FUNCIONES CONTINUAS EN UN INTERVALO Teoremas de continuidad y derivabilidad Teorema de Bolzano Sea una función que verifica las siguientes hipótesis:. Es continua en el intervalo cerrado [, ]. Las imágenes en los etremos del intervalo tienen signo distinto: < 0 Entonces, eiste un punto, tal que 0 Es decir la función corta al eje OX en el interior del intervalo Teorema de Bolzano Hipótesis: f es continua en [a, b] f (a). f(b) < 0 Tesis: c (a, b) / f(c) 0 Aplicación del teorema de Bolzano El Tª de Bolzano es útil para determinar en algunas ocasiones si una ecuación tiene soluciones reales: Ejemplo Demostrar que la ecuación 4 4 + 0 tiene una solución real. º. Se considera la función 4 4 + continua en R luego continua en cualquier intervalo cerrado que se considere. º. Se busca el intervalo donde se cumplan las hipótesis del Tª Bolzano: 0 > 0 > 0 > 0 3 < 0 3º. Por tanto en el intervalo [, ] se cumplen las hipótesis del Tª de Bolzano, luego:, tal que 0 que equivale a decir que la ecuación 4 4 + 0 tiene una solución en el intervalo,
Teoremas de continuidad y derivabilidad Teorema de Weierstrass Toda función continua en un intervalo cerrado alcanza su máimo y mínimo absolutos Como se observa en los dibujos anteriores los máimos y mínimos (etremos) absolutos se encuentran entre los relativos o los etremos del intervalo: º.- Se calculan los máimos y mínimos relativos º.- Se calculan las imágenes en estos máimos y mínimos relativos y en los etremos del intervalo 3º.- El mayor valor es el máimo absoluto y el menor valor es el mínimo absoluto. Ejemplo Sea la función 3 Calcula los etremos absolutos de en el intervalo [,3], en qué Tª te basas para asegurar su eistencia.? + 3 [,3] 3,3 Por tanto [,3] + 3 º.- + 3 0 [,3] es máimo relativo (parábola) º.-, 3 0 3º.- máimo absoluto:, mínimo absoluto:3,0
FUNCIONES DERIVABLES EN UN INTERVALO Teoremas de continuidad y derivabilidad Teorema de Rolle Sea una función que verifica las siguientes hipótesis:. Es continua en el intervalo cerrado [, ]. Es derivable en el intervalo abierto, 3. Toma el mismo valor en los etremos del intervalo, es decir Entonces, eiste un punto, tal que 0, es decir, con tangente horizontal. Teorema de Rolle Hipótesis :f es continua en [a, b] f es derivable en (a, b) f(a) f(b) Tesis: c (a, b) / f (c) 0 Ejemplo 3 La función : [, ] R definida por 3 verifica las siguientes hipótesis:. Es continua en[, ] por ser polinómica. Es derivable en, por se polinómica. 3. Entonces eiste un punto en el intervalo abierto, con derivada nula en dicho punto. Vamos a comprobarlo: 3 3 3 3 0 ±, Ejemplo 4 Determina para que la función + 0 cumpla las hipótesis del Tª de Rolle en el intervalo [ 3, ] y calcula el punto que vaticina el Tª. La continuidad y derivabilidad se cumplen puesto que es una función polinómica, luego la única condición que hay que imponer es la 3ª: 3 3 3 + 0 + 0 7 + 3 + 0 4 8 7 7 + 0 El valor que vaticina el Tª es: 7 + 0 3 7 0 ± 53, 3
Teoremas de continuidad y derivabilidad Ejemplo 5: Aplicación del teoremas de Rolle Sea una función derivable, demostramos que si tiene única solución tiene soluciones como máimo Solución La demostración se hace por reducción al absurdo es decir negar tiene soluciones como máimo Se supone que 0 tiene 3 soluciones: < < 0 Por tanto se puede aplicar el Tª de Rolle a la función en los intervalos [, ] y [, ] En ambos intervalos se cumplen las hipótesis del Tª Rolle, luego:,, 0 en contradicción con 0 tiene única solución por tanto no se puede suponer que 0 tiene 3 soluciones Por tanto 0 tiene soluciones como máimo Se demuestra en