UNIDAD 2: LÍMITES DE FUNCIONES.CONTINUIDAD 1.- Límites en el Infinito: lim x + f(x) = L Se dice que el límite de f (x) cuando x tiende a + es L ϵ Ɽ, si podemos hacer que f(x) se aproxime a L tanto como queramos sin más que tomar valores de x suficientemente grandes. En tal caso, se escribe lim x + f(x) = L Ejemplo: lim x + 3X+1 2x = 3 2 lim x f(x) = L Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a - es L ϵ Ɽ, si podemos hacer que f(x) se aproxime a L tanto como queramos sin más que tomar valores de x suficientemente pequeños. En tal caso, se escribe lim x f(x) = L Ejemplo: lim x 3X+1 2x = 3 2
lim x + f(x) = + Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a + es +, si podemos hacer que f (x) sea tan grande como queramos sin más que tomar valores de x suficientemente grandes. En tal caso, se escribe lim x + f(x) = + Ejemplo: lim x + 3X + 1 = + lim x f(x) = + Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a - es +, si podemos hacer que f (x) sea tan grande como queramos sin más que tomar valores de x suficientemente pequeños. En tal caso, se escribe lim x f(x) = + Ejemplo: lim x X + 1 = +
lim x + f(x) = Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a + es -, si podemos hacer que f (x) sea tan pequeño como queramos sin más que tomar valores de x suficientemente grandes. En tal caso, se escribe lim x + f(x) = Ejemplo: lim x + X + 1 = lim x f(x) = Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a - es -, si podemos hacer que f (x) sea tan pequeño como queramos sin más que tomar valores de x suficientemente pequeños. En tal caso, se escribe lim x f(x) = Ejemplo: lim x X 3 =
2.-Operaciones con límites en el infinito Para facilitar su aprendizaje, en este apartado vamos a trabajar solo con el valor del límite entre paréntesis en lugar de toda la expresión, es decir: Para hablar del lim x ± f(x) = a, usaremos solo (a) Para hablar del lim x ± f(x) = +, usaremos únicamente (+ ) Para hablar del lim x ± f(x) =, usaremos solo (- ) De este modo se cumple: Suma y Resta Producto Cociente (a) + (b) = (a + b) (a) (b) = (a b) (a) (b) = a b con b 0 (a) (b) = (a - b) (a) + (+ ) = (+ ) (a) (+ ) = (+ ) con a 0 (a) (+ ) = (- ) con a<0 Regla de los signos (a) (- ) = (- ) con a 0 (a) (- ) = (+ ) con a<0 (a) (0) = (± ) (a) (± ) = (0) (a) - (+ ) = (- ) Regla de los signos (0) (± ) = IND [0 ] (a) + (- ) = (- ) (+ ) (+ ) = (+ ) (+ ) (- ) = (- ) (- ) (+ ) = (- ) (- ) (- ) = (+ ) (a) - (- ) = (+ ) (+ ) + (+ ) = (+ ) (- ) + (- ) = (- ) (+ ) - (+ ) = IND (+ ) + (- ) =IND Regla de los signos (± ) (a) (0) (± ) = (0) = (+ ) o ( ) con a 0 Regla de los signos (± ) (0) = (± ) (0) (0) = IND (± ) (± ) = IND [ ]
Potencias (a) (b) (a) (+ ) (a) ( ) (+ ) (b) (+ ) (± ) (a) (b) = (a b ) con a 0 (0) (b) = (0) con b>0 (0) (b) = (+ ) (a) (+ ) = (+ ) con a>1 (a) (+ ) = (0) con 0<a<1 (a) (+ ) = IND (a) ( ) = (0) con a>1 (a) ( ) = (+ ) con 0<a<1 (a) ( ) = IND (+ ) (b) = (+ ) con b>0 (+ ) (b) = (0) con b<0 (+ ) (b) = IND (+ ) (+ ) = (+ ) (+ ) ( ) = (0) con b<0 con a=1 con a=1 con b=0 [1 ] [1 ] [ 0 ] (0) (b) = IND con b=0 [0 0 ] Se proponen el ejercicio 12.
