales Idefiidas Lic. Eleazar J. García θ - Obviamete, seθ seθ cos θ dθ, y cosθ cos θ. Por lo tato, cosθ dθ dθ cscθ dθ l cscθ cotgθ + C seθ cosθ seθ A partir de la figura se tiee: cscθ y cotg θ, etoces, l + C CASO. El itegrado cotiee ua epresió de la forma a + b, dode a > 0. a Itroduzca ua variable θ cosiderado b tg θ, dode θ 0 π si 0 y π θ < 0 si < 0 Evalúe + 6 7
Eleazar J. García Itegrales Idefiidas + 6 + 6, haciedo el cambio: 6 sec θ dθ y + 6 6 secθ. Sustituyedo os queda: ( d ) tg sec 6 θ 6 θ θ 6 tg θ sec θ dθ 6 tg + 6 6 secθ secθ 6 sec θ secθ dθ 6 sec θ dθ 6 secθ dθ La itegral A se evalúa por partes, así: A 6 tgθ, obteemos, B θ secθ dθ Sea u secθ du secθ tgθ dθ y dv sec θ dθ v tg θ, sustituyedo: secθ tgθ sec θ dθ + secθ dθ θ θ θ θ + θ + θ + A sec θ dθ secθ tgθ tg θ secθ dθ secθ tgθ sec θ secθ dθ Luego, A sec d sec tg l sec tg C Cosecuetemete, B secθ dθ l secθ + tgθ + C secθ tgθ l secθ + tg θ + C, C C + C + 6 + 6 Pero, sec θ, tg θ, por lo tato, sustituyedo resulta: 6 6 + 6 + 6 l + + C + 6 6 6 6 6 + 6 + + 6 l + C 6 CASO. El itegrado cotiee ua epresió de la forma b a, dode a > 0. 8
Itegrales Idefiidas Lic. Eleazar J. García a Itroduzca ua variable θ cosiderado sec θ, dode 0 θ π si a y π θ < π si a b Evalúe 9. 9 Luego debemos hacer el cambio: secθ secθ tg θ dθ; además, 9 tg θ. Sustituyedo, d d cos d 7 7 7 9 ( secθ ) ( tgθ ) sec θ secθ tgθ θ θ + cos θ θ θ dθ dθ + cos θ d θ θ + se θ + C θ + seθ cosθ + C 08 08 Pero, θ arc sec, cosθ 9 y se θ. Sustituyedo uevamete obteemos: 9 9 arc sec + + C arc sec + + C 9 8 Ahora, resolvamos a partir de la siguiete figura. - 9 θ 9
Eleazar J. García Itegrales Idefiidas Evidetemete, secθ secθ tg θ dθ, y tg 9 tg 9, luego, secθ tgθ dθ dθ 7 9 ( secθ ) ( tgθ ) 7sec θ + cos θ d cos ( ) se 7 θ d d C θ + 08 θ θ θ + 08 θ + cos θ dθ 9 Como se θ seθ cos θ, se θ, cosθ y θ arc sec, etoces 9 9 arc sec + + C arc sec + + C 08 9 8 Ejercicios. Calcule las siguietes itegrales idefiidas. (E los ejercicios,, 6, 7 y 9 resuelva completado cuadrados) ) ) ) ) ) 9 6 + + + 6) + + 7) 7 8) 9) 8 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES Si se quiere itegrar el cociete de dos fucioes poliómicas y el grado del umerador es mayor que el del deomiador, primero debe efectuarse la divisió. + + + + l + + C + + Al efectuar la divisió de dos poliomios, obteemos u poliomio cociete más el resto sobre el divisor. E el ejemplo aterior, la epresió: pudo itegrarse de + imediato. E otros casos, se la debe descompoer e fraccioes simples, como se idicará a cotiuació. f ( ) r ( ) Sabemos que: q ( ) + y grado r ( ) < grado g ( ) ó r ( ) 0. g ( ) g ( ) La itegral de q es imediata, ya que q es u poliomio, y el problema se reduce a itegrar el cociete de dos fucioes poliómicas cuado el grado del umerador es meor que el grado del deomiador. 0
Itegrales Idefiidas Lic. Eleazar J. García El procedimieto básico e éste método de itegració, es la descomposició del cociete e fraccioes simples, para lo cual, debe hallarse, primero, las raíces del poliomio correspodiete al deomiador. A cotiuació se preseta cuatro casos segú las raíces sea reales o imagiarias, simples o compuestas. CASO. Las raices del deomiador so reales y simples. El deomiador se epresa como producto de poliomios lieales diferetes. 6 Las raíces del deomiador so: y, tato, luego, 6 ( )( ), + por lo A B + + + Para calcular el valor de A y B, multiplicamos ambos miembros de la igualdad aterior por + así:, A A Luego, B B Por lo tato, + A B ( + )( ) + + + ( + )( ) ( + )( ) A B + + B( ) A + + l l + + + + + C 6 + + Ejemplo. ( l l ) l + + + C + C + 9 6 + +
