IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 006 (Modelo 1 ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (3 putos) Ua impreta local edita periódicos y revistas. Para cada periódico ecesita u cartucho de tita egra y otro de color, y para cada revista uo de tita egra y dos de color. Si sólo dispoe de 800 cartuchos de tita egra y 1100 de color, y si o puede imprimir más de 400 revistas, cuáto diero podrá igresar como máimo, si vede cada periódico a 0 9 euros y cada revista a 1 euros? Solució = Número de periódicos. y = Número de revistas. Fució Objetivo F(,y) = 0 9 + 1 y. (vede cada periódico a 0 9 y cada revista a 1 ) Restriccioes: Periódicos Revistas Catidad Tita egra 1 1 800 Tita color 1 1100 Tita egra (hay 800): u cartucho para periódico y otro para revista + y 800. Tita color (hay 1100): u cartucho para periódico y dos para revista + y 1100. No puede imprimir más de 400 revistas. y 400 Se edita algú periódico y algua revista. 0 e y 0 Las desigualdades + y 800; + y 1100; y 400; 0; y 0, las trasformamos e igualdades, y ya so rectas, + y = 800; + y = 1100; y = 400; = 0; y = 0. Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y = - + 800; y = -/ + 550; y = 400; = 0; y = 0; Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, y el recito e el cual estará los bordes del recito delimitado por las iecuacioes dadas. Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De = 0 e y = 0. El puto de corte es A(0,0) De y = 0 e y = -+800, teemos 0 = -+800 es decir = 800. El puto de corte es B(800,0) De y = -+800 e y = -/ + 550; teemos -+800 = -/ + 550, es decir -+1600 = - + 1100, luego = 500 e y = 300. El puto de corte es C(500,300) De y = 400 e y = -/ + 550; teemos 400 = -/ + 550, es decir 800 = - + 1100, luego = 300, y el puto de corte es D(300,400) De = 0 e y = 400. Teemos el puto de corte es E(0,400) Vemos que los vértices del recito so: A(0;0), B(800,0), C(500;300), D(300,400) y E (0;400). Calculemos el máimo de la fució F(,y) = 0 9 + 1 y e dicha regió. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máimo y míimo absoluto está e la regió acotada, y que estos etremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(0;0), B(800,0), C(500;300), D(300,400) y E (0;400). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. F(0,0) = 0 9 (0)+1 (0) = 0; F(800,0) = 0 9 (800)+1 (0) = 70; F(500,300) = 0 9 (500)+1 (300) = 810; gjrubio@hotmail.com 1
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 006 (Modelo 1 ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua F(300,400) = 0 9 (300) + 1 (400) = 750; F(0,400) = 0 9 (0) + 1 (400) = 480. Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máimo absoluto de la fució F e la regió es 810 (el valor mayor e los vértices) y se alcaza e el vértice C(500,300), es decir el úmero beeficio máimo es de 810 y se alcaza editado 500 periódicos y 300 revistas. EJERCICIO _A Sea las fucioes f() = 4 + 6 y g() =. ( putos) Determie, para cada ua de ellas, los putos de corte co los ejes, el vértice y la curvatura. Represételas gráficamete. (1 puto) Determie el valor de para el que se hace míima la fució h() = f() - g(). Solució Sea las fucioes f() = 4 + 6 y g() =. Determie, para cada ua de ellas, los putos de corte co los ejes, el vértice y la curvatura. Represételas gráficamete. f() = 4 + 6. Su gráfica es ua parábola co las ramas hacia arriba ( ), porque el º que multiplica a es positivo (+), luego es covea (e Adalucía. Después