3.- Límite de una función en un punto. Límites laterales lim x a f(x) = L Sea f (x) una función definida en un entorno de x = a. Se dice que el límite de f (x) cuando x tiende hacia a es L, si podemos hacer que f (x) se aproxime a L tanto como queramos sin más que tomar valores de x suficientemente próximos al valor x = a. Lo escribiremos lim x a f(x) = L. Ejemplo: lim x 2 x + 3 = 5 Hemos de tener en cuenta que la definición de límite no depende del valor de la función en x = a, es decir, no tiene porqué cumplirse que f (x) = L, de hecho, ni siquiera tiene que estar definida la función en x = a. La idea de límite analiza lo que ocurre con las imágenes cuando nos acercamos, sin llegar a alcanzar (en principio) el valor x = a. lim x a f(x) = ± Sea f (x) una función definida en un entorno de x = a. Se dice que el límite de f (x) cuando x tiende hacia a es más infinito, si podemos hacer que f (x) tome valores positivos tan grandes como queramos sin más que tomar valores de x suficientemente próximos al valor x = a. Lo escribiremos lim x a f(x) = +. De forma análoga, se define el límite cuando x tiende hacia a es menos infinito.
Ejemplo: lim x 3 1 3 x = ± Límites Laterales: En determinadas funciones, como por ejemplo las definidas a trozos, los valores que toma alrededor de un punto, dependen si nos acercamos por la izquierda o por la derecha del punto y el comportamiento puede ser muy distinto en ambas direcciones. Por ello, además de las definiciones de límite, conviene llevar a cabo definiciones que tengan en cuenta dicha circunstancia. Nos referimos a las definiciones de límites laterales. Sea f (x) una función definida en un entorno a la izquierda de x = a. Se dice que el límite de f (x) cuando x tiende hacia a por la izquierda es L, si podemos hacer que f (x) se aproxime a L tanto como queramos sin más que tomar valores de x suficientemente próximos al valor a, a través de valores menores que a. Lo escribiremos, lim x a f(x) = L. Ejemplo: De forma análoga se define lim x a + f(x) = L y lim x a ± f(x) = ±
Teorema: Sea f(x) una función definida en un entorno de x = a. Entonces, f(x) tiene como límite L cuando x tiende hacia a si, y solo sí, existen los dos límites laterales y ambos valen L. Se proponen los ejercicios 8, 9, 10 y 11 4.- Estudio de las indeterminaciones: Existen en total 7 indeterminaciones que son: a) Resolución de la indeterminación : Este tipo de indeterminaciones aparece normalmente en expresiones del tipo: siendo f(x) y g(x) expresiones polinómicas (a n X n + a n-1 X n-1 + a 2 X 2 + a 1 X + a 0 ) o expresiones con radicales ( ax + b ), una de ellas o ambas. - En el caso de que f(x) y g(x) sean funciones polinómicas, basta simplificar los factores del tipo (x a) mediante factorización, con la regla de Ruffini:
Ejemplo: Numerador 2X 2 8 = 2 (X + 2) (X - 2) Denominador X 2 + X 2 = (X - 1) (x + 2) - Si hay radicales, hay que transformarlos en expresiones sin radicales antes de llevar a cabo lo anterior. Esto se consigue multiplicando numerador y denominador por la expresión conjugada conveniente. Ejemplo:
b) Resolución de la indeterminación : Este tipo de indeterminaciones aparece normalmente en expresiones del tipo: siendo f(x) y g(x) expresiones polinómicas (a n X n + a n-1 X n-1 + a 2 X 2 + a 1 X + a 0 ) o expresiones con radicales ( b m X m + + b 1 X + b 0 ), una de ellas o ambas. En cualquier caso, se resuelve dividiendo numerador y denominador entre X elevado al mayor exponente de las dos expresiones. Ejemplos: c) Resolución de la indeterminación : Este tipo de indeterminaciones aparece normalmente en expresiones del tipo: siendo alguna de las dos funciones expresiones polinómicas o radicales. Para resolverlas, se transforma en una indeterminación del tipo o.