general que: Sea una función derivable, demostramos que si tiene única soluciones tiene + soluciones como máimo Ejemplo 6: Aplicación conjunta de los teoremas de Bolzano y de Rolle Demuestra que la ecuación + 5 + 0 sólo admite una solución real Solución º. Se considera la función + 5 + continua y derivable en R luego continua y derivable en cualquier intervalo cerrado que se considere. º. Se busca el intervalo donde se cumplan las hipótesis del Tª Bolzano: 0 > 0 7 > 0 5 > 0 4 < 0 3º. Por tanto en el intervalo [, ] se cumplen las hipótesis del Tª de Bolzano, luego:, tal que 0 solución en el intervalo, 4º. Es única: que equivale a decir que la ecuación + 5 + 0 tiene una Se supone que tiene soluciones: < 0 En el intervalo [, ] se cumple las hipótesis del Tª Rolle, luego:, 0 pero 5 + 5 0 R suponer que 0 tiene soluciones por tanto no se puede 4
Teoremas de continuidad y derivabilidad Teorema del valor medio o de Lagrange Sea una función que verifica las siguientes hipótesis:. Es continua en el intervalo cerrado [, ]. Es derivable en el intervalo abierto, Entonces eiste un punto, tal que Teorema del Valor Medio Hipótesis: f es continua en [a, b] f es derivable en (a, b) Tesis:, / Interpretación geométrica: Eiste un punto en la curva cuya tangente es paralela a la cuerda que une los etremos. Ejemplo 7 Sea : [,] R la función definida por 3 6 que es continua y derivable en su dominio. Por el teorema del valor medio:, 3 3 6 6 6 3 Teorema de Cauchy Si y son dos funciones continuas en [. ] y derivables en,, f ( b) f ( a) f ( c) eiste un punto, tal que g( b) g( a) g ( c) Ejemplo 8 Halla el valor de del intervalo 0,3 donde se cumple la tesis del teorema de Cauchy, siendo + 4 y 4 Las funciones son continuas y derivables en todo R por ser funciones polinómicas Valores de las funciones en los etremos del intervalo: Luego 0 4 3 0 4 3 5 3 0 3 0 4 5 + 4 3 3 0,3 5
Teoremas de continuidad y derivabilidad Regla de L Hôpital Esta regla permite obtener fácilmente ciertos límites y dice: f ( ) 0 f '( ) Si lim y lim a g ( ) 0 a g '( ) f ( ) f '( ) lim lim a g( ) a g '( ) También se puede aplicar para cuando y la indeterminación La regla puede aplicarse una o más veces, mientras se mantenga la indeterminación. Ejemplo 9 cos 0 cos 0 sen 0 cos lím indeterminación L' Hôp lím 0 lím lím 0 0 0 0 0 0 Ejemplo 0 ( + ) Ln sen lim 0. sen ( + 0) Ln sen0 0. sen0 0 0 (aplicamos la regla de L'Hôpital) ( + ) Ln sen lim 0. sen cos lim + 0 sen +. cos cos 0 + 0 0 (aplicamos L'Hôpital) sen0 + 0.cos 0 0 + sen ( + ) lim 0 cos + cos. sen + sen0 ( + 0) cos0 + cos0 0. sen0 Ejemplo Se sabe que Solución lim 0 a e es finito. Determina el valor de a y calcula el límite. lim 0 a e a( e ) lim 0 ( e ). 0 0 ind ( L' Hôpital) lim 0 e ae a. ( e ). + 0 Como me dicen que el límite eiste y es finito el numerador ha de ser cero para poder seguir aplicándole la Regla de L Hôpital, es decir 0 Volviendo a aplicar la regla de L Hôpital, con, tenemos. e lim 0 e. + ( e ). Ejemplo. e lim 0 e. +. e +. e 0 + + cos 0 0 ô 0 0 6
Teoremas de continuidad y derivabilidad Ejercicios resueltos.- Demostrar que la siguiente ecuación tiene una solución en el intervalo, : 4 º. Se considera la función 4 continua en R luego continua en cualquier intervalo cerrado que se considere. º. Se busca el intervalo donde se cumplan las hipótesis del Tª Bolzano: 4 > 0 4 < 0 3º. Por tanto en el intervalo, se cumplen las hipótesis del Tª de Bolzano, luego:, tal que 0 que equivale a decir que la ecuación 4 tiene una solución en el intervalo,.