veremos que f () > 0)). La abscisa de su vértice V es la solució de f () = 0, es decir 4 = 0, de dode =, y V(,f()) = V(,). Los putos de corte so: Para = 0, puto (0,f(0)) = (0,6). Para f() = 0, 4 ± 14-4 - 4 + 6 = 0, de dode =, y o tiee solucioes reales, por tato o corta al eje OX (lo podríamos ver ates por la forma de la parábola y el puto vértice que es el míimo absoluto). f() = 4 + 6, f () = 4, f () = > 0, luego f es covea ( ). g() =. Su gráfica es ua parábola co las ramas hacia abajo ( ), porque el º que multiplica a es egativo (-), luego es cócava (e Adalucía. Después veremos que g () < 0)). La abscisa de su vértice V es la solució de g () = 0, es decir = 0, de dode = 1, y V(1,g(1)) = V(1,1). Los putos de corte so: Para = 0, puto (0,g(0)) = (0,0), (o está e el domiio). Para f() = 0, = 0 = ( ), de dode = 0 y =. Putos (0,g(0)) = (0,0) y (,g()) = (,0). g() = -, g () =, g () = - < 0, luego f es cócava ( ). Teiedo e cueta lo aterior u esbozo de las gráficas es: gjrubio@hotmail.com
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 006 (Modelo 1 ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Determie el valor de para el que se hace míima la fució h() = f() - g(). h() = f() - g() = ( 4 + 6) ( ) = 6 + 6. Si h ( = 0 y h ( > 0, = a es u míimo relativo. Vemos que la gráfica de h es ua parábola co las ramas hacia arriba, luego su vértice es u míimo relativo y absoluto. h() = 6 + 6; h () = 4 6; h () = 4. De h () = 0, teemos 4 6 = 0, luego = 6/4 = 3/ = 1 5. Como h (1 5) = 4 > 0, = 1 5 es u míimo relativo y vale h(1 5) = (1 5) 6(1 5) + 6 = 3/ = 1 5. EJERCICIO 3_A Parte I Sea A y B dos sucesos tales que p(a C ) = 0 60, p(b) = 0 5 y p(a B) = 0 55. (1 puto) Razoe si A y B so idepedietes. (1 puto) Calcule p(a C B C ). Solució Sea A y B dos sucesos tales que p(a C ) = 0 60, p(b) = 0 5 y p(a B) = 0 55. Razoe si A y B so idepedietes. Del problema teemos p(a C ) = 0 60, p(b) = 0 5 y p(a B) = 0 55. Sabemos que p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B); A y B so idepedietes si p(a B) = p(a) p(b); p(a C ) = 1 - p(a); p(a C B C ) = {Ley de Morga} = p(a B) C = {suceso cotrario} = 1 - p(a B). De p(a C ) = 1 - p(a), teemos p(a) = 1 0 6 = 0 4. De p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B), teemos p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B) = 0 4 + 0 5 0 55 = 0 1. Como 0 1 = 0 4 0 5, teemos que p(a B) = p(a) p(b) y los sucesos A y B so idepedietes. Calcule la probabilidad de que u cliete i compre, i solicite la colaboració de los depedietes. Calcule p(a C B C ). Teemos p(a C B C ) = {Ley de Morga} = p(a B) C = {suceso cotrario} = 1 - p(a B) = 1 0 1 = 0 9. EJERCICIO 3_A Parte II ( putos) De 500 ecuestados e ua població, 350 se mostraro favorables a la retrasmisió de debates televisivos e tiempos de eleccioes. Calcule u itervalo de cofiaza, al 99 5%, para la proporció de persoas favorables a estas retrasmisioes. Solució Sabemos que si 30 para la proporció muestral p, el estimador PROPORCIÓN MUESTRAL p sigue ua ormal N( p q p, ) que es la distribució muestral de proporcioes, dode q = 1- p, y geeralmete escribimos p N( p q p, ) o p N( p q p, ). Sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la proporció p de las muestras es: p q ˆ ˆ p q ˆ ˆ I.C.(p) = p ˆ - z ˆ 1 α/.,p + z 1 α/. = (b- gjrubio@hotmail.com 3