Eleazar J. García Itegrales Idefiidas Las raíces del deomiador so: 0, y, luego, + ( )( ) 9 6 + A B C y + +, ahora, multiplicado ambos miembros de ésta última ( )( ) igualdad por el deomiador obteemos: ( 9 6 ) 9 6 + A B C ( )( ) + + ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) A B C + + + 9 6 + A + B + C Luego, 0 A A B B 8 C C Por lo tato, 9 6 + + + + + + ( ) d ( ) d + + l + l + l + C l + l + l + C l + C CASO. Las raíces del deomiador so reales y múltiples. El deomiador se epresa como producto de poliomios lieales, alguos repetidos. + + Las raíces del deomiador so:, y, luego, + ( ) ( ), y + +, A B C + ambos miembros de ésta última igualdad por ( ) ( ), obteemos: multiplicado
Itegrales Idefiidas Lic. Eleazar J. García ( ) ( )( + ) A B C ( ) ( ) + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B C + + + A B C + + + A A Luego,, como o eiste otro valor de que aule alguo 6 C C 6 de los sumados, coviee elegir cualquier valor que facilite los cálculos. Por ejemplo, 0 A+ B + C. Reemplacemos A y C por los valores obteidos, y despejemos B:. Por lo tato, + B + 6 + B 0 B B + 6 + + + 6 ( ) ( ) d ( ) d ( ) ( ) d ( ) + 6 + ( ) + l + 6l + C + 6 + l ( ) l ( ) + C ( ) ( ) + l + C 6 CAS0. El deomiador tiee raíces complejas, o reales, simples. E el factoreo del deomiador aparece poliomios cuadráticos irreducibles, todos distitos etre sí. + + + + + Las raíces del deomiador so: i ( ) ( ), i + 0 + 0 y + A + B C + D Etoces, + + ( + )( + ), co lo que +. + + + +
Eleazar J. García Itegrales Idefiidas Multiplicado ambos miembros de ésta última igualdad por ( )( ), ( )( ) + + + + + A + B C + D ( + )( + ) + + + + + + + obteemos: ( + )( + )( A + B) ( + )( + )( C + D) + + + + + + + + + + A + B + + C + D + + + A+ C + B + D + A+ C + B + D De la última igualdad se tiee: A+ C, B + D, A+ C y B + D. Resolviedo el sistema, A 0, B, C y D 0. Por lo tato, + + + d + + + arctg + l + + C arctg + l + + C ( + ) + + + + + + + + CASO. El deomiador tiee raíces complejas, o reales, múltiples. E el factoreo aparece factores cuadráticos irreducibles repetidos. + + 8 6 + 6 + + 8 El deomiador o tiee raíces reales (o se aula para úmero real alguo), por lo que hacemos el cambio r, para calcular las raíces complejas. 6 E efecto, + 6 + + 8 ( ) + 6( ) + ( ) + 8 r + 6r + r + 8. Las raíces e fució de 6 Etoces, r so:, y (raíces múltiples). + 6 + + 8 + co lo que, + + 8 A + B C + D E + F + + ( + ) + ( + ) ( + )
Itegrales Idefiidas Lic. Eleazar J. García Multiplicado ambos miembros de ésta última igualdad por, + obteemos: ( + ) ( + + 8 ) A + B C + D E + F ( + ) + + ( + ) + ( ) ( ) + + ( + ) ( A + B) ( + ) ( C + D) ( + ) ( E + F ) + + 8 + + + ( + ) ( + ) + + 8 ( + ) ( + ) + ( + )( + ) + ( + ) A B C D E F 8 A B + + + ( ) ( ) ( ) + ( B + C + F ) + A+ C + B + D + A+ C + E + De ésta última igualdad se tiee que: A, B, C 0, D 0, E y F 0. Por lo tato, + + 8 + 6 + + + + + 6 8 + + + ( + ) d ( + ) ( ) d ( ) + + arctg ( ) C + + + l + + + l + arctg + C ( + ) Ejercicios. Resuelva las siguietes itegrales. ( ) + + ) ) ) ) 9 + + + + + 8 + + ) 6) 7) + 8 + 6 + + + + Ahora, veamos como resolver itegrales cuado e el itegrado aparece epresioes de la forma:. a + b. Se efectúa el cambio de variable a + b z.. p q. + + Se efectúa el cambio de variable + p + q ( z ).