Ejemplos: Se proponen los ejercicios 13 y 14 d) Resolución de la indeterminación 1 : Este tipo de indeterminaciones aparece normalmente en expresiones del tipo: siendo y. Se resuelve usando la función exponencial de la siguiente manera: o
Ejemplo: Ejercicio extra: Calcula los siguientes límites: a) d) b) e) c)
5.- Asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas): El estudio de las asíntotas de una función, que abordaremos a continuación, está íntimamente relacionado tanto con el concepto de límite como con la representación gráfica de funciones. Hay 3 tipos de asíntotas: Verticales, Horizontales y Oblicuas. Veamos cómo se buscan: a) Asíntota Vertical: La función f (x) tiene una asíntota vertical en x = a cuando alguno de sus límites laterales en x = a es infinito, es decir, cuando: Para estudiar la posición de la función respecto a la asíntota vertical se estudian los límites laterales en x = a. Ejemplo: Veamos como la función f(x) = X2 3X+3 X 2 4 tiene dos asíntotas verticales en los puntos donde se anula el denominador: X 2 4 = 0 X 1 = 2 y X 2 = 2 Para el estudio de la posición de la función respecto a la asíntota vertical, se calculan los límites laterales en cada punto: Para la asíntota vertical en X = 2: Para la asíntota vertical en X = -2:
b) Asíntota Horizontal: La función f(x) tiene una asíntota horizontal en y = b cuando alguno de sus límites infinitos es b, es decir, cuando: Para estudiar la posición de la función respecto a la asíntota horizontal se estudian los límites infinitos de f (x) b. Ejemplo: Veamos como la función f(x) = X2 3X+3 X 2 4 tiene una asíntota horizontal en y = 1: Para el estudio de la posición de la función respecto a la asíntota horizontal, se calculan los límites infinitos de f (x) 1: f (x) 1 = X2 3X+3 X 2 4 1 = 3X+7 X 2 4
c) Asíntota Oblicua: La función f(x) tiene una asíntota horizontal en y = m x + n, cuando alguno de los límites infinitos de f(x) - m x + n es cero, es decir, cuando: Para hallar la recta m x + n, a la que la función f (x) es oblicua se hace calculando: o si y Para estudiar la posición de la función respecto a la asíntota oblicua se estudian los límites infinitos de f (x) mx + n y tenemos en cuenta que: - Si se aproxima a 0 positivamente, la función se queda por encima de la recta. - Si se aproxima a 0 negativamente, la función se queda por debajo de la recta. Ejemplos: a) Veamos si la función f(x) = X2 3X+3 X 2 4 - Primero buscamos el valor de m: tiene asíntotas oblicuas: Cuando m resulta 0 o ±, podemos concluir que f(x) no tiene asíntotas oblicuas. b) Estudiemos las asíntotas oblicuas en f(x) = X3 1 X 2 2X : - Primero buscamos el valor de m: - En segundo lugar calculamos el valor de n: Luego f(x) tiene una asíntota oblicua en la recta Y = X + 2.
- Finalmente, se estudia la posición de la función respecto a la asíntota oblicua, con los límites infinitos de f (x) (x + 2): Nota 1: No puede haber simultáneamente asíntotas horizontales y oblicuas en ni en. Lo que sí puede darse es que haya una horizontal en un lado y una oblicua en otro, es decir, puede haber simultáneamente horizontal y oblicua pero no en el mismo lado. Nota 2: Conviene tener en cuenta las siguientes observaciones sobre las asíntotas en el caso de funciones racionales: f(x) = a nx n + +a 1 X+a 0 b m X m + +b 1 X+b 0 f(x) presenta asíntotas verticales en las raíces del denominador (salvo cuando dicha raíz lo es también del numerador). f(x) presenta asíntotas horizontales cuando el grado del numerador es menor o igual que el del denominador. f(x) presentan asíntotas oblicuas cuando el grado del numerador es una unidad más que el del denominador. Se proponen los ejercicios 19, 20, 21, 22 y 23.
6.- Continuidad de una función: - Continuidad de f(x) en un punto x = a: Se dice que f(x) es continua en el punto x = a, si, es decir: 1. Existe los límites laterales de f(x) en x=a y ambos coinciden. 2. Existe la imagen de f(x) para x=a. 3. Los límites laterales de f(x) en x=a y la imagen de f(x) en a, coinciden. - Discontinuidad de f(x) en un punto x = a: Se dice que f(x) es discontinua en el punto x = a, si f(x) no es continua en ese punto. Los tipos de discontinuidad son: a) Discontinuidad Esencial (o de salto): Se produce cuando los dos límites laterales existen pero no coinciden. Hay dos tipos de discontinuidades de salto: -De salto finito: cuando los dos límites laterales resultan números reales distintos. En este caso, al valor absoluto de la diferencia de dichos límites lo llamaremos valor del salto. -De salto infinito: cuando al menos uno de los dos límites laterales es infinito.
b) Discontinuidad Evitable: Se produce cuando los dos límites laterales existen y coinciden, pero ese valor es distinto al de f(a). c) Discontinuidad de 2ª especie: Se llama de este modo a la discontinuidad que se produce cuando no existe alguno de los límites laterales en el punto estudiado. - Continuidad de f (x) en el intervalo [a, b]: Se dice que f(x) es continua en el intervalo cerrado [a, b], si lo es en todos los puntos del intervalo y además, Nota: Las funciones polinómicas, valor absoluto, racionales, raíces, exponenciales, logarítmica, trigonométricas y las inversas de las trigonométricas son continuas en sus respectivos dominios. Además, la composición de funciones continuas es continua en su dominio correspondiente. Se proponen los ejercicios 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31 y 33.