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 006 (Modelo 1 ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua dode z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ )=1-α/. p(1 ˆ p) ˆ (z 1-α/ ).p.q ˆˆ El error cometido es E < z 1 α /. = (b-/, de dode el tamaño de la muestra es >. E De 500 ecuestados e ua població, 350 se mostraro favorables a la retrasmisió de debates televisivos e tiempos de eleccioes. Calcule u itervalo de cofiaza, al 99 5%, para la proporció de persoas favorables a estas retrasmisioes. Datos del problema: p = 350/500 = 0 7, q = 1-0 7 = 0 3, = 500, ivel de cofiaza 1 α = 99 5% = = 0 995, de dode α = 0 005 = 0 5% como ivel de sigificació. De α = 0 005 teemos α/ = 0 005 De la igualdad p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = 1-0 005 = 0 9975, que se mira e la tabla de la distribució Normal N(0,1), y os dará el correspodiete valor crítico z 1 - α/. Mirado e la tabla de la N(0,1) vemos que el valor 0 9975 viee e la tabla y correspode a z 1-α/ = 81. Por tato el itervalo de cofiaza pedido es: p q ˆ ˆ p q ˆ ˆ 0'7 0'3 0'7 0'3 I.C.(p) = p ˆ - z ˆ 1 α/.,p + z 1 α/. = 0'7 - '81,0'7 - '81 500 500 (0 641; 0 7576) OPCIÓN B EJERCICIO 1_B -1 1 0 Sea las matrices A =, B =. -1 0 1 (1 5 putos) Calcule A -1. (B + 3I 3 ). (1 5 putos) Determie la matriz X para que X A = A + I. Solució -1 1 0 Sea las matrices A =, B =. -1 0 1 Calcule A -1. (B + 3I 3 ). Dada la matriz A si mediate trasformacioes elemetales de Gauss podemos pasar de (A I) a (I D) la matriz D es la iversa de A, es decir D = A -1. Tambié podemos calcularla co la fórmula A -1 1 t = Adj(A ). A -1 1 0 Cambio -1 0 0 1-1 0 0 1 F 1 (-1) -1 0 0 1 F 1 por F -1 1 0 F + F1 0-1 1 F (-1) (A I) = = (I A -1 ), luego 1 0 0-1 0 1-1 - A -1 0-1 = -1 - Veámoslo por la fórmula: A = -1-1 0 = 0-1 = - 1; -1 At = ; Adj(A t 0 1 ) =, luego A -1 1 t 0-1 = Adj(A ) =. -1 0 1 A -1 - Luego A -1. 0-1 1 0 1 0 0-1 0 3 0 0-1 (B + 3I 3 ) = + 3 = + = 5 0 = -1-1 0 1-1 - 4 0 3-1 - 7 - -7 =. -9-14 Determie la matriz X para que X A = A + I. gjrubio@hotmail.com 4
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 006 (Modelo 1 ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Multiplicado la epresió X A = A + I. Por la derecha por A -1 teemos X A A -1 = A A -1 + I A -1, de dode X I = I + A -1 1 0 0-1 1-1 = X = + =. 0 1-1 - -1-1 EJERCICIO _B Calcule las derivadas de las siguietes fucioes: (1 puto) f() = 1-3 + ( 5 - ) 3. (1 puto) g() = ( + ) L( + ). c) (1 puto) h() = 3 5 + e Solució Calcule las derivadas de las siguietes fucioes: (1 puto) f() = 1-3 + ( 5 - ) 3. (1 puto) g() = ( + ) L( + ). c) (1 puto) h() = 3 5 + e. Recordamos alguas derivadas y reglas de derivació. / f() f'().g() - f().g'() ( f()+g() ) = f ()+g (); ( f() g()) = f () g()+ f() g (); = ; g() (g()) ( (f() k ) = k.f() k-1.f (); (a ) = a.l(; ( e k ) = k.e k ; ( k ) = k. k-1 ; (l(f()) = f'() ; (k) = 0. f() f() = 1-3 + ( 5 - ) 3-3 - (1-3) 1 1-1 f'() = + 3 5-5 = + 15 5 - () ( ) ( ) g() = ( + ) L( + ) g () = L( + ) + ( + ) + = L( + ) + 3 + 4 +. h() = 3 5 + e. h () = 3 5 l(3) 5 + e = 5 l(3) 3 5 + e. EJERCICIO 3_B Parte I Ua ura cotiee tres bolas azules y cuatro rojas. Se etrae al azar tres bolas sucesivamete co reemplazamieto. (1 puto) Calcule la probabilidad de que las tres sea del mismo color. (1 puto) Calcule la probabilidad de que dos sea azules y ua roja. Solució Ua ura cotiee tres bolas azules y cuatro rojas. Se etrae al azar tres bolas sucesivamete co reemplazamieto. Calcule la probabilidad de que las tres sea del mismo color. Sea A i y R i los sucesos sacar bola azul e la etracció úmero i y sacar bola roja e la etracció úmero i. Como las etraccioes so co reemplazamieto los sucesos so idepedietes y o depede de la etracció Nº de casos favorables Sabemos que p(a) =, p(a B) = p(a) p(b) si los sucesos so idepedietes. Nº de casos posibles El etraer tres bolas es lo mismo gjrubio@hotmail.com 5