Eleazar J. García Itegrales Idefiidas. p q ( a )( b ). + + + Se efectúa el cambio de variable + p + q ( a + ) z, o bie + p + q b z. Ejemplos. ) Calcular ( ) + Hagamos el cambio + z, luego, z y z dz, por lo tato, z dz dz dz ( ) ( z ) z + dz + z z + z z + z ) Calcular dz dz z + l z + + l z + C l + C z + z z + + l + C + + Haciedo el cambio z, tedremos, z dz, por lo tato, z dz z dz z + + dz ( z + z + l z ) + C z z z z ) Calcular + + l + C + + l + C + + Haciedo el cambio ( z ), + + tedremos, z, z + ( + + ) z z dz ( z + ) z + z + y + +, z + luego, + + ( + + ) z z dz ( z + ) dz, etoces, z z + z + z z + z + 6
Itegrales Idefiidas Lic. Eleazar J. García dz dz ( z + )( z ) + dz + z z + z dz dz + l z l z + + C z z + z + + + l + C l + C z + + + + + ) Calcular ( ) Haciedo el cambio, + z tedremos, z z dz 6z,, ( ) z, z + z + ( z + ) luego, ( ) z z dz z + ( z + ) ( z ) dz, 6z 8z ( z + ) por lo tato, ( z ) dz + 8z z dz dz z dz z + z + C 8 8 8 8 8 + ( ) z + 8 z + + C 8 C + 8 + C 8z z ( )( ) + 0 8 + C 9 + C ( ) + C 9 7
Eleazar J. García Itegrales Idefiidas Ejercicios. Resuelva: + ) ) ) ) + z + + + + + + + ) 6) 7) + + + INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES DE SENO Y COSENO Si el itegrado es ua fució racioal de se u y cos u, se puede reducir a ua fució racioal de z mediate la sustitució z tg u. Co la fialidad de obteer la fórmula para se u y cosu e térmios de z se utiliza las idetidades siguietes: se u se u cos u y cos u cos u. Etoces se tiee, se u se u cos u se u cos cos u tg tg u + tag u z + z u sec u u cos u cos u sec u + tg u + z z + z Como z tg u, dz du + z etoces ( ) ( ). dz sec u du + tg u du + z du, por lo tato, Los resultados ateriores se establece como el u teorema. Teorema. Si z tg u, etoces z z se u, cos u, + z + z + z Ejemplos. ) Evalúe + se cos 8
Itegrales Idefiidas Lic. Eleazar J. García z z Haciedo el cambio se u, cos u,, etoces + z + z + z dz z dz dz + dz se cos z z + z + z z ( + z) z + z + + z + z z tg l z l + z + C l + C l + C + z + tg ) Calcule sec Como sec + z, y sec,, cos cos z + z + sec dz + z + tg l + z l z + C l + C l + C z tg etoces z dz dz dz dz z + z z + z z + z z ) Evalúe se cos Haciedo el cambio z z se u, cos u,, etoces + z + z + z dz dz dz + z se cos z z z 8z ( z + )( z ) + z + z Ejercicios. Resuelva: se cos ) ) ) ) se ) csc z dz + se + se + cos cos cotg cos t dy ) 6) 7) dt 8) se + tg + se se se t t + sec y 9