- Demostrar que la ecuación 5 3 no puede tener más de dos raíces reales. º. Se considera la función 5 + 3 continua y derivable en R luego continua y derivable en cualquier intervalo cerrado que se considere. º. Se buscan los intervalos donde se cumplan las hipótesis del Tª Bolzano: 0 3 > 0 < 0 > 0 3º. Por tanto en el intervalo [0,] y [,] se cumplen las hipótesis del Tª de Bolzano, luego: 0,, tal que 0 5 3 tiene soluciones en R que equivale a decir que la ecuación 3.- Demuestra que la ecuación 3 + 0 con R tiene a lo más una solución en [,]. Para que valor de eiste dicha solución?. º. Se considera la función 3 + continua y derivable en R luego continua y derivable en cualquier intervalo cerrado que se considere. º. Se supone que hay más de solución: hay soluciones,, [,] 0 Luego en el intervalo [, ] se cumplen las hipótesis del Tª Rolle por lo que, [,] 0 que equivale a decir, Veamos que pasa con la función derivada: 3 + 3 3 0 ±, en contradicción con, Por tanto a lo sumo eiste una solución de la ecuación. 3º. Para que valor de eiste dicha solución?. Se tiene que cumplir el Tª Bolzano en [,]: + 3 + + + < 0, 3 + 7
Teoremas de continuidad y derivabilidad 4.- Demostrar que la siguiente ecuación tiene una solución en el intervalo, : 4 º. Se considera la función 4 continua en R luego continua en cualquier intervalo cerrado que se considere. º. Se busca el intervalo donde se cumplan las hipótesis del Tª Bolzano: 4 > 0 4 < 0 3º. Por tanto en el intervalo, se cumplen las hipótesis del Tª de Bolzano, luego:, tal que 0 que equivale a decir que la ecuación 4 tiene una solución en el intervalo, 5.- Demostrar que la ecuación 5 3 no puede tener más de dos raíces reales. º. Se considera la función 5 + 3 continua y derivable en R luego continua y derivable en cualquier intervalo cerrado que se considere. º. Se buscan los intervalos donde se cumplan las hipótesis del Tª Bolzano: 0 3 > 0 < 0 > 0 3º. Por tanto en el intervalo [0,] y [,] se cumplen las hipótesis del Tª de Bolzano, luego: 0,, tal que 0 5 3 tiene soluciones en R que equivale a decir que la ecuación 4º. Solo hay : Se supone que hay 3 soluciones:,, R < < 0 En los intervalos [, ] y [, ] se cumplen las hipótesis del Tª Rolle, luego:,, 0 pero 8 5 0 que solo tiene una solución real en contradicción con la suposición, por tanto solo hay 6.- La función : [,] R definida por intervalo: toma el mismo valor en los etremos del Encontrar su derivada y comprobar que no se anula nunca. Contradice esto el teorema de Rolle? Si intentamos anular la derivada resulta: 0 0 absurdo! Esto no contradice el teorema de Rolle porque la segunda hipótesis no se verifica: la función no es derivable en todos los puntos del intervalo, en el punto 0 no eiste la derivada como podemos ver calculándola a través del límite: 0 + h 0 h 0 h h 0 h 3 3 h 8
Teoremas de continuidad y derivabilidad 7.- Calcula para que la función 9 + cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0, ]. Dónde se cumple la tesis?. Por ser una función polinómica, es continua y derivable en todo R y se cumplen las dos primeras hipótesis. Tercera hipótesis: 0 9 + 9 + 9 0 9 0 9 0 0 ±3 La única solución válida es 3 La tesis se cumple: 3 9 3 9 0 ± 3 3 0,3 8.- Prueba que la función + < Cumple las hipótesis del Tª de Rolle. 5 4 Averigua dónde cumple la tesis. En cada uno de los intervalos es una función polinómica que es continua y derivable en R El único punto dudoso es estudiamos la continuidad y derivabilidad en dicho punto continua en 4 Se cumple la ª hipótesis: es continua en, 4 derivable en + < 5 4 < < < < 4? derivable en Se cumple la ª hipótesis: es continua en, 4 + se cumple la 3ª hipótesis 4 5 4 Veamos dónde se verifica la tesis: < < < 4 0 0 0 [,4 La tesis se verifica en 9