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 006 (Modelo 1 ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Me pide p(las tres bolas del mismo color) = p(las tres azules ó las tres rojas) = = p(a 1 A A 3 ) + p(r 1 R R 3 ) = p(a 1 ) p(a ) p( A 3 ) ) + p(r 1 ) p(r ) p(r 3 ) ) = = (3/7) (3/7) (3/7) + (4/7) (4/7) (4/7) = 13/49. Calcule la probabilidad de que dos sea azules y ua roja. Me pide p(dos sea azules y ua roj = p(a 1 A R 3 ) + p(a 1 R A 3 ) + p(r 1 A A 3 ) = = p(a 1 ) p(a ) p(r 3 ) + p(a 1 ) p(r ) p(a 3 ) + p(r 1 ) p(a ) p(a 3 ) = = (3/7) (3/7) (4/7) + (3/7) (4/7) (3/7) + (4/7) (3/7) (3/7) = 108/343. EJERCICIO 3_B Parte II El gasto aual, e videojuegos, de los jóvees de ua ciudad sigue ua ley Normal de media descoocida µ y desviació típica 18 euros. Elegida, al azar, ua muestra de 144 jóvees se ha obteido u gasto medio de 10 euros. (0 5 putos) Idique la distribució de las medias de las muestras de tamaño 144. (0 75 putos) Determie u itervalo de cofiaza, al 99%, para el gasto medio e videojuegos de los jóvees de esa ciudad. c) (0 75 putos) Qué tamaño muestral míimo deberíamos tomar para, co la misma cofiaza, obteer u error meor que 1 9? Solució σ Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, σ ) o X N(µ, σ ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: σ σ I.C. (µ) = z 1 α/, + z1 α/ = (a, dode z 1-α/ y z α/ = - z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ σ Tambié sabemos que el error máimo de la estimació es E = z1 α /, para el itervalo de la media. σ Pero la amplitud del itervalo es b a = z1 α / = E, de dode E = (b /, por tato el tamaño z 1- α/. σ míimo de la muestra es = E. El gasto aual, e videojuegos, de los jóvees de ua ciudad sigue ua ley Normal de media descoocida µ y desviació típica 18 euros. Elegida, al azar, ua muestra de 144 jóvees se ha obteido u gasto medio de 10 euros. Idique la distribució de las medias de las muestras de tamaño 144. σ 18 Sabemos que la distribució muestral de medias X, sigue ua ormal N(μ, ) = N(10, 144 ) = = N(10, 18 1 ) = N(10, 3 ) = N(10,1 5) Determie u itervalo de cofiaza, al 99%, para el gasto medio e videojuegos de los jóvees de esa ciudad. gjrubio@hotmail.com 6
IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 006 (Modelo 1 ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Datos del problema: σ = 18, = 144, = 10, σ/ dode α = 0 01, es decir α/ = 0 01/ = 0 005. = 1 5, ivel de cofiaza = 99% = 0 99 = 1 - α, de De p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = 1-0 005 = 0 995. Mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad 0 995 o viee, las más próimas so 0 9949 y 0 9951 que correspode a 57 y 58, por tato z 1-α/ es la media es decir z 1-α/ = ( 57 + 58)/ = 575, por tato el itervalo de cofiaza pedido es: σ σ I.C. (µ) = z 1 α/, + z1 α/ = (10 575 1 5, 10 + 575 1 5) = (116 1375,13 865) c) Qué tamaño muestral míimo deberíamos tomar para, co la misma cofiaza, obteer u error meor que 1 9? Datos del problema: σ = 18, E < 1 9, co el ivel de cofiaza teemos z 1-α/ = 575. z 1- α/. σ '575 18 De > = E 1'9 795 103, es decir el tamaño míimo es = 796. gjrubio@hotmail.com 7