9.- Sea la función 0 + > 0 Calcula "" y "" para que cumpla las hipótesis del Tª de Lagrange en [, ] Teoremas de continuidad y derivabilidad La función es continua y derivable R 0 R puesto que los trozos lo son luego para que se cumplan las hipótesis del Tª se tiene que cumplir la continuidad y derivabilidad en 0 continua en 0 0 0 + derivable en 0 0 + > 0 < 0 > 0 0 derivable en 0 0 0.- Prueba que la función < satisface las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [0,] y calcula el o los valores vaticinados por el teorema. La función es continua en el intervalo [0,] continua en R (es polinómica) continua en < continua en R continua en > continua en porque < La función es derivable en el intervalo 0, >? derivable en R (es polinómica) derivable en < derivable en R derivable en > derivable en porque El valor o valores que vaticina el teorema del valor medio: < < < ± 0
.- Calcula aplicando la regla de L Hôpital:,,, Teoremas de continuidad y derivabilidad,,, ó ô lím 0 ô 0 Las indeterminaciones 0. se transforman en o y se pueden resolver por L Hôpital [0 ó] 0 [ ] ô 0 [ ó] Se ha aplicado la fórmula: [ ] [ ] Otra forma de hacerlo es: ó ô Así: [. ô]. ô + Las indeterminaciones se transforman en o. ô y se pueden resolver por L Hôpital lim ó ô 0. ô ó ô ó ô ó ô ó ô ó ô
Teoremas de continuidad y derivabilidad Ejercicios propuestos.- Determina los etremos absolutos de la función :[ 0,8] R.- Sea : R R dada por f ( ) 3. f definida por A. Estudia si cumple las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [,4] B. Estudia si cumple las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [,3] C. Si cumple las hipótesis del teorema de Rolle en alguno de los intervalos de los apartados anteriores, determina el punto correspondiente cuya eistencia se afirma en dicho teorema 3.- Demostrar que la ecuación + tiene eactamente dos soluciones en [, ] 4.-Demuestra que la siguiente función nunca tiene dos raíces en el intervalo cerrado [0,] : 3 + a) Si "n" es par entonces el polinomio p no puede tener más de dos raíces reales. b) Si "n" es impar entonces el polinomio p no puede tener más de tres raíces reales. 6.- Demuestra que la ecuación ln 3 tiene al menos una solución real 3 7.- a) Sea f :[,] R la función definida por f ( ) 6 + + 0 Determina todos los puntos de la gráfica de f en los que la recta tangente a la gráfica de f es paralela a la recta que pasa por los puntos A (, f ( ) ) y B(,f ( )). Cuál de ellos es el predicho? por el Tª de Lagrange en el intervalo [,] b) Considera :[ 0,π ] R f definida por f ( ) + sen. Comprueba si f cumple las hipótesis del Tª y, en caso afirmativo, encuentra dichos valores. 8.- Sea la función: < 0 Sol : a 0 Calcular " a " para que ésta función cumpla las hipótesis del Tª del valor medio de Lagrange en el intervalo, ( Sol : valor vaticinado, + ) 0 9.- Sea la función. 0 a) Para que valor de " " será continua en 0? b) Se puede aplicar el Tª de Lagrange en [,]? 4 0.- Se puede aplicar el teorema de Rolle a la función f ( ) en el intervalo [0, 4]? Razónalo a 3 si < 4.- Calcula a y b para que f ( ) cumpla las hipótesis del teorema del + 0 b si 4 valor medio en el intervalo [, 6]. Dónde cumple la tesis? (Solución: a ; b 9; c 9 ) + n si <.- Se considera la función f ( ) 3 + m si a. Determina y para que se cumplan las hipótesis del teorema del valor medio en [-4, ] b. Halla los puntos del intervalo cuya eistencia garantiza el teorema. 3. a) 0 (Solución /6 ) b) (Solución: ) c) (Solución: )